Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.8:7.E Огляд Вправи і зразок іспиту

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58064

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Огляд вправ

    Вправа\(\PageIndex{1}\) Simplifying Rational Expressions

    Оцінити для заданого набору\(x\) -значень.

    1. \(\frac{25}{2x^{2}}\); {\(−5, 0, 5\)}
    2. \(\frac{x−4}{2x−1}\); {\(\frac{1}{2}, 2, 4\)}
    3. \(\frac{1}{x^{2}+9}\); {\(−3, 0, 3\)}
    4. \(\frac{x+3}{x^{2}−9}\); {\(−3, 0, 3\)}
    Відповідь

    1. \(\frac{1}{2}\), невизначений,\(\frac{1}{2}\)

    3. \(\frac{1}{18}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\) Simplifying Rational Expressions

    Вказати обмеження для домену.

    1. \(\frac{5}{x}\)
    2. \(\frac{1}{x(3x+1)}\)
    3. \(\frac{x+2}{x^{2}−25}\)
    4. \(\frac{x−1}{(x−1)(2x−3)}\)
    Відповідь

    1. \(x≠0\)

    3. \(x≠±5\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\) Simplifying Rational Expressions

    Викладіть обмеження і спростіть.

    1. \(\frac{x−8}{x^{2}−64}\)
    2. \(\frac{3x^{2}+9x}{2x^{3}−18x}\)
    3. \(\frac{x^{2}−5x−24}{x^{2}−3x−40}\)
    4. \(\frac{2x^{2}+9x−5}{4x^{2}−1}\)
    5. \(\frac{x^{2}−144}{12−x}\)
    6. \(\frac{8x^{2}−10x−3}{9−4x^{2}}\)
    7. Дано\(f(x)=\frac{x−3}{x^{2}+9}\), знайдіть\(f(−3), f(0)\), і\(f(3)\).
    8. Спростити\(g(x)=\frac{x^{2}−2x−24}{2x^{2}−9x−18}\) і сформулювати обмеження.
    Відповідь

    1. \(\frac{1}{x+8}\);\(x≠±8\)

    3. \(\frac{x+3}{x+5}\);\(x≠−5, 8\)

    5. \(−(x+12)\);\(x≠12\)

    7. \(f(−3)=−\frac{1}{3}, f(0)=−\frac{1}{3}, f(3)=0\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\) Multiplying and Dividing Rational Expressions

    Помножити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

    1. \(\frac{3x^{5}}{x−3}\cdot\frac{x−3}{9x^{2}}\)
    2. \(\frac{12y^{2}}{y^{3}(2y−1)}\cdot\frac{(2y−1)}{3y}\)
    3. \(\frac{3x^{2}}{x−2}\cdot\frac{x^{2}−4x+4}{5x^{3}}\)
    4. \(\frac{x^{2}−8x+15}{9x^{5}}\cdot\frac{12x^{2}}{x−3}\)
    5. \(\frac{x^{2}−36}{x^{2}−x−30}\cdot\frac{2x^{2}+10x}{x^{2}+5x−6}\)
    6. \(\frac{9x^{2}+11x+2}{4−81x^{2}}\cdot\frac{9x−2}{(x+1)^{2}}\)
    Відповідь

    1. \(\frac{x^{3}}{3}\)

    3. \(\frac{3(x−2)}{5x}\)

    5. \(\frac{2x}{x−1}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\) Multiplying and Dividing Rational Expressions

    Розділити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

    1. \(\frac{9x^{2}−25}{5x^{3}}\div\frac{3x+5}{15x^{4}}\)
    2. \(\frac{4x^{2}}{4x^{2}−1}\div\frac{2x^{2}}{x−1}\)
    3. \(\frac{3x^{2}−13x−10}{x^{2}−x−20}\div\frac{9x^{2}+12x+4}{x^{2}+8x+16}\)
    4. \(\frac{2x^{2}+xy−y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}\div\frac{4x^{2}−y^{2}}{3x^{2}+2xy−y^{2}}\)
    5. \(\frac{2x^{2}−6x−20}{8x^{2}+17x+2}\div (8x^{2}−39x−5) \)
    6. \(\frac{12x^{2}−27x^{4}}{15x^{4}+10x^{3}}\div (3x^{2}+x−2) \)
    7. \(\frac{25y^{2}−15y}{4(y−2)}\cdot\frac{1}{5y−1}\div \frac{10y}{2(y−2)^{2}}\)
    8. \(\frac{10x^{4}}{1−36x^{2}}\div\frac{5x^{2}}{6x^{2}−7x+1}\cdot x−12x\)
    9. Дано\(f(x)=\frac{1}{6x^{2}−9x+5}\) і\(g(x)=\frac{x^{2}+3x−10}{4x^{2}+5x−6}\), обчислити\((f⋅g)(x)\) і констатувати обмеження.
    10. Дано\(f(x)=\frac{x+7}{5x−1}\) і\(g(x)=\frac{x^{2}−49}{25x^{2}−5x}\), обчислити\((f/g)(x)\) і констатувати обмеження.
    Відповідь

    1. \(3x(3x−5)\)

    3. \(\frac{x+4}{3x+2}\)

    5. \(\frac{2}{(8x+1)^{2}}\)

    7. \(\frac{5y^{2}-13y+6}{4(5y-1)}\)

    9. \((f⋅g)(x)=\frac{(4x+3)(x−2)}{x+2}\);\(x≠−5, −2, 34\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\) Adding and Subtracting Rational Expressions

    Спростити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

    1. \(\frac{5x}{y}−\frac{3}{y}\)
    2. \(\frac{x}{x^{2}−x−6}−\frac{3}{x^{2}−x−6}\)
    3. \(\frac{2x}{2x+1}+\frac{1}{x−5}\)
    4. \(\frac{3}{x−7}+\frac{1−2x}{x^{2}}\)
    5. \(\frac{7x}{4x^{2}−9x+2}−\frac{2}{x−2}\)
    6. \(\frac{5}{x−5}+\frac{20−9x}{2x^{2}−15x+25}\)
    7. \(\frac{x}{x−5}−\frac{2}{x−3}−\frac{5(x−3)}{x^{2}−8x+15}\)
    8. \(\frac{3x}{2x−1}−\frac{x−4}{x+4}+\frac{12(2−x)}{2x^{2}+7x−4}\)
    9. \(\frac{1}{x^{2}+8x−9}−\frac{1}{x^{2}+11x+18}\)
    10. \(\frac{4}{x^{2}+13x+36}+\frac{3}{x^{2}+6x−27}\)
    11. \(\frac{y+1}{y+2}−\frac{1}{2−y}+\frac{2y}{y^{2}−4}\)
    12. \(\frac{1}{y−11}−\frac{y−2}{y^{2}−1}\)
    13. Дано\(f(x)=x+12x−5\) і\(g(x)=\frac{x}{x+1}\), обчислити\((f+g)(x)\) і констатувати обмеження.
    14. Дано\(f(x)=x+13x\) і\(g(x)=\frac{2}{x−8}\), обчислити\((f−g)(x)\) і констатувати обмеження.
    Відповідь

    1. \(\frac{5x−3}{y}\)

    3. \(\frac{2x^{2}−8x+1}{(2x+1)(x−5)}\)

    5. \(−\frac{1}{4x−1}\)

    7. \(\frac{x−5}{x−3}\)

    9. \(\frac{3}{(x−1)(x+2)(x+9)}\)

    11. \(\frac{y}{y−2}\)

    13. \((f+g)(x)=\frac{3x^{2}−3x+1}{(2x−5)(x+1)}\);\(x≠−1, \frac{5}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\) Complex Fractions

    Спростити.

    1. \(\frac{4−\frac{2}{x}}{ \frac{2x−1}{3x}}\)
    2. \(\frac{\frac{1}{3}−\frac{1}{3y}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{5y}}\)
    3. \(\frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{36}-\frac{1}{x^{2}}}\)
    4. \(\frac{\frac{1}{100}−\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{10}−\frac{1}{x}}\)
    5. \(\frac{\frac{x}{x+3}−\frac{2}{x+1}}{ \frac{ x}{x+4}+\frac{1}{x+3}}\)
    6. \(\frac{\frac{3x−1}{x−5}}{ 5x+2−\frac{2}{x}}\)
    7. \(\frac{1−12x+35x^{2} }{1−25x^{2}}\)
    8. \(2−15x+\frac{25x^{2}}{2x−5}\)
    Відповідь

    1. \(6\)

    3. \(\frac{6x}{x−6}\)

    5. \(\frac{(x−3)(x+4)}{(x+1)(x+2)}\)

    7. \(-\frac{7x-1}{5x+1}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\) Solving Rational Equations

    Вирішити.

    1. \(\frac{6}{x−6}=\frac{2}{2x−1}\)
    2. \(\frac{x}{x−6}=\frac{x+2}{x−2}\)
    3. \(\frac{1}{3x}-\frac{2}{9}=\frac{1}{x}\)
    4. \(\frac{2}{x−5}+\frac{3}{5}=\frac{1}{x−5}\)
    5. \(\frac{x}{x−5}+\frac{4}{x+5}=−10x^{2}−25\)
    6. \(\frac{2x−12}{2x+3}=\frac{2−3x^{2}}{2x^{2}+3x}\)
    7. \(\frac{x+1}{2(x−2)}+\frac{x−6}{x}=1 \)
    8. \(\frac{5x+2}{x+1}−\frac{x}{x+4}=4\)
    9. \(\frac{x}{x+5}+\frac{1}{x−4}=\frac{4x−7}{x^{2}+x−20}\)
    10. \(\frac{2}{3x−1}+\frac{x}{2x+1}=\frac{2(3−4x)}{6x^{2}+x−1}\)
    11. \(\frac{x}{x−1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{x^{2}−1}\)
    12. \(\frac{2x}{x+5}−\frac{1}{2x−3}=\frac{4−7x^{2}}{x^{2}+7x−15}\)
    13. Вирішити для\(a\):\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
    14. Вирішити для\(y\):\(x=\frac{2}{y}−\frac{1}{3y}\).
    Відповідь

    1. \(−\frac{3}{5}\)

    3. \(−3\)

    5. \(−10, 1\)

    7. \(3, 8\)

    9. \(3\)

    11. \(Ø\)

    13. \(a=\frac{bc}{b+c}\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\) Applications of Rational Equations

    Використовуйте алгебру для вирішення наступних програм.

    1. Додатне ціле число вдвічі більше. Сума зворотних двох натуральних чисел дорівнює\(\frac{1}{4}\). Знайдіть два цілих числа.
    2. Якщо зворотне від меншого з двох послідовних цілих чисел віднімається з триразового зворотного більшого, то результат буде\(\frac{3}{10}\). Знайти цілі числа.
    3. Мері може бігати підтюпцем, в середньому,\(2\) милі на годину швидше, ніж її чоловік Джеймс. Джеймс може пробігти\(6.6\) милями в ту ж кількість часу, який займає Мері, щоб пробігти\(9\) милями. Як швидко, в середньому, Мері може бігати підтюпцем?
    4. Біллі проїхав\(140\) милі, щоб відвідати бабусю на автобусі, а потім проїхав\(140\) милі назад на орендованому автомобілі. Автобус в середньому\(14\) милі на годину повільніше, ніж автомобіль. Якщо загальний час, проведений в дорозі, становив\(4.5\) години, то якою була середня швидкість автобуса?
    5. Джеррі займає вдвічі більше часу, ніж Менні, щоб зібрати скейтборд. Якщо вони працюють разом, вони можуть зібрати скейтборд за\(6\) лічені хвилини. Скільки часу це займе Менні, щоб зібрати скейтборд без допомоги Джеррі?
    6. Працюючи поодинці, Джо завершує роботу двору\(30\) за лічені хвилини. Майку потрібно\(45\) хвилин, щоб завершити роботу на тому ж дворі. Скільки часу це займе їм спільної роботи?
    Відповідь

    1. \(6, 12\)

    3. \(7.5\)миль на годину

    5. \(9\)хвилин

    Вправа\(\PageIndex{10}\) Variation

    Побудувати математичну модель з урахуванням наступного.

    1. \(y\)варіюється безпосередньо з\(x\), і\(y = 12\) коли\(x = 4\).
    2. \(y\)змінюється обернено як\(x\), так і\(y = 2\) коли\(x = 5\).
    3. \(y\)спільно пропорційна\(x\) і\(z\), де\(y = 36\) коли\(x = 3\) і\(z = 4\).
    4. \(y\)прямо пропорційна квадрату\(x\) і обернено пропорційна\(z\), де\(y = 20\) коли\(x = 2\) і\(z = 5\).
    5. Відстань, на яку об'єкт у вільному падінні падає, залежить безпосередньо від квадрата часу, коли він падав. Спостерігається, що предмет падає\(16\) ногами в\(1\) секунду. Знайдіть рівняння, яке моделює відстань, на яку впаде об'єкт, і використовуйте його, щоб визначити, наскільки далеко він впаде за\(2\) лічені секунди.
    6. Вага об'єкта змінюється обернено, як квадрат його відстані від центру землі. Якщо предмет важить\(180\) кілограми на поверхні землі (приблизно в\(4,000\) милі від центру), то скільки він буде важити в\(2,000\) милі над земною поверхнею?
    Відповідь

    1. \(y=3x\)

    3. \(y=3xz\)

    5. \(d=16t^{2}\);\(64\) стопи

    Зразок іспиту

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Спростити і сформулювати обмеження.

    1. \(\frac{15x^{3}(3x−1)^{2}}{3x(3x−1)}\)
    2. \(\frac{x^{2}−144}{x^{2}+12x}\)
    3. \(\frac{x^{2}+x−12}{2x^{2}+7x−4}\)
    4. \(\frac{9−x^{2}}{(x−3)^{2}}\)
    Відповідь

    1. \(\frac{5x^{2}(3x−1)^{2}}{x-1}\);\(x≠1\)

    3. \(\frac{x−3}{2x−1}\);\(x≠−4, \frac{1}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Спростити. (Припустимо, що всі змінні в знаменнику є додатними.)

    1. \(\frac{5x}{x^{2}−25}\cdot\frac{x−5}{25x^{2}}\)
    2. \(\frac{x^{2}+x−6}{x^{2}−4x+4}\cdot\frac{3x^{2}−5x−2}{x^{2}−9}\)
    3. \(\frac{x^{2}−4x−12}{12x^{2}}\div\frac{x−6}{6x}\)
    4. \(\frac{2x^{2}−7x−4}{6x^{2}−24x}\div\frac{2x^{2}+7x+3}{10x^{2}+30x}\)
    5. \(\frac{1}{x−5}+\frac{1}{x+5}\)
    6. \(\frac{x}{x+1}−\frac{8}{2−x}−\frac{12x}{x^{2}−x−2}\)
    7. \(\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}\)
    8. \(\frac{1−6x+9x^{2}}{2−5x−3x^{2}}\)
    9. Дано\(f(x)=\frac{x^{2}−81}{(4x−3)^{2}}\) і\(g(x)=\frac{4x−3}{x−9}\), обчислити\((f⋅g)(x)\) і констатувати обмеження.
    10. Дано\(f(x)=\frac{x}{x−5}\) і\(g(x)=\frac{1}{3x−5}\), обчислити\((f−g)(x)\) і констатувати обмеження.
    Відповідь

    1. \(\frac{1}{5x(x+5)}\)

    3. \(\frac{x+2}{2x}\)

    5. \(\frac{2x}{(x−5)(x+5)}\)

    7. \(\frac{xy}{x−y}\)

    9. \((f⋅g)(x)=\frac{x+9}{4x−3}\);\(x≠\frac{3}{4}, 9\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Вирішити.

    1. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=2\)
    2. \(\frac{1}{x−5}=\frac{3}{2x−3}\)
    3. \(1−9x+20x^{2}=0\)
    4. \(\frac{x+2}{x−2}+\frac{1}{x+2}=\frac{4(x+1)}{x^{2}−4}\)
    5. \(\frac{x}{x−2}−\frac{1}{x−3}=\frac{3x−10}{x^{2}−5x+6}\)
    6. \(\frac{5}{x+4}−\frac{x}{4−x}=\frac{9x−4}{x^{2}−16}\)
    7. Вирішити для\(r\):\( P=\frac{120}{1+3r}\).
    Відповідь

    1. \(\frac{3}{5}\)

    3. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)

    5. \(4\)

    7. \(r=40P−\frac{1}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

    1. Ціле число в три рази інше. Сума зворотних двох цілих чисел дорівнює\(\frac{1}{3}\). Знайдіть два цілих числа.
    2. Працюючи поодинці, Джо може пофарбувати кімнату за\(6\) лічені години. Якщо Менні допомагає, то разом вони можуть пофарбувати кімнату за лічені\(2\) години. Скільки часу займе Менні, щоб пофарбувати кімнату самостійно?
    3. Річковий екскурсійний човен в середньому\(6\) милі на годину в негазованій воді. З течією човен може проїхати\(17\) милі в той же час, коли вона може проїхати\(7\) милі проти течії. Яка швидкість струму?
    4. Відстань розриву автомобіля прямо пропорційна квадрату його швидкості. При оптимальних умовах певний автомобіль, що рухається зі швидкістю\(35\) миль на годину, може зламатися до зупинки в\(25\) ногах. Знайдіть рівняння, яке моделює відстань розриву в оптимальних умовах і використовуйте його для визначення відстані розриву, якщо автомобіль рухається\(28\) милями на годину.
    Відповідь

    2. \(3\)годин

    4. \(y=\frac{1}{49}x^{2}\);\(16\) стопи