7.4: Складні раціональні вирази

Цілі навчання

• Спростіть складні раціональні вирази, множивши чисельник на зворотний дільника.
• Спростіть складні раціональні вирази, множивши чисельник і знаменник на найменш спільний знаменник (РК).

Визначення

Складний дріб - це дріб, де чисельник або знаменник складається з одного або декількох дробів. Наприклад,

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$

Спрощення такого дробу вимагає знайти еквівалентний дріб з цілим чисельником і знаменником. Один із способів зробити це - розділити. Нагадаємо, що ділення дробів передбачає множення на зворотний дільник.

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{4}}}{2}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\frac{\stackrel{1}{\cancel{2}}}{1}}\color{black}{=\frac{3}{2}}\qquad\color{Cerulean}{Method\:1:\:using\:division}$

Альтернативний спосіб спрощення цього складного дробу передбачає множення як чисельника, так і знаменника на РК всіх заданих дробів. В даному випадку РК = 4.

$\color{black}{\frac{\frac{3}{4} \cdot\color{Cerulean}{ 4}}{\frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{4}}=\frac{3}{2}}\qquad\color{Cerulean}{Method\:2:\:using\:the\:LCD}$

Складний раціональний вираз визначається як раціональний вираз, що містить одне або кілька раціональних виразів в чисельнику або знаменнику або обох. Наприклад,

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Спрощено складний раціональний вираз шляхом знаходження еквівалентного дробу, де чисельник і знаменник є поліномами. Як показано вище, існує два методи спрощення складних раціональних виразів, і ми окреслимо кроки для обох методів. Для наочності припустимо, що змінні вирази, що використовуються як знаменники, є ненульовими.

Спосіб 1: Спрощення за допомогою поділу

Ми починаємо нашу дискусію про спрощення складних раціональних виразів за допомогою ділення. Перш ніж ми зможемо помножити на зворотний дільника, ми повинні спростити чисельник і знаменник окремо. Мета полягає в тому, щоб спочатку отримати одиничні алгебраїчні дроби в чисельнику і знаменнику. Етапи спрощення складної алгебраїчної дробу проілюстровані в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Рішення:

Крок 1: Спростіть чисельник і знаменник. Мета полягає в отриманні єдиного алгебраїчного дробу, поділеного на інший єдиний алгебраїчний дріб. У цьому прикладі знайдіть еквівалентні члени зі спільним знаменником як в чисельнику, так і в знаменнику перед додаванням і відніманням.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}} &=\frac{\frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}}\color{black}{+\frac{1}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{2}{2}}}{\frac{1}{4} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{4}{4}}} \\ &=\frac{\frac{x}{2 x}+\frac{2}{2 x}}{\frac{x^{2}}{4 x^{2}}-\frac{4}{4 x^{2}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:fractions\:with} \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{common\:denominators} \\ &=\frac{\frac{x+2}{2 x}}{\frac{x^{2}-4}{4 x^{2}}}\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Add\:the\:fractions\:in\:the}\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{numerator\:and\:denominator.} \end{aligned}$

На цьому етапі ми маємо єдиний алгебраїчний дріб, розділений на один алгебраїчний дріб.

Крок 2: Помножте чисельник на зворотний дільник.

$\frac{\frac{x+2}{2 x}}{\color{Cerulean}{\frac{x^{2}-4}{4 x^{2}}}}\color{black}{=\frac{x+2}{2 x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{4 x^{2}}{x^{2}-4}}$

Крок 3: Порахуйте всі чисельники та знаменники повністю.

$=\frac{x+2}{2 x} \cdot \frac{4 x^{2}}{(x+2)(x-2)}$

Крок 4: Скасуйте всі загальні фактори.

$\begin{array}{l}{=\frac{4 x^{2} \cdot(x+2)}{2 x(x+2)(x-2)}} \\ {=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{2x}{\cancel{\color{black}{4 x^{2}}}}} \cdot\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{2 x}}\cancel{\color{black}{(x+2)}}}\color{black}{(x-2)}}} \\ {=\frac{2 x}{(x-2)}}\end{array}$

Відповідь:

$\frac{2x}{x-2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

Рішення:

Відповідь:

$-\frac{1}{2}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

$\frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}$

Рішення:

РК-дисплей раціональних виразів як в чисельнику, так і в знаменнику є$x^{2}$. Помножте на відповідні коефіцієнти, щоб отримати еквівалентні члени з цим як знаменник, а потім відніміть.

$\begin{aligned} \frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}} &=\frac{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{4}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{x}{x}}\color{black}{-\frac{21}{x^{2}}}}{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{2}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{x}{x}}\color{black}{-\frac{15}{x^{2}}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{4 x}{x^{2}}-\frac{21}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{2 x}{x^{2}}-\frac{15}{x^{2}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}-4x-21}{x^{2}}}{\frac{x^{2}-2x-15}{x^{2}}} \end{aligned}$

Тепер у нас є єдиний раціональний вираз, розділений іншим єдиним раціональним виразом. Далі помножте чисельник на зворотний дільника, а потім на множник і скасуйте.

Відповідь:

$\frac{x-7}{x-5}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

$\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-1}$

Рішення:

$\begin{aligned} \frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-1} &=\frac{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}{\frac{1-x}{x}} \\ &=\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{1-x}\\&=\frac{(x+1)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-1)}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{x^{2}}}}{x}}}\color{black}{\cdot}\frac{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x}}}}{-1\cdot\color{Cerulean}{\cancel{ \color{black}{(x-1)}}}}\\&=\frac{x+1}{-1\cdot x}\\&=-\frac{x+1}{x} \end{aligned}$

Відповідь:

$-\frac{x+1}{x}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:

$\frac{\frac{1}{81}-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{9}+\frac{1}{x}}$

Відповідь

$\frac{x-9}{9 x}$

Спосіб 2. Спрощення використання РК-дисплея

Альтернативний метод спрощення складних раціональних виразів передбачає очищення дробів шляхом множення виразу на спеціальну форму 1. У цьому способі помножте чисельник і знаменник на найменший спільний знаменник (РК) всіх заданих дробів.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Рішення:

Крок 1: Визначте РК-дисплей всіх дробів чисельника та знаменника. В даному випадку знаменниками заданих дробів є$2, x, 4$, і$x^{2}$. Тому РК-дисплей є$4x^{2}$.

Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей. Цей крок повинен очистити дроби як в чисельнику, так і в знаменнику.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}} &=\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\right) \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}}{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}\right) \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}} \qquad\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\frac{\frac{1}{2} \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}\color{black}{+\frac{1}{x}}\color{Cerulean}{ \cdot 4 x^{2}}}{\frac{1}{4} \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}}}\color{Cerulean}{ \cdot 4 x^{2}}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\frac{2 x^{2}+4 x}{x^{2}-4} \end{aligned}$

Це залишає нам єдиний алгебраїчний дріб з многочленом в чисельнику і в знаменнику.

Крок 3: Порахуйте чисельник і знаменник повністю.

$\begin{array}{l}{=\frac{2 x^{2}+4 x}{x^{2}-4}} \\ {=\frac{2 x(x+2)}{(x+2)(x-2)}}\end{array}$

Крок 4: Скасуйте всі загальні фактори.

$\begin{array}{l}{=\frac{2 x\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}\color{black}{(x-2)}}} \\ {=\frac{2 x}{x-2}}\end{array}$

Відповідь:

$\frac{2x}{x-2}$

Примітка

Це була та сама проблема, з якою ми почали цей розділ, і результати тут однакові. Варто витратити час, щоб порівняти кроки, пов'язані з використанням обох методів з однієї і тієї ж проблеми.

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

$\frac{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}{3-\frac{14}{x}-\frac{5}{x^{2}}}$

Рішення:

Розглядаючи всі знаменники, ми виявляємо, що РК-дисплей є$x^{2}$. Тому чисельник і знаменник множимо на$x^{2}$:

На цьому етапі ми маємо раціональний вираз, який можна спростити шляхом факторингу, а потім скасування загальних факторів.

$\begin{array}{l}{=\frac{(x+3)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}{(3 x+1)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}} \qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ {=\frac{x+3}{3 x+1}}\end{array}$

Відповідь:

$\frac{x+3}{3x+1}$

Важливо зазначити, що множення чисельника і знаменника на однаковий ненульовий коефіцієнт еквівалентно множенню на 1 і не змінює задачу. Тому що$\frac{x^{2}}{x^{2}}=1$, ми можемо помножити чисельник і знаменник на$x^{2}$ в попередньому прикладі і отримати еквівалентний вираз.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:

$\frac{\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}}{\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}}$

Рішення:

LCM всіх знаменників є$(x+1)(x−3)$. Почніть з множення чисельника і знаменника на ці коефіцієнти.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}}{\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}} &=\frac{\left(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}\right) \color{Cerulean}{\cdot(x+1)(x-3)}}{\left(\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}\right) \color{Cerulean}{\cdot(x+1)(x-3)}}\qquad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\frac{\frac{1\color{Cerulean}{\cancel{(x+1)}(x-3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x+1}}}}+\frac{3\color{Cerulean}{(x+1)\cancel{(x-3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}}{\frac{2\color{Cerulean}{(x+1)\cancel{(x-3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}-\frac{1\color{Cerulean}{\cancel{(x+1)}(x-3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x+1}}}}} \qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\&=\frac{(x-3)+3(x+1)}{2(x+1)-1(x-3)}\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\&=\frac{x-3+3x+3}{2x+2-x+3}\\&=\frac{4x}{x+5} \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{4x}{x+5}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:

$\frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}-\frac{1}{y^{2}}}$

Відповідь

$-\frac{4 y}{y+4}$

Ключові винос

• Складні раціональні вирази можуть бути спрощені в еквівалентні вирази з поліноміальним чисельником і многочленомним знаменником.
• Один із способів спрощення складного раціонального виразу вимагає від нас спочатку написати чисельник і знаменник як єдиний алгебраїчний дріб. Потім помножте чисельник на зворотний дільника і спростіть результат.
• Інший метод спрощення складного раціонального виразу вимагає, щоб ми помножили його на спеціальну форму 1. Помножте чисельник і знаменник на LCM всіх знаменників як засіб для очищення дробів. Зробивши це, спростіть залишилося раціональне вираз.
• Алгебраїчний дріб зводиться до найнижчих, якщо чисельник і знаменник є поліномами, які не мають спільних факторів, крім 1.

Вправа$\PageIndex{3}$ Complex Rational Expressions

Спростити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

1. $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}$
2. $\frac{\frac{7}{8}}{\frac{5}{4}}$
3. $\frac{\frac{10}{3}}{\frac{20}{9}}$
4. $-\frac{\frac{4}{21}}{\frac{8}{7}}$
5. $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$
6. $\frac{\frac{7}{4}}{\frac{14}{3}}$
7. $\frac{1-\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}-\frac{1}{3}}$
8. $\frac{\frac{1}{2}-5}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$
9. $\frac{1+\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{4}}$
10. $\frac{2-\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{4}}$
11. $\frac{\frac{5 x^{2}}{x+1}}{\frac{25 x}{x+1}}$
12. $\frac{\frac{7+x}{7 x}}{\frac{x+7}{14 x^{2}}}$
13. $\frac{\frac{3 y}{x}}{\frac{y^{2}}{x-1}}$
14. $\frac{\frac{5 a^{2}}{b-1}}{\frac{15 a^{3}}{(b-1)^{2}}}$
15. $\frac{1+\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}}$
16. $\frac{\frac{2}{x}+1}{3-\frac{1}{x}}$
17. $\frac{\frac{2}{3 y}-4}{6-\frac{1}{y}}$
18. $\frac{\frac{5}{y-12}}{\frac{10-y}{y^{2}}}$
19. $\frac{\frac{1}{5}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{25}-\frac{1}{x^{2}}}$
20. $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}-\frac{1}{x^{2}}}$
21. $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{x^{2}}}$
22. $\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{16}}$
23. $\frac{16-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-4}$
24. $\frac{2-\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{4 y^{2}}}$
25. $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}$
26. $\frac{\frac{1}{2 x}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{4 x^{2}}-\frac{16}{9}}$
27. $\frac{\frac{2}{25}-\frac{1}{2 x^{2}}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{2 x}}$
28. $\frac{\frac{4}{25}-\frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4x}}$
29. $\frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}}{4-\frac{2}{x y}}$
30. $\frac{\frac{1}{a b}+2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
31. $\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}{x y}$
32. $\frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}$
33. $\frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}$
34. $\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}}{1-\frac{16}{x^{2}}}$
35. $\frac{3-\frac{1}{2 x}-\frac{1}{2 x^{2}}}{2-\frac{2}{x}+\frac{1}{2 x^{2}}}$
36. $\frac{\frac{1}{2}-\frac{5}{x}+\frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{2}-\frac{6}{x}+\frac{18}{x^{2}}}$
37. $\frac{\frac{1}{x}-\frac{4}{3 x^{2}}}{3-\frac{8}{x}+\frac{16}{3 x^{2}}}$
38. $\frac{1+\frac{3}{10 x}-\frac{1}{10 x^{2}}}{\frac{3}{5}-\frac{1}{10 x}-\frac{1}{5 x^{2}}}$
39. $\frac{x-1}{1+\frac{4}{x}}-\frac{5}{x^{2}}$
40. $2-\frac{5}{2 x}-\frac{3 x}{24 x+3}$
41. $\frac{\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{3}{x-3}}$
42. $\frac{\frac{14}{x}-5+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{13}{x}-10}$
43. $\frac{\frac{1}{x+5}+\frac{4}{x-2}}{\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x+5}}$
44. $\frac{\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+3}}{\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x-3}}$
45. $\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{2}{x+3}}{\frac{x}{3 x+4}+\frac{1}{x+1}}$
46. $\frac{\frac{x}{x-9}+\frac{2}{x+1}}{\frac{x}{7 x-9}-\frac{1}{x+1}}$
47. $\frac{\frac{x}{3 x+2}-\frac{1}{x+2}}{\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x+2}}$
48. $\frac{\frac{x}{x-4}+\frac{1}{x+2}}{\frac{x}{3 x+4}+\frac{1}{x+2}}$
49. $\frac{\frac{a}{3-8 b^{3}}}{\frac{2}{\frac{7}{a}-\frac{2}{b}}}$
50. $\frac{\frac{27 a}{3+b^{3}}}{\frac{\frac{a}{b}}{3 a+b}}$
51. $\frac{\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}$
52. $\frac{\frac{1}{b^{3}}-\frac{1}{a^{3}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$
53. $\frac{\frac{x^{2}+y^{2}}{\frac{x}{y}+2}}{\frac{x^{2}-y^{2}}{\frac{2}{x y}}}$
54. $\frac{x}{\frac{y+4+4 y x}{x y+3+2 y x}}$
55. $1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$
56. $2-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$
57. $\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}$
58. $\frac{x+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}+1}$
59. $\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$
60. $\frac{\frac{1}{x}-x}{x-\frac{1}{x^{2}}}$

Відповідь

1. $\frac{2}{5}$

3. $\frac{3}{2}$

5. $\frac{4}{5}$

7. $−\frac{6}{11}$

9. $\frac{10}{3}$

11. $\frac{x}{5}$

13. $\frac{3(x-1)}{y x}$

15. $\frac{x+1}{2 x-1}$

17. $−\frac{2}{3}$

19. $\frac{5x}{x+5}$

21. $−\frac{3x}{x+3}$

23. $−\frac{4x+1}{x}$

25. $\frac{xy}{x−y}$

27. $\frac{2 x+5}{5 x}$

29. $\frac{x−y}{4xy−2}$

31. $\frac{x+y}{y^{2} x^{2}}$

33. $\frac{x−7}{x−5}$

35. $\frac{3x+1}{2x−1}$

37. $\frac{1}{3x−4}$

39. $\frac{x(x-1)}{x+4}-\frac{5}{x^{2}}$

41. $\frac{3 x-6}{-2 x-3}$

43. $\frac{5x+18}{x+12}$

45. $\frac{(x−1)(3x+4)}{(x+2)(x+3)}$

47. $\frac{x+1}{3x+2}$

49. $\frac{7 b-2 a}{2 b\left(3-8 b^{3}\right)}$

51. $\frac{a^{2}-b a+b^{2}}{b^{2} a^{2}}$

53. $\frac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x(x+2 y)\left(x^{2}-y^{2}\right)}$

55. $\frac{5}{3}$

57. $\frac{x+1}{x+2}$

59. $\frac{1}{x+1}$

Вправа$\PageIndex{4}$ Discussion Board Topics

1. Виберіть задачу з цього набору вправ і чітко опрацюйте її на папері, пояснюючи кожен крок словами. Скануйте свою сторінку і розмістіть її на дошці обговорень.
2. Поясніть, чому нам потрібно спростити чисельник і знаменник до одного алгебраїчного дробу перед множенням на зворотний дільник.
3. У цьому розділі представлено два методи спрощення складних раціональних виразів. Який із двох методів, на вашу думку, є більш ефективним, і чому?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися