7.3: Додавання та віднімання раціональних виразів

Цілі навчання

• Додавання і віднімання раціональних виразів із загальними знаменниками.
• Додавайте і віднімайте раціональні вирази з несхожими знаменниками.
• Додавання і віднімання раціональних функцій.

Додавання та віднімання за допомогою спільних знаменників

Додавання і віднімання раціональних виразів схоже на додавання і віднімання дробів. Нагадаємо, що якщо знаменники однакові, ми можемо скласти або відняти чисельники і записати результат над спільним знаменником.

\(\begin{aligned} \frac{3}{13}+\frac{7}{13} &=\frac{3+7}{13} \\ &=\frac{10}{13} \end{aligned}\)

При роботі з раціональними виразами спільним знаменником буде многочлен. Загалом, задані многочлени P, Q і R\(Q≠0\), де, маємо наступне:

\[\frac{P}{Q} \pm \frac{R}{Q}=\frac{P \pm R}{Q}\]

У цьому розділі припустимо, що всі змінні множники в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Додати:

\(\frac{3}{y}+\frac{7}{y}\)

Рішення:

Додайте чисельники\(3\) і\(7\), і запишіть результат над спільним знаменником, y.

\(\begin{aligned} \frac{3}{y}+\frac{7}{y} &=\frac{3+7}{y} \\ &=\frac{10}{y} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{10}{y}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Відніміть:

\(\frac{x-5}{2 x-1}-\frac{1}{2 x-1}\)

Рішення:

Відніміть чисельники\(x−5\) і\(1\), і запишіть результат над спільним знаменником,\(2x−1\).

\(\begin{aligned} \frac{x-5}{2 x-1}-\frac{1}{2 x-1} &=\frac{x-5-1}{2 x-1}\qquad\color{Cerulean}{Simplify\:the\:numerator.} \\ &=\frac{x-6}{2 x-1} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{x-6}{2 x-1}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Відніміть:

\(\frac{2 x+7}{(x+5)(x-3)}-\frac{x+10}{(x+5)(x-3)}\)

Рішення:

Ми використовуємо дужки, щоб нагадати нам відняти весь чисельник другого раціонального виразу.

\(\begin{aligned} \frac{2 x+7}{(x+5)(x-3)}-\frac{x+10}{(x+5)(x-3)} &=\frac{(2 x+7)-(x+10)}{(x+5)(x-3)}\qquad\color{Cerulean}{Simplify\:the\:numerator.} \\ &=\frac{2 x+7-x-10}{(x+5)(x-3)}\qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Leave\:the\:denominator\:factored.} \\ &=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}}{(x+5)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-3)}}}}\qquad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Cancel\:common\:factors.} \\ &=\frac{1}{x+5} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{1}{x+5}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Спростити:

\(\frac{2 x^{2}+10 x+3}{x^{2}-36}-\frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}-36}+\frac{x-4}{x^{2}-36}\)

Рішення:

Відніміть і додайте чисельники. Скористайтеся дужками і запишіть результат над спільним знаменником,\(x^{2}−36\).

Відповідь:

\(\frac{x-1}{x-6}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Відніміть:

Відповідь

\(\frac{1}{x-4}\)

Додавання та віднімання з відмінними знаменниками

Щоб додати раціональні вирази з несхожими знаменниками, спочатку знайдіть еквівалентні вирази із загальними знаменниками. Робіть це так само, як у вас з дробами. Якщо знаменники дробів відносно прості, то найменш спільний знаменник (РК) - це їх добуток. Наприклад,

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{5} \color{Cerulean}{\Rightarrow}\color{black}{ \mathrm{LCD}=3 \cdot 5=15}\)

Помножте кожен дріб на відповідну форму 1, щоб отримати еквівалентні дроби із загальним знаменником.

\(\begin{aligned} \frac{1}{3}+\frac{1}{5} &=\frac{1\color{Cerulean}{ \cdot 5}}{3 \color{Cerulean}{\cdot 5}}+\frac{1 \color{Cerulean}{\cdot 3}}{5 \color{Cerulean}{\cdot 3}} \\ &=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator} \\ &=\frac{5+3}{15} \\ &=\frac{8}{15} \end{aligned}\)

Процес додавання і віднімання раціональних виразів схожий. Загалом, задані многочлени P, Q, R і S, де\(Q≠0\) і\(S≠0\), маємо наступне:

\[\frac{P}{Q} \pm \frac{R}{S}=\frac{P S \pm Q R}{Q S}\]

У цьому розділі припустимо, що всі змінні множники в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Додати:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Рішення:

У цьому прикладі\(LCD=xy\). Щоб отримати еквівалентні члени з цим спільним знаменником, помножте перший член на,\(\frac{y}{y}\) а другий - на\(\frac{x}{x}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{x} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y}{y}}\color{black}{+}\frac{1}{y} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}} \\ &=\frac{y}{x y}+\frac{x}{x y}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:terms\:with\:a\:common\:denominator.} \\ &=\frac{y+x}{x y}\qquad\qquad\:\:\quad\color{Cerulean}{Add\:the\:numerators\:and\:place\:the\:result\:over\:the\:common\:denominator,\:xy.} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{y+x}{x y}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Відніміть:

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{y-3}\)

Рішення:

Починаючи з\(LCD=y(y−3)\), помножте перший член на 1 у вигляді,\(\frac{(y−3)}{(y−3)}\) а другий член на\(\frac{y}{y}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{y}-\frac{1}{y-3} &=\frac{1}{y} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{(y-3)}{(y-3)}}\color{black}{-}\frac{1}{y-3} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y}{y}} \\ &=\frac{(y-3)}{y(y-3)}-\frac{y}{y(y-3)} \\ &=\frac{y-3-y}{y(y-3)} \\ &=\frac{-3}{y(y-3)} \quad \text { or }=-\frac{3}{y(y-3)} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{-3}{y(y-3)}\)

Не завжди так, що РК-дисплей є твором заданих знаменників. Як правило, знаменники не є відносно простими; таким чином, визначення РК-дисплея вимагає певної думки. Почніть з факторингу всіх знаменників. РК-дисплей є продуктом всіх факторів з найбільшою потужністю. Наприклад, наведено

\(\frac{1}{\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{(x+2)}\color{Cerulean}{(x-3)}} \quad \text { and } \quad \frac{1}{x\color{Cerulean}{(x+2)^{2}}}\)

в знаменнику є три базових чинника:\(x, (x+2)\), і\((x−3)\). Найвищими силами цих факторів є\(x^{3}, (x+2)^{2}\) і\((x−3)^{1}\). Тому,

\(\mathrm{LCD}=\color{Cerulean}{x^{3}(x+2)^{2}(x-3)}\)

Загальні кроки додавання або віднімання раціональних виразів проілюстровані в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Відніміть:

Рішення:

Крок 1: Фактор всіх знаменників для визначення РК-дисплея.

РК-дисплей є\((x+1)(x+3)(x−5)\).

Крок 2: Помножте на відповідні коефіцієнти, щоб отримати еквівалентні члени із загальним знаменником. Для цього потрібно помножити перший член на,\(\frac{(x−5)}{(x−5)}\) а другий - на\(\frac{(x+3)}{(x+3)}\).

\(\begin{array}{l}{=\frac{x}{(x+1)(x+3)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x-5)}{(x-5)}}\color{black}{-}\frac{3}{(x+1)(x-5)} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{(x+3)}{(x+3)}}} \\ {=\frac{x(x-5)}{(x+1)(x+3)(x-5)}-\frac{3(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-5)}}\end{array}\)

Крок 3: Додайте або відніміть чисельники і помістіть результат над загальним знаменником.

\(=\frac{x(x-5)-3(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-5)}\)

Крок 4: Спрощення отриманого алгебраїчного дробу.

Відповідь:

\(\frac{(x-9)}{(x+3)(x-5)}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Відніміть:

Рішення:

Найкраще не враховувати чисельник, тому що нам\(x^{2}−9x+18\), швидше за все, потрібно буде спростити після віднімання.

Відповідь:

\(\frac{18}{(x-4)(x-9)}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Відніміть:

\(\frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x}\)

Рішення:

Спочатку перерахуйте знаменники і визначте РК-дисплей. Зверніть увагу, як застосовується протилежне біноміальне властивість для отримання більш працездатного знаменника.

\(\begin{aligned} \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x} &=\frac{1}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{-1(x-2)} \\ &=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)} \end{aligned}\)

РК-дисплей є\((x+2)(x−2)\). Другий член множимо на 1 у вигляді\(\frac{(x+2)}{(x+2)}\).

\(\begin{array}{l}{=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x+2)}{(x+2)}}} \\ {=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}}\end{array}\)

Тепер, коли у нас є еквівалентні члени із загальним знаменником, складаємо чисельники і записуємо результат над спільним знаменником.

\(\begin{array}{l}{=\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}} \\ {=\frac{1+x+2}{(x+2)(x-2)}} \\ {=\frac{x+3}{(x+2)(x-2)}}\end{array}\)

Відповідь:

\(\frac{x+3}{(x+2)(x-2)}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Спростити:

\(\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{y^{2}-1}\)

Рішення:

Почніть з факторингу знаменника.

\(\begin{array}{c}{\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{y^{2}-1}} \\ {=\frac{y-1}{y+1}-\frac{y+1}{y-1}+\frac{y^{2}-5}{(y+1)(y-1)}}\end{array}\)

Ми бачимо, що РК-дисплей є\((y+1)(y−1)\). Знайти еквівалентні дроби з цим знаменником.

Далі віднімаємо і додаємо чисельники і поміщаємо результат над спільним знаменником.

Закінчіть спрощенням отриманого раціонального виразу.

Відповідь:

\(\frac{y-5}{y-1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростити:

\(-\frac{2 x^{2}-1+x}{1+x}-\frac{5}{1-x}\)

Відповідь

\(\frac{x+3}{x-1}\)

Раціональні вирази іноді виражаються за допомогою негативних показників. У цьому випадку застосуйте правила для негативних показників перед спрощенням виразу.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Спростити:

\(y^{-2}+(y-1)^{-1}\)

Рішення:

Нагадаємо, що\(x^{−n}=\frac{1}{x^{n}}\). Ми починаємо з переписування негативних показників як раціональних виразів.

\(\begin{aligned} & y^{-2}+(y-1)^{-1} \\=& \frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(y-1)^{1}}\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Replace\:negative\:exponents.} \\=& \frac{1}{y^{2}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(y-1)}{(y-1)}}\color{black}{+\frac{1}{(y-1)}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{y^{2}}{y^{2}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:factors\:to\:obtain\:equivalent}\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{expressions\:with\:a\:common\:denominator.} \\=&\frac{(y-1)}{y^{2}(y-1)}+\frac{y^{2}}{y^{2}(y-1)} \\=&\frac{(y-1)+y^{2}}{y^{2}(y-1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:simplify.} \\ =& \frac{y^{2}+y-1}{y^{2}(y-1)}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{The\:trinomial\:does\:not\:factor.} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{y^{2}+y-1}{y^{2}(y-1)}\)

Додавання та віднімання раціональних функцій

Ми можемо спростити суми або відмінності раціональних функцій, використовуючи методи, вивчені в цьому розділі. Обмеження результату складаються з обмежень до доменів кожної функції.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Обчислити\((f+g)(x)\)\(g(x)=\frac{1}{x−2}\), дано\(f(x)=\frac{1}{x+3}\) і, і вказати обмеження.

Рішення:

\(\begin{aligned}(f+g)(x) &=f(x)+g(x) \\ &=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-2} \\ &=\frac{1}{x+3} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x-2)}{(x-2)}}\color{black}{+\frac{1}{x-2} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{(x+3)}{(x+3)}} \\ &=\frac{x-2}{(x+3)(x-2)}+\frac{x+3}{(x-2)(x+3)} \\ &=\frac{x-2+x+3}{(x+3)(x-2)} \\ &=\frac{2 x+1}{(x+3)(x-2)} \end{aligned}\)

Тут домен f складається з усіх дійсних чисел крім\(−3\), а домен g складається з усіх дійсних чисел крім\(2\). Тому домен f + g складається з усіх дійсних чисел, крім\(−3\) і\(2\).

Відповідь:

\(\frac{2 x+1}{(x+3)(x-2)}\), де\(x\neq -3,2\)

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Обчислити\((f−g)(x)\), задано\(f(x)=\frac{x(x−1)}{x^{2}−25}\) і\(g(x)=\frac{x−3}{x−5}\), і вказати обмеження для домену.

Рішення:

\(\begin{aligned}(f-g)(x) &=f(x)-g(x) \\ &=\frac{x(x-1)}{x^{2}-25}-\frac{x-3}{x-5} \\ &=\frac{x(x-1)}{(x+5)(x-5)}-\frac{(x-3)}{(x-5)} \cdot \color{Cerulean}{\frac{(x+5)}{(x+5)}} \\ &=\frac{x(x-1)-(x-3)(x+5)}{(x+5)(x-5)} \\&=\frac{x^{2}-x-(x^{2}+5x-3x-15)}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x^{2}-x-(x^{2}+2x-15)}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x^{2}-x-x^{2}-2x+15}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{-3x+15}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{-3\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}{(x+5)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}\\&=\frac{-3}{x+5} \end{aligned}\)

Домен f складається з усіх дійсних чисел, крім\(5\) і\(−5\), а домен g складається з усіх дійсних чисел, крім\(5\). Отже, область f − g складається з усіх дійсних чисел, крім\(−5\) і\(5\).

Відповідь:

\(\frac{-3}{x+5}\), де\(x\neq\pm 5\)

Ключові винос

• При додаванні або відніманні раціональних виразів із загальним знаменником додайте або відніміть вирази в чисельнику і запишіть результат над спільним знаменником.
• Щоб знайти еквівалентні раціональні вирази із загальним знаменником, спочатку множник всіх знаменників і визначте найменш спільний кратний. Потім помножте чисельник і знаменник кожного члена на відповідний коефіцієнт, щоб отримати загальний знаменник. Нарешті, додайте або відніміть вирази в чисельнику і запишіть результат над спільним знаменником.
• Обмеження до області суми або різниці раціональних функцій складаються з обмежень до областей кожної функції.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Adding and Subtracting with Common Denominators

Спростити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

1. \(\frac{3}{x}+\frac{7}{x}\)
2. \(\frac{9}{x}-\frac{10}{x}\)
3. \(\frac{x}{y}−\frac{3}{y}\)
4. \(\frac{4}{x−3}+\frac{6}{x−3}\)
5. \(\frac{7}{2x−1}−\frac{x}{2x−1}\)
6. \(\frac{8}{3x−8}−\frac{3x}{3x−8}\)
7. \(\frac{2}{x−9}+\frac{x−11}{x−9}\)
8. \(\frac{y+2}{2y+3}−\frac{y+3}{2y+3}\)
9. \(\frac{2x−3}{4x−1}−\frac{x−4}{4x−1}\)
10. \(\frac{2x}{x−1}−\frac{3x+4}{x−1}+\frac{x−2}{x−1}\)
11. \(\frac{1}{3y}−\frac{2y−9}{3y}−\frac{13−5y}{3y}\)
12. \(\frac{−3y+2}{5y−10}+\frac{y+7}{5y−10}−\frac{3y+4}{5y−10}\)
13. \(\frac{x}{(x+1)(x-3)}-\frac{3}{(x+1)(x-3)}\)
14. \(\frac{3x+5}{(2x−1)(x−6)}−\frac{x+6}{(2x−1)(x−6)}\)
15. \(\frac{x}{x^{2}-36}+\frac{6}{x^{2}-36}\)
16. \(\frac{x}{x^{2}−81}−\frac{9}{x^{2}−81}\)
17. \(\frac{x^{2}+2}{x^{2}+3 x-28}+\frac{x-2}{2 x^{2}+3 x-28}\)
18. \(\frac{x^{2}}{x^{2}-x-3}-\frac{3-x^{2}}{x^{2}-x-3}\)

Відповідь

1. \(\frac{10}{x}\)

3. \(\frac{x−3}{y}\)

5. \(\frac{7−x}{2x−1}\)

7. \(1\)

9. \(\frac{x+1}{4x−1}\)

11. \(\frac{y−1}{y}\)

13. \(\frac{1}{x+1}\)

15. \(\frac{1}{x−6}\)

17. \(\frac{x+5}{x+7}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) Adding and Subtracting with Unlike Denominators

Спростити. (Припустимо, що всі знаменники ненульові.)

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}\)
2. \(\frac{1}{5 x^{2}}-\frac{1}{x}\)
3. \(\frac{1}{12 y^{2}}+\frac{3}{10 y^{3}}\)
4. \(\frac{1}{x}−\frac{1}{2y}\)
5. \(\frac{1}{y}−2\)
6. \(\frac{3}{y+2}−4\)
7. \(\frac{2}{x+4}+2\)
8. \(\frac{2}{y}−\frac{1}{y^{2}}\)
9. \(\frac{3}{x+1}+\frac{1}{x}\)
10. \(\frac{1}{x−1}−\frac{2}{x}\)
11. \(\frac{1}{x−3}+\frac{1}{x+5}\)
12. \(\frac{1}{x+2}−\frac{1}{x−3}\)
13. \(\frac{x}{x+1}−\frac{2}{x−2}\)
14. \(\frac{2x−3}{x+5}−\frac{x}{x−3}\)
15. \(\frac{y+1}{y−1}+\frac{y−1}{y+1}\)
16. \(\frac{3y−1}{3y}−\frac{y+4}{y−2}\)
17. \(\frac{2x−5}{2x+5}−\frac{2x+5}{2x−5}\)
18. \(\frac{2}{2x−1}−\frac{2x+1}{1−2x}\)
19. \(\frac{3x+4}{x−8}−\frac{2}{8−x}\)
20. \(\frac{1}{y−1}+\frac{1}{1−y}\)
21. \(\frac{2x^{2}}{x^{2}−9}+\frac{x+15}{9−x^{2}}\)
22. \(\frac{x}{x+3}+\frac{1}{x−3}−\frac{1}{5}−\frac{x}{(x+3)(x−3) }\)
23. \(\frac{2 x}{3 x-1}-\frac{1}{3 x+1}+\frac{2(x-1)}{(3 x-1)(3 x+1)}\)
24. \(\frac{4 x}{2 x+1}-\frac{x}{x-5}+\frac{16 x-3}{(2 x+1)(x-5)}\)
25. \(\frac{x}{3 x}+\frac{2}{x-2}+\frac{4}{3 x(x-2)}\)
26. \(-\frac{2 x}{x+6}-\frac{3 x}{6-x}-\frac{18(x-2)}{(x+6)(x-6)}\)
27. \(\frac{x}{x+5}-\frac{1}{x-7}-\frac{25-7 x}{(x+5)(x-7)}\)
28. \(\frac{x}{x^{2}}-\frac{2}{x-3}+\frac{2}{x-3}\)
29. \(\frac{1}{x+5}-\frac{x^{2}}{x^{2}-25}\)
30. \(\frac{5x−2}{x^{2}−4}−\frac{2}{x−2}\)
31. \(\frac{1}{x+1}−\frac{6x−3}{x^{2}−7x−8}\)
32. \(\frac{3x}{9x^{2}−16}−\frac{1}{3x+4}\)
33. \(\frac{2x}{x^{2}−1}+\frac{1}{x^{2}+x}\)
34. \(\frac{x(4x−1)}{2x^{2}}+\frac{7}{x−4}−\frac{x}{4+x}\)
35. \(\frac{3x^{2}}{3x^{2}+5x−2}−\frac{2x}{3x−1}\)
36. \(\frac{2x}{x−4}−\frac{11x+4}{x^{2}−2x−8}\)
37. \(\frac{x}{2x+1}+\frac{6x−24}{2x^{2}−7x−4}\)
38. \(\frac{1}{x^{2}−x−6}+\frac{1}{x^{2}−3x−10}\)
39. \(\frac{x}{x^{2}+4x+3}−\frac{3}{x^{2}−4x−5}\)
40. \(\frac{y+1}{2y^{2}+5y−3}−\frac{y}{4y^{2}−1}\)
41. \(\frac{y−1}{y^{2}−25}−\frac{2}{y^{2}−10y+25 }\)
42. \(\frac{3x^{2}+2}{4x^{2}−2x−8}−\frac{1}{2x−4}\)
43. \(\frac{4x^{2}+2}{8x^{2}−6x−7}−\frac{2}{8x−7}\)
44. \(\frac{a}{4−a+a^{2}}−\frac{9a+18}{a^{2}−13a+36}\)
45. \(\frac{3a−12}{a^{2}−8a+16}−\frac{a+2}{4−a}\)
46. \(\frac{a^{2}−14}{2a^{2}−7a−4}−\frac{5}{1+2a}\)
47. \(\frac{1}{x+3}−\frac{x}{x^{2}−6x+9}+\frac{3}{x^{2}−9}\)
48. \(\frac{3x}{x+7}−\frac{2x}{x−2}+\frac{23x−10}{x^{2}+5x−14}\)
49. \(\frac{x+3}{x−1}+\frac{x−1}{x+2}−\frac{x(x+11)}{x^{2}+x−2}\)
50. \(−\frac{2x}{3x+1}−\frac{4}{x−2}+\frac{4(x+5)}{3x^{2}−5x−2}\)
51. \(\frac{x−1}{4x−1}−\frac{x+3}{2x+3}−\frac{3(x+5)}{8x^{2}+10x−3}\)
52. \(\frac{3x}{2x−3}−\frac{2}{2x+3}−\frac{6x^{2}−5x−9}{4x^{2}−9}\)
53. \(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y^{2}−1}\)
54. \(\frac{1}{y}−\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y−1}\)
55. \(5^{−2}+2^{−1}\)
56. \(6^{−1}+4^{−2}\)
57. \(x^{−1}+y^{−1}\)
58. \(x^{−2}−y^{−1}\)
59. \((2x−1)^{−1}−x^{−2}\)
60. \((x−4)^{−1}−(x+1)^{−1}\)
61. \(3 x^{2}(x-1)^{-1}-2 x\)
62. \(2(y−1)^{−2}−(y−1)^{−1}\)

Відповідь

1. \(\frac{3x+2}{6x}\)

3. \(\frac{5y+18}{60y^{3}}\)

5. \(\frac{1−2y}{y}\)

7. \(\frac{2(x+5)}{x+4}\)

9. \(\frac{4x+1}{x(x+1)}\)

11. \(\frac{2(x+1)}{(x−3)(x+5)}\)

13. \(\frac{x^{2}−4x−2}{(x−2)(x+1)}\)

15. \(\frac{2(y2+1)}{(y+1)(y−1)}\)

17. \(−\frac{40x}{(2x+5)(2x−5)}\)

19. \(\frac{3(x+2)}{x−8}\)

21. \(\frac{2x+5}{x+3}\)

23. \(\frac{2x+1}{3x+1}\)

25. \(\frac{x^{2}+4x+4}{3x(x−2)}\)

27. \(\frac{x−6}{x−7}\)

29. \(\frac{x-5-x^{2}}{(x+5)(x-5)}\)

31. \(−\frac{5}{x−8}\)

33. \(\frac{2x−1}{x(x−1)}\)

35. \(\frac{x(x−4)}{(x+2)(3x−1)}\)

37. \(\frac{x+6}{2x+1}\)

39. \(\frac{x−9}{(x−5)(x+3)}\)

41. \(\frac{y^{2}−8y−5}{(y+5)(y−5)^{2}}\)

43. \(\frac{4x}{x+1}\)

45. \(\frac{a+5}{a−4}\)

47. \(−\frac{6x}{(x+3)(x−3)^{2}}\)

49. \(\frac{x−7}{x+2}\)

51. \(−\frac{x−5}{4x−1}\)

53. \(\frac{2y−1}{y(y−1) }\)

55. \(\frac{27}{50}\)

57. \(\frac{x+y}{xy}\)

59. \(\frac{(x−1)^{2}}{x^{2}(2x−1)}\)

61. \(\frac{x(x+2)}{x−1}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Adding and Subtracting Rational Functions

Розрахуйте\((f+g)(x)\)\((f−g)(x)\) та вкажіть обмеження для домену.

1. \(f(x)=\frac{1}{3x}\)і\(g(x)=\frac{1}{x−2}\)
2. \(f(x)=\frac{1}{x−1}\)і\(g(x)=\frac{1}{x+5}\)
3. \(f(x)=\frac{x}{x−4}\)і\(g(x)=\frac{1}{4−x}\)
4. \(f(x)=\frac{x}{x−5}\)і\(g(x)=\frac{1}{2x−3}\)
5. \(f(x)=\frac{x−1}{x^{2}−4}\)і\(g(x)=\frac{4}{x^{2}-6 x-16}\)
6. \(f(x)=\frac{5}{x+2}\)і\(g(x)=\frac{3}{x+4}\)

Відповідь

1. \((f+g)(x)=\frac{2(2x−1)}{3x(x−2)}; (f−g)(x)=−\frac{2(x+1)}{3x(x−2)}; x≠0, 2 \)

3. \((f+g)(x)=\frac{x−1}{x−4}; (f−g)(x)=\frac{x+1}{x−4}; x≠4\)

5. \((f+g)(x)=\frac{x(x−5)}{(x+2)(x−2)(x−8)}; (f−g)(x)=\frac{x^{2}−13x+16}{(x+2)(x−2)(x−8)}; x≠−2, 2, 8\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Adding and Subtracting Rational Functions

Розрахуйте\((f+f)(x)\) та вкажіть обмеження для домену.

1. \(f(x)=\frac{1}{x}\)
2. \(f(x)=\frac{1}{2x}\)
3. \(f(x)=\frac{x}{2x−1}\)
4. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)

Відповідь

1. \((f+f)(x)=\frac{2}{x}; x≠0\)

3. \((f+f)(x)=\frac{2x}{2x−1}; x≠\frac{1}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board

1. Поясніть однокласнику, чому це неправильно:\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{3}{2x^{2}}\).
2. Поясніть однокласнику, як знайти спільний знаменник при додаванні алгебраїчних виразів. Наведемо приклад.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися