6.4: Факторинг спеціальних біноміалів
Цілі навчання
- Факторні біноміали, які є відмінностями квадратів.
- Факторні біноміали, які є сумами та відмінностями кубів.
Різниця квадратів
Біноміал - це многочлен з двома долями. Почнемо з нашого першого спеціального біноміала, який називається різницею квадратів:
a2−b2=(a+b)(a−b)
Щоб перевірити наведену вище формулу, помножте:
(a+b)(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−ab+ab−b2=a2−b2
Цю формулу ми використовуємо для множення певних спеціальних біноміалів.
Приклад6.4.1
Фактор:
x2−16.
Рішення:
Крок 1: Визначте біноміальне як різницю квадратів та визначте квадратні множники кожного члена.
.png)
Тут ми можемо написати
x2−16=(x)2−(4)2
Терміни - квадратиx і4. Звідсиa=x іb=4.
Крок 2: Підставте в різницю квадратів формулу.
a2−b2=(a+b)(a−b)↓↓↓↓x2−16=(x+4)(x−4)
Крок 3: Множте, щоб перевірити. Цей крок необов'язковий.
Відповідь:
(x+4)(x−4)
Варто взяти деякий додатковий час на цей момент, щоб переглянути всі квадрати цілих чисел від1 до12.
12=172=4922=482=6432=992=8142=16102=10052=25112=12162=36122=144
Розпізнавання цих ідеальних квадратних цілих чисел допомагає прискорити процес факторингу.
Приклад6.4.2
Фактор:
9x2−121.
Рішення:
Віднімання вказує на те, що це різниця. Крім того, ми визнаємо, що терміни є квадратами.
9x2−121=(3x)2−(11)2
В даному випадкуa=3x іb=11. Підставляємо в формулу різниці квадратів.
a2−b2=(a+b)(a−b)9x2−121=(3x+11)(3x−11)
Відповідь:
(3x+11)(3x−11)
Може бути так, що терміни біноміала мають загальний фактор. Якщо так, буде важко визначити ідеальні квадрати, поки ми спочатку не перерахуємо GCF.
Приклад6.4.3
Фактор:
12y2−75.
Рішення:
Терміни не є ідеальними квадратами. Однак зауважте, що вони мають загальний фактор. По-перше, фактор з GCF,3.
12y2−75=3(4y2−25)
Отриманий біноміальний коефіцієнт є різницею квадратів зa=2y іb=5.
12y2−75=3(4y2−25)=3(2y+5)(2y−5)
Відповідь:
3(2y+5)(2y−5)
Приклад6.4.4
Фактор:
49x2−100y2.
Рішення:
Тут ми маємо біном з двома змінними і визнаємо, що це різниця квадратів.
49x2−100y2=(7x)2−(10y)2
Томуa=7x іb=10y. Підставляємо в формулу різниці квадратів.
a2−b2=(a+b)(a−b)49x2−100y2=(7x+10y)(7x−10y)
Відповідь:
(7x+10y)(7x−10y)
Вправа6.4.1
Фактор:
36x2−1.
- Відповідь
-
(6x+1)(6x−1)
Задано будь-яке дійсне числоb, многочлен формиx2+b2 є простим.
Крім того, сума квадратівa2+b2 не має загального факторного еквівалента. Слід подбати про те, щоб не переплутати це з ідеальним квадратним триноміалом:
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
Тому
(a+b)2≠a2+b2
Коли ступінь спеціального біноміала більше двох, нам може знадобитися застосувати формулу різниці квадратів кілька разів. Поліном повністю враховується, коли жоден з факторів не може бути врахований далі.
Приклад6.4.5
Фактор повністю:
x4−16.
Рішення:
Спочатку визначте, що знаходиться в квадраті:
x4−16=()2−()2
Для цього слід згадати правило потужності для експонентів,(xm)n=xmn. Коли експоненти піднімаються до степеня, помножте їх. Маючи це на увазі, визначте, що(x2)2=x4 і напишіть
x4−16=(x2)2−(4)2
Томуa=x2 іb=4. Підставляємо в формулу різниці квадратів.
x4−16=(x2+4)(x2−4)
На цьому етапі зверніть увагу, що коефіцієнт сам по собі(x2−4) є різницею двох квадратів і, таким чином, може бути додатково врахований за допомогоюa=x іb=2. Коефіцієнт(x2+4) - це сума квадратів, які не можуть бути враховані за допомогою дійсних чисел.
x4−16=(x2+4)(x2−4)=(x2+4)(x+2)(x−2)
Відповідь:
(x2+4)(x+2)(x−2)
Вправа6.4.2
Фактор повністю:
81x4−1.
- Відповідь
-
(9x2+1)(3x+1)(3x−1)
Сума і різниця кубів
Два інших спеціальних бінома, що цікавлять, - це сума і різниця кубів:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
Ми можемо перевірити ці формули, перемноживши:
(a+b)(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2−ab2+b3=a3+b3✓(a−b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2=a2b−ab2−b3=a3−b3✓
Процес факторингу суми та різниці кубів дуже схожий на процес для різниці квадратів. Спочатку визначаємо,ab а потім підставляємо у відповідну формулу. Окремі формули для суми та різниці кубів дозволяють завждиb вибиратиa і бути позитивними.
Приклад6.4.6
Фактор:
x3+8.
Рішення:
Знак плюса і те, що терміни - кубики, вказують нам, що це сума кубів.
.png)
Далі визначте, що відбувається в кубі.
x3+8=(x)3+(2)3
В даному випадкуa=x іb=2. Підставляємо в суму кубиків формулу.
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)↓↓↓↓↓↓x3+8=(x+2)(x2−x⋅2+22)=(x+2)(x2−2x+4)
Отриманий триноміал є простим, а факторинг завершений. Ми можемо перевірити цю факторизацію шляхом множення.
(x+2)(x2−2x+4)=x3−2x2+4x+2x2−4x+8=x3−2x2+4x+2x2−4x+8=x3+8✓
Відповідь:
(x−2)(x2−2x+4)
Корисно переглянути ідеальні куби цілих чисел від1 до12. Це допоможе вам визначити суми та відмінності кубів.
13=1y3=34323=883=51233=2793=72943=64103=100053=125113=133163=216123=1728
Приклад6.4.7
Фактор:
y3−125.
Рішення:
В даному випадку у нас є різниця кубиків.
.png)
Ми можемо написати
y3−125=(y)3−(5)3
b=5Підставляємоa=y і в формулу різниці кубиків.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)↓↓↓↓↓↓y3−1258=(y−5)(y2+y⋅5+52)=(y−5)(y2+5y+25)
Відповідь:
(y−5)(y2+5y+25)
Завжди шукайте загальні фактори при факторингу. Якщо терміни біноміального мають GCF1, крім, то фактор, що спочатку.
Приклад6.4.8
Фактор:
54x4+128x.
Рішення:
Почніть з факторингу GCF2x.
54x4+128x=2x(27x3+64)
Отриманий біноміальний коефіцієнт являє собою суму кубів, деa=3x іb=4.
54x4+128x=2x(27x3+64)=2x(3x+4)((3x)2−(3x)(4)+42)=2x(3x+4)(9x2−12x+16)
Відповідь:
2x(3x+4)(9x2−12x+16)
Приклад6.4.9
Фактор:
x3y3−1.
Рішення
Цей біноміал є різницею кубів з двома змінними. Визначте, що відбувається в кубі.
x3y3−1=(xy)3−(1)3
Осьa=xy іb=1. Підставляємо у відповідну формулу і спрощуємо.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)x3y3−1=(xy−1)((xy)2+xy⋅1+12)=(xy−1)(x2y2+xy+1)
Відповідь:
(xy−1)(x2y2+xy+1)
Вправа6.4.3
Фактор:
8x3+343.
- Відповідь
-
(2x+7)(4x2−14x+49)
При факторингу завжди шукайте результуючі фактори для подальшого фактору.
Приклад6.4.10
Фактор повністю:
x6−64.
Рішення:
При зіткненні з біноміальним, який є одночасно різницею квадратів і кубів, як це є, візьміть за правило, щоб коефіцієнт, використовуючи різницю квадратів спочатку.
x6−64=(x3)2−(8)2
Томуa=x3 іb=8. Підставляємо в різницю квадратів формулу.
x6−64=(x3+8)(x3−8)
Отримані два біноміальних множника є сумою і різницею кубів. Кожен можна врахувати далі.
x3+8=(x+2)(x2−2x+22)x3−8=(x−2)(x2+2x+22)
Тому у нас є
x6−64=(x3+8)⋅(x3−8)=⏞(x+2)(x2−2x+4)⋅⏞(x−2)(x2+2x+4)
Триноміальні фактори є простими, а вираз повністю враховано.
Відповідь:
(x+2)(x2−2x+4)(x−2)(x2+2x+4)
Як вправу, спочатку врахуйте попередній приклад як різницю кубів, а потім порівняйте результати. Чому, на вашу думку, ми вважаємо за правило спочатку використовувати різницю квадратів?
Вправа6.4.4
Фактор:
x6−y6.
- Відповідь
-
(x+y)(x2−xy+y2)(x−y)(x2+xy+y2)
Ключові виноси
- При факторингу спеціальних біноміалів першим кроком є визначення його як суми або різниці. Після того, як ми ідентифікуємо біноміал, ми визначаємо значенняab і підставляємо у відповідну формулу.
- Формули для всіх спеціальних біноміалів повинні бути запам'ятовані. Крім того, щоб полегшити ідентифікацію спеціальних біноміалів, запам'ятовуйте квадрати і куби цілих чисел щонайменше12.
- Якщо біноміал - це і різниця квадратів і кубів, то спочатку множьте його як різницю квадратів.
Вправа6.4.5 Difference of Squares
Фактор повністю.
- x2−9
- x2−100
- y2−36
- y2−144
- x2+4
- x2−5
- m2−81
- m2−64
- 16x2−9
- 25x2−4
- 144x2−1
- 9x2−121
- 4y2−81
- 100y2−49
- 9−4x2
- 100−x2
- 1−y2
- 25−9y2
- −3x2+75
- −16x2+25
- 2x2−72
- 20x3−45x
- −48x+27x3
- 36x2−100
- x2−y2
- 25x2−9y2
- a2−4b2
- a2b2−36
- 4x2y2−1
- x2y2−25
- 2a3−8ab2
- 3a3b4−75ab2
- −100xy3+4x3y
- −18x3y3+32xy
- (x+1)2−y2
- x2−(y−2)2
- (x−3)2−(y+3)2
- (x2+2)2−(x−1)2
- (x2−1)2−(2x+3)2
- x4−1
- x4−y4
- 16x4−81
- a4b4−16
- a4−16b4
- x8−1
- 25x8−1
- a8−b2
- a4−9
- x8−y8
- 81x8−1
- Висота снаряда, скинутого з64 -футової вежі, задається функцієюh(t)=−16t2+64, деt позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді. (Підказка: Фактор−16 спочатку.)
- Висота снаряда, скинутого з36 -футової вежі, задається функцієюh(t)=−16t2+36, деt позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.
- Відповідь
-
1. (x+3)(x−3)
3. (y+6)(y−6)
5. Прем'єр
7. (m+9)(m−9)
9. (4x+3)(4x−3)
11. (12x+1)(12x−1)
13. (2y+9)(2y−9)
15. (3+2x)(3−2x)
17. (1+y)(1−y)
19. −3(x+5)(x−5)
21. 2(x+6)(x−6)
23. 3x(3x+4)(3x−4)
25. (x+y)(x−y)
27. (a+2b)(a−2b)
29. (2xy+1)(2xy−1)
31. 2a(a+2b)(a−2b)
33. 4xy(x+5y)(x−5y)
35. (x+1+y)(x+1−y)
37. (x+y)(x−y−6)
39. (x2+2x+2)(x2−2x−4)
41. (x2+y2)(x+y)(x−y)
43. (a2b2+4)(ab+2)(ab−2)
45. (x4+1)(x2+1)(x+1)(x−1)
47. (a4+b)(a4−b)
49. (x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x−y)
51. h(t)=−16(t+2)(t−2)
Вправа6.4.6 Sum and Difference of Cubes
Фактор повністю.
- x3−1
- x3+1
- y3−27
- y3−8
- 8y3+1
- 27y3−1
- 64a3−125
- 8a3+27
- a3+216
- a3−125
- x3−1000
- 343m3−1
- 512n3+1
- 8x3+343
- 40y3−135
- 27y3+729
- 27y3−64
- x3+3
- 5x3+1
- 1−y3
- 27−1,000y3
- 343+125a3
- x3−y3
- x3+y3
- x3y3+125
- 8x3y3−27
- 27a3−8b3
- 16x3−250y3
- 128x3+2y3
- 54x3−2y3
- 3a4b−24ab4
- a3b3c3−1
- (x+1)3−8
- 8x3−(x−5)3
- (x−2)3+(x+2)3
- (a+3)3+(b−3)3
- x6−1
- x6+1
- 64a6−1
- a6−81b6
- x6−y6
- x6+y6
- Відповідь
-
1. (x−1)(x2+x+1)
3. (y−3)(y2+3y+9)
5. (2y+1)(4y2−2y+1)
7. (4a−5)(16a2+20a+25)
9. (a+6)(a2−6a+36)
11. (x−10)(x2+10x+100)
13. (8n+1)(64n2−8n+1)
15. 5(2y−3)(4y2+6y+9)
17. (3y−4)(9y2+12y+16)
19. Прем'єр
21. (3−10y)(9+30y+100y2)
23. (x−y)(x2+xy+y2)
25. (xy+5)(x2y2−5xy+25)
27. (3a−2b)(9a2+6ab+4b2)
29. 2(4x+y)(16x2−4xy+y2)
31. 3ab(a−2b)(a2+2ab+4b2)
33. (x−1)(x2+4x+7)
35. 2x(x2+12)
37. (x+1)(x2−x+1)(x−1)(x2+x+1)
39. (2a+1)(4a2−2a+1)(2a−1)(4a2+2a+1)
41. (x+y)(x2−xy+y2)(x−y)(x2+xy+y2)
Вправа6.4.7 Discussion Board Topics
- Якщо біноміал потрапляє в обидві категорії, різниця квадратів і різниця кубів, що було б краще врахувати його як, і чому? Створіть приклад, який ілюструє цю ситуацію, і врахуйте її за допомогою обох формул.
- Що можна сказати про ступені факторів многочлена? Наведемо приклад.
- Складіть свою власну різницю квадратів факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.
- Складіть власну суму або різницю кубиків факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися