Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.4: Факторинг спеціальних біноміалів

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Факторні біноміали, які є відмінностями квадратів.
  • Факторні біноміали, які є сумами та відмінностями кубів.

Різниця квадратів

Біноміал - це многочлен з двома долями. Почнемо з нашого першого спеціального біноміала, який називається різницею квадратів:

a2b2=(a+b)(ab)

Щоб перевірити наведену вище формулу, помножте:

(a+b)(ab)=a2ab+bab2=a2ab+abb2=a2b2

Цю формулу ми використовуємо для множення певних спеціальних біноміалів.

Приклад6.4.1

Фактор:

x216.

Рішення:

Крок 1: Визначте біноміальне як різницю квадратів та визначте квадратні множники кожного члена.

Знімок екрана (339) .png
Малюнок6.4.1

Тут ми можемо написати

x216=(x)2(4)2

Терміни - квадратиx і4. Звідсиa=x іb=4.

Крок 2: Підставте в різницю квадратів формулу.

a2b2=(a+b)(ab)x216=(x+4)(x4)

Крок 3: Множте, щоб перевірити. Цей крок необов'язковий.

Відповідь:

(x+4)(x4)

Варто взяти деякий додатковий час на цей момент, щоб переглянути всі квадрати цілих чисел від1 до12.

12=172=4922=482=6432=992=8142=16102=10052=25112=12162=36122=144

Розпізнавання цих ідеальних квадратних цілих чисел допомагає прискорити процес факторингу.

Приклад6.4.2

Фактор:

9x2121.

Рішення:

Віднімання вказує на те, що це різниця. Крім того, ми визнаємо, що терміни є квадратами.

9x2121=(3x)2(11)2

В даному випадкуa=3x іb=11. Підставляємо в формулу різниці квадратів.

a2b2=(a+b)(ab)9x2121=(3x+11)(3x11)

Відповідь:

(3x+11)(3x11)

Може бути так, що терміни біноміала мають загальний фактор. Якщо так, буде важко визначити ідеальні квадрати, поки ми спочатку не перерахуємо GCF.

Приклад6.4.3

Фактор:

12y275.

Рішення:

Терміни не є ідеальними квадратами. Однак зауважте, що вони мають загальний фактор. По-перше, фактор з GCF,3.

12y275=3(4y225)

Отриманий біноміальний коефіцієнт є різницею квадратів зa=2y іb=5.

12y275=3(4y225)=3(2y+5)(2y5)

Відповідь:

3(2y+5)(2y5)

Приклад6.4.4

Фактор:

49x2100y2.

Рішення:

Тут ми маємо біном з двома змінними і визнаємо, що це різниця квадратів.

49x2100y2=(7x)2(10y)2

Томуa=7x іb=10y. Підставляємо в формулу різниці квадратів.

a2b2=(a+b)(ab)49x2100y2=(7x+10y)(7x10y)

Відповідь:

(7x+10y)(7x10y)

Вправа6.4.1

Фактор:

36x21.

Відповідь

(6x+1)(6x1)

Задано будь-яке дійсне числоb, многочлен формиx2+b2 є простим.

Крім того, сума квадратівa2+b2 не має загального факторного еквівалента. Слід подбати про те, щоб не переплутати це з ідеальним квадратним триноміалом:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

Тому

(a+b)2a2+b2

Коли ступінь спеціального біноміала більше двох, нам може знадобитися застосувати формулу різниці квадратів кілька разів. Поліном повністю враховується, коли жоден з факторів не може бути врахований далі.

Приклад6.4.5

Фактор повністю:

x416.

Рішення:

Спочатку визначте, що знаходиться в квадраті:

x416=()2()2

Для цього слід згадати правило потужності для експонентів,(xm)n=xmn. Коли експоненти піднімаються до степеня, помножте їх. Маючи це на увазі, визначте, що(x2)2=x4 і напишіть

x416=(x2)2(4)2

Томуa=x2 іb=4. Підставляємо в формулу різниці квадратів.

x416=(x2+4)(x24)

На цьому етапі зверніть увагу, що коефіцієнт сам по собі(x24) є різницею двох квадратів і, таким чином, може бути додатково врахований за допомогоюa=x іb=2. Коефіцієнт(x2+4) - це сума квадратів, які не можуть бути враховані за допомогою дійсних чисел.

x416=(x2+4)(x24)=(x2+4)(x+2)(x2)

Відповідь:

(x2+4)(x+2)(x2)

Вправа6.4.2

Фактор повністю:

81x41.

Відповідь

(9x2+1)(3x+1)(3x1)

Сума і різниця кубів

Два інших спеціальних бінома, що цікавлять, - це сума і різниця кубів:

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

Ми можемо перевірити ці формули, перемноживши:

(a+b)(a2ab+b2)=a3a2b+ab2ab2+b3=a3+b3(ab)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2=a2bab2b3=a3b3

Процес факторингу суми та різниці кубів дуже схожий на процес для різниці квадратів. Спочатку визначаємо,ab а потім підставляємо у відповідну формулу. Окремі формули для суми та різниці кубів дозволяють завждиb вибиратиa і бути позитивними.

Приклад6.4.6

Фактор:

x3+8.

Рішення:

Знак плюса і те, що терміни - кубики, вказують нам, що це сума кубів.

Скріншот (340) .png
Малюнок6.4.2

Далі визначте, що відбувається в кубі.

x3+8=(x)3+(2)3

В даному випадкуa=x іb=2. Підставляємо в суму кубиків формулу.

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)x3+8=(x+2)(x2x2+22)=(x+2)(x22x+4)

Отриманий триноміал є простим, а факторинг завершений. Ми можемо перевірити цю факторизацію шляхом множення.

(x+2)(x22x+4)=x32x2+4x+2x24x+8=x32x2+4x+2x24x+8=x3+8

Відповідь:

(x2)(x22x+4)

Корисно переглянути ідеальні куби цілих чисел від1 до12. Це допоможе вам визначити суми та відмінності кубів.

13=1y3=34323=883=51233=2793=72943=64103=100053=125113=133163=216123=1728

Приклад6.4.7

Фактор:

y3125.

Рішення:

В даному випадку у нас є різниця кубиків.

Знімок екрана (341) .png
Малюнок6.4.3

Ми можемо написати

y3125=(y)3(5)3

b=5Підставляємоa=y і в формулу різниці кубиків.

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)y31258=(y5)(y2+y5+52)=(y5)(y2+5y+25)

Відповідь:

(y5)(y2+5y+25)

Завжди шукайте загальні фактори при факторингу. Якщо терміни біноміального мають GCF1, крім, то фактор, що спочатку.

Приклад6.4.8

Фактор:

54x4+128x.

Рішення:

Почніть з факторингу GCF2x.

54x4+128x=2x(27x3+64)

Отриманий біноміальний коефіцієнт являє собою суму кубів, деa=3x іb=4.

54x4+128x=2x(27x3+64)=2x(3x+4)((3x)2(3x)(4)+42)=2x(3x+4)(9x212x+16)

Відповідь:

2x(3x+4)(9x212x+16)

Приклад6.4.9

Фактор:

x3y31.

Рішення

Цей біноміал є різницею кубів з двома змінними. Визначте, що відбувається в кубі.

x3y31=(xy)3(1)3

Осьa=xy іb=1. Підставляємо у відповідну формулу і спрощуємо.

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)x3y31=(xy1)((xy)2+xy1+12)=(xy1)(x2y2+xy+1)

Відповідь:

(xy1)(x2y2+xy+1)

Вправа6.4.3

Фактор:

8x3+343.

Відповідь

(2x+7)(4x214x+49)

При факторингу завжди шукайте результуючі фактори для подальшого фактору.

Приклад6.4.10

Фактор повністю:

x664.

Рішення:

При зіткненні з біноміальним, який є одночасно різницею квадратів і кубів, як це є, візьміть за правило, щоб коефіцієнт, використовуючи різницю квадратів спочатку.

x664=(x3)2(8)2

Томуa=x3 іb=8. Підставляємо в різницю квадратів формулу.

x664=(x3+8)(x38)

Отримані два біноміальних множника є сумою і різницею кубів. Кожен можна врахувати далі.

x3+8=(x+2)(x22x+22)x38=(x2)(x2+2x+22)

Тому у нас є

x664=(x3+8)(x38)=(x+2)(x22x+4)(x2)(x2+2x+4)

Триноміальні фактори є простими, а вираз повністю враховано.

Відповідь:

(x+2)(x22x+4)(x2)(x2+2x+4)

Як вправу, спочатку врахуйте попередній приклад як різницю кубів, а потім порівняйте результати. Чому, на вашу думку, ми вважаємо за правило спочатку використовувати різницю квадратів?

Вправа6.4.4

Фактор:

x6y6.

Відповідь

(x+y)(x2xy+y2)(xy)(x2+xy+y2)

Ключові виноси

  • При факторингу спеціальних біноміалів першим кроком є визначення його як суми або різниці. Після того, як ми ідентифікуємо біноміал, ми визначаємо значенняab і підставляємо у відповідну формулу.
  • Формули для всіх спеціальних біноміалів повинні бути запам'ятовані. Крім того, щоб полегшити ідентифікацію спеціальних біноміалів, запам'ятовуйте квадрати і куби цілих чисел щонайменше12.
  • Якщо біноміал - це і різниця квадратів і кубів, то спочатку множьте його як різницю квадратів.

Вправа6.4.5 Difference of Squares

Фактор повністю.

  1. x29
  2. x2100
  3. y236
  4. y2144
  5. x2+4
  6. x25
  7. m281
  8. m264
  9. 16x29
  10. 25x24
  11. 144x21
  12. 9x2121
  13. 4y281
  14. 100y249
  15. 94x2
  16. 100x2
  17. 1y2
  18. 259y2
  19. 3x2+75
  20. 16x2+25
  21. 2x272
  22. 20x345x
  23. 48x+27x3
  24. 36x2100
  25. x2y2
  26. 25x29y2
  27. a24b2
  28. a2b236
  29. 4x2y21
  30. x2y225
  31. 2a38ab2
  32. 3a3b475ab2
  33. 100xy3+4x3y
  34. 18x3y3+32xy
  35. (x+1)2y2
  36. x2(y2)2
  37. (x3)2(y+3)2
  38. (x2+2)2(x1)2
  39. (x21)2(2x+3)2
  40. x41
  41. x4y4
  42. 16x481
  43. a4b416
  44. a416b4
  45. x81
  46. 25x81
  47. a8b2
  48. a49
  49. x8y8
  50. 81x81
  51. Висота снаряда, скинутого з64 -футової вежі, задається функцієюh(t)=16t2+64, деt позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді. (Підказка: Фактор16 спочатку.)
  52. Висота снаряда, скинутого з36 -футової вежі, задається функцієюh(t)=16t2+36, деt позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.
Відповідь

1. (x+3)(x3)

3. (y+6)(y6)

5. Прем'єр

7. (m+9)(m9)

9. (4x+3)(4x3)

11. (12x+1)(12x1)

13. (2y+9)(2y9)

15. (3+2x)(32x)

17. (1+y)(1y)

19. 3(x+5)(x5)

21. 2(x+6)(x6)

23. 3x(3x+4)(3x4)

25. (x+y)(xy)

27. (a+2b)(a2b)

29. (2xy+1)(2xy1)

31. 2a(a+2b)(a2b)

33. 4xy(x+5y)(x5y)

35. (x+1+y)(x+1y)

37. (x+y)(xy6)

39. (x2+2x+2)(x22x4)

41. (x2+y2)(x+y)(xy)

43. (a2b2+4)(ab+2)(ab2)

45. (x4+1)(x2+1)(x+1)(x1)

47. (a4+b)(a4b)

49. (x4+y4)(x2+y2)(x+y)(xy)

51. h(t)=16(t+2)(t2)

Вправа6.4.6 Sum and Difference of Cubes

Фактор повністю.

  1. x31
  2. x3+1
  3. y327
  4. y38
  5. 8y3+1
  6. 27y31
  7. 64a3125
  8. 8a3+27
  9. a3+216
  10. a3125
  11. x31000
  12. 343m31
  13. 512n3+1
  14. 8x3+343
  15. 40y3135
  16. 27y3+729
  17. 27y364
  18. x3+3
  19. 5x3+1
  20. 1y3
  21. 271,000y3
  22. 343+125a3
  23. x3y3
  24. x3+y3
  25. x3y3+125
  26. 8x3y327
  27. 27a38b3
  28. 16x3250y3
  29. 128x3+2y3
  30. 54x32y3
  31. 3a4b24ab4
  32. a3b3c31
  33. (x+1)38
  34. 8x3(x5)3
  35. (x2)3+(x+2)3
  36. (a+3)3+(b3)3
  37. x61
  38. x6+1
  39. 64a61
  40. a681b6
  41. x6y6
  42. x6+y6
Відповідь

1. (x1)(x2+x+1)

3. (y3)(y2+3y+9)

5. (2y+1)(4y22y+1)

7. (4a5)(16a2+20a+25)

9. (a+6)(a26a+36)

11. (x10)(x2+10x+100)

13. (8n+1)(64n28n+1)

15. 5(2y3)(4y2+6y+9)

17. (3y4)(9y2+12y+16)

19. Прем'єр

21. (310y)(9+30y+100y2)

23. (xy)(x2+xy+y2)

25. (xy+5)(x2y25xy+25)

27. (3a2b)(9a2+6ab+4b2)

29. 2(4x+y)(16x24xy+y2)

31. 3ab(a2b)(a2+2ab+4b2)

33. (x1)(x2+4x+7)

35. 2x(x2+12)

37. (x+1)(x2x+1)(x1)(x2+x+1)

39. (2a+1)(4a22a+1)(2a1)(4a2+2a+1)

41. (x+y)(x2xy+y2)(xy)(x2+xy+y2)

Вправа6.4.7 Discussion Board Topics

  1. Якщо біноміал потрапляє в обидві категорії, різниця квадратів і різниця кубів, що було б краще врахувати його як, і чому? Створіть приклад, який ілюструє цю ситуацію, і врахуйте її за допомогою обох формул.
  2. Що можна сказати про ступені факторів многочлена? Наведемо приклад.
  3. Складіть свою власну різницю квадратів факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.
  4. Складіть власну суму або різницю кубиків факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.
Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися