6.4: Факторинг спеціальних біноміалів

Цілі навчання

• Факторні біноміали, які є відмінностями квадратів.
• Факторні біноміали, які є сумами та відмінностями кубів.

Різниця квадратів

Біноміал - це многочлен з двома долями. Почнемо з нашого першого спеціального біноміала, який називається різницею квадратів:

\[a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\]

Щоб перевірити наведену вище формулу, помножте:

\(\begin{aligned} (a+b)(a-b)&=a^{2}-ab+ba-b^{2} \\&=a^{2}\color{red}{-ab+ab}\color{black}{-b^{2}} \\ &=a^{2}-b^{2} \end{aligned}\)

Цю формулу ми використовуємо для множення певних спеціальних біноміалів.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(x^{2}-16\).

Рішення:

Крок 1: Визначте біноміальне як різницю квадратів та визначте квадратні множники кожного члена.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Тут ми можемо написати

\(x^{2}-16=(\color{Cerulean}{x}\color{black}{)^{2}-(}\color{Cerulean}{4}\color{black}{)^{2}}\)

Терміни - квадрати\(x\) і\(4\). Звідси\(a=x\) і\(b=4\).

Крок 2: Підставте в різницю квадратів формулу.

\(\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=(a+b)(a-b) \\ &\:\:\color{Cerulean}{\:\quad\downarrow\quad\:\downarrow\quad\downarrow\quad\downarrow} \\ x^{2}-16&=(x+4)(x-4) \end{aligned}\)

Крок 3: Множте, щоб перевірити. Цей крок необов'язковий.

Відповідь:

\((x+4)(x-4)\)

Варто взяти деякий додатковий час на цей момент, щоб переглянути всі квадрати цілих чисел від\(1\) до\(12\).

\(\begin{array}{ll}{1^{2}=1}&{7^{2}=49}\\{2^{2}=4}&{8^{2}=64}\\{3^{2}=9}&{9^{2}=81}\\{4^{2}=16}&{10^{2}=100}\\{5^{2}=25}&{11^{2}=121}\\{6^{2}=36}&{12^{2}=144} \end{array}\)

Розпізнавання цих ідеальних квадратних цілих чисел допомагає прискорити процес факторингу.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(9x^{2}-121\).

Рішення:

Віднімання вказує на те, що це різниця. Крім того, ми визнаємо, що терміни є квадратами.

\(9x^{2}-121=(\color{Cerulean}{3x}\color{black}{)^{2}-(}\color{Cerulean}{11}\color{black}{)^{2}}\)

В даному випадку\(a=3x\) і\(b=11\). Підставляємо в формулу різниці квадратів.

\(\begin{aligned} a^{2}-b^{2}&=(a+b)(a-b) \\ 9x^{2}-121&=(3x+11)(3x-11) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((3x+11)(3x-11)\)

Може бути так, що терміни біноміала мають загальний фактор. Якщо так, буде важко визначити ідеальні квадрати, поки ми спочатку не перерахуємо GCF.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(12y^{2}−75\).

Рішення:

Терміни не є ідеальними квадратами. Однак зауважте, що вони мають загальний фактор. По-перше, фактор з GCF,\(3\).

\(12y^{2}-75=3(4y^{2}-25)\)

Отриманий біноміальний коефіцієнт є різницею квадратів з\(a=2y\) і\(b=5\).

\(\begin{aligned} 12y^{2}-75&=3(4y^{2}-25) \\ &=3(2y+5)(2y-5) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3(2y+5)(2y-5)\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Фактор:

\(49x^{2}−100y^{2}\).

Рішення:

Тут ми маємо біном з двома змінними і визнаємо, що це різниця квадратів.

\(49x^{2}-100y^{2}=(\color{Cerulean}{7x}\color{black}{)^{2}-(}\color{Cerulean}{10y}\color{black}{)^{2}}\)

Тому\(a=7x\) і\(b=10y\). Підставляємо в формулу різниці квадратів.

\(\begin{aligned} a^{2}-b^{2}&=(a+b)(a-b) \\ 49x^{2}-100y^{2}&=(7x+10y)(7x-10y) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((7x+10y)(7x-10y)\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(36x^{2}−1\).

Відповідь

\((6x+1)(6x−1)\)

Задано будь-яке дійсне число\(b\), многочлен форми\(x^{2}+b^{2}\) є простим.

Крім того, сума квадратів\(a^{2}+b^{2}\) не має загального факторного еквівалента. Слід подбати про те, щоб не переплутати це з ідеальним квадратним триноміалом:

\(\begin{aligned}(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b) \\ &=a^{2}+ab+ba+b^{2} \\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{aligned}\)

Тому

\[(a+b)^{2}\neq a^{2}+b^{2}\]

Коли ступінь спеціального біноміала більше двох, нам може знадобитися застосувати формулу різниці квадратів кілька разів. Поліном повністю враховується, коли жоден з факторів не може бути врахований далі.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Фактор повністю:

\(x^{4}−16\).

Рішення:

Спочатку визначте, що знаходиться в квадраті:

\(x^{4}-16=(\quad )^{2}-(\quad )^{2}\)

Для цього слід згадати правило потужності для експонентів,\((x^{m})^{^{n}}=x^{m^{n}}\). Коли експоненти піднімаються до степеня, помножте їх. Маючи це на увазі, визначте, що\((x^{2})^{^{2}}=x^{4}\) і напишіть

\(x^{4}-16=(x^{2})^{^{2}}-(4)^{2}\)

Тому\(a=x^{2}\) і\(b=4\). Підставляємо в формулу різниці квадратів.

\(x^{4}-16=(x^{2}+4)(x^{2}-4)\)

На цьому етапі зверніть увагу, що коефіцієнт сам по собі\((x^{2}−4)\) є різницею двох квадратів і, таким чином, може бути додатково врахований за допомогою\(a=x\) і\(b=2\). Коефіцієнт\((x^{2}+4)\) - це сума квадратів, які не можуть бути враховані за допомогою дійсних чисел.

\(\begin{aligned} x^{4}-16&=(x^{2}+4)(x^{2}-4) \\ &=(x^{2}+4)(x+2)(x-2) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x^{2}+4)(x+2)(x-2)\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Фактор повністю:

\(81x^{4}−1\).

Відповідь

\((9x^{2}+1)(3x+1)(3x−1)\)

Сума і різниця кубів

Два інших спеціальних бінома, що цікавлять, - це сума і різниця кубів:

\[ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) \]

\[ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \]

Ми можемо перевірити ці формули, перемноживши:

\(\begin{aligned} (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})&=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}+b^{3} \\ &=a^{3}+b^{3}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \\ (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}=a^{2}b-ab^{2}-b^{3} \\ &=a^{3}-b^{3}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Процес факторингу суми та різниці кубів дуже схожий на процес для різниці квадратів. Спочатку визначаємо,\(a\)\(b\) а потім підставляємо у відповідну формулу. Окремі формули для суми та різниці кубів дозволяють завжди\(b\) вибирати\(a\) і бути позитивними.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Фактор:

\(x^{3}+8\).

Рішення:

Знак плюса і те, що терміни - кубики, вказують нам, що це сума кубів.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Далі визначте, що відбувається в кубі.

\(x^{3}+8=(\color{Cerulean}{x}\color{black}{)^{3}+(}\color{Cerulean}{2}\color{black}{)^{3}}\)

В даному випадку\(a=x\) і\(b=2\). Підставляємо в суму кубиків формулу.

\(\begin{aligned} a^{3}+b^{3}&=(a+b)(a^{2}-a\:\:b+\:\:b^{2}) \\ &\color{Cerulean}{\:\:\quad\downarrow\:\:\quad\downarrow\quad\downarrow\:\:\quad\downarrow\:\:\:\downarrow\quad\:\:\downarrow} \\ x^{3}+8&=(x+2)(x^{2}-x\cdot 2+2^{2}) \\ &=(x+2)(x^{2}-2x+4) \end{aligned}\)

Отриманий триноміал є простим, а факторинг завершений. Ми можемо перевірити цю факторизацію шляхом множення.

\(\begin{aligned} (x+2)(x^{2}-2x+4)&= x^{3}-2x^{2}+4x+2x^{2}-4x+8 \\ &=x^{3} -\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{2x^{2}}}}\color{black}{+}\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{4x}}}\color{black}{+}\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{2x^{2}}}}\color{black}{-}\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{4x}}}\color{black}{+8} \\ &=x^{3}+8\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x-2)(x^{2}-2x+4)\)

Корисно переглянути ідеальні куби цілих чисел від\(1\) до\(12\). Це допоможе вам визначити суми та відмінності кубів.

\(\begin{array}{ll} {1^{3}=1}&{y^{3}=343}\\{2^{3}=8}&{8^{3}=512}\\{3^{3}=27}&{9^{3}=729}\\{4^{3}=64}&{10^{3}=1000}\\{5^{3}=125}&{11^{3}=1331}\\{6^{3}=216}&{12^{3}=1728} \end{array}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Фактор:

\(y^{3}-125\).

Рішення:

В даному випадку у нас є різниця кубиків.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Ми можемо написати

\(y^{3}-125=(\color{Cerulean}{y}\color{black}{)^{3}-(}\color{Cerulean}{5}\color{black}{)^{3}}\)

\(b=5\)Підставляємо\(a=y\) і в формулу різниці кубиків.

\(\begin{aligned} a^{3}-b^{3}&=(a-b)(a^{2}+a\:\:b+\:\:b^{2}) \\ &\color{Cerulean}{\:\:\quad\downarrow\:\:\quad\downarrow\quad\downarrow\:\:\quad\downarrow\:\:\:\downarrow\quad\:\:\downarrow} \\ y^{3}-1258&=(y-5)(y^{2}+y\cdot 5+5^{2}) \\ &=(y-5)(y^{2}+5y+25) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((y-5)(y^{2}+5y+25)\)

Завжди шукайте загальні фактори при факторингу. Якщо терміни біноміального мають GCF\(1\), крім, то фактор, що спочатку.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Фактор:

\(54x^{4}+128x\).

Рішення:

Почніть з факторингу GCF\(2x\).

\(54x^{4}+128x=2x(27x^{3}+64)\)

Отриманий біноміальний коефіцієнт являє собою суму кубів, де\(a=3x\) і\(b=4\).

\(\begin{aligned} 54x^{4}+128x &=2x(27x^{3}+64) \\ &=2x(3x+4)((3x)^{2}-(3x)(4)+4^{2}) \\ &=2x(3x+4)(9x^{2}-12x+16) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2x(3x+4)(9x^{2}-12x+16)\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Фактор:

\(x^{3}y^{3}-1\).

Рішення

Цей біноміал є різницею кубів з двома змінними. Визначте, що відбувається в кубі.

\(x^{3}y^{3}-1=(\color{Cerulean}{xy}\color{black}{)^{3}-(}\color{Cerulean}{1}\color{black}{)^{3}}\)

Ось\(a=xy\) і\(b=1\). Підставляємо у відповідну формулу і спрощуємо.

\(\begin{aligned} a^{3}-b^{3}&=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \\ x^{3}y^{3}-1&=(xy-1)((xy)^{2}+xy\cdot 1+1^{2}) \\ &=(xy-1)(x^{2}y^{2}+xy+1) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((xy-1)(x^{2}y^{2}+xy+1)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(8x^{3}+343\).

Відповідь

\((2x+7)(4x^{2}−14x+49)\)

При факторингу завжди шукайте результуючі фактори для подальшого фактору.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Фактор повністю:

\(x^{6}−64\).

Рішення:

При зіткненні з біноміальним, який є одночасно різницею квадратів і кубів, як це є, візьміть за правило, щоб коефіцієнт, використовуючи різницю квадратів спочатку.

\(x^{6}-64=(\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{)^{^{2}}-(}\color{Cerulean}{8}\color{black}{)^{2}}\)

Тому\(a=x^{3}\) і\(b=8\). Підставляємо в різницю квадратів формулу.

\(x^{6}-64=(x^{3}+8)(x^{3}-8)\)

Отримані два біноміальних множника є сумою і різницею кубів. Кожен можна врахувати далі.

\(\begin{aligned} x^{3}+8&=(x+2)(x^{2}-2x+2^{2}) \\ x^{3}-8&=(x-2)(x^{2}+2x+2^{2}) \end{aligned}\)

Тому у нас є

\(\begin{array}{ccccc} {x^{6}-64}&{=}&{(x^{3}+8)}&{\cdot}&{(x^{3}-8)}\\{}&{=}&{\color{Cerulean}{\overbrace{\color{black}{(x+2)(x^{2}-2x+4)}}}}&{\cdot}&{\color{Cerulean}{\overbrace{\color{black}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}}}} \end{array}\)

Триноміальні фактори є простими, а вираз повністю враховано.

Відповідь:

\((x+2)(x^{2}−2x+4)(x−2)(x^{2}+2x+4)\)

Як вправу, спочатку врахуйте попередній приклад як різницю кубів, а потім порівняйте результати. Чому, на вашу думку, ми вважаємо за правило спочатку використовувати різницю квадратів?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Фактор:

\(x^{6}−y^{6}\).

Відповідь

\((x+y)(x^{2}−xy+y2)(x−y)(x^{2}+xy+y2)\)

Ключові виноси

• При факторингу спеціальних біноміалів першим кроком є визначення його як суми або різниці. Після того, як ми ідентифікуємо біноміал, ми визначаємо значення\(a\)\(b\) і підставляємо у відповідну формулу.
• Формули для всіх спеціальних біноміалів повинні бути запам'ятовані. Крім того, щоб полегшити ідентифікацію спеціальних біноміалів, запам'ятовуйте квадрати і куби цілих чисел щонайменше\(12\).
• Якщо біноміал - це і різниця квадратів і кубів, то спочатку множьте його як різницю квадратів.

Вправа\(\PageIndex{5}\) Difference of Squares

Фактор повністю.

1. \(x^{2}−9\)
2. \(x^{2}−100 \)
3. \(y^{2}−36 \)
4. \(y^{2}−144 \)
5. \(x^{2}+4 \)
6. \(x^{2}−5 \)
7. \(m^{2}−81 \)
8. \(m^{2}−64 \)
9. \(16x^{2}−9 \)
10. \(25x^{2}−4 \)
11. \(144x^{2}−1 \)
12. \(9x^{2}−121 \)
13. \(4y^{2}−81 \)
14. \(100y^{2} −49 \)
15. \(9 − 4 x^{2}\)
16. \(100 −x^{2}\)
17. \(1 −y^{2}\)
18. \(25 − 9y^{2}\)
19. \(− 3 x^{2} +75\)
20. \(−16 x^{2} +25\)
21. \(2 x^{2} −72\)
22. \(20 x^{3} −45 x\)
23. \(−48 x +27x^{3}\)
24. \(36 x^{2} −100\)
25. \(x^{2} −y^{2}\)
26. \(25 x^{2} − 9y^{2}\)
27. \(a^{2} − 4 b^{2}\)
28. \(a^{2} b^{2} −36\)
29. \(4 x^{2}y^{2} − 1\)
30. \(x^{2}y^{2} −25\)
31. \(2 a^{3} − 8ab^{2}\)
32. \(3 a^{3} b^{4} −75ab^{2}\)
33. \(−100xy^{3} + 4x^{3}y\)
34. \(−18 x^{3}y^{3} +32xy\)
35. \((x + 1 )^{2} −y^{2}\)
36. \(x^{2}−(y − 2 )^{2}\)
37. \((x − 3 )^{2}−(y + 3 )^{2}\)
38. \((x^{2} + 2 )^{2}−(x − 1 )^{2}\)
39. \((x^{2} − 1 )^{2}−( 2 x + 3 )^{2}\)
40. \(x^{4} − 1\)
41. \(x^{4} −y^{4}\)
42. \(16 x^{4} −81\)
43. \(a^{4}b^{4}−16\)
44. \(a^{4}−16b^{4}\)
45. \(x^{8}−1\)
46. \(25x^{8}−1\)
47. \(a^{8}−b^{2}\)
48. \(a^{4}−9\)
49. \(x^{8}−y^{8}\)
50. \(81x^{8}−1 \)
51. Висота снаряда, скинутого з\(64\) -футової вежі, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+64\), де\(t\) позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді. (Підказка: Фактор\(−16\) спочатку.)
52. Висота снаряда, скинутого з\(36\) -футової вежі, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+36\), де\(t\) позначає час у секундах після його скидання. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.

Відповідь

1. \((x+3)(x−3) \)

3. \((y+6)(y−6) \)

5. Прем'єр

7. \((m+9)(m−9) \)

9. \((4x+3)(4x−3) \)

11. \((12x+1)(12x−1) \)

13. \((2y+9)(2y−9) \)

15. \((3+2x)(3−2x) \)

17. \((1+y)(1−y) \)

19. \(−3(x+5)(x−5) \)

21. \(2(x+6)(x−6) \)

23. \(3x(3x+4)(3x−4) \)

25. \((x +y)(x −y ) \)

27. \(( a + 2 b)( a − 2 b ) \)

29. \(( 2xy + 1)( 2xy − 1 ) \)

31. \(2 a ( a + 2 b)( a − 2 b ) \)

33. \(4xy (x + 5y)(x − 5y ) \)

35. \((x + 1 +y)(x + 1 −y ) \)

37. \((x +y)(x −y − 6 ) \)

39. \((x^{2} + 2 x + 2)(x^{2} − 2 x − 4 ) \)

41. \((x^{2} +y^{2} ) (x +y)(x −y ) \)

43. \(( a^{2} b^{2} + 4 ) (ab + 2)(ab − 2 ) \)

45. \((x^{4} + 1)(x^{2} + 1 ) (x + 1)(x − 1 ) \)

47. \(( a^{4} + b)( a^{4} − b ) \)

49. \((x^{4} +y^{4})(x^{2} +y^{2} ) (x +y)(x −y )\)

51. \(h ( t)=−16 ( t + 2)( t − 2 )\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Sum and Difference of Cubes

Фактор повністю.

1. \(x^{3}−1 \)
2. \(x^{3}+1 \)
3. \(y^{3}−27 \)
4. \(y^{3}−8 \)
5. \(8y^{3}+1 \)
6. \(27y^{3}−1 \)
7. \(64a^{3}−125 \)
8. \(8a^{3}+27 \)
9. \(a^{3}+216 \)
10. \(a^{3}−125 \)
11. \(x^{3}−1000 \)
12. \(343m^{3}−1 \)
13. \(512 n^{3} + 1 \)
14. \(8 x^{3} +343 \)
15. \(40y^{3} −135 \)
16. \(27y^{3} +729 \)
17. \(27y^{3} −64 \)
18. \(x^{3} + 3 \)
19. \(5 x^{3} + 1\)
20. \(1 −y^{3}\)
21. \(27 −1,000y^{3}\)
22. \(343 +125 a^{3}\)
23. \(x^{3} −y^{3}\)
24. \(x^{3} +y^{3}\)
25. \(x^{3}y^{3} +125\)
26. \(8 x^{3}y^{3} −27\)
27. \(27 a^{3} − 8 b^{3}\)
28. \(16 x^{3} −250y^{3}\)
29. \(128 x^{3} + 2y^{3}\)
30. \(54 x^{3} − 2y^{3}\)
31. \(3 a^{4} b −24ab^{4}\)
32. \(a^{3} b^{3} c^{3} − 1\)
33. \((x + 1 )^{3} − 8\)
34. \(8 x^{3}−(x − 5 )^{3}\)
35. \((x − 2 )^{3}+(x + 2 )^{3}\)
36. \(( a + 3 )^{3}+( b − 3 )^{3}\)
37. \(x^{6} − 1\)
38. \(x^{6} + 1\)
39. \(64 a^{6} − 1\)
40. \(a^{6} −81 b^{6}\)
41. \(x^{6} −y^{6}\)
42. \(x^{6}+y^{6}\)

Відповідь

1. \((x − 1 ) (x^{2} +x + 1 ) \)

3. \((y − 3 ) (y^{2} + 3 y + 9 ) \)

5. \(( 2y + 1 ) ( 4y^{2} − 2y + 1 ) \)

7. \(( 4 a − 5 ) (16 a^{2} +20 a +25 ) \)

9. \(( a + 6 ) ( a^{2} − 6 a +36 ) \)

11. \((x −10 ) (x^{2} +10 x +100 ) \)

13. \(( 8 n + 1 ) (64 n^{2} − 8 n + 1 ) \)

15. \(5 ( 2y − 3 ) ( 4y^{2} + 6y + 9 ) \)

17. \(( 3 y − 4 ) ( 9y^{2} +12y +16 ) \)

19. Прем'єр

21. \(( 3 −10y ) ( 9 +30y +100y^{2} )\)

23. \((x −y ) (x^{2} +xy +y^{2} )\)

25. \((xy + 5 ) (x^{2}y^{2} − 5xy +25 ) \)

27. \(( 3 a − 2 b ) ( 9 a^{2} + 6ab + 4 b^{2} )\)

29. \(2 ( 4 x +y ) (16 x^{2} − 4xy +y^{2} )\)

31. \(3ab(a−2b)(a^{2}+2ab+4b^{2})\)

33. \((x−1)(x^{2}+4x+7) \)

35. \(2x(x^{2}+12) \)

37. \((x+1)(x^{2}−x+1)(x−1)(x^{2}+x+1) \)

39. \((2a+1)(4a^{2}−2a+1)(2a−1)(4a^{2}+2a+1) \)

41. \((x+y)(x^{2}−xy+y^{2})(x−y)(x^{2}+xy+y^{2})\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. Якщо біноміал потрапляє в обидві категорії, різниця квадратів і різниця кубів, що було б краще врахувати його як, і чому? Створіть приклад, який ілюструє цю ситуацію, і врахуйте її за допомогою обох формул.
2. Що можна сказати про ступені факторів многочлена? Наведемо приклад.
3. Складіть свою власну різницю квадратів факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.
4. Складіть власну суму або різницю кубиків факторингу вправи та надайте відповідь. Поясніть, як ви це вирішили.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися