6.7: Програми, що включають квадратні рівняння

Цілі навчання

• Налаштуйте та вирішуйте програми, що включають зв'язки між дійсними числами.
• Налаштуйте та вирішуйте програми, що включають геометричні відносини, що включають площу та теорему Піфагора.
• Налаштовуйте і вирішуйте додатки, що стосуються висоти снарядів.

Проблеми з числом

Алгебраїчні налаштування проблем слів, з якими ми раніше стикалися, призвели до лінійних рівнянь. Коли ми перекладаємо програми на алгебраїчні налаштування в цьому розділі, налаштування призводять до квадратичних рівнянь. Так само, як і раніше, ми хочемо не покладатися на метод «вгадай і перевіряй» для вирішення додатків. Використання алгебри для вирішення завдань спрощує процес і є більш надійним.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Одне ціле число\(4\) менше подвійного іншого цілого числа, і їх добуток дорівнює\(96\). Встановіть алгебраїчне рівняння та розв'яжіть його, щоб знайти два цілих числа.

Рішення:

Спочатку визначте змінні. Уникайте двох змінних, використовуючи зв'язок між двома невідомими.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Ключова фраза, «їхній продукт є»\(96\), вказує на те, що ми повинні множити і встановити твір рівним\(96\).

\(n\cdot (2n-4)=96\)

Після того, як ми перевели задачу в математичне рівняння, ми вирішимо. У цьому випадку ми можемо вирішити факторингом. Насамперед потрібно написати рівняння в стандартному вигляді:

\(\begin{array} {cc} {n\cdot (2n-4)=96}&{\color{Cerulean}{Distribute\:n.}}\\{2n^{2}-4n=96}&{\color{Cerulean}{Subtract\:96\:from\:both\:sides.}}\\{2n^{2}-4n-96=0}&{} \end{array}\)

Далі множник повністю і встановіть кожну змінну коефіцієнт рівний нулю.

\(\begin{array}{cc}{2n^{2}-4n-96=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF,\:2.}}\\{2(n^{2}-2n-48)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:the\:resulting\:trinomial.}}\\{2(n+6)(n-8)=0}&{\color{Cerulean}{Set\:each\:variable\:factor\:equal\:to\:zero.}} \end{array}\)

\(\begin{array}{ccc}{n+6=0}&{\text{or}}&{n-8=0}\\{n=-6}&{}&{n=8} \end{array}\)

Задача вимагає двох цілих чисел, добуток яких дорівнює\(+96\). Добуток двох позитивних чисел є додатним, а добуток двох від'ємних чисел - додатним. Отже, ми можемо мати два набори рішень. Використовуйте\(2n−4\) для визначення інших цілих чисел.

\(\begin{array} {cc} {n=-6}&{n=8}\\{2n-4=2(\color{OliveGreen}{-6}\color{black}{)-4}}&{2n-4=2(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)-4}}\\{=-12-4}&{=16-4}\\{=-16}&{=12} \end{array}\)

Відповідь:

Дві множини цілих чисел вирішують цю задачу: {\(8, 12\)} та {\(−6, −16\)}. Зверніть увагу, що\((8)(12) = 96\) і\((−6)(−16) = 96\); наші рішення перевірити.

За допомогою квадратних рівнянь ми часто отримуємо два розв'язки для ідентифікованого невідомого. Хоча може бути так, що обидва є рішеннями рівняння, вони можуть не бути рішеннями проблеми. Якщо рішення не вирішує оригінальне застосування, то ми його нехтуємо.

Нагадаємо, що послідовні непарні і парні цілі числа розділені двома одиницями.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Добуток двох послідовних натуральних непарних чисел дорівнює\(99\). Знайти цілі числа.

Рішення:

\(n\)Дозволяти представляти перше натуральне непарне число.

\(\color{OliveGreen}{n+2}\)Дозволяти представляти наступне додатне непарне число.

Ключова фаза, «продукт... становить 99», вказує на те, що ми повинні помножити і встановити добуток рівним\(99\).

\(n\cdot (n+2)=99\)

Перепишіть квадратне рівняння в стандартній формі і вирішуйте методом факторингу.

\(\begin{aligned} n^{2}+2n&=99 \\ n^{2}+2n-99&=0 \\ (n-9)(n+11)&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{n-9=0}&{\text{or}}&{n+11=0}\\{n=9}&{}&{n=-11} \end{array}\)

Тому що проблема запитує натуральні числа,\(n=9\) є єдиним рішенням. Назад замінник для визначення наступного непарного цілого числа.

\(\begin{aligned} n+2&=\color{OliveGreen}{9}\color{black}{+2} \\ &=11 \end{aligned}\)

Відповідь:

Послідовні натуральні непарні цілі числа -\(9\) і\(11\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

За даними двох послідовних натуральних непарних чисел, добуток більшого і подвоєного меншого дорівнює\(70\). Знайти цілі числа.

Рішення:

\(n\)Дозволяти представляти менше додатне непарне число.

\(n+2\)Дозволяти представляти наступне додатне непарне число.

Ключова фраза «в два рази менше» може бути переведена на\(2n\). Фраза «product... is 70» вказує на те, що ми повинні помножити це на більше непарне число і встановити добуток рівним\(70\).

\((n+2)\cdot 2n=70\)

Вирішити шляхом факторингу.

\(\begin{array}{cc}{(n+2)\cdot 2n=70}&{\color{Cerulean}{Distribute.}}\\{2n^{2}+4n=70}&{\color{Cerulean}{Subtract\:70\:from\:both\:sides.}}\\{2n^{2}+4n-70=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF,\:2.}}\\{2(n^{2}+2n-35)=0}&{\color{Cerulean}{Factor\:the\:resulting\:trinomial.}}\\{2(n-5)(n+7)=0}&{\color{Cerulean}{Set\:each\:variable\:factor\:equal\:to\:zero.}} \end{array}\)

\(\begin{array}{ccc}{n-5=0}&{\text{or}}&{n+7=0}\\{n=5}&{}&{n=-7} \end{array}\)

Тому що проблема запитує натуральні числа,\(n=5\) є єдиним рішенням.

Назад підставляємо в\(n + 2\), щоб визначити наступне непарне ціле число.

\(\begin{aligned} n+2&=\color{OliveGreen}{5}\color{black}{+2}\\&=7 \end{aligned}\)

Відповідь:

Додатні непарні цілі числа -\(5\) і\(7\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(168\). Знайти цілі числа.

Відповідь

Додатні парні цілі числа -\(12\) і\(14\).

Проблеми геометрії

При роботі з проблемами геометрії корисно намалювати малюнок. Нижче наведені деякі формули області, які ви повинні знати. (Нагадаємо, що\(π≈3.14\).)

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Площа прямокутника:	\(A=l\cdot w\)
Площа квадрата:	\(A=s^{2}\)
Площа трикутника:	\(A=\frac{1}{2}bh\)
Площа кола:	\(A=\pi r^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Пол прямокутної кімнати має довжину, яка в\(4\) футах більше, ніж в два рази більше ширини. Якщо загальна площа підлоги дорівнює\(240\) квадратним футам, то знайдіть розміри статі.

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте формулу\(A=l⋅w\) і той факт, що площа\(240\) квадратних футів, щоб встановити алгебраїчне рівняння.

\(\begin{aligned} A&=l\cdot w \\ \color{OliveGreen}{240}&\color{black}{=(}\color{OliveGreen}{2w+4}\color{black}{)\cdot w} \end{aligned}\)

Вирішити шляхом факторингу.

\(\begin{array} {ccc} {w-10=0}&{\text{or}}&{w+12=0} \\{w=10}&{}&{w=-12} \end{array}\)

На даний момент у нас є дві можливості для ширини прямокутника. Однак, оскільки негативна ширина не визначена, вибирайте позитивне рішення,\(w=10\). Назад підставляємо, щоб знайти довжину.

\(\begin{aligned} 2w+4&=2(\color{OliveGreen}{10}\color{black}{)+4} \\ &=20+4 \\ &=24 \end{aligned}\)

Відповідь:

Ширина -\(10\) ноги, а довжина -\(24\) ноги.

Важливо включити правильні одиниці в підсумкове подання відповіді. У попередньому прикладі не було б особливого сенсу говорити про ширину\(10\). Обов'язково вкажіть, що ширина -\(10\) ноги.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Висота трикутника в\(3\) дюймах менше ніж в два рази більше довжини його основи. Якщо загальна площа трикутника дорівнює\(7\) квадратним дюймам, то знайдіть довжини підстави і висоту.

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте формулу\(A=\frac{1}{2}bh\) і той факт, що площа\(7\) квадратних дюймів, щоб встановити алгебраїчне рівняння.

\(\begin{aligned} A&=\frac{1}{2} b\cdot h \\ \color{OliveGreen}{7}&\color{black}{=\frac{1}{2}b(\color{OliveGreen}{2b-3}\color{black}{)}} \end{aligned}\)

Щоб уникнути дробових коефіцієнтів, помножте обидві сторони на,\(2\) а потім перепишіть квадратне рівняння в стандартному вигляді.

Коефіцієнт, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним нулю.

\(\begin{array}{ccc}{2b-7=0}&{\text{or}}&{b+2=0}\\{2b=7}&{}&{b=-2}\\{b=\frac{7}{2}}&{}&{} \end{array}\)

При цьому нехтуйте негативною відповіддю, довжина основи -\(\frac{7}{2}\) дюйми завдовжки. Використовуйте\(2b−3\) для визначення висоти трикутника.

Відповідь:

База вимірює\(\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}\) дюйми, а висота -\(4\) дюйми.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Підставою трикутника є\(5\) одиниці менше, ніж в два рази більше висоти. Якщо площа\(75\) квадратних одиниць, то яка довжина підстави і висота?

Відповідь

Висота -\(10\) одиниці, а основа -\(15\) одиниці.

Нагадаємо, що прямокутний трикутник - це трикутник, де один з кутів вимірює\(90\)°. Сторона, протилежна прямому куту, є найдовшою стороною трикутника і називається гіпотенузою. Теорема Піфагора дає нам зв'язок між катетами і гіпотенузою будь-якого прямокутного трикутника, де\(a\) і\(b\) є довжинами катетів і\(c\) є довжиною гіпотенузи:

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

З огляду на певні співвідношення, ми використовуємо цю теорему при визначенні довжин сторін прямих трикутників.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює\(10\) дюймам. Якщо коротка нога на\(2\) дюйми менше довгої ноги, то знайдіть довжини ніг.

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

З огляду на, що гіпотенуза вимірює\(10\) дюйми, підставляємо її значення в теорему Піфагора і отримуємо квадратне рівняння через\(x\).

\(\begin{aligned} a^{2}+b^{2}&=c^{2} \\ (\color{OliveGreen}{x-2}\color{black}{)^{2}+}\color{OliveGreen}{x}\color{black}{^{2}}&=\color{OliveGreen}{10}\color{black}{^{2}} \end{aligned}\)

Помножте і перепишіть рівняння в стандартному вигляді.

\(\begin{aligned} (x-2)^{2}+x^{2}&=10^{2} \\ x^{2}-4x+4+x^{2}&=100 \\ 2x^{2}-4x-96&=0 \end{aligned}\)

Після того, як він буде в стандартному вигляді, множник і встановлюємо кожен коефіцієнт змінної рівним нулю.

\(\begin{aligned} 2x^{2}-4x-96&=0\\ 2(x^{2}-2x-48)&=0 \\ 2(x+6)(x-8)&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{x+6=0}&{\text{or}}&{x-8=0}\\{x=-6}&{}&{x=8} \end{array}\)

Оскільки довжина не може бути негативною, нехтуйте негативною відповіддю. У цьому випадку довга нога вимірює\(8\) дюйми. Використовуйте\(x−2\) для визначення довжини короткої ноги.

\(\begin{aligned} x-2&=\color{OliveGreen}{8}\color{black}{-2} \\ &=6 \end{aligned}\)

Відповідь:

Коротка нога вимірює\(6\) дюйми, а довга нога вимірює\(8\) дюйми.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Одна ніжка прямокутного трикутника вимірює\(3\) сантиметри. Гіпотенуза прямокутного трикутника вимірює\(3\) сантиметри менше ніж в два рази більше довжини невідомого катета. Знайдіть міру всіх сторін трикутника.

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Щоб встановити алгебраїчне рівняння, ми використовуємо теорему Піфагора.

\(\begin{aligned} a^{2}+b^{2}&=c^{2} \\ \color{OliveGreen}{3}\color{black}{^{2}+}\color{OliveGreen}{x}\color{black}{^{2}}&=(\color{OliveGreen}{2x-3}\color{black}{)^{2}} \end{aligned}\)

Вирішити шляхом факторингу.

\(\begin{aligned} 3^{2}+x^{2}&=(2x-3)^{2} \\ 9+x^{2}&=4x^{2}-12x+9 \\ 0&=3x^{2}-12x \\ 0&=3x(x-4) \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{3x=0}&{\text{or}}&{x-4=0}\\{x=0}&{}&{x=4} \end{array}\)

Нехтування\(0\). Довжина невідомої ніжки -\(4\) сантиметри. \(2x−3\)Використовують для визначення довжини гіпотенузи.

Відповідь:

Сторони трикутника вимірюють\(3\) сантиметри,\(4\) сантиметри і\(5\) сантиметри.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Гіпотенуза прямокутного трикутника вимірює\(13\) одиниці виміру. Якщо одна нога\(2\) одиниць більше, ніж в два рази більше, ніж інша, то знайдіть довжину кожної ноги.

Відповідь

Дві ноги вимірюють\(5\) одиниці та\(12\) одиниці виміру.

Проблеми зі снарядами

Висоту об'єкта, запущеного вгору, ігноруючи ефекти опору повітря, можна змоделювати за такою формулою:

\[\text{height}=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0}\]

Використовуючи позначення функцій, що є більш доречним, ми маємо

\[h(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0}\]

За допомогою цієї формули висоту можна розрахувати в будь-який момент часу\(t\) після запуску об'єкта. Коефіцієнти представляють наступне:

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

\(-\frac{1}{2}g\)	Буква\(g\) являє собою прискорення за рахунок сили тяжіння.
\(v_{0}\)	«\(v\)-naught» представляє початкову швидкість об'єкта.
\(s_{0}\)	«\(s\)-naught» представляє початкову висоту, з якої запускається об'єкт.

Розглядаються лише проблеми, де прискорення за рахунок гравітації може бути виражено як\(g=32\) ft/sec\(^{2}\). Тому в цій секції час буде вимірюватися в секундах, а висота в футах. Звичайно, хоча, формула дійсна з використанням одиниць, відмінних від цих.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Висота снаряда, запущеного вгору зі швидкістю\(32\) футів/секунду з висоти\(128\) ніг, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+32t+128\). Скільки часу потрібно, щоб вдарити об землю?

Рішення:

Неефективний метод знаходження часу, щоб вдаритися об землю, - просто почати ворожіння часом і оцінювати. Для цього побудуйте діаграму.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Використовуйте таблицю, щоб накидати висоту снаряда з плином часу.

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Бачимо, що за\(4\) лічені секунди снаряд потрапляє в землю. Зверніть увагу, що коли це відбувається, висота дорівнює\(0\). Тепер нам потрібно вирішити цю задачу алгебраїчним шляхом. Щоб знайти рішення алгебраїчно, використовуйте той факт, що висота - це\(0\) коли об'єкт потрапляє на землю. Потрібно знайти час\(t\), коли\(h(t)=0\).

\(h(t)=-16t^{2}+32t+128 \\ \color{Cerulean}{\downarrow} \\ 0 =-16t^{2}+32t+128\)

Вирішити рівняння шляхом факторингу

\(\begin{aligned} 0 &=-16t^{2}+32t+128 \\ 0 &=-16(t^{2}-2t-8) \\ 0&=-16(t-4)(t+2) \end{aligned}\)

Тепер встановіть кожну змінну коефіцієнт на нуль.

\(\begin{array}{ccc}{t-4=0}&{\text{or}}&{t+2=0}\\{t=4}&{}&{t=-2} \end{array}\)

Як і очікувалося, снаряд б'є об землю за\(t=4\) лічені секунди. \(−2\)Ігнорування як рішення, оскільки негативний час не визначено.

Відповідь:

Снаряд потрапляє в землю через кілька\(4\) секунд після його запуску.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Висота певної книги, опущеної з вершини будівлі\(144\) ноги, задається\(h(t)=−16t^{2}+144\). Скільки часу потрібно, щоб вдарити об землю?

Рішення:

Знайдіть час,\(t\) коли висота\(h(t)=0\).

\(\begin{aligned}0&=-16t^{2}+144 \\ 0&=-16(t^{2}-9) \\ 0&=-16(t+3)(t-3) \end{aligned}\)

\(\begin{array}{ccc}{t+3=0}&{\text{or}}&{t-3=0}\\{t=-3}&{}&{t=3} \end{array}\)

Відповідь:

Книга займає\(3\) секунди, щоб вдарити землю при падінні з вершини будівлі\(144\) -foot.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Висота снаряда, вистріленого прямо в повітря з землі, задається\(h(t)=−16t^{2}+80t\). Скільки часу потрібно, щоб повернутися на землю?

Відповідь

Буде потрібно 5 секунд, щоб повернутися на землю.

Ключові винос

• Найкраще перевести задачу слова в математичну установку, а потім вирішити за допомогою алгебри. Уникайте використання методу «вгадай і перевіряй» рішення додатків у цьому розділі.
• При вирішенні додатків переконайтеся, що ваші рішення мають сенс в контексті питання. Наприклад, якщо ви хочете знайти довжину підстави трикутника, то ви б нехтували будь-якими негативними рішеннями.
• Важливо визначити кожну змінну та стан у реченні, що представляє кожна змінна. Часто корисно намалювати малюнок.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Number Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Одне ціле число в п'ять разів інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(80\), то знайдіть цілі числа.
2. Одне ціле число в чотири рази інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(36\), то знайдіть цілі числа.
3. Ціле число - це одне більше, ніж чотири рази інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(39\), то знайдіть цілі числа.
4. Ціле число\(3\) більше, ніж інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(130\), то знайдіть цілі числа.
5. Число\(2\) менше, ніж в два рази інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(220\), то знайдіть цілі числа.
6. Ціле число\(3\) більше ніж в два рази інше. Якщо добуток двох цілих чисел є\(90\), то знайдіть цілі числа.
7. Одне ціле число -\(2\) одиниці більше, ніж інше. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює п'ять разів більше, то знайдіть два цілих числа.
8. Додатне ціле число\(1\) менше, ніж удвічі інше. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює п'ятнадцять разів менше, то знайдіть два цілих числа.
9. Додатне число\(3\) більше, ніж удвічі менше натуральне число. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює шість разів більше, то знайдіть цілі числа.
10. Одне натуральне число\(3\) більше, ніж інше. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює дванадцять разів менше, то знайдіть цілі числа.
11. Ціле число\(3\) більше, ніж інше. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює\(2\) більш ніж в чотири рази їх сумі, то знайдіть цілі числа.
12. Ціле число\(5\) більше, ніж інше. Якщо добуток двох цілих чисел дорівнює\(2\) більше дворазової їх суми, то знайдіть цілі числа.
13. Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(120\). Знайти цілі числа.
14. Добуток двох послідовних натуральних непарних чисел дорівнює\(99\). Знайти цілі числа.
15. Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(110\). Знайти цілі числа.
16. Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(42\). Знайти цілі числа.
17. Добуток двох послідовних натуральних непарних чисел дорівнює\(1\) меншій, ніж сім разів сума цілих чисел. Знайти цілі числа.
18. Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(22\) більш ніж одинадцяти разів сумі цілих чисел. Знайти цілі числа.
19. Сума квадратів двох послідовних натуральних непарних чисел дорівнює\(74\). Знайти цілі числа.
20. Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(100\). Знайти цілі числа.
21. Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(265\). Знайти цілі числа.
22. Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює\(181\). Знайти цілі числа.
23. Для двох послідовних натуральних непарних чисел добуток вдвічі менше і більше\(126\). Знайти цілі числа.
24. Для двох послідовних натуральних чисел добуток меншого і вдвічі більшого дорівнює\(160\). Знайти цілі числа.

Відповідь

1. {\(4, 20\)} або {\(−4, −20\)}

3. \(3, 13\)

5. {\(11, 20\)} або {\(−22, −10\)}

7. {\(5, 7\)} або {\(−2, 0\)}

9. \(6, 15\)

11. {\(7, 10\)} або {\(−2, 1\)}

13. \(10, 12\)

15. \(10, 11\)

17. \(13, 15\)

19. \(5, 7\)

21. \(11, 12\)

23. \(7, 9\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Geometry Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Ширина прямокутника на\(7\) фути менше його довжини. Якщо площа прямокутника дорівнює\(170\) квадратним футам, то знайдіть довжину і ширину.
2. Довжина прямокутника на\(2\) фути більше його ширини. Якщо площа прямокутника дорівнює\(48\) квадратним футам, то знайдіть довжину і ширину.
3. Ширина прямокутника на\(3\) одиниці менше довжини. Якщо площа -\(70\) квадратні одиниці, то знайдіть розміри прямокутника.
4. Ширина прямокутника вимірює половину довжини. Якщо площа\(72\) квадратних футів, то знайдіть розміри прямокутника.
5. Довжина прямокутника вдвічі перевищує його ширину. Якщо площа прямокутника дорівнює\(72\) квадратним дюймам, то знайдіть довжину і ширину.
6. Довжина прямокутника в три рази перевищує його ширину. Якщо площа прямокутника дорівнює\(75\) квадратним сантиметрам, то знайдіть довжину і ширину.
7. Довжина прямокутника на\(2\) дюйми більше його ширини. Площа прямокутника дорівнює\(12\) дюймам більше, ніж в три рази більше периметра. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.
8. Довжина прямокутника на\(3\) метри більше, ніж в два рази більше ширини. Площа прямокутника дорівнює\(10\) метрам менше, ніж в три рази більше периметра. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.
9. Рівномірна межа повинна бути розміщена навколо\(8\) -inch-by-\(10\) -inch зображення. Якщо загальна площа, включаючи кордон, повинна бути\(224\) квадратними дюймами, то наскільки широкою повинна бути межа?

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

10. \(2\)-футовий цегляний кордон будується навколо квадратної цементної плити. Якщо загальна площа, включаючи кордон, становить\(121\) квадратні фути, то які розміри плити перекриття?

11. Площа фоторамки, включаючи межу шириною\(2\) -дюйм, становить\(99\) квадратні дюйми. Якщо ширина внутрішньої області на\(2\) дюйми більше її довжини, то знайдіть розміри внутрішньої області.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

12. Коробку можна виготовити, вирізавши кути і склавши по краях квадратний лист картону. Надано шаблон для картонної коробки висотою в\(2\) дюйми. Яка довжина кожної сторони картонного листа, якщо обсяг коробки повинен бути\(50\) кубічними дюймами?

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

13. Висота трикутника на\(3\) дюйми більше довжини його підстави. Якщо площа трикутника дорівнює\(44\) квадратним дюймам, то знайдіть довжину його підстави і висоту.

14. Висота трикутника на\(4\) одиниці менше довжини підстави. Якщо площа трикутника -\(48\) квадратні одиниці, то знайдіть довжину його підстави і висоту.

15. Основа трикутника вдвічі перевищує його висоту. Якщо площа\(36\) квадратних сантиметрів, то знайдіть довжину її підстави і висоту.

16. Висота трикутника в три рази перевищує довжину його підстави. Якщо площа\(73\frac{1}{2}\) квадратних футів, то знайдіть довжину підстави і висоту.

17. Висота трикутника на\(1\) одиницю більше довжини його підстави. Якщо площа\(5\) одиниць більше, ніж в чотири рази перевищує висоту, то знайдіть довжину підстави і висоту трикутника.

18. Основа трикутника в\(4\) рази перевищує його висоту. Якщо площа\(3\) одиниць більше, ніж в п'ять разів перевищує висоту, то знайдіть довжину підстави і висоту трикутника.

19. Діагональ прямокутника вимірює\(5\) дюйми. Якщо довжина на\(1\) дюйм більше його ширини, то знайдіть розміри прямокутника.

20. Діагональ прямокутника вимірює\(10\) дюйми. Якщо ширина на\(2\) дюйми менше довжини, то знайдіть площу прямокутника.

21. Якщо сторони прямокутного трикутника є послідовними парними цілими числами, то які їх міри?

22. Гіпотенуза прямокутного трикутника -\(13\) одиниці. Якщо довжина однієї ноги\(2\) більше, ніж в два рази більше іншої, то яка їх довжина?

23. Найкоротший ніжок прямокутного трикутника вимірює\(9\) сантиметри, а гіпотенуза вимірює\(3\) сантиметри більше, ніж довший катет. Знайти довжину гіпотенузи.

24. Довга ніжка прямокутного трикутника вимірює\(24\) сантиметри, а гіпотенуза вимірює\(4\) сантиметри більше в три рази коротку ніжку. Знайти довжину гіпотенузи.

Відповідь

1. Довжина:\(17\) стопи; ширина:\(10\) стопи

3. Довжина:\(10\) одиниці; ширина:\(7\) одиниці

5. Довжина:\(12\) дюйми; ширина:\(6\) дюйми

7. Довжина:\(14\) дюйми; ширина:\(12\) дюйми

9. \(3\)дюймів

11. \(5\)дюйми на\(7\) дюйми

13. База:\(8\) дюйми; висота:\(11\) дюйми

15. Основа:\(12\) сантиметри; висота:\(6\) сантиметри

17. Основа:\(9\) одиниці виміру; висота:\(10\) одиниці

19. \(3\)дюйми на\(4\) дюйми

21. \(6\)одиниці,\(8\) одиниці та\(10\) одиниці

23. \(15\)сантиметри

Вправа\(\PageIndex{6}\) Projectile Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Висота снаряда, запущеного вгору зі швидкістю\(32\) футів/секунду з висоти\(48\) ніг, задається функцією\ (h (t) =−16t^ {2} +32t+48. Скільки часу знадобиться снаряд, щоб потрапити в землю?
2. Висота снаряда, запущеного вгору зі швидкістю\(16\) футів/секунду з висоти\(192\) ніг, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+16t+192\). Скільки часу знадобиться, щоб вдарити об землю?
3. Об'єкт, запущений вгору зі швидкістю\(64\) футів/секунду з висоти\(80\) ніг. Скільки часу знадобиться снаряд, щоб потрапити в землю?
4. Об'єкт, запущений вгору зі швидкістю\(128\) футів/секунду з висоти\(144\) ніг. Скільки часу знадобиться снаряд, щоб потрапити в землю?
5. Висота об'єкта, опущеного з вершини будівлі\(64\) -фут, задається\(h(t)=−16t^{2}+64\). Скільки часу знадобиться об'єкту, щоб вдаритися об землю?
6. Висота об'єкта, що впав з літака під\(1,600\) ноги, задається\(h(t)=−16t^{2}+1,600\). Скільки часу знадобиться об'єкту, щоб вдаритися об землю?
7. Об'єкт скидається зі сходів на висоті\(16\) ніг. Скільки часу знадобиться, щоб вдарити об землю?
8. Об'єкт скидається з будівлі\(144\) -foot. Скільки часу знадобиться, щоб вдарити об землю?
9. Висота снаряда, вистріляного прямо в повітря з землі на\(128\) футах в секунду, задається\(h(t)=−16t^{2}+128t\). Скільки часу потрібно, щоб повернутися на землю?
10. Бейсбол, кинутий в повітря з землі в\(32\) футів/секунду, дається\(h(t)=−16t^{2}+32t\). Скільки часу потрібно, щоб повернутися на землю?
11. Як довго це займе бейсбол,\(48\) кинутий у повітря на ноги/секунду, щоб повернутися на землю?
12. Футбол піднімають в повітря ногами\(80\) в секунду. Розрахуйте, як довго він буде висіти в повітрі.

Відповідь

1. \(3\)секунд

3. \(5\)секунд

5. \(2\)секунд

7. \(1\)другий

9. \(8\)секунд

11. \(3\)секунд

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. Досліджуйте і обговоріть життя Піфагора.
2. Якщо сторони квадрата подвоюються, то в який коефіцієнт збільшується площа? Чому?
3. Створіть власну задачу геометрії, пов'язану з площею прямокутника або трикутника. Опублікуйте питання та повне рішення на дошці обговорень.
4. Запишіть свою стратегію налаштування та вирішення проблем зі словами. Поділіться своєю стратегією на дошці обговорень.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися