6.3: Факторингові термінали форми ax²+bx+c

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58040

Anonymous
LibreTexts

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Факторні триноміали форми\(ax^{2}+bx+c\).
Факторні триноміали із загальним фактором.

Факторинг Тримінал форми\(ax^{2}+bx+c\)

Факторинг триноміалів форми\(ax^{2}+bx+c\) може бути складним завданням, оскільки на середньострокову перспективу впливають фактори обох\(a\) і\(c\). Щоб проілюструвати це, розглянемо наступний факторний триноміал:

\(10x^{2}+17x+3=(2x+3)(5x+1)\)

Ми можемо помножити, щоб переконатися, що це правильна факторизація.

\(\begin{aligned} (2x+3)(5x+1)&=10x^{2}+2x+15x+3 \\ &=10x^{2}+17x+3\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Як ми бачили раніше, добуток перших членів кожного біноміала дорівнює першому члену триноміала. Середній член триноміала - це сума добутків зовнішнього і внутрішнього членів біноміалів. Добуток останніх членів кожного біноміала дорівнює останньому члену триноміала. Візуально ми маємо наступне:

Скріншот (333) .png — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Загалом,

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{a}\color{black}{x^{2}+}\color{Cerulean}{b}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{c}&= (px+m)(qx+n) \\ &=pqx^{2}+pnx+qmx+mn \\ &=\color{Cerulean}{pq}\color{black}{x^{2}+}\color{Cerulean}{(pn+qm)}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{mn} \end{aligned}\)

Це дає нам,

\[a=pq\quad\text{and}\quad b=pn+qm,\quad\text{where}\quad c=mn\]

Коротше кажучи, коли провідний коефіцієнт триноміала є чимось іншим\(1\), буде більше уваги при визначенні факторів методом проб і помилок. Ключ полягає в розумінні того, як виходить середній термін. Розмножуємо\((2x+5)(3x+7)\) і уважно стежимо за формуванням середньоріччя.

\(\begin{array}{ccc} {(\color{Cerulean}{2x}\color{black}{+}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)(3x+7)=\color{Cerulean}{2x}\color{black}{\cdot 3x}}}&{\underbrace{+\color{Cerulean}{2x}\color{black}{\cdot 7+}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{\cdot 3x}}}&{+\color{OliveGreen}{5}\color{black}{\cdot 7}} \\ {}&{\color{Cerulean}{middle\:term}}&{} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=6x^{2}+14x+15x+35 \\ &=6x^{2}+29x+35 \end{aligned}\)

Якщо думати про метод FOIL для множення біноміалів, то середній член виходить з суми внутрішнього добутку і зовнішнього добутку. У цьому випадку\(14x+15x=29x\), як показано нижче:

Скріншот (334) .png — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

З цієї причини потрібно шукати добуток факторів першого і останнього членів, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокового. Наприклад, щоб фактор\(6x^{2}+29x+35\), подивіться на фактори\(6\) і\(35\).

\(\begin{array}{ccc}{6=1\cdot 6}&{\quad}&{35=1\cdot 35}\\{=\color{OliveGreen}{2\cdot 3}}&{\quad}&{=\color{OliveGreen}{5\cdot 7}} \end{array}\)

Комбінація, яка виробляє коефіцієнт середнього терміну, є\(2⋅7+3⋅5=14+15=29\). Переконайтеся, що зовнішні члени мають коефіцієнти\(2\) і\(7\), і що внутрішні члени мають коефіцієнти\(5\) і\(3\). Використовуйте цю інформацію, щоб зарахувати тріноміал:

\(\begin{aligned} 6x^{2}+29x+35&=(2x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(3x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=(2x+5)(3x+7) \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(3x^{2}+7x+2\).

Рішення:

Оскільки провідний коефіцієнт і останній член є простими, існує лише один спосіб коефіцієнта кожного.

\(3=1\cdot 3\quad\text{and}\quad 2=1\cdot 2\)

Почніть з написання факторів першого члена\(3x^{2}\), наступним чином:

\(3x^{2}+7x+2=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(3x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Середній і останній термін є позитивними; тому фактори\(2\) вибираються як позитивні числа. При цьому єдиний вибір - в яку угруповання розмістити ці фактори.

\((x+1)(3x+2)\quad\text{or}\quad (x+2)(3x+1)\)

Визначте, яка групування є правильною, множивши кожен вираз.

\(\begin{aligned} (x+1)(3x+2)&=3x^{2}+2x+3x+2 \\ &=3x^{2}+5x+2\quad\color{red}{x}\\(x+2)(3x+1)&=3x^{2}+x+6x+2 \\ &=3x^{2}+7x+2\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що ці продукти відрізняються тільки середніми термінами. Також зверніть увагу, що середній термін - це сума внутрішнього і зовнішнього продукту, як показано нижче:

Скріншот (335) .png — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Відповідь:

\((x+2)(3x+1)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(12x^{2}+38x+20\).

Рішення:

Спочатку розглянемо фактори першого і останнього термінів.

\(\begin{array}{ccc}{12=1\cdot 12}&{\quad}&{20=1\cdot 20}\\{=2\cdot 6}&{\quad}&{=2\cdot 10}\\{=3\cdot 4}&{\quad}&{=4\cdot 5} \end{array}\)

Шукаємо добуток факторів, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокового,\(38\). Для стислості розумовий процес ілюструється, починаючи з факторів\(2\) і\(6\). Факторинг починається в цей момент з першого терміну.

\(12x^{2}+38x+20=(2x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(6x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Ми шукаємо чинники 20, які поряд з факторами 12 виробляють середній термін 38х

\(\begin{array}{lll} {Factors\:of\:20}&{Possible}&{factorization}\\{\color{Cerulean}{1\cdot 20}}&{(2x+1)(6x+20)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow 46x}}\\{\color{Cerulean}{1\cdot 20}}&{(2x+20)(6x+1)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow 122x}}\\{\color{Cerulean}{2\cdot 10}}&{(2x+2)(6x+10)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow 32x}}\\{\color{Cerulean}{2\cdot 10}}&{(2x+10)(6x+2)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow 64x}}\\{\color{Cerulean}{4\cdot 5}}&{(2x+4)(6x+5)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow 34x}}\\{\color{Cerulean}{4\cdot 5}}&{\color{OliveGreen}{(2x+5)(6x+4)}}&{\color{OliveGreen}{middle\:term\Rightarrow 38x}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Тут остання комбінація виробляє середній термін\(38x\).

Знімок екрана (336) .png — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Відповідь:

\((2x+5)(6x+4)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(10x^{2}−23x+6\).

Рішення

Спочатку розглянемо фактори першого і останнього термінів.

\(\begin{array}{ccc}{10=1\cdot 10}&{\quad}&{6=1\cdot 6}\\{=2\cdot 5}&{\quad}&{=2\cdot 3} \end{array}\)

Ми шукаємо добуток факторів, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокової,\(−23\). Факторинг починається з цього моменту з двох наборів порожніх дужок:

\(10x^{2}-23x+6=(\quad )(\quad )\)

Оскільки останній термін позитивний, а середній - негативний, ми знаємо, що обидва фактори останнього члена повинні бути негативними. Тут ми перерахуємо всі можливі комбінації з факторами\(10x^{2}=2x⋅5x\).

\(10x^{2}-23x+6=(2x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(5x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

\(\begin{array}{ll}{(2x-1)(5x-6)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -17x}}\\{(2x-6)(5x-1)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -32x}}\\{(2x-2)(5x-3)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -16x}}\\{(2x-3)(5x-2)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -19x}} \end{array}\)

Немає комбінації, яка виробляє середній термін\(−23x\). Потім перейдемо до факторів\(10x^{2}=10x⋅x\) і перерахуємо всі можливі комбінації:

\(10x^{2}-23x+6=(10x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

\(\begin{array}{ll}{(10x-1)(x-6)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -61x}}\\{(10x-6)(x-1)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -162x}}\\{(10x-2)(x-3)}&{\color{Cerulean}{middle\:term\Rightarrow -32x}}\\{\color{OliveGreen}{(10x-3)(x-2)}}&{\color{OliveGreen}{middle\:term\Rightarrow -23x}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

І ми можемо написати

Знімок екрана (337) .png — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Відповідь:

\((10x-3)(x-2)\). Повна перевірка залишається за зчитувачем.

Ми можемо скоротити значну частину здогадок, пов'язаних з факторингом, якщо врахувати всі фактори першого та останнього термінів та їх продукцію.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Фактор:

\(5x^{2}+38x-16\).

Рішення:

Почнемо з факторів\(5\) і\(16\).

\(\begin{array}{cc}{}&{16=1\cdot 16}\\{5=1\cdot 5}&{=2\cdot 8}\\{}&{=4\cdot 4} \end{array}\)

Оскільки провідний коефіцієнт є простим, ми можемо почати з наступного:

\(5x^{2}+38x-16=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(5x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Ми шукаємо продукти з факторів 5 і 16, які могли б додати до 38.

\(\begin{array}{lll}{Factors\:of\:16}&{Possible}&{products}\\{\color{Cerulean}{1\cdot 16}}&{1\cdot\color{Cerulean}{1}\:\color{black}{and\: 5}\cdot\color{Cerulean}{16}}&{\color{Cerulean}{products\Rightarrow\:1\:and\:80}}\\{\color{Cerulean}{1\cdot 16}}&{1\cdot \color{Cerulean}{16}\:\color{black}{and\:5}\cdot\color{Cerulean}{1}}&{\color{Cerulean}{products\Rightarrow\:16\:and\:5}}\\{\color{Cerulean}{2\cdot 8}}&{1\cdot\color{Cerulean}{2}\:\color{black}{and\:5}\cdot\color{Cerulean}{8}}&{\color{OliveGreen}{products\Rightarrow\:2\:and\:40}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}\\{\color{Cerulean}{2\cdot 8}}&{1\cdot\color{Cerulean}{8}\:\color{black}{and\:5}\cdot\color{Cerulean}{2}}&{\color{Cerulean}{products\Rightarrow\:8\:and\:10}}\\{\color{Cerulean}{4\cdot 4}}&{1\cdot\color{Cerulean}{4}\:\color{black}{and\:5}\cdot\color{Cerulean}{4}}&{\color{Cerulean}{products\Rightarrow\:4\:and\:20}} \end{array}\)

Оскільки останній термін негативний, треба шукати фактори з протилежними ознаками. Тут ми бачимо, що продукти 2 і 40 додають до 38, якщо вони мають протилежні ознаки:

\(1\cdot (\color{Cerulean}{-2}\color{black}{)+5\cdot}\color{Cerulean}{8}\color{black}{=-2+40=38}\)

Тому використовують\(−2\) і\(8\) як фактори, переконавшись\(16\), що внутрішніми і зовнішніми виробами є\(−2x\) і\(40x\):

Знімок екрана (338) .png — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Відповідь:

\((x+8)(5x-2)\). Повна перевірка залишається за зчитувачем.

Після великої практики процес, описаний в попередньому прикладі, можна виконати подумки.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(12x^{2}-31x-30\)

Відповідь: \((3x-10)(4x+3)\)

Коли дані триноми з декількома змінними, процес подібний.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Фактор:

\(9x^{2}+30xy+25y^{2}\).

Рішення:

Пошук факторів першого і останнього членів такі, щоб сума внутрішнього і зовнішнього добутку дорівнювала середньому члену.

\(\begin{array}{cc}{9x^{2}=1x\cdot 9x}&{25y^{2}=1y\cdot 25y}\\{=3x\cdot 3x}&{=5y\cdot 5y} \end{array}\)

Додайте наступні продукти для отримання середнього терміну:\(3x⋅5y+3x⋅5y=30xy\).

\(\begin{aligned} 9x^{2}+30xy+25y^{2}&=(3x\quad )(3x\quad ) \\ &=(3x+5y)(3x+5y) \\ &=(3x+5y)^{2} \end{aligned}\)

У цьому прикладі ми маємо ідеальний квадратний триноміал. Перевірте.

\(\begin{aligned} (3x+5y)^{2}&= 9x^{2}+2\cdot 3x\cdot 5y+25y^{2} \\ &=9x^{2}+30xy+25y^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((3x+5y)^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(16x^{2}−24xy+9y^{2}\).

Відповідь: \((4x-3y)^{2}\)

Факторингові триноми з загальними факторами

Це гарна практика, щоб перший фактор з GCF, якщо він є. Роблячи це, виходить триноміальний коефіцієнт з меншими коефіцієнтами. Як ми бачили, триноми з меншими коефіцієнтами вимагають набагато менше зусиль для фактора. Цей часто ігноруваний крок варто визначити рано.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Фактор:

\(12x^{2}-27x+6\).

Рішення:

Почніть з факторингу GCF.

\(12x^{2}-27x+6=3(4x^{2}-9x+2)\)

Після факторингу 3 коефіцієнти отриманого триноміала менше і мають меншу кількість факторів.

\(\begin{array}{cc}{4=\color{OliveGreen}{1\cdot 4}}&{2=\color{OliveGreen}{1\cdot 2}}\\{=2\cdot 2}&{}\end{array}\)

Після деякої думки ми можемо побачити, що комбінація, яка дає коефіцієнт середнього терміну, є\(4(−2)+1(−1)=−8−1=−9\).

\(\begin{aligned}3(4x^{2}-9x+2)&=3(4x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=3(4x-1)(x-2) \end{aligned}\)

Перевірте.

\(\begin{aligned} 3(4x-1)(x-2)&=3(4x^{2}-8x-x+2) \\ &=3(4x^{2}-9x+2) \\ &=12x^{2}-27x+6\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Фактор\(3\) є частиною факторної форми вихідного виразу; обов'язково включіть його у відповідь.

Відповідь:

\(3(4x-1)(x-2)\)

Хорошою практикою є послідовна робота з триноми, де провідний коефіцієнт є позитивним.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Фактор:

\(−x^{2}+2x+15\).

Рішення

У цьому прикладі провідним коефіцієнтом є\(−1\). Перед початком процесу факторингу врахуйте\(−1\):

\(-x^{2}+2x+15=-1(x^{2}-2x-15)\)

На цьому етапі вважайте решту тріноміалу, як зазвичай, не забуваючи написати\(−1\) як фактор у вашій остаточній відповіді. Тому що\(3 + (−5) = −2\), використовують\(3\) і\(5\) як фактори\(15\).

\(\begin{aligned} -x^{2}+2x=15&=-1(x^{2}-2x-15) \\ &=-1(x\quad )(x\quad )\\ &=-(x+3)(x-5) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-1(x+3)(x-5)\). Чек залишається на зчитувач.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Фактор:

\(-60a^{2}-5a+30\)

Рішення

GCF всіх термінів є\(5\). Однак у цьому випадку фактор виходить,\(−5\) оскільки це створює триноміальний коефіцієнт, де провідний коефіцієнт є позитивним.

\(-60a^{2}-5a+30=-5(12a^{2}+a-6)\)

Орієнтуйтеся на фактори\(12\) і\(6\) які поєднуються, щоб дати середній коефіцієнт,\(1\).

\(\begin{array}{cc}{12=1\cdot 12}&{6=1\cdot 6}\\{=2\cdot 6}&{=\color{OliveGreen}{2\cdot 3}}\\{=\color{OliveGreen}{3\cdot 4}}&{} \end{array}\)

Після довгих роздумів ми знаходимо це\(3⋅3−4⋅2=9−8=1\). Фактор залишився тріноміал.

\(\begin{aligned} -60a^{2}-5a+30&=-5(12a^{2}+a-6) \\ &=-5(4a\quad )(3a\quad )\\&=-5(4a+3)(3a-2) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-5(4a+3)(3a-2)\). Чек залишається на зчитувач.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(24+2x−x^{2}\).

Відповідь: \(−1(x−6)(x+4)\)

Факторинг з використанням методу змінного струму

У цьому розділі ми враховуємо триноми виду за\(ax^{2}+bx+c\) допомогою методу АС, описаного раніше.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Фактор за допомогою методу змінного струму:

\(18x^{2}−21x+5\).

Рішення:

Ось\(a = 18, b = −21\), і\(c = 5\).

\(\begin{aligned}ac&=18(5) \\ &=90 \end{aligned}\)

Фактор\(90\) і пошук факторів, сума яких є\(−21\).

\(\begin{aligned} 90&=1(90) \\ &=2(45) \\ &=3(30) \\ &=5(18) \\ &=\color{OliveGreen}{6(15)}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \\ &=9(10) \end{aligned}\)

При цьому сума коефіцієнтів\(−6\) і\(−15\) дорівнює середньому коефіцієнту,\(−21\). Тому\(−21x=−6x−15x\), і ми можемо написати

\(18x^{2}\color{OliveGreen}{-21x}\color{black}{+5=18x^{2}}\color{OliveGreen}{-6x-15x}\color{black}{+5}\)

Фактор еквівалентного виразу за групуванням.

\(\begin{aligned} 18x^{2}-21x+5&=18x^{2}-6x-15x+5 \\ &=6x(3x-1)-5(3x-1) \\ &=(3x-1)(6x-5) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((3x-1)(6x-5)\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Фактор за допомогою методу змінного струму:\(9x^{2}−61x−14\).

Рішення:

Ось\(a = 9, b = −61\), і\(c = −14\).

Ми враховуємо\(-126\) наступним чином:

\(\begin{aligned} -126&=1(-126) \\ &=\color{OliveGreen}{2(-63)}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \\ &=3(-42)\\&=6(-21)\\&=7(-18)\\&=9(-14) \end{aligned}\)

Сума множників\(2\) і\(−63\) дорівнює середньому коефіцієнту,\(−61\). \(−61x\)Замінити на\(2x−63x\):

\(\begin{aligned} 9x^{2}-61x-14&=9x^{2}+2x-63x-14\quad\color{Cerulean}{Rearrange\:the\:terms.} \\ &=9x^{2}-63x+2x-14\quad\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.}\\&=9x(x-7)+2(x-7) \\ &=(x-7)(9x+2) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x-7)(9x+2)\). Чек залишається на зчитувач.

Ключові винос

Якщо триноміал\(ax^{2}+bx+c\) форм-факторів в добуток двох біноміалів, то коефіцієнт середньострокового буде сумою певних добутків факторів першого і останнього членів.
Якщо триноміал має найбільший загальний фактор, то це найкраща практика, щоб спочатку вивести GCF, перш ніж намагатися перерахувати його в добуток біноміалів.
Якщо провідний коефіцієнт триноміалу є негативним, то це найкраща практика, щоб врахувати цей негативний фактор, перш ніж намагатися фактор триноміалу.
Факторинг триноміалів форми\(ax^{2}+bx+c\) вимагає багато практики і терпіння. Надзвичайно важливо витратити час, щоб стати досвідченим, працюючи багато вправ.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Factoring Trinomials

Фактор.

\(3x^{2}−14x−5\)
\(5x^{2}+7x+2 \)
\(2x^{2}+5x−3 \)
\(2x^{2}+13x−7 \)
\(2x^{2}+9x−5 \)
\(7x^{2}+20x−3 \)
\(7x^{2}−46x−21 \)
\(3x^{2}+x−2 \)
\(5x^{2}+34x−7 \)
\(5x^{2}−28x−12 \)
\(9x^{2}−12x+4 \)
\(4x^{2}−20x+25 \)
\(49x^{2}+14x+1 \)
\(25x^{2}−10x+1 \)
\(2x^{2}+7x+16 \)
\(6x^{2}−19x−10 \)
\(27x^{2}+66x−16 \)
\(12x^{2}−88x−15 \)
\(12y^{2}−8y+1 \)
\(16y^{2}−66y−27 \)
\(9x^{2}−12xy+4y^{2} \)
\(25x^{2}+40x+16 \)
\(15x^{2}−26xy+8y^{2} \)
\(12a^{2}−4ab−5b^{2} \)
\(4x^{2}y^{2}+16xy−9 \)
\(20x^{2}y^{2}+4xy−7 \)
Площа прямокутника задається функцією\(A(x)=3x^{2}−10x+3\), де\(x\) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію в факторному вигляді.
Площа прямокутника задається функцією\(A(x)=10x^{2}−59x−6\), де\(x\) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.

Відповідь

1. \((x−5)(3x+1) \)

3. \((x+3)(2x−1) \)

5. \((x+5)(2x−1) \)

7. \((x−7)(7x+3) \)

9. \((x+7)(5x−1) \)

11. \((3x−2)^{2}\)

13. \((7x+1)^{2} \)

15. Прем'єр

17. \((3x+8)(9x−2)\)

19. \((6y−1)(2y−1) \)

21. \((3x−2y)^{2}\)

23. \((3x−4y)(5x−2y) \)

25. \((2xy−1)(2xy+9) \)

27. \(A(x)=(3x−1)(x−3)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Factoring Trinomials with Common Factors

Фактор.

\(6x^{2}−20x−16 \)
\(45x^{2}+27x−18 \)
\(20x^{2}−20x+5 \)
\(3x^{2}+39x−90 \)
\(16x^{2}+26x−10 \)
\(54x^{2}−15x+6 \)
\(45x^{2}−45x−20 \)
\(90x^{2}+300x+250 \)
\(40x^{2}−36xy+8y^{2} \)
\(24a^{2}b^{2}+18ab−81 \)
\(6x^{2}y^{2}+46xy+28 \)
\(2x^{5}+44x^{4}+144x^{3}\)
\(5x^{3}−65x^{2}+60x\)
\(15a^{4}b^{2}−25a^{3}b−10a^{2}\)
\(6a^{4}b+2a^{3}b^{2}−4a^{2}b^{3}\)
\(20a^{3}b^{2}−60a^{2}b^{3}+45ab^{4}\)

Відповідь

1. \(2(x−4)(3x+2) \)

3. \(5(2x−1)^{2}\)

5. \(2(8x^{2}+13x−5) \)

7. \(5(3x−4)(3x+1) \)

9. \(4(5x−2y)(2x−y) \)

11. \(2(xy+7)(3xy+2) \)

13. \(5x(x−12)(x−1) \)

15. \(2a^{2}b(3a−2b)(a+b)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Factoring Trinomials with Common Factors

Фактор,\(−1\) а потім фактор далі.

\(−x^{2}−4x+21 \)
\(−x^{2}+x+12 \)
\(−x^{2}+15x−56 \)
\(−x^{2}+x+72 \)
\(−y^{2}+10y−25 \)
\(−y^{2}−16y−64 \)
\(36−9a−a^{2} \)
\(72−6a−a^{2}\)
\(32+4x−x^{2}\)
\(200+10x−x^{2}\)

Відповідь

1. \(−1(x−3)(x+7) \)

3. \(−1(x−7)(x−8) \)

5. \(−1(y−5)^{2}\)

7. \(−1(a−3)(a+12) \)

9. \(−1(x−8)(x+4)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Factoring Trinomials with Common Factors

Фактор спочатку негативний загальний фактор, а потім фактор далі, якщо це можливо.

\(−8x^{2}+6x+9 \)
\(−4x^{2}+28x−49 \)
\(−18x^{2}−6x+4 \)
\(2+4x−30x^{2} \)
\(15+39x−18x^{2} \)
\(90+45x−10x^{2} \)
\(−2x^{2}+26x+28 \)
\(−18x^{3}−51x^{2}+9x \)
\(−3x^{2}y^{2}+18xy^{2}−24y^{2} \)
\(−16a^{4}+16a^{3}b−4a^{2}b^{2} \)
Висота в ногах снаряда, запущеного з вежі, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+64t+80\), де\(t\) позначає кількість секунд після запуску. Перепишіть задану функцію в факторованому вигляді.
Висота в ногах снаряда, запущеного з вежі, задається функцією\(h(t)=−16t^{2}+64t+192\), де\(t\) позначає кількість секунд після запуску. Перепишіть задану функцію в факторованому вигляді.

Відповідь

1. \(−(2x−3)(4x+3) \)

3. \(−2(3x−1)(3x+2) \)

5. \(−3(2x−5)(3x+1) \)

7. \(−2(x−14)(x+1) \)

9. \(−3y^{2}(x−4)(x−2) \)

11. \(h(t)=−16(t+1)(t−5) \)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Factoring Using the AC Method

Фактор за допомогою методу змінного струму.

\(2x^{2}+5x−7 \)
\(3x^{2}+7x−10 \)
\(4x^{2}−25x+6 \)
\(16x^{2}−38x−5 \)
\(6x^{2}+23x−18 \)
\(8x^{2}+10x−25 \)
\(4x^{2}+28x+40 \)
\(−6x^{2}−3x+30 \)
\(12x^{2}−56xy+60y^{2}\)
\(20x^{2}+80xy+35y^{2}\)

Відповідь

1. \((x−1)(2x+7) \)

3. \((x−6)(4x−1) \)

5. \((2x+9)(3x−2) \)

7. \(4(x+2)(x+5) \)

9. \(4(x−3y)(3x−5y)\)

Вправа\(\PageIndex{9}\) Discussion Board Topics

Створіть свій власний триноміал форми\(ax^{2}+bx+c\), що чинники. Поділіться ним разом з рішенням на дошці обговорень.
Випишіть власний список кроків для факторингу тріноміала форми\(ax^{2}+bx+c\) та поділіться ним на дошці обговорень.
Створіть тріноміал форми\(ax^{2}+bx+c\), яка не впливає на фактор, і поділіть його разом з причиною, чому він не фактор.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися