6.5: Загальні рекомендації щодо факторингових поліномів

Цілі навчання

• Розробити загальну стратегію факторингу поліномів.

Загальна стратегія факторингу

Ми вивчили різні методи факторингу поліномів до чотирьох членів. Завдання полягає в тому, щоб визначити тип полінома, а потім вирішити, який метод застосовувати. Нижче наведено загальні рекомендації щодо факторингу поліномів:

1. Перевірте наявність загальних факторів. Якщо терміни мають спільні фактори, то перерахуйте найбільший загальний фактор (GCF) і подивіться на отримані поліноміальні фактори для подальшого множника.
2. Визначте кількість членів в многочлені.
   1. Факторні чотиричленні многочлени шляхом групування.
   2. Факторні тріноми (три терміни) за допомогою «проб і помилок» або методу змінного струму.
   3. Факторні біноміали (два члени) з використанням наступних спеціальних продуктів:

      Таблиця\(\PageIndex{1}\)

      Різниця квадратів:	\(a^{2}-b^{2}+(a+b)(a-b)\)
      Сума квадратів:	\(a^{2}+b^{2}\)немає загальної формули
      Різниця кубів:	\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
      Сума кубів:	\(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)

3. Шукайте фактори, які можуть бути враховані далі.
4. Перевірка шляхом множення.

Примітка

• Якщо біноміал - це і різниця квадратів, і різниця кубів, то спочатку множник його як різницю квадратів, а потім як суму і різницю кубів для отримання більш повної факторизації.
• Не всі поліноми з цілочисельними коефіцієнтами множника. Коли це так, ми говоримо, що многочлен є простим.

Якщо вираз має GCF, то спочатку враховуйте це. Це часто не помічають і, як правило, призводить до факторів, з якими легше працювати. Крім того, шукайте результуючі фактори для подальшого факторингу; багато проблем факторингу вимагають більше одного кроку. Поліном повністю враховується, коли жоден з факторів не може бути врахований далі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(6x^{4}−3x^{3}−24x^{2}+12x\).

Рішення:

Цей чотиричленний многочлен має GCF of\(3x\). Фактор це в першу чергу.

\(6x^{4}-3x^{3}-24x^{2}+12x=3x(2x^{3}-x^{2}-8x+4)\)

Тепер множимо отриманий чотиричленний многочлен шляхом групування.

\(\begin{array}{ccc} {6x^{4}-3x^{3}-24x^{2}+12x=3x}&{\color{black}{\underbrace{\color{black}{(2x^{3}-x^{2}}}}}&{\color{black}{\underbrace{\color{black}{-8x+4)}}}} \\ {}&{\color{Cerulean}{group}}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=3x(x^{2}(2x-1)-4(2x-1))\\&=3x((2x-1)(x^{2}-4)) \\ &=3x(2x-1)(x^{2}-4) \end{aligned}\)

Коефіцієнт\((x^{2}−4)\) є різницею квадратів і може бути врахований далі.

\(\begin{aligned} &=3x(2x-1)(x^{2}-4) \\ &=3x(2x-1)(x+2)(x-2) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3x(2x-1)(x+2)(x-2)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(18x^{3}y−60x^{2}y+50xy\).

Рішення:

Цей триноміал має GCF\(2xy\). Фактор це в першу чергу.

\(18x^{3}y-60x^{2}y+50xy=2xy(9x^{2}-30x+25)\)

Триноміальний фактор може бути врахований далі за допомогою методу проб і помилок. Скористайтеся факторами\(9=3⋅3\) і\(25=(−5)⋅(−5)\). Вони об'єднуються, щоб генерувати правильний коефіцієнт для середнього терміну:\(3(−5)+3(−5)=−15−15=−30\).

\(\begin{aligned} 18x^{3}y-60x^{2}y+50xy&=2xy(9x^{2}-30x+25)\\ &=2xy(3x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(3x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=2xy(3x-5)(3x-5) \\ &=2xy(3x-5)^{2} \end{aligned}\)

Перевірте.

\(\begin{aligned} 2xy(3x-5)^{2}&=2xy(9x^{2}-2\cdot 3x\cdot 5+5^{2}) \\ &=2xy(9x^{2}-30x+25) \\ &=18x^{3}y-60x^{2}y+50xy\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2xy(3x-5)^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}−75ab^{2}\).

Рішення:

Цей триноміал має GCF 5ab2. Фактор це в першу чергу.

\(5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}−75ab^{2}=5ab^{2}(a^{2}b^{2}+2ab-15)\)

Отриманий триноміальний фактор може бути врахований наступним чином:

\(\begin{aligned} 5a^{3}b^{4}+10a^{2}b^{3}-75ab^{2} &=5ab^{2}(a^{2}b^{2}+2ab-15) \\ &=5ab^{2}(ab\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(ab}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ &=5ab^{2}(ab+5)(ab-3) \end{aligned}\)

Відповідь:

\(5ab^{2}(ab+5)(ab-3)\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(3x^{3}y−12x^{2}y^{2}+12xy^{3}\).

Відповідь

\(3xy(x−2y)^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Фактор:

\(16y^{4}−1\).

Рішення:

Цей біноміал не має GCF. Тому почніть факторинг з ідентифікації його як різниці квадратів.

\(16y^{4}-1=(\color{Cerulean}{4y^{2}}\color{black}{)^{^{2}}-(}\color{Cerulean}{1}\color{black}{)^{2}}\)

Ось\(a=4y^{2}\) і\(b = 1\). Підставляємо в формулу різниці квадратів.

Коефіцієнт\((4y^{2}+1)\) є сумою квадратів і є простим. Однак\((4y^{2}−1)\) є різниця квадратів і може бути врахована далі.

\(\begin{aligned} 16y^{4}-1&=(4y^{2}+1)(4y^{2}-1) \\ &=(4y^{2}+1)(2y+1)(2y-1) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((4y^{2}+1)(2y+1)(2y-1)\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Фактор:

\(x^{6}−64y^{6}\).

Рішення:

Цей біноміал - це різниця квадратів і різниця кубів. Коли це так, спочатку вважте це як різницю квадратів.

\(x^{6}-64y^{6}=(\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{)^{^{2}}-(}\color{Cerulean}{8y^{3}}\color{black}{)^{^{2}}}\)

Ми можемо написати

\(x^{6}-64y^{6}=(x^{3}+8y^{3})(x^{3}-8y^{3})\)

Кожен фактор може бути додатково врахований як сума, так і різниця кубів відповідно.

\(\begin{aligned} x^{3}+8y^{3}&=(x)^{3}+(2y)^{3}=(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2}) \\ x^{3}-8y^{3} &= (x)^{3} -(2y)^{3} =(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2}) \end{aligned}\)

Тому,

\(\begin{aligned} x^{6}-64y^{6}&=(x^{3}+8y^{3})(x^{3}-8y^{3}) \\ &=(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2}) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

По-перше, визначте цей вираз як різницю квадратів.

\(x^{2}-(2x-1)^{2}=(\color{Cerulean}{x}\color{black}{)^{2}-(}\color{Cerulean}{2x-1}\color{black}{)^{2}}\)

Рішення:

Тут використовують\(a=x\) і\(b=2x−1\) в формулі різниці квадратів.

\(\begin{aligned} a^{2}-b^{2} &=(a+b)(a-b) \\ x^{2}-(2x-1)^{2} &= [(x+(2x-1))][(x-(2x-1))] \\ &=(x+2x-1)(x-2x+1) \\ &=(3x-1)(-x+1) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((3x-1)(-x+1)\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(x^{4}+2x^{3}+27x+54\).

Відповідь

\((x+2)(x+3)(x^{2}−3x+9)\)

Ключові винос

• Використовуйте тип полінома, щоб визначити метод, який використовується для його фактора.
• Це найкраща практика, щоб спочатку шукати та враховувати найбільший загальний фактор (GCF). Це полегшить подальший факторинг і спростить процес. Обов'язково включіть GCF як фактор остаточної відповіді.
• Шукайте результуючі фактори, щоб враховувати далі. Часто буває так, що факторинг вимагає не одного кроку.
• Якщо біном можна розглядати як різницю квадратів і різницю кубів, то спочатку множник його як різницю квадратів. Це призводить до більш повної факторизації.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Mixed Factoring

Фактор повністю.

1. \(2x^{5}y^{2}−12x^{4}y^{3}\)
2. \(18x^{5}y^{3}−6x^{4}y^{5}\)
3. \(5x^{2}+20x−25\)
4. \(4x^{2}+10x−6\)
5. \(24x^{3}−30x^{2}−9x\)
6. \(30x^{3}−65x^{2}+10x\)
7. \(6x^{3}+27x^{2}−9x\)
8. \(21x^{3}+49x^{2}−28x\)
9. \(5x^{3}−30x^{2}−15x+90 \)
10. \(6x^{4}+24x^{3}−2x^{2}−8x\)
11. \(x^{4}−6x^{3}+8x−48 \)
12. \(x^{4}−5x^{3}+27x−135 \)
13. \(4x^{3}−4x^{2}−9x+9 \)
14. \(50x^{3}+25x^{2}−32x−16 \)
15. \(2x^{3}+250 \)
16. \(3x^{5}−81x^{2}\)
17. \(2x^{5}−162x^{3}\)
18. \(4x^{4}−36\)
19. \(x^{4}+16\)
20. \(x^{3}+9\)
21. \(72 − 2 x^{2}\)
22. \(5 x^{4} −25 x^{2}\)
23. \(7 x^{3} −14 x\)
24. \(36 x^{2} −12 x + 1\)
25. \(25 x^{2} +10 x + 1\)
26. \(250 x^{3} +200 x^{4} +40 x^{5}\)
27. \(− 7 x^{2} +19 x + 6\)
28. \(− 8 x^{4} +40 x^{3} −50x^{2}\)
29. \(a^{4} −16\)
30. \(16 a^{4} −81 b^{4}\)
31. \(y^{5} +y^{4} −y − 1\)
32. \(4y^{5} + 2y^{4} − 4y^{2} − 2y\)
33. \(3 x^{8} −192 x^{2}\)
34. \(4 x^{7} + 4x\)
35. \(4 x^{2} −19xy +12y^{2}\)
36. \(16 x^{2} −66xy −27y^{2}\)
37. \(5 x^{5} − 3 x^{4} − 5 x^{3} + 3 x^{2}\)
38. \(4 a^{2} b^{2} − 4 a^{2} − 9 b^{2} + 9\)
39. \(15 a^{2} − 4ab − 4 b^{2}\)
40. \(6 a^{2} −25ab + 4 b^{2}\)
41. \(6 x^{2} + 5xy + 6y^{2}\)
42. \(9 x^{2} + 5xy −12y^{2}\)
43. \(( 3 x − 1 )^{2} −64\)
44. \((x − 5 )^{2}−(x − 2 )^{2}\)
45. \((x + 1 )^{3} + 8\)
46. \((x − 4 )^{3} −27\)
47. \(( 2 x − 1 )^{2}−( 2x − 1)−12\)
48. \((x − 4 )^{2} + 5 (x − 4)+ 6\)
49. \(a^{3} b −10 a ^{2} b^{ 2} +25ab^{3}\)
50. \(2a^{3}b^{2}−12a^{2}b+18a\)
51. \(15a^{2}b^{2}−57ab−12\)
52. \(−60x^{3}+4x^{2}+24x\)
53. \(−24x^{5}+78x^{3}−54x\)
54. \(9y^{6}−13y^{4}+4y^{2}\)
55. \(36−15a−6a^{2}\)
56. \(60ab^{2}+5a^{2}b^{2}−5a^{3}b^{2}\)
57. \(x^{4}−1\)
58. \(16x^{4}−64\)
59. \(x^{8}−1\)
60. \(81x^{8}−1\)
61. \(x^{16}−1\)
62. \(x^{12}−1\)
63. \(54x^{6}−216x^{4}−2x^{3}+8x\)
64. \(4a^{4}−4a^{2}b^{2}−a^{2}+b^{2}\)
65. \(32y^{3}+32y^{2}−18y−18\)
66. \(3a^{3}+a^{2}b−12ab−4b^{2}\)
67. \(18m^{2}−21mn−9n^{2}\)
68. \(5m^{2}n^{2}+10mn−15\)
69. Обсяг певного прямокутного твердого тіла задається функцією\(V(x)=x^{3}−2x^{2}−3x\). Запишіть функцію в її факторованому вигляді.
70. Обсяг певного правого кругового циліндра задається функцією\(V(x)=4πx^{3}−4πx^{2}+πx\). Запишіть функцію в її факторованому вигляді.

Відповідь

1. \(2x^{4}y^{2}(x−6y)\)

3. \(5(x−1)(x+5)\)

5. \(3x(2x−3)(4x+1)\)

7. \(3x(2x^{2}+9x−3)\)

9. \(5(x−6)(x^{2}−3)\)

11. \((x−6)(x+2)(x^{2}−2x+4)\)

13. \((x−1)(2x−3)(2x+3)\)

15. \(2(x+5)(x^{2}−5x+25)\)

17. \(2x^{3}(x+9)(x−9)\)

19. Прем'єр

21. \(2(6+x)(6−x)\)

23. \(7x(x^{2}−2)\)

25. \((5x+1)^{2}\)

27. \(−(x−3)(7x+2)\)

29. \((a^{2}+4)(a+2)(a−2)\)

31. \((y^{2}+1)(y−1)(y+1)^{2}\)

33. \(3x^{2}(x+2)(x^{2}−2x+4)(x−2)(x^{2}+2x+4)\)

35. \((x−4y)(4x−3y)\)

37. \(x^{2}(5x−3)(x+1)(x−1)\)

39. \((3a−2b)(5a+2b)\)

41. Прем'єр

43. \(3(x−3)(3x+7)\)

45. \((x+3)(x^{2}+3)\)

47. \(2(x+1)(2x−5) \)

49. \(ab(a−5b)^{2}\)

51. \(3(ab−4)(5ab+1)\)

53. \(−6x(x+1)(x−1)(2x+3)(2x−3)\)

55. \(−3(a+4)(2a−3)\)

57. \((x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

59. \((x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

61. \((x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)(x−1)\)

63. \(2x(x+2)(x−2)(3x−1)(9x^{2}+3x+1)\)

65. \(2(y+1)(4y−3)(4y+3)\)

67. \(3(2m−3n)(3m+n)\)

69. \(V(x)=x(x+1)(x−3)\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) Discussion Board

1. По-перше, фактор тріноміалу\(24x^{2}−28x−40\). Потім враховуйте GCF. Спочатку обговоріть важливість факторингу GCF. Чи отримуєте ви такий же результат?
2. Обговоріть план факторингу поліноміальних виразів на іспиті. Що ви повинні шукати і що ви повинні очікувати?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися