6.1: Вступ до факторингу

Цілі навчання

• Визначте найбільший спільний коефіцієнт (ГКФ) натуральних чисел.
• Визначте ГКФ мономов.
• Фактор з GCF многочлена.
• Фактор чотиричленного многочлена шляхом групування.

GCF натуральних чисел

Процес написання числа або виразу як продукту називається факторингом. Якщо ми пишемо$60 = 5\cdot 12$, ми говоримо, що продукт$5 ⋅ 12$ є факторизацією,$60$ а що$5$ і$12$ є факторами. Як правило, існує багато способів фактора числа. Наприклад,

$\begin{array}{lc}{60=6\cdot 10}&{}\\{60=2\cdot 30}&{\color{Cerulean}{Factorizations\:of\:60}}\\{60=4\cdot 3\cdot 5}&{} \end{array}$

Нагадаємо, що просте число визначається як натуральне число з рівно двома натуральними числовими факторами,$1$ і саме. Перші десять простих чисел слідують:

$2,\:3,\:5,\:7,\:11,\:13,\:17,\:19,\:23,\:29,\:\dots$

Будь-яке натуральне число більше$1$ може бути однозначно записано як добуток простих чисел. Цей продукт називається простою факторизацією. Просте факторизацію$60$ можна визначити, продовжуючи множник, поки не залишиться лише добуток простих чисел.

$\begin{aligned}60&=2\cdot 30\\&=2\cdot 2\cdot 15\\&=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \end{aligned}$

Оскільки просте факторизація є унікальною, не має значення, як ми виберемо спочатку коефіцієнт числа; кінцевий результат буде однаковим. Просте факторизація$60$ полягає в наступному:

$60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\qquad\color{Cerulean}{The\:prime\:factorization\:of\:60}$

Нагадаємо, що найбільшим спільним фактором (ГКФ) будь-яких двох натуральних чисел є добуток всіх загальних простих множників.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть ГКФ 60 і 140.

Рішення:

Спочатку визначте прості множники обох цілих чисел.

$\begin{array} {c|c}{140=10\cdot 14}&{60=6\cdot 10}\\{=2\cdot 5\cdot 2\cdot 7}&{=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5}\\{=\color{Cerulean}{2^{2}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{5}\color{black}{\cdot 7}}&{=\color{Cerulean}{2^{2}}\color{black}{\cdot 3\cdot}\color{Cerulean}{5}} \end{array}$

Добуток загальних простих множників є$2^{2}\cdot 5$; отже, GCF ($60, 140)=2^{2}⋅5=20$. Щоб побачити, що це найбільший загальний фактор, ми можемо написати наступне:

$\begin{aligned} 140&=\color{Cerulean}{20}\color{black}{\cdot 7}\\ 60&=\color{Cerulean}{20}\color{black}{\cdot 3} \end{aligned}$

Відповідь:

Найбільшим поширеним фактором$60$ і$140$ є$20$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти GCF 504 і 1,080.

Рішення:

Спочатку визначте прості множники обох цілих чисел.

$\begin{array}{c|c}{504=9\cdot 56}&{1080=10\cdot 108}\\{=3\cdot 3\cdot 7\cdot 8}&{=2\cdot 5\cdot 9\cdot 12}\\{=3\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2}&{=2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3}\\{=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}&{=2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5} \end{array}$

Добуток загальних простих множників є$2^{3}⋅3^{2}$.

GCF$(504, 1080)=2^{3}⋅3^{2}=72$. Зауважте, що ми помножили загальні прості множники на найменший показник.

$\begin{aligned} 5040&=\color{Cerulean}{72}\color{black}{\cdot 7} \\ 1080&=\color{Cerulean}{72}\color{black}{\cdot 15} \end{aligned}$

Числа$7$ і$15$ не мають спільного натурального числового коефіцієнта, крім$1$; ми говоримо, що вони відносно прості.

Відповідь:

Найбільшим поширеним фактором$504$ і$1,080$ є$72$.

GCF мономів

Далі ми розглянемо факторизації мономов. Наприклад,$6x$ і$x^{4}$ є чинниками$6x^{5}$ тому$6x^{5}=6x⋅x^{4}$. Як правило, існує безліч способів фактора мономіала. Деякі факторизації$6x^{5}$ наступні:

$\begin{array}{cc}{6x^{5}=2x^{3}\cdot 3x^{2}}&{}\\{6x^{5}=6x^{4}\cdot x}&{\color{Cerulean}{Factorizations\:of\:6x^{5}}}\\{6x^{5}=2x\cdot 3x\cdot x^{3}}&{} \end{array}$

З огляду на два або більше мономи, корисно буде знайти найбільший загальний мономіальний фактор кожного. Наприклад, розглянемо$6x^{5}y^{3}z$ і$8x^{2}y^{3}z^{2}$. Змінна частина цих двох мономов дуже схожа на просту факторизацію натуральних чисел і, по суті, може розглядатися однаково.

Етапи знаходження GCF мономов викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть ЗКФ$6x^{5}y^{3}z$ і$8x^{2}y^{3}z^{2}$.

Рішення:

Крок 1: Знайдіть GCF коефіцієнтів.

$\color{Cerulean}{6}\color{black}{x^{5}y^{3}z}\qquad\text{and}\qquad\color{Cerulean}{8}\color{black}{x^{2}y^{3}z^{2}}$

В даному випадку ГКФ$(6, 8)=2$.

Крок 2: Визначте загальні змінні фактори з найменшими показниками.

$6x^{5}\color{Cerulean}{y^{3}z}\qquad \color{black}{\text{and}\qquad 8}\color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{y^{3}z^{2}}$

У цьому випадку загальні змінні з найменшими показниками є$x^{2}, y^{3}, and z^{1}$.

Крок 3: GCF мономів є добутком загальних змінних факторів та GCF коефіцієнтів. Тому

GCF$(6x^{5}y^{3}z, 8x^{2}y^{3}z^{2})=2\cdot x^{2}\cdot y^{3}\cdot z$

Відповідь:

$2x^{2}y^{3}z$

Варто зазначити, що GCF в попередньому прикладі розділяє обидва вирази рівномірно:

$\frac{6x^{5}y^{3}z}{\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}}\color{black}{=3x^{3}} \qquad\text{and}\qquad\frac{8x^{2}y^{3}z^{2}}{\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}}\color{black}{=4z}$

Крім того, ми можемо написати наступне:

$6x^{5}y^{3}z=\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}\color{black}{\cdot 3x^{3}}\qquad\text{and}\qquad 8x^{2}y^{3}z^{2}=\color{Cerulean}{2x^{2}y^{3}z}\color{black}{\cdot 4z}$

Фактори$3x^{3}$ і не$4z$ поділяють загальних мономіальних факторів, крім$1$; вони є відносно простими.

Приклад$\PageIndex{4}$

Визначити ГКФ можна за наступними виразами:

$30x^{6}y$і$18x^{4}y^{2}z$.

Рішення:

Простими факторизаціями коефіцієнтів є

$\begin{aligned}30&=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5} \\ 18&=\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 3} \end{aligned}$

Таким чином, GCF$(30, 18) = 2 ⋅ 3 = 6$. Далі розглянемо змінну частину:

$30x^{6}\color{Cerulean}{y}\color{black}{\qquad\text{and}\qquad} 18\color{Cerulean}{x^{4}}\color{black}{y^{2}z}$

Спільними змінними факторами є$x^{4}$ і$y$. Фактор не$z$ є спільним, і у нас є

GCF$=6\cdot x^{4}\cdot y$

Відповідь:

$6x^{4}y$

Приклад$\PageIndex{5}$

Визначити ГКФ можна за такими трьома виразами:

$12a^{5}b^{2}(a+b)^{5} \:,\: 60a^{4}b^{3}c(a+b)^{3}$, і$24a^{2}b^{7}c^{3}(a+b)^{2}$.

Рішення:

Спочатку визначте ГКФ коефіцієнтів.

$\begin{aligned} 12&=2^{2}\cdot 3\\ 60&=2^{2}\cdot 3\cdot 5 \\ 24&=2^{3}\cdot 3 \end{aligned}$

GCF$(12, 60, 24)=2^{2}⋅3=12$. Далі визначаємо загальні фактори змінної частини:

$12a^{5}\color{Cerulean}{b^{2}}\color{black}{(a+b)^{5}} \qquad\text{and}\qquad 60a^{4}b^{3}c(a+b)^{3}\qquad\text{and}\qquad 24\color{Cerulean}{a^{2}}\color{black}{b^{7}c^{3}}\color{Cerulean}{(a+b)^{2}}$

Спільними змінними факторами є$a^{2}, b^{2}$, і$(a+b)^{2}$. Тому

GCF$= 12\cdot a^{2}\cdot b^{2}\cdot (a+b)^{2}$

Відповідь:

$12a^{2}b^{2}(a+b)^{2}$. Зверніть увагу, що змінна не$c$ є загальною для всіх трьох виразів і, таким чином, не входить до складу GCF.

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначити ГКФ можна за наступними даними:

$60x^{4}y^{3}(x+2y)^{7}, 45x^{2}y^{5}(x+2y)^{4}$, і$30x^{7}y^{7}(x+2y)^{3}$.

Відповідь

$15x^{2}y^{3}(x+2y)^{3}$

Факторинг GCF

Ми бачили, що застосування розподільної властивості є ключем до множення многочленів. Процес факторингу полінома передбачає використання розподільної властивості у зворотному порядку для запису кожного полінома як добутку поліноміальних факторів.

$\begin{array}{cc}{\color{Cerulean}{a}\color{black}{(b+c)=\color{Cerulean}{a}\color{black}{b+}\color{Cerulean}{a}\color{black}{c}}}&{\color{Cerulean}{Multiplying}}\\{\color{Cerulean}{a}\color{black}{b+}\color{Cerulean}{a}\color{black}{c=}\color{Cerulean}{a}\color{black}{(b+c)}}&{\color{Cerulean}{Factoring}} \end{array}$

Щоб продемонструвати цю ідею, множимо і множимо пліч-о-пліч. Факторинг використовує GCF термінів.

Таблиця$\PageIndex{1}$

множення	Факторинг
$\begin{aligned}\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)}&=\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5x+}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 1}\\ &=15x+3 \end{aligned}$	$\begin{aligned} 15x+3&=\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 5x+}\color{Cerulean}{3}\color{black}{\cdot 1} \\ &=\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)} \end{aligned}$
$\begin{aligned}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)}&=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 3x^{3}+}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 4}\\ &=6x^{5}+8x^{2} \end{aligned}$	$\begin{aligned} 6x^{5}+8x^{2}&=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 3x^{3}+}\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{\cdot 4} \\ &=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)} \end{aligned}$

У попередньому прикладі ми бачимо, що розподільна властивість дозволяє нам записати многочлен$6x^{5}+8x^{2}$ як добуток двох факторів$2x^{2}$ і$(3x^{3}+4)$. Відзначимо, що в даному випадку$2x^{2}$ є GCF з членів многочлена:

GCF$6x^{5}, 8x^{2})=2x^{2}$

Факторинг GCF передбачає переписування полінома як добутку, де коефіцієнтом є GCF всіх його термінів:

$\begin{array}{cc}{15x+3=\color{Cerulean}{3}\color{black}{(5x+1)}}&{\color{Cerulean}{Factoring\:out\:the\:GCF}}\\{6x^{5}+8x^{2}=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(3x^{3}+4)}}&{} \end{array}$

Етапи для факторингу GCF полінома окреслені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{6}$

Фактор з GCF:

$7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}$.

Рішення:

Крок 1: Визначте GCF всіх термінів. У цьому випадку GCF$(7, 21, 14) = 7$, а загальний змінний коефіцієнт з найменшим показником дорівнює$x^{2}$. ЗКФ многочлена є$7x^{2}$.

$7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(\qquad ? \qquad )}$

Крок 2: Визначте терміни відсутнього коефіцієнта, розділивши кожен член вихідного виразу на GCF. (Цей крок зазвичай виконується подумки.)

$\frac{7x^{4}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=x^{2}\qquad\frac{21x^{3}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=3x\qquad\frac{-14x^{2}}{\color{Cerulean}{7x^{2}}}=-2$

Крок 3: Застосуйте розподільну властивість (навпаки), використовуючи терміни, знайдені на попередньому кроці.

$7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(x^{2}+3x-2)}$

Крок 4: Як перевірку, помножте, використовуючи розподільну властивість, щоб переконатися, що продукт дорівнює вихідному виразу. (Цей крок необов'язковий і може бути виконаний подумки.)

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{(x^{2}+3x-2)}&=\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot x^{2} +}\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot 3x -}\color{Cerulean}{7x^{2}}\color{black}{\cdot 2} \\ &= 7x^{4}+21x^{3}-14x^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Відповідь:

$7x^{2}(x^{2}+3x-2)$

Приклад$\PageIndex{7}$

Фактор з GCF:

$48a−16b+4c$

Рішення:

Немає змінних факторів загального і GCF$(48, 16, 4) = 4$.

$\begin{aligned} 48a-16b+4c&=4(\qquad\color{Cerulean}{?}\qquad\color{black}{)} \\ &=4(12a-4b+c) \end{aligned}$

Відповідь:

$4(12a-4b+c)$

Приклад$\PageIndex{8}$

Фактор з GCF:

$25x^{3}+15x^{2}+5x$

Рішення:

GCF$(25, 15, 5) = 5$, і загальний коефіцієнт змінної з найменшими показниками є$x^{1}$. GCF всіх термінів є$5x$.

$\begin{aligned} 25x^{3}+15x^{2}+5x&=5x(\qquad\color{Cerulean}{?}\qquad\color{black}{)}\\&=5x(5x^{2}+3x+1) \end{aligned}$

Відповідь:

$5x(5x^{2}+3x+1)$

Якщо ГКФ збігається з одним з термінів, то після того, як буде враховано ЗКФ,$1$ залишиться постійний термін. У попередньому прикладі ми бачимо це$\frac{5x}{5x}=1$. Важливість запам'ятовування постійного терміна стає зрозумілою при виконанні перевірки з використанням розподільного властивості:

$\begin{aligned} 5x(5x^{2}+3x+1)&=\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 5x^{2}+}\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 3x+}\color{Cerulean}{5x}\color{black}{\cdot 1}\\ &=25x^{3}+15x^{2}+5x\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Постійний термін$1$ дозволяє нам отримати однаковий вихідний вираз після того, як ми розподіляємо.

Приклад$\PageIndex{9}$

Фактор з GCF:

$15x^{6}y^{4}+10x^{5}y^{3}z^{2}−20xy^{6}z^{3}$.

Рішення:

GCF$(10, 15, 20)=5$ та загальні змінні з найменшим показником є$x^{1}$ і$y^{3}$. Тому GCF термінів є$5xy^{3}$. Перший термін не має змінного$z$ коефіцієнта і, отже, не може бути частиною найбільшого спільного фактора. Якщо розділити кожен член на$5xy^{3}$, то отримаємо

$\frac{15x^{6}y^{4}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=3x^{5}y\qquad\frac{10x^{5}y^{3}z^{2}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=2x^{4}z^{2}\qquad\frac{-20xy^{6}z^{3}}{\color{Cerulean}{5xy^{3}}}=-4y^{3}z^{3}$

і може написати

$\begin{aligned} 15x^{6}y^{4}+10x^{5}y^{3}z^{2}-20xy^{6}z^{3}&=\color{Cerulean}{5xy^{3}}\color{black}{(\qquad ?\qquad )} \\ &=5xy^{3}(3x^{5}y+2x^{4}z^{2}-4y^{3}z^{3}) \end{aligned}$

Відповідь:

$5xy^{3}(3x^{5}y+2x^{4}z^{2}-4y^{3}z^{3})$

Приклад$\PageIndex{10}$

Фактор з GCF:

$24a^{6}b^{2}c^{5}+8a^{7}b^{5}c$

Рішення:

GCF$(24, 8) = 8$, і змінні коефіцієнти з найменшими показниками є$a^{6}, b^{2},$ і$c$. Тому GCF всіх термінів є$8a^{6}b^{2}c$.

$\begin{aligned} 24a^{6}b^{2}c^{5}+8a^{7}b^{5}c&=8a^{6}b^{2}c(\qquad ?\qquad ) \\&=8a^{6}b^{2}c(3c^{4}+ab^{3}) \end{aligned}$

Відповідь:

$8a^{6}b^{2}c(3c^{4}+ab^{3})$

Звичайно, не всі поліноми з цілими коефіцієнтами можуть бути враховані як добуток поліномів з цілими коефіцієнтами, відмінними від самого$1$ і самого. Якщо це так, то ми говоримо, що це простий многочлен.

Приклад$\PageIndex{11}$

Фактор:

$3x-5$

Рішення:

Просте: немає інших поліноміальних факторів, крім$1$ і самого себе.

Відповідь:

Прем'єр

Вправа$\PageIndex{2}$

Фактор з GCF:

$16x^{4}y^{3}−8x^{2}y^{5}−4x^{2}y$.

Відповідь

$4x^{2}y(4x^{2}y^{2}-2y^{4}-1)$

Фактор за групуванням

У цьому розділі ми окреслимо методику факторингу поліномів з чотирма долями. Спочатку перегляньте деякі попередні приклади, де терміни мають загальний біноміальний фактор.

Приклад$\PageIndex{12}$

Фактор:

$5x(x−3)+2(x−3)$.

Рішення:

Цей вислів є біноміальним з термінами$5x(x−3)$ і$2(x−3)$. В даному випадку$(x−3)$ є загальним фактором. Почніть з факторингу цього загального фактора:

$5x\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{+2}\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{=}\color{Cerulean}{(x-3)}\color{black}{(\quad ?\quad )}$

Щоб визначити терміни чинника, що залишився, розділіть кожен член на$(x−3)$:

$\frac{5x(x-3)}{\color{Cerulean}{(x-3)}}=\color{OliveGreen}{5x}\qquad\color{black}{\frac{2(x-3)}{\color{Cerulean}{(x-3)}}=}\color{OliveGreen}{2}$

Цей крок зазвичай виконується подумки. У нас є

$\begin{aligned}\color{OliveGreen}{5x}\color{black}{(x-3)}\color{OliveGreen}{+2}\color{black}{(x-3)}&=(x-3)(\quad ?\quad ) \\ &=(x-3)(\color{OliveGreen}{5x+2}\color{black}{)} \end{aligned}$

Відповідь:

$(x-3)(5x+2)$

Нагадаємо, що завжди$1$ є загальним фактором. Якщо GCF збігається з терміном, то фактор$1$ залишається після того, як ми враховуємо, що GCF.

Приклад$\PageIndex{13}$

Фактор:

$3x(4x+1)−(4x+1)$.

Рішення:

Перепишіть другий термін$−(4x+1)$,$−1(4x+1)$ а потім перерахуйте загальний біноміальний фактор$(4x+1)$.

$\begin{aligned} 3x(4x+1)-(4x+1)&=3x\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{-1}\color{Cerulean}{(4x+1)} \\ &=\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{(\quad ?\quad)} \\ &=\color{Cerulean}{(4x+1)}\color{black}{(3x-1)} \end{aligned}$

Відповідь:

$(4x+1)(3x-1)$

Пам'ятайте, що метою цього розділу є розробка методики, яка дозволяє нам перетворювати поліноми з чотирма доходами у добуток біноміалів. Проміжний етап цього процесу виглядає як попередні два приклади. Наприклад, ми хочемо врахувати

$5x^{2}-15x+2x-6$

Почніть з групування перших двох термінів і двох останніх членів. Потім перерахуйте GCF кожної групи:

$\begin{array}{ccc}{\underbrace{5x^{2}-15x}}&{+}&{\underbrace{2x-6}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$=\color{Cerulean}{5x}\color{black}{(x-3)+}\color{Cerulean}{2}\color{black}{(x-3)}$

У такому вигляді він є біноміальним із загальним біноміальним фактором (x−3).

$\begin{aligned}&=(x-3)(\quad ?\quad )\\&=(x-3)(\color{Cerulean}{5x+2}\color{black}{)} \end{aligned}$

Наступні кроки окреслюють методику факторингу чотиричленних поліномів, які називаються коефіцієнтом шляхом групування.

Приклад$\PageIndex{14}$

Фактор:

$2x^{3}+4x^{2}+3x+6$.

Рішення:

Групуйте терміни таким чином, щоб отримати біноміал із загальними факторами.

Крок 1: Згрупуйте перші два та останні два терміни, а потім перерахуйте GCF кожного.

$\begin{array}{ccc}{\underbrace{2x^{3}+4x^{2}}}&{+}&{\underbrace{3x+6}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

GCF перших двох термінів є$2x^{2}$, а GCF двох двох термінів -$3$.

$\begin{array}{cccc}{2x^{3}+4x^{2}+3x+6=}&{\underbrace{2x^{3}+4x^{2}}}&{+}&{\underbrace{3x+6}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$\begin{aligned} &=\color{Cerulean}{2x^{2}}\color{black}{(\quad ?\quad )}\color{Cerulean}{+3}\color{black}{(\quad ?\quad )}\\&=2x^{2}(x+2)+3(x+2) \end{aligned}$

Крок 2: На цьому етапі многочлен є біноміальним. Фактор з будь-яких факторів, загальних для обох термінів. $(x+2)$Ось загальний фактор.

$\begin{aligned} &=2x^{2}\color{Cerulean}{(x+2)}\color{black}{+3}\color{Cerulean}{(x+2)}\\&=\color{Cerulean}{(x+2)}\color{black}{(\quad ?\quad )}\\&=(x+2)(2x^{2}+3) \end{aligned}$

Крок 3: Необов'язкова перевірка: множте, щоб переконатися, що ми отримуємо оригінальний вираз.

$\begin{aligned}(x+2)(2x^{2}+3)&=2x^{3}+3x+4x^{2}+6 \\&=2x^{3}+4x^{2}+3x+6\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Відповідь:

$(x+2)(2x^{2}+3)$

Приклад$\PageIndex{15}$

Фактор:

$2a^{3}−3a^{2}+2a−3$.

Рішення:

GCF перших двох термінів є,$a^{2}$ а GCF другого двох термінів є$1$.

$\begin{array}{cccc}{2a^{3}-3a^{2}+2a-3=}&{\underbrace{2a^{3}-3a^{2}}}&{+}&{\underbrace{2a-3}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$\begin{aligned}&=\color{Cerulean}{a^{2}}\color{black}{(\quad ?\quad )}\color{Cerulean}{+1}\color{black}{(\quad ?\quad )} \\ &=a^{2}(2a-3)+1(2a-3)\\&=(2a-3)(\quad ?\quad )\\&=(2a-3)(a^{2}+1) \end{aligned}$

Відповідь:

$2a-3)(a^{2}+1)$. Чек залишається на розсуд зчитувача.

Приклад$\PageIndex{16}$

Фактор:

$6x^{4}−24x^{3}−5x+20$.

Рішення:

GCF для першої групи є$6x^{3}$. Ми повинні вибрати$5$ або$−5$ вивести з другої групи.

$\begin{array}{ccc}{\underbrace{6x^{4}-24x^{3}}}&{-}&{\underbrace{5x+20}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$\begin{aligned} &=6x^{3}\color{red}{(x-4)}\color{black}{+5}\color{red}{(-x+4)} & \color{red}{x} \\ &=6x^{3}\color{Cerulean}{(x-4)}\color{black}{-5}\color{Cerulean}{(x-4)} & \color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Факторинг a$+5$ не призводить до загального біноміального фактора. Якщо ми вирішимо враховувати$−5$, то отримаємо загальний біноміальний коефіцієнт і можемо продовжити. Зауважимо, що при факторингу негативного числа ми змінюємо ознаки факторних термінів.

$\begin{array}{cccc}{6x^{4}-24x^{3}-5x+20=}&{\underbrace{6x^{4}-24x^{3}}}&{-}&{\underbrace{5x+20}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$\begin{aligned} &=6x^{3}(\quad ?\quad )-5(\quad ?\quad ) \\&=6x^{3}(x-4)-5(x-4) \\ &=(x-4)(\quad ?\quad ) \\ &=(x-4)(6x^{3}-5) \end{aligned}$

Відповідь:

$(x-4)(6x^{3}-5)$. Чек залишається на розсуд зчитувача.

Примітка

Знак провідного коефіцієнта в другій угрупованні зазвичай вказує на те, варто чи ні враховувати негативний фактор. Якщо цей коефіцієнт позитивний, враховуйте позитивний фактор. Якщо він негативний, фактор негативний фактор.

Коли всі члени полінома мають GCF, крім 1, це найкраща практика, щоб врахувати це перед факторингом шляхом групування.

Приклад$\PageIndex{17}$

Фактор:

$3y^{4}+9y^{2}−6y^{3}−18y$.

Рішення:

Тут ми помічаємо, що найбільшим загальним фактором з усіх термінів є$3y$. Почніть з факторингу GCF, а потім фактор результату шляхом групування.

$\begin{array}{lc}{3y^{4}+9y^{2}-6y^{3}-18y}&{}\\{=3y[y^{3}+3y-2y^{2}-6]}&{\color{Cerulean}{Factor\:out\:the\:GCF.}}\\{=3y[y(y^{2}+3)-2(y^{2}+3)]}&{\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.}}\\{=3y[(y^{2}+3)(y-2)]}&{}\\{=3y(y^{2}+3)(y-2)}&{} \end{array}$

Відповідь:

$3y(y^{2}+3)(y-2)$

Іноді ми повинні спочатку переставити терміни, щоб отримати загальний фактор.

Приклад$\PageIndex{18}$

Фактор:

$ab−2a^{2}b+a^{3}−2b^{3}$.

Рішення:

Просто факторинг GCF з першої групи і останньої групи не дає загального біноміального фактора.

$\begin{array}{ccc}{\underbrace{ab-2a^{2}b}}&{+}&{\underbrace{a^{3}-2b^{3}}}\\{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$=ab\color{red}{(1-2a)}\color{black}{+1}\color{red}{(a^{3}-2b^{3})}$

Ми повинні переставляти терміни, шукаючи групування, яке створює загальний фактор. У цьому прикладі ми маємо працездатну групування, якщо ми переключаємо терміни$a^{3}$ і$ab$.

$\begin{array}{cccc}{\color{OliveGreen}{ab}\color{black}{-2a^{2}b+}\color{OliveGreen}{a^{3}}\color{black}{-2b^{3}=}}&{\underbrace{a^{3}-2a^{2}b}}&{+}&{\underbrace{ab-2b^{3}}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}$

$\begin{aligned} &=a^{2}(a-2b)+b(a-2b) \\ &=(a-2b)(a^{2}+b) \end{aligned}$

Відповідь:

$(a-2b)(a^{2}+b)$

Не всі факторні чотиричленні поліноми можуть бути враховані за допомогою цієї методики. Наприклад,

$3x^{3}+5x^{2}-x+2$

Цей чотиричленний многочлен не може бути згрупований жодним чином, щоб створити загальний біноміальний фактор. Незважаючи на це, многочлен не є простим і може бути записаний як добуток многочленів. Його можна врахувати наступним чином:

$3x^{3}+5x^{2}-x+2=(x+2)(3x^{2}-x+1)$

Факторинг таких поліномів - це те, що ми навчимося робити, рухаючись далі в нашому вивченні алгебри. Наразі ми обмежимо нашу спробу множити чотиричленні поліноми використанням фактора методом групування.

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор:

$x^{3}-x^{2}y-xy+y^{2}$

Відповідь

$(x-y)(x^{2}-y)$

Ключові винос

• Щоб знайти найбільший спільний коефіцієнт (GCF) будь-якої колекції натуральних чисел, спочатку знайдіть просту факторизацію кожного. GCF є добутком всіх загальних простих множників.
• ГКФ двох і більше мономов - добуток ГКФ коефіцієнтів і загальних змінних коефіцієнтів з найменшою потужністю.
• Якщо члени многочлена мають найбільший спільний фактор, то враховують, що GCF використовує розподільну властивість. Розділіть кожен член многочлена на ЗКФ, щоб визначити члени залишився коефіцієнта.
• Деякі чотиричленні многочлени можуть бути враховані шляхом групування перших двох членів і двох останніх членів. Фактор з GCF кожної групи, а потім вивести загальний біноміальний фактор.
• При факторингу шляхом групування іноді доводиться переставляти терміни, щоб знайти загальний біноміальний коефіцієнт. Після факторингу GCF, інші біноміальні фактори повинні бути однаковими, щоб техніка працювала.
• Не всі многочлени можуть бути враховані як добуток многочленів з цілочисельними коефіцієнтами. У цьому випадку ми називаємо його простим многочленом.

Вправа$\PageIndex{4}$ GCF of Natural Numbers

Дайте просту факторизацію кожного числа і визначте GCF.

1. $18, 24$
2. $45, 75$
3. $72, 60$
4. $168, 175$
5. $144, 245$
6. $15, 50, 60$
7. $14, 63, 70$
8. $12, 48, 125$
9. $60, 72, 900$
10. $252, 336, 360$

Відповідь

1. $18=2⋅32, 24=23⋅3,$GCF$= 6$

3. $72=23⋅32, 60=22⋅3⋅5,$GCF$= 12$

5. $144=24⋅32, 245=5⋅72,$GCF$= 1$

7. $14=2⋅7, 63=32⋅7, 70=2⋅5⋅7,$GCF$= 7$

9. $60=22⋅3⋅5, 72=23⋅32, 900=22⋅32⋅52,$GCF$= 12$

Вправа$\PageIndex{5}$ GCF of Variable Expressions

Визначте GCF з усіх термінів.

1. $15x, 30$
2. $14x, 21$
3. $45x^{4}, 8x^{3}$
4. $36x^{5}, 35y^{2}$
5. $6x, 27x, 36x$
6. $12x^{3}, 4x^{2}, 6x$
7. $12x^{2}y, 60xy^{3}$
8. $7ab^{2}, 2a^{2}b, 3a^{3}b^{3}$
9. $6a^{2}b^{2}, 18a^{3}b^{2}, 9ab^{2}$
10. $15x(x+2), 9(x+2)$
11. $20x(2x−1), 16(2x−1)$
12. $20x^{3}(x+y)^{5}, 10x^{5}(x+y)^{2}$

Відповідь

1. $15$

3. $x^{3}$

5. $3x$

7. $12xy$

9. $3ab^{2}$

11. $4(2x−1)$

Вправа$\PageIndex{6}$ Factoring out the GCF

З огляду на GCF, визначте відсутній коефіцієнт.

1. $25x^{2}+10x=5x(\quad ?\quad )$
2. $12y^{5}+7y^{2}=y^{2}(\quad ?\quad )$
3. $22x^{4}−121x^{2}+11x=11x(\quad ?\quad )$
4. $30y^{3}−45y^{2}−3y=3y(\quad ?\quad )$
5. $36a^{5}b^{7}−60a^{6}b^{5}=12a^{5}b^{5}(\quad ?\quad )$
6. $24x^{2}y+48xy^{2}−12xy=12xy(\quad ?\quad )$

Відповідь

1. $(5x+2)$

3. $(2x^{3}−11x+1)$

5. $(3b^{2}−5a)$

Вправа$\PageIndex{7}$ Factoring out the GCF

Фактор з GCF.

1. $4x−8$
2. $27x−9$
3. $3x−18$
4. $5x−10$
5. $25x−16$
6. $72x−35$
7. $15x^{2}+30x$
8. $14a^{2}−7a$
9. $30a^{5}−10a^{2}$
10. $8x^{4}−16x^{2}$
11. $5x^{6}+x^{3}$
12. $3x^{7}−9x^{5}$
13. $18a^{2}+30a−6$
14. $24a^{2}−36a−12$
15. $27x^{3}−6x^{2}+3x$
16. $8x^{3}−12x^{2}+2x$
17. $9x^{4}+18x^{3}−3x^{2}$
18. $12y^{4}−16y^{3}+20y^{2}$
19. $7x^{5}−21x^{3}−14x^{2}+28x$
20. $36y^{10}+12y^{8}−18y^{4}−6y^{3}$
21. $12x^{5}y^{2}−8x^{3}y$
22. $125a^{8}b^{4}c^{3}−25a^{2}b^{3}c^{3}$
23. $6x^{4}y^{3}−4x^{3}y^{2}+8x^{2}y$
24. $15x^{4}y^{2}−30x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}$
25. $81x^{7}y^{6}z^{2}−18x^{2}y^{8}z^{4}+9x^{2}y^{5}z^{2}$
26. $4x^{5}y^{4}z^{9}+26x^{5}y^{3}z^{4}−14x^{6}y^{8}z^{5}$
27. $2x(x−3)+5(x−3)$
28. $3x(2x+1)−4(2x+1)$
29. $5x(5x+2)−(5x+2)$
30. $2x(3x+4)+(3x+4)$
31. $x^{2}(4x−7)−5(4x−7)$
32. $(x+6)−3x^{2}(x+6)$
33. $(a+b)^{2}−3a(a+b)^{2}$
34. $(ab+2)^{3}+3ab(ab+2)^{3}$
35. $7x(x+7)^{5}+14x^{2}(x+7)^{5}$
36. $36x^{5}(3x+2)^{4}−12x^{3}(3x+2)^{4}$

Відповідь

1. $4(x−2)$

3. $3(x−6)$

5. Прем'єр

7. $15x(x+2)$

9. $10a^{2}(3a^{3}−1)$

11. $x^{3}(5x^{3}+1)$

13. $6(3a^{2}+5a−1)$

15. $3x(9x^{2}−2x+1)$

17. $3x^{2}(3x^{2}+6x−1)$

19. $7x (x^{4}−3x^{2}−2x+4)$

21. $4x^{3}y(3x^{2}y−2)$

23. $2x^{2}y(3x^{2}y^{2}−2xy+4)$

25. $9x^{2}y^{5}z^{2}(9x^{5}y−2y^{3}z^{2}+1)$

27. $(x−3)(2x+5)$

29. $(5x+2)(5x−1)$

31. $(4x−7)(x^{2}−5)$

33. $(a+b)^{2}(1−3a)$

35. $7x(x+7)^{5}(1+2x)$

Вправа$\PageIndex{8}$ Factoring out the GCF

Чи правильно враховано наступне? Перевірка шляхом множення.

1. $4x^{2}−16x=4x(x−4)$
2. $3a^{3}−3a=3a(a^{2})$
3. $3x^{3}−5x^{6}=x^{3}(3−x^{2})$
4. $5x^{3}−10x^{4}+15x^{5}=5x^{3}(1−2x+3x^{2})$
5. $x^{3}−x^{2}+x=x(x^{2}−x)$
6. $12x^{4}y^{3}−16x^{5}y^{2}+8x^{6}y^{7}=4x^{4}y^{2}(3y−4x+2x^{2}y^{5})$

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Ні

Вправа$\PageIndex{9}$ Factoring out the GCF

Використовуйте поліноміальне довге ділення, щоб показати, що даний коефіцієнт поділяє многочлен рівномірно.

1. Показати, що$(x−1)$ є фактором$(2x^{3}−5x^{2}+4x−1)$.
2. Показати, що$(x+3)$ є фактором$(3x^{3}+7x^{2}−4x+6)$.
3. Показати, що$(3x−2)$ є фактором$(3x^{3}+4x^{2}−7x+2)$.
4. Показати, що$(2x+1)$ є фактором$(2x^{3}−5x^{2}+x+2)$.
5. Висота в ногах предмета, кинутого в повітря, задається функцією$h(t)=−16t^{2}+32t$, де$t$ - час у секундах після того, як він кидається. Запишіть функцію в факторованому вигляді.
6. Висота в ногах предмета, опущеного з драбини$16$ -фут,$t$ задається функцією$h(t)=−16t^{2}+16$, де - час у секундах після його кидання. Запишіть функцію в факторованому вигляді.
7. Площа поверхні циліндра задається за формулою$SA=2πr^{2}+2πrh$, де$r$ представляє радіус основи і$h$ висота циліндра. Висловіть цю формулу в факторованому вигляді.
   
   Малюнок$\PageIndex{1}$
8. Площа поверхні конуса задається за формулою$SA=πr^{2}+πrs$, де$r$ представляє радіус основи і$s$ представляє висоту нахилу. Висловіть цю формулу в факторованому вигляді.
   
   Малюнок$\PageIndex{2}$

Відповідь

5. $h(t)=−16t(t−2)$

7. $SA=2πr(r+h)$

Вправа$\PageIndex{10}$ Factor by Grouping

Фактор за групуванням.

1. $x^{2}−10x+2x−20$
2. $x^{2}−6x−3x+18$
3. $x^{3}+2x^{2}+2x+4$
4. $x^{3}−3x^{2}+5x−15$
5. $x^{3}+7x^{2}−2x−14$
6. $2x^{3}+2x^{2}−x−1$
7. $x^{3}−5x^{2}+4x−20$
8. $6x^{3}−3x^{2}+2x−1$
9. $9x^{3}−6x^{2}−3x+2$
10. $2x^{4}−x^{3}−6x+3$
11. $x^{5}+x^{3}+2x^{2}+2$
12. $6x^{5}−4x^{3}−9x^{2}+6$
13. $3a^{3}b+3ab^{2}+2a^{2}+2b$
14. $2a^{3}+2ab^{3}−3a^{2}b−3b^{4}$
15. $2a^{3}−a^{2}b^{2}−2ab+b^{3}$
16. $a^{4}−3a^{3}b^{2}+ab^{2}−3b^{4}$
17. $3a^{2}b^{4}−6b^{3}−a^{2}b+2$
18. $3x^{3}+2y^{3}+x^{3}y^{3}+6$
19. $−3x^{3}−5y^{3}+x^{3}y^{3}+15$
20. $2x^{3}y^{3}+2−y^{3}−4x^{3}$
21. $3x^{2}−y^{3}+xy^{2}−3xy$
22. $2x^{2}+y^{3}−2xy−xy^{2}$

Відповідь

1. $(x−10)(x+2)$

3. $(x+2)(x^{2}+2)$

5. $(x+7)(x^{2}−2)$

7. $(x−5)(x^{2}+4)$

9. $(3x−2)(3x^{2}−1)$

11. $(x^{2}+1)(x^{3}+2)$

13. $(a^{2}+b)(3ab+2)$

15. $(a^{2}−b)(2a−b^{2})$

17. $(3b^{3}−1)(a^{2}b−2)$

19. $(x^{3}−5)(y^{3}−3)$

21. $(x−y)(3x+y^{2})$

Вправа$\PageIndex{11}$ Factor by Grouping

Спочатку коефіцієнт GCF, а потім фактор шляхом групування.

1. $5x^{2}−35x−15x+105$
2. $12x^{2}−30x−12x+30$
3. $2x^{3}+6x^{2}−10x−30$
4. $6x^{3}−3x^{2}−42x+21$
5. $4x^{4}+4x^{3}−12x^{2}−12x$
6. $−9x^{4}+6x^{3}−45x^{2}+30x$
7. $−12x^{5}+4x^{4}+6x^{3}−2x^{2}$
8. $24x^{5}−36x^{4}+8x^{3}−12x^{2}$
9. $24a^{3}b^{2}−60a^{3}b+40ab^{2}−100ab$
10. $a^{4}b^{2}−2a^{3}b^{3}+a^{2}b^{3}−2ab^{4}$

Відповідь

1. $5(x−7)(x−3)$

3. $2(x+3)(x^{2}−5)$

5. $4x(x+1)(x^{2}−3)$

7. $−2x^{2}(3x−1)(2x^{2}−1)$

9. $4ab(3a^{2}+5)(2b−5)$

Вправа$\PageIndex{12}$ Discussion Board Topics

1. Дослідження евклідового алгоритму знаходження ЗКФ двох натуральних чисел. Наведіть приклад, який ілюструє кроки.
2. Досліджуйте та обговоріть внесок Евкліда Олександрійського.
3. Поясніть, що таке факторинг і наведемо приклад.
4. Чи$5x(x+2)−3(x+2)$ повністю врахується? Поясніть.
5. Складіть власну проблему факторингу та надайте відповідь. Опублікуйте проблему та рішення на дошці обговорень.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

5. Відповіді можуть відрізнятися