6.2: Факторингові термінали форми x²+bx+c

Цілі навчання

• Факторні триноміали форми\(x^{2}+bx+c\).
• Факторні триноми за допомогою методу змінного струму.

Факторинг Тримінал форми\(x^{2}+bx+c\)

Деякі триноми форми\(x^{2}+bx+c\) можуть враховуватися як добуток біноміалів. Наприклад,

\(x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)\)

Ми можемо перевірити цю факторизацію, множивши:

\(\begin{aligned}(x+2)(x+5)&=x^{2}+5x+2x+10\\&=x^{2}+7x+10\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Триноміали факторингу вимагають, щоб ми працювали над розподільним процесом у зворотному напрямку. Зверніть увагу, що добуток перших членів кожного біноміала дорівнює першому члену триноміала.

\(x\cdot x=x^{2}\)

Середній член триноміала,\(7x\), - це сума добутків зовнішнього і внутрішнього членів біноміалів:

\(5x+2x=7x\)

А добуток останніх членів кожного біноміала дорівнює останньому члену тріноміала.

\(2\cdot 5=10\)

Це можна візуально інтерпретувати наступним чином:

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Якщо триноміал такого типу чинників, то ці відносини будуть вірними:

\(\begin{aligned} x^{2}+bx+c&=(x+m)(x+n) \\ &=x^{2}+nx+mx+mn \\ &=x^{2}+(n+m)x+mn \end{aligned}\)

Це дає нам

\[b=n+m \quad\text{and}\quad c=mn\]

Коротше кажучи, якщо провідний коефіцієнт факторного триноміала один, то коефіцієнти останнього члена повинні складати до коефіцієнта середньострокового. Це спостереження є ключем до факторингу триномів за допомогою техніки відомих астриальних і помилок (або вгадати і перевірити). Кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(x^{2}+7x+12\)

Рішення:

Зауважте, що многочлен, який підлягає фактору, має три члени; це триноміал з провідним коефіцієнтом\(1\). Використовуйте метод проб і помилок, щоб врахувати наступне:

Крок 1: Напишіть два набори порожніх дужок. Якщо триноміал цього форм-фактора, то він буде множиться на два лінійних біноміальних множника.

\(x^{2}+7x+12=(\quad )(\quad )\)

Крок 2: Запишіть множники першого члена в першому просторі кожного набору дужок. В даному випадку фактор\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}+7x+12=(x\quad )(x\quad )\)

Крок 3: Визначте фактори останнього члена, сума яких дорівнює коефіцієнту середнього терміну. Для цього перерахуйте всі множники\(12\) і шукайте фактори, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокового,\(7\).

\(\begin{aligned} 12&=1\cdot 12 & \rightarrow 1+12=13 \\ &=2\cdot 6 &\rightarrow 2+6=8 \\ &=\color{OliveGreen}{3\cdot 4} &\color{OliveGreen}{\rightarrow 3+4=7} \end{aligned}\)

Вибирайте\(12 = 3 ⋅ 4\) тому, що\(3 + 4 = 7\).

Крок 4: Напишіть в останньому семестрі кожного біноміала, використовуючи фактори, визначені на попередньому кроці.

\(x^{2}+7x+12=(x+3)(x+4)\)

Крок 5: Перевірте, множивши два біноміали.

\(\begin{aligned} (x+3)(x+4)&=x^{2}+4x+3x+12 \\ &=x^{2}+7x+12\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x+3)(x+4)\)

Оскільки множення є комутативним, порядок факторів не має значення.

\(\begin{aligned}x^{2}+7x+12&=(x+3)(x+4) \\ &=(x+4)(x+3) \end{aligned}\)

Якщо останній член триноміала позитивний, то або обидва постійні фактори повинні бути негативними, або обидва повинні бути позитивними. Тому, дивлячись на список факторизацій останнього члена, ми шукаємо суми, які дорівнюють коефіцієнту середньострокового.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(x^{2}-9x+20\).

Рішення:

По-перше, фактор\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}-9x+20=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Далі визначаємо, до яких факторів\(20\) додаються\(−9\):

\(\begin{aligned}20&=1\cdot 20 \\&-2\cdot 10\\ &=4\cdot 5 \end{aligned}\)

В цьому випадку вибирають\(−4\) і\(−5\) тому, що\((−4)(−5)=+20\) і\(−4+(−5)=−9\).

\(x^{2}-9x+20=(x-4)(x-5)\)

Перевірка.

\(\begin{aligned} (x-4)(x-5)&=x^{2}-5x-4x+20 \\ &=x^{2}-9x+20\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x-4)(x-5)\)

Якщо останній термін триноміала негативний, то один з його факторів повинен бути негативним. У цьому випадку шукайте список факторизацій останнього члена на предмет відмінностей, які дорівнюють коефіцієнту середнього члена.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Фактор:

\(x^{2}-4x-12\).

Рішення:

Почніть з факторингу першого терміну\(x^{2}=x⋅x\).

\(x^{2}-4x-12=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Фактори розвитку\(12\) наведені нижче. У цьому прикладі ми шукаємо фактори, різниця яких є\(−4\).

Тут вибирають фактори\(2\) і\(−6\) тому, що коефіцієнт середнього терміну\(−4\), виходить, якщо додати\(2+(−6)\).

\(x^{2}-4x-12=(x+2)(x-6)\)

Помножте для перевірки.

Відповідь:

\((x+2)(x-6)\)

Часто наше перше припущення не дасть правильної факторизації. Цей процес може зажадати повторних випробувань. З цієї причини перевірка дуже важлива і не є необов'язковою.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Фактор:

\(x^{2}+5x-6\).

Рішення:

Перший термін цього триноміального\(x^{2}\) чинника як\(x⋅x\).

\ (x^ {2} +5x-6= (х\ квад?) (х\ квад?)

Розглянемо фактори\(6\):

\(\begin{aligned}6&=1\cdot 6 \\ &=2\cdot 3 \end{aligned}\)

Припустимо, ми вибираємо фактори\(2\) і\(3\) тому\(2 + 3 = 5\), що коефіцієнт середньострокової. Тоді ми маємо наступну некоректну факторизацію:

\(x^{2}+5x-6\color{black}{\stackrel{\color{red}{?}}{=}}(x+2)(x+3)\)

Коли ми множимо, щоб перевірити, ми знаходимо помилку.

\(\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x^{2}+3x+2x+6 \\ &=x^{2}+5x\color{red}{+6\qquad x} \end{aligned}\)

У цьому випадку середній термін є правильним, але останній термін - ні. Так як останній термін в вихідному вираженні негативний, потрібно вибирати фактори, протилежні за знаком. Тому треба спробувати ще раз. Цього разу ми вибираємо фактори\(−1\) і\(6\) тому\(−1+6=5\).

\(x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6)\)

Тепер перевірка показує, що ця факторизація правильна.

Відповідь:

\((x-1)(x+6)\)

Якщо ми вибираємо фактори з розумом, то зможемо скоротити значну частину здогадок в цьому процесі. Однак, якщо припущення не є правильним, не турбуйтеся; просто спробуйте інший набір факторів.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Фактор:

\(x^{2}+3x+20\).

Рішення:

\(\begin{aligned} x^{2}+3x+20&=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)} \\ 20&=1\cdot 20 \\ &=2\cdot 10 \\ &=4\cdot 5 \end{aligned}\)

Тут немає факторів, сума\(20\) яких є\(3\). Тому початковий триноміал не може бути врахований як добуток двох біноміалів. Цей триноміал є простим.

Відповідь:

Прем'єр

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Фактор:

\(x^{2}-13x-30\).

Відповідь

\((x+2)(x−15)\)

Описані методи також можуть бути використані для фактора триномів з більш ніж однією змінною.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Фактор:

\(x^{2}-14xy-72y^{2}\)

Рішення:

Перший термін\(x^{2}\) чинники як\(x⋅x\).

\(x^{2}+xy-72y^{2}=(x\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)(x}\quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}\)

Далі шукаємо фактори коефіцієнта останнього члена\(72\), сума яких дорівнює\(−14\).

\(\begin{aligned} 72&=1\cdot 72 \\ &=2\cdot 36 \\ &=3\cdot 24 \\ &\color{OliveGreen}{=4\cdot 18} &\color{OliveGreen}{\rightarrow 4+(-18)=-14} \\ &=6\cdot 12 \\ &=8\cdot 9 \end{aligned}\)

Тому коефіцієнт останнього терміну може бути врахований\(−72=4(−18)\), де\(4+(−18)=−14\). Оскільки останній термін має змінний коефіцієнт of\(y^{2}\), фактор\(72y^{2}\) як\(4y(−18y)\) і спробуйте наступну факторизацію:

\(x^{2}-14xy-72y^{2}=(x+4y)(x-18y)\)

Помножте для перевірки.

\(\begin{aligned} (x+4y)(x-18y)&=x^{2}-18xy+4xy-72y^{2} \\ &=x^{2}-14xy-72y^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Візуально ми маємо наступне:

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Відповідь:

\((x+4y)(x-18y)\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Фактор:

\(x^{2}y^{2}+9xy−10\).

Відповідь

\((xy−1)(xy+10)\)

Факторинг з використанням методу AC

Альтернативний метод факторингу триномів, званий методом АС, використовує метод групування для факторингу чотиричленних поліномів. Якщо триноміал у формі\(ax^{2}+bx+c\) може бути врахований, то середній член\(bx\), може бути замінений двома долями з коефіцієнтами, сума яких дорівнює\(b\) і добутку\(ac\). Ця заміна призводить до еквівалентного виразу з чотирма термінами, які можуть бути враховані шляхом групування. Кроки викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Фактор за допомогою методу змінного струму:

\(x^{2}−x−30\).

Рішення:

У цьому\(a = 1, b = −1\) прикладі і\(c = −30\).

Крок 1: Визначте виріб\(ac\).

Крок 2: Знайдіть коефіцієнти\(ac\), сума яких дорівнює коефіцієнту середнього терміну,\(b\).

\(\begin{aligned} -30&=1(-30) \\ &=2(-15) \\ &=3(-10) \\ &=\color{OliveGreen}{5(-5)} &\color{OliveGreen}{\rightarrow\:5+(-6)=-1} \end{aligned}\)

Ми бачимо, що сума множників\(5\) і\(−6\) дорівнює коефіцієнту середнього терміну,\(−1\).

Крок 3: Використовуйте коефіцієнти як коефіцієнти для термінів, які замінюють середній термін. Ось\(−x=−6x+5x\). Напишіть

\(x^{2}\color{OliveGreen}{-x}\color{black}{-30=x^{2}}\color{OliveGreen}{-6x+5x}\color{black}{-30}\)

Крок 4: Фактор еквівалентного виразу шляхом групування.

\(\begin{array}{cccc}{x^{2}-x-30=}&{\underbrace{x^{2}-6x}}&{+}&{\underbrace{5x-20}}\\{}&{\color{Cerulean}{group}}&{}&{\color{Cerulean}{group}} \end{array}\)

\(\begin{aligned} &=x(x-6)+5(x-6) \\ &=(x-6)(x+5) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x-6)(x+5)\)

Зверніть увагу, що метод змінного струму узгоджується з методом проб і помилок. Обидва методи вимагають того\(b=m+n\), де\(c=mn\). У прикладі вище,\(−30=(−6)(5)\) і\(−1=(−6)+5\). Єдина відмінність між методами, коли провідний коефіцієнт є\(1\), полягає в процесі, який використовується для отримання остаточної факторизації.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Фактор:

\(y^{2}-14x+48\).

Рішення:

Ось\(ac = 48\) і шукаємо фактори, сума яких є\(−14\).

\(\begin{aligned} 48&=1(48) \\ &=2(24)\\ &=3(16)\\ &=4(12)\\&=\color{OliveGreen}{6(8)} &\color{OliveGreen}{\rightarrow -6+(-8)=-14} \end{aligned}\)

Тому,\(−14x=−6x−8x\). Замініть нові терміни і коефіцієнт групуванням.

\(\begin{aligned} y^{2}-14x+48&=x^{2}\color{OliveGreen}{-6x-8x}\color{black}{+48} \\ &=x(x-6)-8(x-6)\\&=(x-6)(x-8) \end{aligned}\)

Відповідь:

\((x-6)(x-8)\). Чек залишається на утриманні зчитувача.

На цьому етапі рекомендується, щоб читач зупинився і врахував стільки тріномів форми,\(x^{2}+bx+c\) скільки дозволяє час, перш ніж перейти до наступного розділу. Факторинг триноміалів є одним з найбільш важливих навичок, які ми вивчаємо в цьому курсі і повинні бути освоєні.

Ключові виноси

• Фактор тріноміал, систематично вгадуючи, які фактори дають два біноми, чиї продукт є вихідним триноміалом.
• Якщо триноміал\(x^{2}+bx+c\) форм-факторів у добуток двох біноміалів, то коефіцієнт середнього члена - це сума множників останнього члена.
• Не всі триноміали можуть бути враховані як добуток біноміалів з цілими коефіцієнтами. У цьому випадку ми називаємо його простим триноміалом.
• Факторинг є одним з найбільш важливих навичок, необхідних в алгебрі. З цієї причини ви повинні практикувати роботу стільки проблем, скільки потрібно, щоб стати досвідченим.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Factoring Trinomials with Leading Coefficient 1

Чи правильно враховано наступне? Перевірка шляхом множення.

1. \(x^{2}+5x−6=(x+2)(x+3) \)
2. \(x^{2}+6x+16=(x+8)(x−2) \)
3. \(y^{2}+2y−8=(y+4)(y−2)\)
4. \(y^{2}−10y+21=(y−3)(y−7) \)
5. \(a^{2}−10a+25=(a−5)^{2}\)
6. \(a^{2}+6a+9=(a−3)^{2}\)
7. \(x^{2}+10x−25=(x+5)(x−5) \)
8. \(x^{2}+5x+14=(x−2)(x+7) \)
9. \(y^{2}+50y−600=(y+60)(y−10) \)
10. \(y^{2}−3y+2=(y−2)(y−1)\)

Відповідь

1. Ні

3. Так

5. Так

7. Ні

9. Так

Вправа\(\PageIndex{4}\) Factoring Trinomials with Leading Coefficient 1

Фактор.

1. \(x^{2}+6x+8 \)
2. \(x^{2}+4x+3 \)
3. \(x^{2}+3x+2 \)
4. \(x^{2}+x−2 \)
5. \(x^{2} + 3 x −10 \)
6. \(x^{ 2} − 2x −35 \)
7. \(x^{ 2} −13 x +12 \)
8. \(x^{ 2} −15 x +36 \)
9. \(x^{ 2} −12x +36 \)
10. \(x^{ 2} +18 x +81 \)
11. \(x^{ 2} − 2x + 1 \)
12. \(x^{ 2} −18 x +81 \)
13. \(x^{ 2} + 5 x + 5 \)
14. \(x^{ 2} − 4x + 6 \)
15. \(x^{ 2} −20x +91 \)
16. \(x^{ 2} +20x +91 \)
17. \(x^{ 2} − 2x −48 \)
18. \(x^{ 2} +16x +48 \)
19. \(x^{ 2} +22x +48 \)
20. \(x^{ 2} +22x −48 \)
21. \(y^{ 2} + 7y +12 \)
22. \(y^{ 2} + 8y −20 \)
23. \(y^{ 2} −16y +60 \)
24. \(y^{ 2} −31 y −32 \)
25. \(a^{ 2} −11 a −42 \)
26. \(a^{ 2} −14 a −51 \)
27. \(a^{ 2} +26 a +25 \)
28. \(a^{ 2} −22 a +120 \)
29. \(a^{ 2} + 4 a − 1 \)
30. \(a^{ 2} − 6 a + 2 \)
31. \(y^{ 2} −14x +40 \)
32. \(y^{ 2} − 4y −96\)
33. \(x^{ 2} − 2xy +y^{ 2}\)
34. \(x^{2}+2xy+y^{2}\)
35. \(x^{2}−16xy+15y^{2}\)
36. \(x^{2}−4xy−32y^{2}\)
37. \(x^{2}+2xy−15y^{2}\)
38. \(x^{2}−12xy+32y^{2}\)
39. \(x^{2}y^{2}−6xy+9\)
40. \(x^{2}y^{2}+25xy−26\)
41. \(a^{2}+4ab+4b^{2}\)
42. \(a^{2}−19ab−20b^{2}\)
43. \(a^{2}−ab−12b^{2}\)
44. \(a^{2}−10ab−56b^{2}\)
45. \(a^{2}b^{2}−2ab−15\)
46. \(a^{2}b^{2}−10ab+24\)
47. Площа квадрата задається функцією\(A(x)=x^{2}−14x+49\), де\(x\) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.
48. Площа квадрата задається функцією\(A(x)=x^{2}+16x+64\), де\(x\) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію в факторованому вигляді.

Відповідь

1. \((x+2)(x+4)\)

3. \((x+1)(x+2)\)

5. \((x−2)(x+5)\)

7. \((x−1)(x−12)\)

9. \((x−6)^{2}\)

11. \((x−1)^{2}\)

13. Прем'єр

15. \((x−7)(x−13)\)

17. \((x+6)(x−8) \)

19. Прем'єр

21. \((y+3)(y+4)\)

23. \((y−6)(y−10)\)

25. \((a+3)(a−14)\)

27. \((a+1)(a+25)\)

29. Прем'єр

31. \((y−10)(y−4)\)

33. \((x−y)^{2}\)

35. \((x−15y)(x−y)\)

37. \((x+5y)(x−3y)\)

39. \((xy−3)^{2}\)

41. \((a+2b)^{2}\)

43. \((a+3b)(a−4b)\)

45. \((ab+3)(ab−5)\)

45. \(A(x)=(x−7)^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Factor Using the AC Method

Фактор за допомогою методу змінного струму.

1. \(x^{2}+5x−14 \)
2. \(x^{2}+2x−48 \)
3. \(x^{2}−9x+8 \)
4. \(x^{2}−14x+24 \)
5. \(x^{2}−x−72 \)
6. \(x^{2}−x−90 \)
7. \(y^{2}−8y+16 \)
8. \(y^{2}+16y+64\)
9. \(x^{2}+4x+12 \)
10. \(x^{2}+5x−8\)
11. \(x^{2}+3xy−18y2 \)
12. \(x^{2}−15xy+50y^{2}\)

Відповідь

1. \((x+7)(x−2)\)

3. \((x−8)(x−1)\)

5. \((x−9)(x+8)\)

7. \((y−4)^{2}\)

9. Прем'єр

11. \((x+6y)(x−3y)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Discussion Board Topics

1. Створіть свій власний триноміал форми\(x^{2}+bx+c\), що чинники. Поділіться ним разом з рішенням на дошці обговорень.
2. Напишіть свій власний список кроків для факторингу триноміалу форми\(x^{2}+bx+c\) та поділіться своїми кроками на дошці обговорень.
3. Створіть тріноміал, який не враховує, і поділіться ним разом із поясненням того, чому він не впливає.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися