5.3: Додавання та віднімання многочленів
- Page ID
- 58039
Цілі навчання
- Додайте многочлени.
- Відніміть многочлени.
- Додавання та віднімання поліноміальних функцій
Додавання многочленів
Нагадаємо, що ми поєднуємо подібні терміни, або терміни з тією ж змінною частиною, як засіб для спрощення виразів. Для цього складають коефіцієнти термінів, щоб отримати єдиний член з однаковою змінною частиною. Наприклад,
\[5x^{2}+8x^{2}=13x^{2}\]
Зверніть увагу, що змінна частина\(x^{2}\), не змінюється. Це, крім комутативних і асоціативних властивостей додавання, дозволяє додавати поліноми.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Додати:
\(3x+(4x−5)\).
Рішення:
Властивість\(+(a+b)=a+b\), яка була виведена за допомогою властивості distributive, дозволяє нам видалити дужки, щоб ми могли додавати подібні терміни.
Відповідь:
\(7x-5\)
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Додати:
\((3x^{2}+3x+5)+(2x^{2}−x−2)\).
Рішення:
Видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
Відповідь:
\(5x^{2}+2x+3\)
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Додати:
\((−5x^{2}y−2xy^{2}+7xy)+(4x^{2}y+7xy^{2}−3xy)\).
Рішення:
Пам'ятайте, що змінні частини повинні бути точно такими ж, перш ніж ми зможемо додати коефіцієнти.
\(\begin{aligned} &(−5x^{2}y−2xy^{2}+7xy)+(4x^{2}y+7xy^{2}−3xy) \\ &=\color{Cerulean}{\underline{-5x^{2}y}}\color{black}{-}\color{OliveGreen}{\underline{\underline{2xy^{2}}}}\color{black}{+\underline{\underline{\underline{7xy}}}+}\color{Cerulean}{\underline{4x^{2}y}}\color{black}{+}\color{OliveGreen}{\underline{\underline{7xy^{2}}}}\color{black}{-\underline{\underline{\underline{3xy}}}} \\ &=-x^{2}y+5xy^{2}+4xy \end{aligned}\)
Відповідь:
\(-x^{2}y+5xy^{2}+4xy\)
Загальноприйнятою практикою є представлення термінів спрощеного поліноміального виразу в порядку спадання на основі їх ступеня. Іншими словами, ми зазвичай представляємо поліноми в стандартній формі, з термінами в порядку від найвищого до нижчого ступеня.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Додати:
\((a−4a^{3}+a^{5}−8)+(−9a^{5}+a^{4}−7a+5+a^{3})\).
Рішення:
Відповідь:
\(-8a^{5}+a^{4}-3a^{3}-6a-3\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Додати:
\((6−5x^{3}+x^{2}−x)+(x^{2}+x+6x^{3}−1)\).
- Відповідь
-
\(x^{3}+2x^{2}+5\)
Віднімання многочленів
При відніманні многочленів ми бачимо, що дужки стають дуже важливими. Нагадаємо, що розподільне майно дозволило нам вивести наступне:
\[-(a+b)=-a-b\]
Іншими словами, при відніманні алгебраїчного виразу ми прибираємо дужки, віднімаючи кожен член.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Відніміть:
\(10x−(3x+5)\).
Рішення:
Відніміть кожен член в дужках, а потім об'єднайте подібні терміни.
Відповідь:
\(7x-5\)
Віднімання кількості еквівалентно множенню її на\(−1\).
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Відніміть:
\((3x^{2}+3x+5)−(2x^{2}−x−2)\).
Рішення:
Розподіліть\(−1\), видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
Відповідь:
\(x^{2}+4x+7\)
Множення членів многочлена на\(−1\) змінює всі ознаки.
Приклад\(\PageIndex{7}\)
Відніміть:
\((−5x^{3}−2x^{2}+7)−(4x^{3}+7x^{2}−3x+2)\).
Рішення:
Розподіліть\(−1\), видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
Відповідь:
\(-9x^{3}-9x^{2}+3x+5\)
Приклад\(\PageIndex{8}\)
Відняти\(6x^{2}−3x−1\) від\(2x^{2}+5x−2\).
Рішення
Оскільки віднімання не є комутативним, ми повинні подбати про правильне налаштування різниці. Спочатку напишіть кількість\((2x^{2}+5x−2)\); з цього відніміть кількість\((6x^{2}−3x−1)\).
Відповідь:
\(-4x^{2}+8x-1\)
Приклад\(\PageIndex{9}\)
Спростити:
\((2x^{2}−3x+5)−(x^{2}−3x+1)+(5x^{2}−4x−8)\).
Рішення:
Застосуйте розподільну властивість, видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
Відповідь:
\(6x^{2}-4x-4\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Відніміть:
\((8x^{2}y−5xy^{2}+6)−(x^{2}y+2xy^{2}−1)\).
- Відповідь
-
\(7x^{2}y-7xy^{2}+7\)
Додавання та віднімання поліноміальних функцій
Ми використовуємо позначення функцій для позначення додавання та віднімання функцій наступним чином:
Додавання функцій: | \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) |
---|---|
Віднімання функцій: | \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) |
Використовуючи позначення функції, будьте обережні, щоб згрупувати всю функцію і відповідно додати або відняти.
Приклад\(\PageIndex{10}\)
Обчисліть:
\((f+g)(x)\), з огляду на\(f(x)=−x^{2}−3x+5\) і\(g(x)=3x^{2}+2x+1\).
Рішення:
Позначення\((f+g)(x)\) вказує на те, що ви повинні додати функції\(f(x)+g(x)\) і збирати подібні терміни.
\(\begin{aligned} f(x)+g(x)&=(-x^{2}-3x+5)+(3x^{2}+2x+1) \\ &=-x^{2}-3x+5+3x^{2}+2x+1 \\ &=2x^{2}-x+6 \end{aligned}\)
Відповідь:
\((f+g)(x) = 2x^{2}-x+6\)
Приклад\(\PageIndex{11}\)
Обчисліть:
\((f−g)(x)\), з огляду на\(f(x)=2x−3\) і\(g(x)=−2x^{2}+2x+5\).
Рішення:
Позначення\((f−g)(x)\) вказує на те, що слід відняти функції\(f(x)−g(x)\):
Відповідь:
\((f-g)(x)=2x^{2}-8\)
Нас можуть попросити оцінити суму або різницю двох функцій. У нас є можливість спочатку знайти суму або різницю і використовувати результуючу функцію для оцінки заданої змінної, або спочатку оцінити кожну функцію, а потім знайти суму або різницю.
Приклад\(\PageIndex{12}\)
Обчисліть:
\((f−g)(5)\), з огляду на\(f(x)=x^{2}+x−7\) і\(g(x)=4x+10\).
Рішення:
Спочатку знайдіть\((f−g)(x)=f(x)−g(x)\).
Тому
\((f-g)(x)=x^{2}-3x-17\)
Далі\(5\) підставляємо змінну\(x\).
Відповідь:
\((f-g)(5)=-7\)
Альтернативне рішення:
Так як\((f−g)(5)=f(5)−g(5)\), ми можемо знайти,\(f(5)\)\(g(5)\) а потім відняти результати.
\(\begin{array}{c|c} {f(x)=x^{2}+x-7}&{g(x)=4x+10}\\{f(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)-7}}&{g(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=4(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)+10}}\\{=25+5-7}&{=20+10}\\{=23}&{=30} \end{array}\)
Тому у нас є
Відповідь:
\((f-g)(5)=-7\)
Ключові винос
- При додаванні поліномів видаліть пов'язані дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
- При відніманні поліномів розподіліть\(−1\) і відніміть всі члени, перш ніж видаляти дужки та поєднувати подібні терміни.
- Позначення\((f+g)(x)\) вказує на те, що ви додаєте функції.
- Позначення\((f−g)(x)\) вказує на те, що ви віднімаєте функції
Вправа\(\PageIndex{3}\) Addition of Polynomials
Додати.
- \((2x+1)+(−x+7)\)
- \((−6x+5)+(3x−1)\)
- \((\frac{2}{3}x+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}x−2)\)
- \((\frac{1}{3}x−\frac{3}{4})+(\frac{5}{6}x+\frac{1}{8})\)
- \((2x+1)+(x−3)+(5x−2)\)
- \((2x−8)+(−3x^{2}+7x−5)\)
- \((x^{2}−3x+7)+(3x^{2}−8x−5)\)
- \((−5x^{2}−1+x)+(−x+7x^{2}−9)\)
- \((\frac{1}{2}x^{2}−\frac{1}{3}x+\frac{1}{6})+(−\frac{3}{2}x^{2}+\frac{2}{3}x−1)\)
- \((−\frac{3}{5}x2+\frac{1}{4}x−6)+(2x^{2}−\frac{3}{8}x+\frac{5}{2})\)
- \((x^{2}+5)+(3x^{2}−2x+1)+(x^{2}+x−3)\)
- \((a^{3}−a^{2}+a−8)+(a^{3}+a^{2}+6a−2)\)
- \((a^{3}−8)+(−3a^{3}+5a^{2}−2)\)
- \((4a^{5}+5a^{3}−a)+(3a^{4}−2a^{2}+7)\)
- \((2x^{2}+5x−12)+(7x−5)\)
- \((3x+5)+(x^{2}−x+1)+(x^{3}+2x^{2}−3x+6)\)
- \((6x^{5}−7x^{3}+x^{2}−15)+(x^{4}+2x^{3}−6x+12)\)
- \((1+7x−5x^{3}+4x^{4})+(−3x^{3}+5−x^{2}+x)\)
- \((x^{2}y^{2}−7xy+7)+(4x^{2}y^{2}−3xy−8)\)
- \((x^{2}+xy−y^{2})+(7x^{2}−5xy+2y^{2})\)
- \((2x^{2}+3xy−7y^{2})+(−5x^{2}−3xy+8y^{2})\)
- \((a^{2}b^{2}−100)+(2a^{2}b^{2}−3ab+20)\)
- \((ab^{2}−3a^{2}b+ab−3)+(−2a^{2}b+ab^{2}−7ab−1)\)
- \((10a^{2}b−7ab+8ab^{2})+(6a^{2}b−ab+5ab^{2})\)
- Знайти суму\(2x+8\) і\(7x−1\).
- Знайти суму\(13x−15\) і\(16x+110\).
- Знайти суму\(x^{2}−10x+8\) і\(5x^{2}−2x−6\).
- Знайти суму\(a^{2}−5a+10\) і\(−9a^{2}+7a−11\).
- Знайти суму\(x^{2}y^{2}−xy+6\) і\(x^{2}y^{2}+xy−7\).
- Знайти суму\(x^{2}−9xy+7y^{2}\) і\(−3x^{2}−3xy+7y^{2}\).
- Відповідь
-
1. \(x+8\)
3. \(x−\frac{3}{2}\)
5. \(8x−4\)
7. \(4x^{2}−11x+2\)
9. \(−x^{2}+\frac{1}{3}x−\frac{5}{6}\)
11. \(5x^{2}−x+3\)
13. \(−2a^{3}+5a^{2}−10\)
15. \(2x^{2}+12x−17\)
17. \(6x^{5}+x^{4}−5x^{3}+x^{2}−6x−3\)
19. \(5x^{2}y^{2}−10xy−1\)
21. \(−3x^{2}+y^{2}\)
23. \(−5a^{2}b+2ab^{2}−6ab−4 \)
25. \(9x+7\)
27. \(6x^{2}−12x+2\)
29. \(2x^{2}y^{2}−1\)
Вправа\(\PageIndex{4}\) Subtraction of Polynomials
Відніміть.
- \((5x−3)−(2x−1)\)
- \((−4x+1)−(7x+10)\)
- \((\frac{1}{4}x−\frac{3}{4})−(\frac{3}{4}x+\frac{1}{8})\)
- \((−\frac{3}{5}x+\frac{3}{7})−(\frac{2}{5}x−\frac{3}{2})\)
- \((x^{2}+7x−5)−(4x^{2}−5x+1)\)
- \((−6x^{2}+3x−12)−(−6x^{2}+3x−12)\)
- \((−3x^{3}+4x−8)−(−x^{2}+4x+10)\)
- \((\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x−\frac{3}{4})−(\frac{3}{2}x^{2}−\frac{1}{6}x+\frac{1}{2})\)
- \((\frac{5}{9}x^{2}+\frac{1}{5}x−\frac{1}{3})−(\frac{1}{3}x^{2}+\frac{3}{10}x+\frac{5}{9})\)
- \((a^{3}−4a^{2}+3a−7)−(7a^{3}−2a^{2}−6a+9)\)
- \((3a^{3}+5a^{2}−2)−(a^{3}−a+8)\)
- \((5x^{5}+4x^{3}+x^{2}−6)−(4x^{4}−3x^{3}−x+3)\)
- \((3−5x−x^{3}+5x^{4})−(−5x^{3}+2−x^{2}−7x)\)
- \((x^{5}−6x^{3}+9x)−(4x^{4}+2x^{2}−5)\)
- \((2x^{2}y^{2}−4xy+9)−(3x^{2}y^{2}−3xy−5)\)
- \((x^{2}+xy−y^{2})−(x^{2}+xy−y^{2})\)
- \((2x^{2}+3xy−7y^{2})−(−5x^{2}−3xy+8y^{2})\)
- \((ab^{2}−3a^{2}b+ab−3)−(−2a^{2}b+ab^{2}−7ab−1)\)
- \((10a^{2}b−7ab+8ab^{2})−(6a^{2}b−ab+5ab^{2})\)
- \((10a^{2}b^{2}+5ab−6)−(5a^{2}b^{2}+5ab−6)\)
- Відняти\(3x+1\) від\(5x−9\).
- Відняти\(x^{2}−5x+10\) від\(x^{2}+5x−5\).
- Знайдіть різницю\(3x−7\) і\(8x+6\).
- Знайдіть різницю\(2x^{2}+3x−5\) і\(x^{2}−9\).
- Вартість в доларах виробництва кавових кухлів на замовлення з логотипом компанії задається за формулою\(C=150+0.10x\), де\(x\) знаходиться кількість вироблених чашок. Виручка від продажу чашок в фірмовому магазині дається за рахунок того\(R=10x−0.05x^{2}\), де\(x\) знаходиться кількість проданих одиниць.
- Знайдіть формулу отримання прибутку. (прибуток = виручка − вартість)
- Знайти прибуток від виробництва і продажу 100 кухлів можна в фірмовому магазині.
- Вартість в доларах виробництва толстовки задається формулою\(C=10q+1200\), де\(C\) знаходиться вартість і\(q\) представляє кількість виробленої. Дохід, отриманий від продажу футболок за $\(37\) кожен, дається\(R=37q\), де\(q\) представляє кількість проданих. Визначте прибуток, отриманий\(125\), якщо виробляються та продаються сорочки.
- Зовнішній радіус шайби в\(3\) рази перевищує радіус отвору.
\(\PageIndex{2}\)
Малюнок а. вивести формулу для площі грані шайби.
б. яка площа шайби, якщо отвір має діаметр\(10\) міліметрів? - Вивести формулу для площі поверхні наступного прямокутного тіла.
Малюнок\(\PageIndex{3}\)
- Відповідь
-
1. \(3x−2\)
3. \(−\frac{1}{2}x−\frac{7}{8}\)
5. \(−3x^{2}+12x−6\)
7. \(−3x^{3}+x^{2}−18\)
9. \(\frac{2}{9}x^{2}−\frac{1}{10}x−\frac{8}{9}\)
11. \(2a^{3}+5a^{2}+a−10\)
13. \(5x^{4}+4x^{3}+x^{2}+2x+1\)
15. \(−x^{2}y^{2}−xy+14\)
17. \(7x^{2}+6xy−15y^{2}\)
19. \(4a^{2}b+3ab^{2}−6ab\)
21. \(2x−10\)
23. \(−5x−13 \)
25. а.\(P=−0.05x^{2}+9.9x−150\); б. $\(340\)
27. а.\(A=8πr^{2}\); б.\(628.32\) квадратних міліметрів
Вправа\(\PageIndex{5}\) Addition and Subtraction of Polynomial
Спростити.
- \((2x+3)−(5x−8)+(x−7) \)
- \((3x−5)−(7x−11)−(5x+2) \)
- \((3x−2)−(4x−1)+(x+7) \)
- \((5x−3)−(2x+1)−(x−1) \)
- \((5x^{2}−3x+2)−(x^{2}+x−4)+(7x^{2}−2x−6) \)
- \((−2x^{3}+x^{2}−8)−(3x^{2}+x−6)−(2x−1)\)
- \((2x−7)−(x^{2}+3x−7)+(6x−1)\)
- \((6x^{2}−10x+13)+(4x^{2}−9)−(9−x^{2})\)
- \((a^{2}−b^{2})−(2a^{2}+3ab−4b^{2})+(5ab−1)\)
- \((a^{2}−3ab+b^{2})−(a^{2}+ b^{2})−(3ab−5)\)
- \((\frac{1}{2}x^{2}−\frac{3}{4}x+\frac{1}{4})−(\frac{3}{2}x−\frac{3}{4})+(\frac{5}{4}x−\frac{1}{2})\)
- \((\frac{9}{5}x^{2}−\frac{1}{3}x+2)−(\frac{3}{10}x^{2}−\frac{4}{5})−(x+\frac{5}{2})\)
- Відповідь
-
1. \(−2x+4\)
3. \(6\)
5. \(11x^{2}−6x\)
7. \(−x^{2}+5x−1\)
9. \(−a^{2}+2ab+3b^{2}−1\)
11. \(12x^{2}−x+12\)
Вправа\(\PageIndex{6}\) Addition and Subtraction of Polynomial Functions
Знайти\((f+g)(x)\) і\((f−g)(x)\), враховуючи наступні функції.
- \(f(x)=4x−1\)і\(g(x)=−3x+1\)
- \(f(x)=−x+5\)і\(g(x)=2x−3\)
- \(f(x)=3x^{2}−5x+7\)і\(g(x)=−2x^{2}+5x−1\)
- \(f(x)=x^{3}+2x^{2}−6x+2\)і\(g(x)=2x^{3}+2x^{2}−5x−1\)
- \(f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\)і\(g(x)=\frac{1}{5}x^{2}−\frac{3}{2}x+\frac{1}{6} \)
- \(f(x)=x^{2}−5x+\frac{1}{3}\)і\(g(x)=\frac{2}{3}x^{2}−x−\frac{1}{2}\)
- Відповідь
-
1. \((f+g)(x)=x\)і\((f−g)(x)=7x−2\)
3. \((f+g)(x)=x^{2}+6\)і\((f−g)(x)=5x^{2}−10x+8\)
5. \((f+g)(x)=\frac{1}{5}x^{2}−x+\frac{1}{2}\)і\((f−g)(x)=−\frac{1}{5}x^{2}+2x+\frac{1}{6}\)
Вправа\(\PageIndex{7}\) Addition and Subtraction of Polynomial Functions
Дано\(f(x)=2x−3\) і\(g(x)=x^{2}+3x−1\), знайдіть наступне.
- \((f+g)(x) \)
- \((g+f)(x) \)
- \((f−g)(x) \)
- \((g−f)(x) \)
- \((g+g)(x) \)
- \((f+g)(3) \)
- \((f+g)(−2) \)
- \((f+g)(0) \)
- \((f−g)(0) \)
- \((f−g)(−2) \)
- \((g−f)(−2) \)
- \((g−f)(12)\)
- Відповідь
-
1. \((f+g)(x)=x^{2}+5x−4\)
3. \((f−g)(x)=−x^{2}−x−2\)
5. \((g+g)(x)=2x^{2}+6x−2\)
7. \((f+g)(−2)=−10\)
9. \((f−g)(0)=−2\)
11. \((g−f)(−2)=4\)
Вправа\(\PageIndex{8}\) Addition and Subtraction of Polynomial Functions
Дано\(f(x)=5x^{2}−3x+2\) і\(g(x)=2x^{2}+6x−4\), знайдіть наступне.
- \((f+g)(x) \)
- \((g+f)(x) \)
- \((f−g)(x) \)
- \((g−f)(x) \)
- \((f+g)(−2) \)
- \((f−g)(−2) \)
- \((f+g)(0) \)
- \((f−g)(0)\)
- Відповідь
-
1. \((f+g)(x)=7x^{2}+3x−2\)
3. \((f−g)(x)=3x^{2}−9x+6\)
5. \((f+g)(−2)=20\)
7. \((f+g)(0)=−2\)