5.3: Додавання та віднімання многочленів

Цілі навчання

• Додайте многочлени.
• Відніміть многочлени.
• Додавання та віднімання поліноміальних функцій

Додавання многочленів

Нагадаємо, що ми поєднуємо подібні терміни, або терміни з тією ж змінною частиною, як засіб для спрощення виразів. Для цього складають коефіцієнти термінів, щоб отримати єдиний член з однаковою змінною частиною. Наприклад,

$$5x^{2}+8x^{2}=13x^{2}$$

Зверніть увагу, що змінна частина$x^{2}$, не змінюється. Це, крім комутативних і асоціативних властивостей додавання, дозволяє додавати поліноми.

Приклад$\PageIndex{1}$

Додати:

$3x+(4x−5)$.

Рішення:

Властивість$+(a+b)=a+b$, яка була виведена за допомогою властивості distributive, дозволяє нам видалити дужки, щоб ми могли додавати подібні терміни.

Відповідь:

$7x-5$

Приклад$\PageIndex{2}$

Додати:

$(3x^{2}+3x+5)+(2x^{2}−x−2)$.

Рішення:

Видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.

Відповідь:

$5x^{2}+2x+3$

Приклад$\PageIndex{3}$

Додати:

$(−5x^{2}y−2xy^{2}+7xy)+(4x^{2}y+7xy^{2}−3xy)$.

Рішення:

Пам'ятайте, що змінні частини повинні бути точно такими ж, перш ніж ми зможемо додати коефіцієнти.

$\begin{aligned} &(−5x^{2}y−2xy^{2}+7xy)+(4x^{2}y+7xy^{2}−3xy) \\ &=\color{Cerulean}{\underline{-5x^{2}y}}\color{black}{-}\color{OliveGreen}{\underline{\underline{2xy^{2}}}}\color{black}{+\underline{\underline{\underline{7xy}}}+}\color{Cerulean}{\underline{4x^{2}y}}\color{black}{+}\color{OliveGreen}{\underline{\underline{7xy^{2}}}}\color{black}{-\underline{\underline{\underline{3xy}}}} \\ &=-x^{2}y+5xy^{2}+4xy \end{aligned}$

Відповідь:

$-x^{2}y+5xy^{2}+4xy$

Загальноприйнятою практикою є представлення термінів спрощеного поліноміального виразу в порядку спадання на основі їх ступеня. Іншими словами, ми зазвичай представляємо поліноми в стандартній формі, з термінами в порядку від найвищого до нижчого ступеня.

Приклад$\PageIndex{4}$

Додати:

$(a−4a^{3}+a^{5}−8)+(−9a^{5}+a^{4}−7a+5+a^{3})$.

Рішення:

Відповідь:

$-8a^{5}+a^{4}-3a^{3}-6a-3$

Вправа$\PageIndex{1}$

Додати:

$(6−5x^{3}+x^{2}−x)+(x^{2}+x+6x^{3}−1)$.

Відповідь

$x^{3}+2x^{2}+5$

Віднімання многочленів

При відніманні многочленів ми бачимо, що дужки стають дуже важливими. Нагадаємо, що розподільне майно дозволило нам вивести наступне:

$$-(a+b)=-a-b$$

Іншими словами, при відніманні алгебраїчного виразу ми прибираємо дужки, віднімаючи кожен член.

Приклад$\PageIndex{5}$

Відніміть:

$10x−(3x+5)$.

Рішення:

Відніміть кожен член в дужках, а потім об'єднайте подібні терміни.

Відповідь:

$7x-5$

Віднімання кількості еквівалентно множенню її на$−1$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Відніміть:

$(3x^{2}+3x+5)−(2x^{2}−x−2)$.

Рішення:

Розподіліть$−1$, видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Відповідь:

$x^{2}+4x+7$

Множення членів многочлена на$−1$ змінює всі ознаки.

Приклад$\PageIndex{7}$

Відніміть:

$(−5x^{3}−2x^{2}+7)−(4x^{3}+7x^{2}−3x+2)$.

Рішення:

Розподіліть$−1$, видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.

Відповідь:

$-9x^{3}-9x^{2}+3x+5$

Приклад$\PageIndex{8}$

Відняти$6x^{2}−3x−1$ від$2x^{2}+5x−2$.

Рішення

Оскільки віднімання не є комутативним, ми повинні подбати про правильне налаштування різниці. Спочатку напишіть кількість$(2x^{2}+5x−2)$; з цього відніміть кількість$(6x^{2}−3x−1)$.

Відповідь:

$-4x^{2}+8x-1$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

$(2x^{2}−3x+5)−(x^{2}−3x+1)+(5x^{2}−4x−8)$.

Рішення:

Застосуйте розподільну властивість, видаліть дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.

Відповідь:

$6x^{2}-4x-4$

Вправа$\PageIndex{2}$

Відніміть:

$(8x^{2}y−5xy^{2}+6)−(x^{2}y+2xy^{2}−1)$.

Відповідь

$7x^{2}y-7xy^{2}+7$

Додавання та віднімання поліноміальних функцій

Ми використовуємо позначення функцій для позначення додавання та віднімання функцій наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{1}$

Додавання функцій:	$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
Віднімання функцій:	$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Використовуючи позначення функції, будьте обережні, щоб згрупувати всю функцію і відповідно додати або відняти.

Приклад$\PageIndex{10}$

Обчисліть:

$(f+g)(x)$, з огляду на$f(x)=−x^{2}−3x+5$ і$g(x)=3x^{2}+2x+1$.

Рішення:

Позначення$(f+g)(x)$ вказує на те, що ви повинні додати функції$f(x)+g(x)$ і збирати подібні терміни.

$\begin{aligned} f(x)+g(x)&=(-x^{2}-3x+5)+(3x^{2}+2x+1) \\ &=-x^{2}-3x+5+3x^{2}+2x+1 \\ &=2x^{2}-x+6 \end{aligned}$

Відповідь:

$(f+g)(x) = 2x^{2}-x+6$

Приклад$\PageIndex{11}$

Обчисліть:

$(f−g)(x)$, з огляду на$f(x)=2x−3$ і$g(x)=−2x^{2}+2x+5$.

Рішення:

Позначення$(f−g)(x)$ вказує на те, що слід відняти функції$f(x)−g(x)$:

Відповідь:

$(f-g)(x)=2x^{2}-8$

Нас можуть попросити оцінити суму або різницю двох функцій. У нас є можливість спочатку знайти суму або різницю і використовувати результуючу функцію для оцінки заданої змінної, або спочатку оцінити кожну функцію, а потім знайти суму або різницю.

Приклад$\PageIndex{12}$

Обчисліть:

$(f−g)(5)$, з огляду на$f(x)=x^{2}+x−7$ і$g(x)=4x+10$.

Рішення:

Спочатку знайдіть$(f−g)(x)=f(x)−g(x)$.

Тому

$(f-g)(x)=x^{2}-3x-17$

Далі$5$ підставляємо змінну$x$.

Відповідь:

$(f-g)(5)=-7$

Альтернативне рішення:

Так як$(f−g)(5)=f(5)−g(5)$, ми можемо знайти,$f(5)$$g(5)$ а потім відняти результати.

$\begin{array}{c|c} {f(x)=x^{2}+x-7}&{g(x)=4x+10}\\{f(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)-7}}&{g(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=4(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)+10}}\\{=25+5-7}&{=20+10}\\{=23}&{=30} \end{array}$

Тому у нас є

Відповідь:

$(f-g)(5)=-7$

Ключові винос

• При додаванні поліномів видаліть пов'язані дужки, а потім об'єднайте подібні терміни.
• При відніманні поліномів розподіліть$−1$ і відніміть всі члени, перш ніж видаляти дужки та поєднувати подібні терміни.
• Позначення$(f+g)(x)$ вказує на те, що ви додаєте функції.
• Позначення$(f−g)(x)$ вказує на те, що ви віднімаєте функції

Вправа$\PageIndex{3}$ Addition of Polynomials

Додати.

1. $(2x+1)+(−x+7)$
2. $(−6x+5)+(3x−1)$
3. $(\frac{2}{3}x+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}x−2)$
4. $(\frac{1}{3}x−\frac{3}{4})+(\frac{5}{6}x+\frac{1}{8})$
5. $(2x+1)+(x−3)+(5x−2)$
6. $(2x−8)+(−3x^{2}+7x−5)$
7. $(x^{2}−3x+7)+(3x^{2}−8x−5)$
8. $(−5x^{2}−1+x)+(−x+7x^{2}−9)$
9. $(\frac{1}{2}x^{2}−\frac{1}{3}x+\frac{1}{6})+(−\frac{3}{2}x^{2}+\frac{2}{3}x−1)$
10. $(−\frac{3}{5}x2+\frac{1}{4}x−6)+(2x^{2}−\frac{3}{8}x+\frac{5}{2})$
11. $(x^{2}+5)+(3x^{2}−2x+1)+(x^{2}+x−3)$
12. $(a^{3}−a^{2}+a−8)+(a^{3}+a^{2}+6a−2)$
13. $(a^{3}−8)+(−3a^{3}+5a^{2}−2)$
14. $(4a^{5}+5a^{3}−a)+(3a^{4}−2a^{2}+7)$
15. $(2x^{2}+5x−12)+(7x−5)$
16. $(3x+5)+(x^{2}−x+1)+(x^{3}+2x^{2}−3x+6)$
17. $(6x^{5}−7x^{3}+x^{2}−15)+(x^{4}+2x^{3}−6x+12)$
18. $(1+7x−5x^{3}+4x^{4})+(−3x^{3}+5−x^{2}+x)$
19. $(x^{2}y^{2}−7xy+7)+(4x^{2}y^{2}−3xy−8)$
20. $(x^{2}+xy−y^{2})+(7x^{2}−5xy+2y^{2})$
21. $(2x^{2}+3xy−7y^{2})+(−5x^{2}−3xy+8y^{2})$
22. $(a^{2}b^{2}−100)+(2a^{2}b^{2}−3ab+20)$
23. $(ab^{2}−3a^{2}b+ab−3)+(−2a^{2}b+ab^{2}−7ab−1)$
24. $(10a^{2}b−7ab+8ab^{2})+(6a^{2}b−ab+5ab^{2})$
25. Знайти суму$2x+8$ і$7x−1$.
26. Знайти суму$13x−15$ і$16x+110$.
27. Знайти суму$x^{2}−10x+8$ і$5x^{2}−2x−6$.
28. Знайти суму$a^{2}−5a+10$ і$−9a^{2}+7a−11$.
29. Знайти суму$x^{2}y^{2}−xy+6$ і$x^{2}y^{2}+xy−7$.
30. Знайти суму$x^{2}−9xy+7y^{2}$ і$−3x^{2}−3xy+7y^{2}$.

Відповідь

1. $x+8$

3. $x−\frac{3}{2}$

5. $8x−4$

7. $4x^{2}−11x+2$

9. $−x^{2}+\frac{1}{3}x−\frac{5}{6}$

11. $5x^{2}−x+3$

13. $−2a^{3}+5a^{2}−10$

15. $2x^{2}+12x−17$

17. $6x^{5}+x^{4}−5x^{3}+x^{2}−6x−3$

19. $5x^{2}y^{2}−10xy−1$

21. $−3x^{2}+y^{2}$

23. $−5a^{2}b+2ab^{2}−6ab−4$

25. $9x+7$

27. $6x^{2}−12x+2$

29. $2x^{2}y^{2}−1$

Вправа$\PageIndex{4}$ Subtraction of Polynomials

Відніміть.

1. $(5x−3)−(2x−1)$
2. $(−4x+1)−(7x+10)$
3. $(\frac{1}{4}x−\frac{3}{4})−(\frac{3}{4}x+\frac{1}{8})$
4. $(−\frac{3}{5}x+\frac{3}{7})−(\frac{2}{5}x−\frac{3}{2})$
5. $(x^{2}+7x−5)−(4x^{2}−5x+1)$
6. $(−6x^{2}+3x−12)−(−6x^{2}+3x−12)$
7. $(−3x^{3}+4x−8)−(−x^{2}+4x+10)$
8. $(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x−\frac{3}{4})−(\frac{3}{2}x^{2}−\frac{1}{6}x+\frac{1}{2})$
9. $(\frac{5}{9}x^{2}+\frac{1}{5}x−\frac{1}{3})−(\frac{1}{3}x^{2}+\frac{3}{10}x+\frac{5}{9})$
10. $(a^{3}−4a^{2}+3a−7)−(7a^{3}−2a^{2}−6a+9)$
11. $(3a^{3}+5a^{2}−2)−(a^{3}−a+8)$
12. $(5x^{5}+4x^{3}+x^{2}−6)−(4x^{4}−3x^{3}−x+3)$
13. $(3−5x−x^{3}+5x^{4})−(−5x^{3}+2−x^{2}−7x)$
14. $(x^{5}−6x^{3}+9x)−(4x^{4}+2x^{2}−5)$
15. $(2x^{2}y^{2}−4xy+9)−(3x^{2}y^{2}−3xy−5)$
16. $(x^{2}+xy−y^{2})−(x^{2}+xy−y^{2})$
17. $(2x^{2}+3xy−7y^{2})−(−5x^{2}−3xy+8y^{2})$
18. $(ab^{2}−3a^{2}b+ab−3)−(−2a^{2}b+ab^{2}−7ab−1)$
19. $(10a^{2}b−7ab+8ab^{2})−(6a^{2}b−ab+5ab^{2})$
20. $(10a^{2}b^{2}+5ab−6)−(5a^{2}b^{2}+5ab−6)$
21. Відняти$3x+1$ від$5x−9$.
22. Відняти$x^{2}−5x+10$ від$x^{2}+5x−5$.
23. Знайдіть різницю$3x−7$ і$8x+6$.
24. Знайдіть різницю$2x^{2}+3x−5$ і$x^{2}−9$.
25. Вартість в доларах виробництва кавових кухлів на замовлення з логотипом компанії задається за формулою$C=150+0.10x$, де$x$ знаходиться кількість вироблених чашок. Виручка від продажу чашок в фірмовому магазині дається за рахунок того$R=10x−0.05x^{2}$, де$x$ знаходиться кількість проданих одиниць.
    1. Знайдіть формулу отримання прибутку. (прибуток = виручка − вартість)
    2. Знайти прибуток від виробництва і продажу 100 кухлів можна в фірмовому магазині.
26. Вартість в доларах виробництва толстовки задається формулою$C=10q+1200$, де$C$ знаходиться вартість і$q$ представляє кількість виробленої. Дохід, отриманий від продажу футболок за $$37$ кожен, дається$R=37q$, де$q$ представляє кількість проданих. Визначте прибуток, отриманий$125$, якщо виробляються та продаються сорочки.
27. Зовнішній радіус шайби в$3$ рази перевищує радіус отвору.
    
    $\PageIndex{2}$
    Малюнок а. вивести формулу для площі грані шайби.
    б. яка площа шайби, якщо отвір має діаметр$10$ міліметрів?
28. Вивести формулу для площі поверхні наступного прямокутного тіла.
    
    Малюнок$\PageIndex{3}$

Відповідь

1. $3x−2$

3. $−\frac{1}{2}x−\frac{7}{8}$

5. $−3x^{2}+12x−6$

7. $−3x^{3}+x^{2}−18$

9. $\frac{2}{9}x^{2}−\frac{1}{10}x−\frac{8}{9}$

11. $2a^{3}+5a^{2}+a−10$

13. $5x^{4}+4x^{3}+x^{2}+2x+1$

15. $−x^{2}y^{2}−xy+14$

17. $7x^{2}+6xy−15y^{2}$

19. $4a^{2}b+3ab^{2}−6ab$

21. $2x−10$

23. $−5x−13$

25. а.$P=−0.05x^{2}+9.9x−150$; б. $$340$

27. а.$A=8πr^{2}$; б.$628.32$ квадратних міліметрів

Вправа$\PageIndex{5}$ Addition and Subtraction of Polynomial

Спростити.

1. $(2x+3)−(5x−8)+(x−7)$
2. $(3x−5)−(7x−11)−(5x+2)$
3. $(3x−2)−(4x−1)+(x+7)$
4. $(5x−3)−(2x+1)−(x−1)$
5. $(5x^{2}−3x+2)−(x^{2}+x−4)+(7x^{2}−2x−6)$
6. $(−2x^{3}+x^{2}−8)−(3x^{2}+x−6)−(2x−1)$
7. $(2x−7)−(x^{2}+3x−7)+(6x−1)$
8. $(6x^{2}−10x+13)+(4x^{2}−9)−(9−x^{2})$
9. $(a^{2}−b^{2})−(2a^{2}+3ab−4b^{2})+(5ab−1)$
10. $(a^{2}−3ab+b^{2})−(a^{2}+  b^{2})−(3ab−5)$
11. $(\frac{1}{2}x^{2}−\frac{3}{4}x+\frac{1}{4})−(\frac{3}{2}x−\frac{3}{4})+(\frac{5}{4}x−\frac{1}{2})$
12. $(\frac{9}{5}x^{2}−\frac{1}{3}x+2)−(\frac{3}{10}x^{2}−\frac{4}{5})−(x+\frac{5}{2})$

Відповідь

1. $−2x+4$

3. $6$

5. $11x^{2}−6x$

7. $−x^{2}+5x−1$

9. $−a^{2}+2ab+3b^{2}−1$

11. $12x^{2}−x+12$

Вправа$\PageIndex{6}$ Addition and Subtraction of Polynomial Functions

Знайти$(f+g)(x)$ і$(f−g)(x)$, враховуючи наступні функції.

1. $f(x)=4x−1$і$g(x)=−3x+1$
2. $f(x)=−x+5$і$g(x)=2x−3$
3. $f(x)=3x^{2}−5x+7$і$g(x)=−2x^{2}+5x−1$
4. $f(x)=x^{3}+2x^{2}−6x+2$і$g(x)=2x^{3}+2x^{2}−5x−1$
5. $f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$і$g(x)=\frac{1}{5}x^{2}−\frac{3}{2}x+\frac{1}{6}$
6. $f(x)=x^{2}−5x+\frac{1}{3}$і$g(x)=\frac{2}{3}x^{2}−x−\frac{1}{2}$

Відповідь

1. $(f+g)(x)=x$і$(f−g)(x)=7x−2$

3. $(f+g)(x)=x^{2}+6$і$(f−g)(x)=5x^{2}−10x+8$

5. $(f+g)(x)=\frac{1}{5}x^{2}−x+\frac{1}{2}$і$(f−g)(x)=−\frac{1}{5}x^{2}+2x+\frac{1}{6}$

Вправа$\PageIndex{7}$ Addition and Subtraction of Polynomial Functions

Дано$f(x)=2x−3$ і$g(x)=x^{2}+3x−1$, знайдіть наступне.

1. $(f+g)(x)$
2. $(g+f)(x)$
3. $(f−g)(x)$
4. $(g−f)(x)$
5. $(g+g)(x)$
6. $(f+g)(3)$
7. $(f+g)(−2)$
8. $(f+g)(0)$
9. $(f−g)(0)$
10. $(f−g)(−2)$
11. $(g−f)(−2)$
12. $(g−f)(12)$

Відповідь

1. $(f+g)(x)=x^{2}+5x−4$

3. $(f−g)(x)=−x^{2}−x−2$

5. $(g+g)(x)=2x^{2}+6x−2$

7. $(f+g)(−2)=−10$

9. $(f−g)(0)=−2$

11. $(g−f)(−2)=4$

Вправа$\PageIndex{8}$ Addition and Subtraction of Polynomial Functions

Дано$f(x)=5x^{2}−3x+2$ і$g(x)=2x^{2}+6x−4$, знайдіть наступне.

1. $(f+g)(x)$
2. $(g+f)(x)$
3. $(f−g)(x)$
4. $(g−f)(x)$
5. $(f+g)(−2)$
6. $(f−g)(−2)$
7. $(f+g)(0)$
8. $(f−g)(0)$

Відповідь

1. $(f+g)(x)=7x^{2}+3x−2$

3. $(f−g)(x)=3x^{2}−9x+6$

5. $(f+g)(−2)=20$

7. $(f+g)(0)=−2$