5.5: Ділильні многочлени

Цілі навчання

• Ділимо на мономіал.
• Ділимо на многочлен за допомогою алгоритму ділення.
• Розділити поліноміальні функції.

Ділення на многочлен

Згадайте часткове правило для показників: якщо ненульові і\(m\) і\(x\)\(n\) є додатними цілими числами, то

\[\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}\]

Іншими словами, при діленні двох виразів з однаковою базою віднімайте показники. Це правило діє при діленні монома на мономіал. У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розділити:

\(\frac{28y^{3}}{7y}\).

Рішення:

Розділіть коефіцієнти і відніміть показники змінної\(y\).

\(\begin{aligned} \frac{28y^{3}}{7y}&=\frac{28}{7}y^{3-1} \\ &=4y^{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(4y^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розділити:

\(\frac{24x^{7}y^{5}}{8x^{3}y^{2}}\).

Рішення:

Розділіть коефіцієнти і застосуйте часткове правило, віднімаючи показники аналогічних баз.

\(\begin{aligned} \frac{24x^{7}y^{5}}{8x^{3}y^{2}}&=\frac{24}{8}x^{7-3}y^{5-2} \\ &=3x^{4}y^{3} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3x^{4}y^{3}\)

При діленні многочлена на мономіал ми можемо розглядати мономіал як спільний знаменник і розбивати дріб, використовуючи таку властивість:

\[\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\]

Застосування цієї властивості призводить до термінів, які можна розглядати як коефіцієнти мономов.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Розділити:

\(\frac{−5x^{4}+25x^{3}−15x^{2}}{5x^{2}}\).

Рішення:

Розбийте дріб, розділивши кожен член в чисельнику на мономіал у знаменнику, а потім спростіть кожен член.

 

Відповідь:

\(-x^{2}+5x-3\cdot 1\)

Перевірте своє ділення, помноживши відповідь, частку, на мономіал у знаменнику, дільник, щоб побачити, чи отримаєте ви оригінальний чисельник, дивіденд.

\[\color{Cerulean}{\frac{dividend}{divisor}=quotient}\]

\(or\)

\[\color{Cerulean}{dividend=divisor\cdot quotient}\]

\(\begin{aligned} 5x^{2}\cdot (-x^{2}+5x-3) &=\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot (-x^{2})+}\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot 5x-}\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot 3} \\ &=-5x^{4}+25x^{3}-15x^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Розділити:

\(\frac{9a^{4}b−7a^{3}b^{2}+3a^{2}b}{−3a^{2}b}\).

Рішення:

 

Відповідь:

\(-3a^{2}+\frac{7}{3}ab-1\). Перевірка необов'язкова і залишається на розсуд зчитувача.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\((16x^{5}−8x^{4}+5x^{3}+2x^{2})÷(2x^{2})\).

Відповідь

\(8x^{3}−4x^{2}+\frac{5}{2}x+1\)

Ділення на многочлен

Та ж техніка, намічена для ділення на мономіал, не працює для поліномів з двома і більше долями в знаменнику. У цьому розділі ми окреслимо процес, званий поліноміальним довгим діленням, який заснований на алгоритмі ділення дійсних чисел. Для наочності будемо вважати, що всі вирази в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Розділити:

\(\frac{x^{3}+3x^{2}−8x−4}{x−2}\).

Рішення:

\(x−2\)Ось дільник і\(x^{3}+3x^{2}−8x−4\) є дивідендом.

Крок 1: Щоб визначити перший член частки, розділіть провідний член дивіденду на провідний член дільника.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Крок 2: Помножте перший член частки на дільник, не забуваючи розподіляти, і вибудовуйте як терміни з дивідендом.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Крок 3: Відніміть отриману величину з дивідендів. Подбайте про те, щоб відняти обидва терміни.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Крок 4: Збийте решту термінів і повторіть процес з кроку 1.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Зверніть увагу, що провідний термін усувається і що результат має ступінь, яка на одиницю менше, ніж дивіденд. Повний процес ілюструється нижче:

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Поліноміальне довге ділення закінчується тоді, коли ступінь залишку менше ступеня дільника. Тут залишок є\(0\). Тому біноміал ділить многочлен рівномірно, а відповідь - частка, показана над лінією ділення.

\(\frac{x^{3}+3x^{2}-8x-4}{x-2}=x^{2}+5x+2\)

Щоб перевірити відповідь, помножте дільник на частку, щоб побачити, чи отримаєте ви дивіденд:

\(x^{3}+3x^{2}-8x-4=(x-2)(x^{2}+5x+2)\)

Відповідь:

\(x^{2}+5x+2\)

Далі демонструємо випадок, коли є ненульовий залишок.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Так само, як і у випадку з дійсними числами, остаточна відповідь додає дріб, де залишок - чисельник, а дільник - знаменник до частки. Загалом, при діленні ми маємо

\[\frac{dividend}{divisor}=\color{Cerulean}{quotient}\color{black}{+\frac{\color{OliveGreen}{remainder}}{divisor}}\]

Якщо помножити обидві сторони на дільник, отримаємо

\[dividend=\color{Cerulean}{quotient}\color{black}{\times\:divisor+}\color{OliveGreen}{remainder}\]

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Розділити:

\(\frac{6x^{2}-5x+3}{2x-1}\)

Рішення:

Оскільки знаменник є біноміальним, почніть з налаштування багаточленного довгого ділення.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Для початку визначте, які мономіальні часи\(2x−1\) призводять до провідного терміну\(6x^{2}\). Це частка заданих провідних термінів:\((6x^{2})÷(2x)=3x\). \(3x\)Помножте на дільник\(2x−1\) і вибудовуйте результат з подібними умовами дивідендів.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Відніміть результат з дивідендів і збийте постійний термін\(+3\).

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Віднімання виключає провідний термін і\(−5x−(−3x)=−5x+3x=−2x\). Коефіцієнт\(−2x\) і\(2x\) є\(−1\). \(2x−1\)Помножте на\(−1\) і вибудовуйте результат.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Відніміть ще раз і зверніть увагу, що у нас залишився залишок.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Постійний термін\(2\) має ступінь\(0\), і таким чином поділ закінчується. Ми можемо написати

\(\frac{6x^{2}-5x+3}{2x-1}=\color{Cerulean}{3x-1}\color{black}{+\frac{\color{OliveGreen}{2}}{2x-1}}\)

Відповідь:

\(3x-1+\frac{2}{2x-1}\). Щоб перевірити, що цей результат правильний, множимо наступним чином:

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{quotient}\color{black}{\times\:divisor +}\color{OliveGreen}{remainder}&=\color{Cerulean}{(3x-1)}\color{black}{(2x-1)+}\color{OliveGreen}{2} \\ &=6x^{2}-3x-2x+1+2 \\ &=6x^{2}-5x+3 =dividend\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Іноді деякі повноваження змінних, здається, відсутні в межах полінома. Це може призвести до помилок при вишикуванні подібних термінів. Тому, коли вперше навчитеся ділити поліноми за допомогою довгого ділення, заповніть відсутні члени нульовими коефіцієнтами, званими заповнювачами.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Розділити:

\(\frac{27x^{3}+64}{3x+4}\).

Рішення:

Зверніть увагу, що біноміал в чисельнику не має термінів зі ступенем\(2\) або\(1\). Поділ спрощується, якщо ми перепишемо вираз із заповнювачами:

\(27x^{3}+64=27x^{3}\color{OliveGreen}{+0x^{2}+0x}\color{black}{+64}\)

Налаштуйте поліноміальне довге ділення:

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Починаємо з\(27x^{3}÷3x=9x^{2}\) і опрацьовуємо інший алгоритм поділу.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Відповідь:

\(9x^{2}-12x+16\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Розділити:

\(\frac{3x^{4}−2x^{3}+6x^{2}+23x−7}{x^{2}−2x+5}\).

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Почніть процес з поділу провідних членів, щоб визначити провідний термін частки\(3x^{4}÷x^{2}=3x^{2}\). Подбайте про розподіл і вибудовуйте подібні терміни. Продовжуйте процес до тих пір, поки залишок не матиме градус менше\(2\).

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Залишок - це\(x−2\). Напишіть відповідь з залишком:

\(\frac{3x^{4}-2x^{3}+6x^{2}+23x-7}{x^{2}-2x+5}=3x^{2}+4x-1+\frac{x-2}{x^{2}-2x+5}\)

Відповідь:

\(3x^{2}+4x-1+\frac{x-2}{x^{2}-2x+5}\)

Поліноміальне довге ділення вимагає часу і практики, щоб освоїти. Працюйте багато проблем і пам'ятайте, що ви можете перевірити свої відповіді, помноживши частку на дільник (і додаючи залишок, якщо він присутній), щоб отримати дивіденд.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розділити:

\(\frac{20x^{4}−32x^{3}+7x^{2}+8x−10}{5x−3}\).

Відповідь

\(4x^{3}−4x^{2}−x+1−\frac{7}{5}x−3\)

Функції, що ділять многочлени

Ми можемо використовувати позначення функції для позначення поділу наступним чином:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Розподіл функцій:	\((f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)

Частка двох поліноміальних функцій не обов'язково має область всіх дійсних чисел. Значення\(x\), які роблять функцію у знаменнику\(0\), обмежені доменом. Про це буде більш детально розказано пізніше. Наразі припустимо, що всі функції в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Розрахувати:

\((f/g)(x)\)дано\(f(x)=6x^{5}−36x^{4}+12x^{3}−6x^{2}\) і\(g(x)=−6x^{2}\).

Рішення:

Позначення вказує на те, що ми повинні розділити:

\(\begin{aligned} (f/g)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)} \\ &=\frac{6x^{5}-36x^{4}+12x^{3}-6x^{2}}{-6x^{2}} \\ &=\frac{6x^{5}}{-6x^{2}}-\frac{36x^{4}}{-6x^{2}}+\frac{12x^{3}}{-6x^{2}}-\frac{6x^{2}}{-6x^{2}} \\ &=-1x^{5-2}+6x^{4-2}-2x^{3-2}+1x^{2-2} \\ &=-x^{3}+6x^{2}-2x+1 \end{aligned}\)

Відповідь:

\((f/g)(x)=-x^{3}+6x^{2}-2x+1\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Розрахувати:

\((f/g)(−1)\), з огляду на\(f(x)=−3x^{3}+7x^{2}−11x−1\) і\(g(x)=3x−1\).

Рішення:

Для початку визначитеся\((f/g)(x)\).

\((f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-3x^{3}+7x^{2}-11x-1}{3x-1}\)

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Тому,

\((f/g)(x)=-x^{2}+2x-3-\frac{4}{3x-1}\)

\(−1\)Замінюємо змінну\(x\).

 

Відповідь:

\((f/g)(-1)=-5\)

Ключові винос

• При діленні на мономіал розділіть всі члени чисельника на мономіал, а потім спростіть кожен член. Щоб спростити кожен член, розділіть коефіцієнти і застосуйте правило частки для показників.
• При діленні многочлена на інший многочлен застосовують алгоритм ділення.
• Щоб перевірити відповідь після ділення, помножте дільник на частку і додайте залишок (при необхідності) для отримання дивіденду.
• Хорошою практикою є включення заповнювачів при виконанні поліноміального довгого ділення.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Dividing by a Monomial

Розділити.

1. \(\frac{81y^{5}}{9y^{2}}\)
2. \(\frac{36y^{9}}{9y^{3}}\)
3. \(\frac{52x^{2}y}{4xy}\)
4. \(\frac{24xy^{5}}{2xy^{4}}\)
5. \(\frac{25x^{2}y^{5}z^{3}}{5xyz}\)
6. \(\frac{−77x^{4}y^{9}z^{2}}{2x^{3}y^{3}z}\)
7. \(\frac{125a^{3}b^{2}c}{−10abc}\)
8. \(\frac{36a^{2}b^{3}c^{5}}{−6a^{2}b^{2}c^{3}}\)
9. \(\frac{9x^{2}+27x−3}{3}\)
10. \(\frac{10x^{3}−5x^{2}+40x−15}{5}\)
11. \(\frac{20x^{3}−10x^{2}+30x}{2x}\)
12. \(\frac{10x^{4}+8x^{2}−6x}{24x}\)
13. \(\frac{−6x^{5}−9x^{3}+3x}{−3x}\)
14. \(\frac{36a^{12}−6a^{9}+12a^{5}}{−12a^{5}}\)
15. \(\frac{−12x^{5}+18x^{3}−6x^{2}}{−6x^{2}}\)
16. \(\frac{−49a^{8}+7a^{5}−21a^{3}}{7a^{3}}\)
17. \(\frac{9x^{7}−6x^{4}+12x^{3}−x^{2}}{3x^{2}}\)
18. \(\frac{8x^{9}+16x^{7}−24x^{4}+8x^{3}}{−8x^{3}}\)
19. \(\frac{16a^{7}−32a^{6}+20a^{5}−a^{4}}{4a^{4}}\)
20. \(\frac{5a^{6}+2a^{5}+6a^{3}−12a^{2}}{3a^{2}}\)
21. \(\frac{−4x^{2}y^{3}+16x^{7}y^{8}−8x^{2}y^{5}}{−4x^{2}y^{3}}\)
22. \(\frac{100a^{10}b^{30}c^{5}−50a^{20}b^{5}c^{40}+20a^{5}b^{20}c^{10}}{10a^{5}b^{5}c^{5}}\)
23. Знайдіть частку\(−36x^{9}y^{7}\) і\(2x^{8}y^{5}\).
24. Знайдіть частку\(144x^{3}y^{10}z^{2}\) і\(−12x^{3}y^{5}z\).
25. Знайдіть частку\(3a^{4}−18a^{3}+27a^{2}\) і\(3a^{2}\).
26. Знайдіть частку\(64a^{2}bc^{3}−16a^{5}bc^{7}\) і\(4a^{2}bc^{3}\).

Відповідь

1. \(9y^{3}\)

3. \(13x\)

5. \(5xy^{4}z^{2}\)

7. \(−\frac{25}{2}a^{2}b\)

9. \(3x^{2}+9x−1\)

11. \(10x^{2}−5x+15\)

13. \(2x^{4}+3x^{2}−1\)

15. \(2x^{3}−3x+1\)

17. \(3x^{5}−2x^{2}+4x−\frac{1}{3}\)

19. \(4a^{3}−8a^{2}+5a−\frac{1}{4}\)

21. \(−4x^{5}y^{5}+2y^{2}+1\)

23. \(−18xy^{2}\)

25. \(a^{2}−6a+9\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) Dividing by a Polynomial

Розділити.

1. \((2x^{2}−5x−3)÷(x−3)\)
2. \((3x^{2}+5x−2)÷(x+2)\)
3. \((6x^{2}+11x+3)÷(3x+1)\)
4. \((8x^{2}−14x+3)÷(2x−3)\)
5. \(\frac{x^{3}−x^{2}−2x−12}{x−3}\)
6. \(\frac{2x^{3}+11x^{2}+4x−5}{x+5}\)
7. \(\frac{2x^{3}−x^{2}−4x+3}{2x+3}\)
8. \(\frac{−15x^{3}−14x^{2}+23x−6}{5x−2}\)
9. \(\frac{14x^{4}−9x^{3}+22x^{2}+4x−1}{7x−1}\)
10. \(\frac{8x^{5}+16x^{4}−8x^{3}−5x^{2}−21x+10}{2x+5}\)
11. \(\frac{x^{2}+8x+17}{x+5}\)
12. \(\frac{2x^{2}−5x+5}{x−2}\)
13. \(\frac{6x^{2}−13x+9}{−2x+1}\)
14. \(\frac{−12x^{2}+x+1}{3x+2}\)
15. \(\frac{x^{3}+9x^{2}+19x+1}{x+4}\)
16. \(\frac{2x^{3}−13x^{2}+17x−11}{x−5}\)
17. \(\frac{9x^{3}−12x^{2}+16x−15}{3x−2}\)
18. \(\frac{3x^{4}−8x^{3}+5x^{2}−5x+9}{x−2}\)
19. \((6x^{5}−13x^{4}+4x^{3}−3x^{2}+13x−2)÷(3x+1)\)
20. \((8x^{5}−22x^{4}+19x^{3}−20x^{2}+23x−3)÷(2x−3)\)
21. \(\frac{5x^{5}+12x^{4}+12x^{3}−7x^{2}−19x+3}{x^{2}+2x+3}\)
22. \(\frac{6x^{5}−17x^{4}+5x^{3}+16x^{2}−7x−3}{2x^{2}−3x−1}\)
23. \(\frac{x^{5}+7x^{4}−x^{3}−7x^{2}−49 x+9}{x^{2}+7x−1}\)
24. \(\frac{5x^{6}−6x^{4}−4x^{2}+x+2}{5x^{2}−1}\)
25. \(\frac{x^{3}−27}{x−3}\)
26. \(\frac{8x^{3}+125}{2x+5}\)
27. \((15x^{5}−9x^{4}−20x^{3}+12x^{2}+15x−9)÷(5x−3)\)
28. \((2x^{6}−5x^{5}−4x^{4}+10x^{3}+6x^{2}−17x+5)÷(2x−5)\)
29. \(\frac{x^{5}−2x^{3}+3x−1}{x−1}\)
30. \(\frac{x^{4}−3x^{2}+5x−1}{3x+2}\)
31. \(\frac{a^{2}−4}{a+2}\)
32. \(\frac{a^{5}+1}{a^{5}+1}\)
33. \(\frac{a^{6}−1}{a−1}\)
34. \(\frac{x^{5}−1}{x−1}\)
35. \(\frac{x^{5}+x^{4}+6x^{3}+12x^{2}−4}{x^{2}+x−1}\)
36. \(\frac{50x^{6}−30x^{5}−5x^{4}+15x^{3}−5x+1}{5x^{2}−3x+2}\)
37. \(\frac{5x^{5}−15x^{3}+25x^{2}−5}{5x}\)
38. \(\frac{−36x^{6}+12x^{4}−6x^{2}}{6x^{2}}\)
39. \(\frac{150x^{5}y^{2}z^{15}−10x^{3}y^{6}z^{5}+4x^{3}y^{2}z^{4}}{10x^{3}y^{2}z^{5}}\)
40. \(\frac{27m^{6}+9m^{4}−81m^{2}+1}{9m^{2}}\)
41. Розділити\(3x^{6}−2x^{5}+27x^{4}−18x^{3}−6x^{2}+7x−10\) на\(3x−2\).
42. Розділити\(8x^{6}+4x^{5}−14x^{4}−5x^{3}+x^{2}−2x−3\) на\(2x+1\).

Відповідь

1. \(2x+1\)

3. \(2x+3\)

5. \(x^{2}+2x+4\)

7. \(x^{2}−2x+1\)

9. \(2x^{3}−x^{2}+3x+1\)

11. \(x+3+\frac{2}{x+5}\)

13. \(−3x+5+\frac{4}{−2x+1}\)

15. \(x^{2}+5x−1+\frac{5}{x+4}\)

17. \(3x^{2}−2x+4−\frac{7}{3x−2}\)

19. \(2x^{4}−5x^{3}+3x^{2}−2x+5−\frac{7}{3x+1}\)

21. \(5x^{3}+2x^{2}−7x+1\)

23. \(x^{3}−7+\frac{2}{x^{2}+7x−1}\)

25. \(x^{2}+3x+9\)

27. \(3x^{4}−4x^{2}+3\)

29. \(x^{4}+x^{3}−x^{2}−x+2+\frac{1}{x−1}\)

31. \(a−2\)

33. \(a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1\)

35. \(x^{3}+7x+5+ \frac{2x+1}{x^{2}+x−1}\)

37. \(x^{4}−3x^{2}+5x−\frac{1}{x}\)

39. \(15x^{2}z^{10}−y^{4}+\frac{2}{5z}\)

41. \(x^{5}+9x^{3}−2x+1−\frac{8}{3x−2}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Dividing Polynomial Functions

Обчисліть\((f/g)(x)\), враховуючи функції.

1. \(f(x)=40x^{8}\)і\(g(x)=10x^{5}\)
2. \(f(x)=54x^{5}\)і\(g(x)=9x^{3}\)
3. \(f(x)=12x^{2}+24x−15\)і\(g(x)=2x+5 \)
4. \(f(x)=−8x^{2}+30x−7\)і\(g(x)=2x−7 \)
5. \(f(x)=18x^{2}−36x+5\)і\(g(x)=3x−5 \)
6. \(f(x)=−7x^{2}+29x−6\)і\(g(x)=7x−1 \)
7. \(f(x)=10x^{3}−9x^{2}+27x−10\)і\(g(x)=5x−2 \)
8. \(f(x)=15x^{3}+28x^{2}−11x+56\)і\(g(x)=3x+8\)
9. \(f(x)=2x^{4}+5x^{3}−11x^{2}−19x+20\)і\(g(x)=x^{2}+x−5 \)
10. \(f(x)=4x^{4}−12x^{3}−20x^{2}+26x−3\)і\(g(x)=2x^{2}+2x−3\)

Відповідь

1. \((f/g)(x)=4x^{3}\)

3. \((f/g)(x)=6x−3\)

5. \((f/g)(x)=6x−2−\frac{5}{3x−5}\)

7. \((f/g)(x)=2x^{2}−x+5\)

9. \((f/g)(x)=2x^{2}+3x−4\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Dividing Polynomial Functions

Дано\(f(x)=6x^{3}+4x^{2}−11x+3\) і\(g(x)=3x−1\), знайдіть наступне.

1. \((f/g)(x)\)
2. \((f/g)(−1)\)
3. \((f/g)(0)\)
4. \((f/g)(1)\)

Відповідь

1. \((f/g)(x)=2x^{2}+2x−3\)

3. \((f/g)(0)=−3\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Dividing Polynomial Functions

Дано\(f(x)=5x^{3}−13x^{2}+7x+3\) і\(g(x)=x−2\), знайдіть наступне.

1. \((f/g)(x)\)
2. \((f/g)(−3)\)
3. \((f/g)(0)\)
4. \((f/g)(7)\)

Відповідь

1. \((f/g)(x)=5x^{2}−3x+1+\frac{5}{x−2}\)

3. \((f/g)(0)=−\frac{3}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Discussion Board Topics

1. Як ви використовуєте розподільну властивість при діленні многочлена на мономіал?
2. Порівняйте довге ділення дійсних чисел з поліноміальним довгим діленням. Наведіть приклад кожного.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися