5.5: Ділильні многочлени

Цілі навчання

• Ділимо на мономіал.
• Ділимо на многочлен за допомогою алгоритму ділення.
• Розділити поліноміальні функції.

Ділення на многочлен

Згадайте часткове правило для показників: якщо ненульові і$m$ і$x$$n$ є додатними цілими числами, то

$$\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$$

Іншими словами, при діленні двох виразів з однаковою базою віднімайте показники. Це правило діє при діленні монома на мономіал. У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розділити:

$\frac{28y^{3}}{7y}$.

Рішення:

Розділіть коефіцієнти і відніміть показники змінної$y$.

$\begin{aligned} \frac{28y^{3}}{7y}&=\frac{28}{7}y^{3-1} \\ &=4y^{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$4y^{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Розділити:

$\frac{24x^{7}y^{5}}{8x^{3}y^{2}}$.

Рішення:

Розділіть коефіцієнти і застосуйте часткове правило, віднімаючи показники аналогічних баз.

$\begin{aligned} \frac{24x^{7}y^{5}}{8x^{3}y^{2}}&=\frac{24}{8}x^{7-3}y^{5-2} \\ &=3x^{4}y^{3} \end{aligned}$

Відповідь:

$3x^{4}y^{3}$

При діленні многочлена на мономіал ми можемо розглядати мономіал як спільний знаменник і розбивати дріб, використовуючи таку властивість:

$$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$$

Застосування цієї властивості призводить до термінів, які можна розглядати як коефіцієнти мономов.

Приклад$\PageIndex{3}$

Розділити:

$\frac{−5x^{4}+25x^{3}−15x^{2}}{5x^{2}}$.

Рішення:

Розбийте дріб, розділивши кожен член в чисельнику на мономіал у знаменнику, а потім спростіть кожен член.

 

Відповідь:

$-x^{2}+5x-3\cdot 1$

Перевірте своє ділення, помноживши відповідь, частку, на мономіал у знаменнику, дільник, щоб побачити, чи отримаєте ви оригінальний чисельник, дивіденд.

$$\color{Cerulean}{\frac{dividend}{divisor}=quotient}$$

$or$

$$\color{Cerulean}{dividend=divisor\cdot quotient}$$

$\begin{aligned} 5x^{2}\cdot (-x^{2}+5x-3) &=\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot (-x^{2})+}\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot 5x-}\color{Cerulean}{5x^{2}}\color{black}{\cdot 3} \\ &=-5x^{4}+25x^{3}-15x^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Розділити:

$\frac{9a^{4}b−7a^{3}b^{2}+3a^{2}b}{−3a^{2}b}$.

Рішення:

 

Відповідь:

$-3a^{2}+\frac{7}{3}ab-1$. Перевірка необов'язкова і залишається на розсуд зчитувача.

Вправа$\PageIndex{1}$

$(16x^{5}−8x^{4}+5x^{3}+2x^{2})÷(2x^{2})$.

Відповідь

$8x^{3}−4x^{2}+\frac{5}{2}x+1$

Ділення на многочлен

Та ж техніка, намічена для ділення на мономіал, не працює для поліномів з двома і більше долями в знаменнику. У цьому розділі ми окреслимо процес, званий поліноміальним довгим діленням, який заснований на алгоритмі ділення дійсних чисел. Для наочності будемо вважати, що всі вирази в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{5}$

Розділити:

$\frac{x^{3}+3x^{2}−8x−4}{x−2}$.

Рішення:

$x−2$Ось дільник і$x^{3}+3x^{2}−8x−4$ є дивідендом.

Крок 1: Щоб визначити перший член частки, розділіть провідний член дивіденду на провідний член дільника.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Крок 2: Помножте перший член частки на дільник, не забуваючи розподіляти, і вибудовуйте як терміни з дивідендом.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Крок 3: Відніміть отриману величину з дивідендів. Подбайте про те, щоб відняти обидва терміни.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Крок 4: Збийте решту термінів і повторіть процес з кроку 1.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Зверніть увагу, що провідний термін усувається і що результат має ступінь, яка на одиницю менше, ніж дивіденд. Повний процес ілюструється нижче:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Поліноміальне довге ділення закінчується тоді, коли ступінь залишку менше ступеня дільника. Тут залишок є$0$. Тому біноміал ділить многочлен рівномірно, а відповідь - частка, показана над лінією ділення.

$\frac{x^{3}+3x^{2}-8x-4}{x-2}=x^{2}+5x+2$

Щоб перевірити відповідь, помножте дільник на частку, щоб побачити, чи отримаєте ви дивіденд:

$x^{3}+3x^{2}-8x-4=(x-2)(x^{2}+5x+2)$

Відповідь:

$x^{2}+5x+2$

Далі демонструємо випадок, коли є ненульовий залишок.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Так само, як і у випадку з дійсними числами, остаточна відповідь додає дріб, де залишок - чисельник, а дільник - знаменник до частки. Загалом, при діленні ми маємо

$$\frac{dividend}{divisor}=\color{Cerulean}{quotient}\color{black}{+\frac{\color{OliveGreen}{remainder}}{divisor}}$$

Якщо помножити обидві сторони на дільник, отримаємо

$$dividend=\color{Cerulean}{quotient}\color{black}{\times\:divisor+}\color{OliveGreen}{remainder}$$

Приклад$\PageIndex{6}$

Розділити:

$\frac{6x^{2}-5x+3}{2x-1}$

Рішення:

Оскільки знаменник є біноміальним, почніть з налаштування багаточленного довгого ділення.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Для початку визначте, які мономіальні часи$2x−1$ призводять до провідного терміну$6x^{2}$. Це частка заданих провідних термінів:$(6x^{2})÷(2x)=3x$. $3x$Помножте на дільник$2x−1$ і вибудовуйте результат з подібними умовами дивідендів.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Відніміть результат з дивідендів і збийте постійний термін$+3$.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Віднімання виключає провідний термін і$−5x−(−3x)=−5x+3x=−2x$. Коефіцієнт$−2x$ і$2x$ є$−1$. $2x−1$Помножте на$−1$ і вибудовуйте результат.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Відніміть ще раз і зверніть увагу, що у нас залишився залишок.

Малюнок$\PageIndex{11}$

Постійний термін$2$ має ступінь$0$, і таким чином поділ закінчується. Ми можемо написати

$\frac{6x^{2}-5x+3}{2x-1}=\color{Cerulean}{3x-1}\color{black}{+\frac{\color{OliveGreen}{2}}{2x-1}}$

Відповідь:

$3x-1+\frac{2}{2x-1}$. Щоб перевірити, що цей результат правильний, множимо наступним чином:

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{quotient}\color{black}{\times\:divisor +}\color{OliveGreen}{remainder}&=\color{Cerulean}{(3x-1)}\color{black}{(2x-1)+}\color{OliveGreen}{2} \\ &=6x^{2}-3x-2x+1+2 \\ &=6x^{2}-5x+3 =dividend\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Іноді деякі повноваження змінних, здається, відсутні в межах полінома. Це може призвести до помилок при вишикуванні подібних термінів. Тому, коли вперше навчитеся ділити поліноми за допомогою довгого ділення, заповніть відсутні члени нульовими коефіцієнтами, званими заповнювачами.

Приклад$\PageIndex{7}$

Розділити:

$\frac{27x^{3}+64}{3x+4}$.

Рішення:

Зверніть увагу, що біноміал в чисельнику не має термінів зі ступенем$2$ або$1$. Поділ спрощується, якщо ми перепишемо вираз із заповнювачами:

$27x^{3}+64=27x^{3}\color{OliveGreen}{+0x^{2}+0x}\color{black}{+64}$

Налаштуйте поліноміальне довге ділення:

Малюнок$\PageIndex{12}$

Починаємо з$27x^{3}÷3x=9x^{2}$ і опрацьовуємо інший алгоритм поділу.

Малюнок$\PageIndex{13}$

Відповідь:

$9x^{2}-12x+16$

Приклад$\PageIndex{8}$

Розділити:

$\frac{3x^{4}−2x^{3}+6x^{2}+23x−7}{x^{2}−2x+5}$.

Рішення:

Малюнок$\PageIndex{14}$

Почніть процес з поділу провідних членів, щоб визначити провідний термін частки$3x^{4}÷x^{2}=3x^{2}$. Подбайте про розподіл і вибудовуйте подібні терміни. Продовжуйте процес до тих пір, поки залишок не матиме градус менше$2$.

Малюнок$\PageIndex{15}$

Залишок - це$x−2$. Напишіть відповідь з залишком:

$\frac{3x^{4}-2x^{3}+6x^{2}+23x-7}{x^{2}-2x+5}=3x^{2}+4x-1+\frac{x-2}{x^{2}-2x+5}$

Відповідь:

$3x^{2}+4x-1+\frac{x-2}{x^{2}-2x+5}$

Поліноміальне довге ділення вимагає часу і практики, щоб освоїти. Працюйте багато проблем і пам'ятайте, що ви можете перевірити свої відповіді, помноживши частку на дільник (і додаючи залишок, якщо він присутній), щоб отримати дивіденд.

Вправа$\PageIndex{2}$

Розділити:

$\frac{20x^{4}−32x^{3}+7x^{2}+8x−10}{5x−3}$.

Відповідь

$4x^{3}−4x^{2}−x+1−\frac{7}{5}x−3$

Функції, що ділять многочлени

Ми можемо використовувати позначення функції для позначення поділу наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{1}$

Розподіл функцій:	$(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Частка двох поліноміальних функцій не обов'язково має область всіх дійсних чисел. Значення$x$, які роблять функцію у знаменнику$0$, обмежені доменом. Про це буде більш детально розказано пізніше. Наразі припустимо, що всі функції в знаменнику ненульові.

Приклад$\PageIndex{9}$

Розрахувати:

$(f/g)(x)$дано$f(x)=6x^{5}−36x^{4}+12x^{3}−6x^{2}$ і$g(x)=−6x^{2}$.

Рішення:

Позначення вказує на те, що ми повинні розділити:

$\begin{aligned} (f/g)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)} \\ &=\frac{6x^{5}-36x^{4}+12x^{3}-6x^{2}}{-6x^{2}} \\ &=\frac{6x^{5}}{-6x^{2}}-\frac{36x^{4}}{-6x^{2}}+\frac{12x^{3}}{-6x^{2}}-\frac{6x^{2}}{-6x^{2}} \\ &=-1x^{5-2}+6x^{4-2}-2x^{3-2}+1x^{2-2} \\ &=-x^{3}+6x^{2}-2x+1 \end{aligned}$

Відповідь:

$(f/g)(x)=-x^{3}+6x^{2}-2x+1$

Приклад$\PageIndex{10}$

Розрахувати:

$(f/g)(−1)$, з огляду на$f(x)=−3x^{3}+7x^{2}−11x−1$ і$g(x)=3x−1$.

Рішення:

Для початку визначитеся$(f/g)(x)$.

$(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-3x^{3}+7x^{2}-11x-1}{3x-1}$

Малюнок$\PageIndex{16}$

Тому,

$(f/g)(x)=-x^{2}+2x-3-\frac{4}{3x-1}$

$−1$Замінюємо змінну$x$.

 

Відповідь:

$(f/g)(-1)=-5$

Ключові винос

• При діленні на мономіал розділіть всі члени чисельника на мономіал, а потім спростіть кожен член. Щоб спростити кожен член, розділіть коефіцієнти і застосуйте правило частки для показників.
• При діленні многочлена на інший многочлен застосовують алгоритм ділення.
• Щоб перевірити відповідь після ділення, помножте дільник на частку і додайте залишок (при необхідності) для отримання дивіденду.
• Хорошою практикою є включення заповнювачів при виконанні поліноміального довгого ділення.

Вправа$\PageIndex{3}$ Dividing by a Monomial

Розділити.

1. $\frac{81y^{5}}{9y^{2}}$
2. $\frac{36y^{9}}{9y^{3}}$
3. $\frac{52x^{2}y}{4xy}$
4. $\frac{24xy^{5}}{2xy^{4}}$
5. $\frac{25x^{2}y^{5}z^{3}}{5xyz}$
6. $\frac{−77x^{4}y^{9}z^{2}}{2x^{3}y^{3}z}$
7. $\frac{125a^{3}b^{2}c}{−10abc}$
8. $\frac{36a^{2}b^{3}c^{5}}{−6a^{2}b^{2}c^{3}}$
9. $\frac{9x^{2}+27x−3}{3}$
10. $\frac{10x^{3}−5x^{2}+40x−15}{5}$
11. $\frac{20x^{3}−10x^{2}+30x}{2x}$
12. $\frac{10x^{4}+8x^{2}−6x}{24x}$
13. $\frac{−6x^{5}−9x^{3}+3x}{−3x}$
14. $\frac{36a^{12}−6a^{9}+12a^{5}}{−12a^{5}}$
15. $\frac{−12x^{5}+18x^{3}−6x^{2}}{−6x^{2}}$
16. $\frac{−49a^{8}+7a^{5}−21a^{3}}{7a^{3}}$
17. $\frac{9x^{7}−6x^{4}+12x^{3}−x^{2}}{3x^{2}}$
18. $\frac{8x^{9}+16x^{7}−24x^{4}+8x^{3}}{−8x^{3}}$
19. $\frac{16a^{7}−32a^{6}+20a^{5}−a^{4}}{4a^{4}}$
20. $\frac{5a^{6}+2a^{5}+6a^{3}−12a^{2}}{3a^{2}}$
21. $\frac{−4x^{2}y^{3}+16x^{7}y^{8}−8x^{2}y^{5}}{−4x^{2}y^{3}}$
22. $\frac{100a^{10}b^{30}c^{5}−50a^{20}b^{5}c^{40}+20a^{5}b^{20}c^{10}}{10a^{5}b^{5}c^{5}}$
23. Знайдіть частку$−36x^{9}y^{7}$ і$2x^{8}y^{5}$.
24. Знайдіть частку$144x^{3}y^{10}z^{2}$ і$−12x^{3}y^{5}z$.
25. Знайдіть частку$3a^{4}−18a^{3}+27a^{2}$ і$3a^{2}$.
26. Знайдіть частку$64a^{2}bc^{3}−16a^{5}bc^{7}$ і$4a^{2}bc^{3}$.

Відповідь

1. $9y^{3}$

3. $13x$

5. $5xy^{4}z^{2}$

7. $−\frac{25}{2}a^{2}b$

9. $3x^{2}+9x−1$

11. $10x^{2}−5x+15$

13. $2x^{4}+3x^{2}−1$

15. $2x^{3}−3x+1$

17. $3x^{5}−2x^{2}+4x−\frac{1}{3}$

19. $4a^{3}−8a^{2}+5a−\frac{1}{4}$

21. $−4x^{5}y^{5}+2y^{2}+1$

23. $−18xy^{2}$

25. $a^{2}−6a+9$

Вправа$\PageIndex{4}$ Dividing by a Polynomial

Розділити.

1. $(2x^{2}−5x−3)÷(x−3)$
2. $(3x^{2}+5x−2)÷(x+2)$
3. $(6x^{2}+11x+3)÷(3x+1)$
4. $(8x^{2}−14x+3)÷(2x−3)$
5. $\frac{x^{3}−x^{2}−2x−12}{x−3}$
6. $\frac{2x^{3}+11x^{2}+4x−5}{x+5}$
7. $\frac{2x^{3}−x^{2}−4x+3}{2x+3}$
8. $\frac{−15x^{3}−14x^{2}+23x−6}{5x−2}$
9. $\frac{14x^{4}−9x^{3}+22x^{2}+4x−1}{7x−1}$
10. $\frac{8x^{5}+16x^{4}−8x^{3}−5x^{2}−21x+10}{2x+5}$
11. $\frac{x^{2}+8x+17}{x+5}$
12. $\frac{2x^{2}−5x+5}{x−2}$
13. $\frac{6x^{2}−13x+9}{−2x+1}$
14. $\frac{−12x^{2}+x+1}{3x+2}$
15. $\frac{x^{3}+9x^{2}+19x+1}{x+4}$
16. $\frac{2x^{3}−13x^{2}+17x−11}{x−5}$
17. $\frac{9x^{3}−12x^{2}+16x−15}{3x−2}$
18. $\frac{3x^{4}−8x^{3}+5x^{2}−5x+9}{x−2}$
19. $(6x^{5}−13x^{4}+4x^{3}−3x^{2}+13x−2)÷(3x+1)$
20. $(8x^{5}−22x^{4}+19x^{3}−20x^{2}+23x−3)÷(2x−3)$
21. $\frac{5x^{5}+12x^{4}+12x^{3}−7x^{2}−19x+3}{x^{2}+2x+3}$
22. $\frac{6x^{5}−17x^{4}+5x^{3}+16x^{2}−7x−3}{2x^{2}−3x−1}$
23. $\frac{x^{5}+7x^{4}−x^{3}−7x^{2}−49 x+9}{x^{2}+7x−1}$
24. $\frac{5x^{6}−6x^{4}−4x^{2}+x+2}{5x^{2}−1}$
25. $\frac{x^{3}−27}{x−3}$
26. $\frac{8x^{3}+125}{2x+5}$
27. $(15x^{5}−9x^{4}−20x^{3}+12x^{2}+15x−9)÷(5x−3)$
28. $(2x^{6}−5x^{5}−4x^{4}+10x^{3}+6x^{2}−17x+5)÷(2x−5)$
29. $\frac{x^{5}−2x^{3}+3x−1}{x−1}$
30. $\frac{x^{4}−3x^{2}+5x−1}{3x+2}$
31. $\frac{a^{2}−4}{a+2}$
32. $\frac{a^{5}+1}{a^{5}+1}$
33. $\frac{a^{6}−1}{a−1}$
34. $\frac{x^{5}−1}{x−1}$
35. $\frac{x^{5}+x^{4}+6x^{3}+12x^{2}−4}{x^{2}+x−1}$
36. $\frac{50x^{6}−30x^{5}−5x^{4}+15x^{3}−5x+1}{5x^{2}−3x+2}$
37. $\frac{5x^{5}−15x^{3}+25x^{2}−5}{5x}$
38. $\frac{−36x^{6}+12x^{4}−6x^{2}}{6x^{2}}$
39. $\frac{150x^{5}y^{2}z^{15}−10x^{3}y^{6}z^{5}+4x^{3}y^{2}z^{4}}{10x^{3}y^{2}z^{5}}$
40. $\frac{27m^{6}+9m^{4}−81m^{2}+1}{9m^{2}}$
41. Розділити$3x^{6}−2x^{5}+27x^{4}−18x^{3}−6x^{2}+7x−10$ на$3x−2$.
42. Розділити$8x^{6}+4x^{5}−14x^{4}−5x^{3}+x^{2}−2x−3$ на$2x+1$.

Відповідь

1. $2x+1$

3. $2x+3$

5. $x^{2}+2x+4$

7. $x^{2}−2x+1$

9. $2x^{3}−x^{2}+3x+1$

11. $x+3+\frac{2}{x+5}$

13. $−3x+5+\frac{4}{−2x+1}$

15. $x^{2}+5x−1+\frac{5}{x+4}$

17. $3x^{2}−2x+4−\frac{7}{3x−2}$

19. $2x^{4}−5x^{3}+3x^{2}−2x+5−\frac{7}{3x+1}$

21. $5x^{3}+2x^{2}−7x+1$

23. $x^{3}−7+\frac{2}{x^{2}+7x−1}$

25. $x^{2}+3x+9$

27. $3x^{4}−4x^{2}+3$

29. $x^{4}+x^{3}−x^{2}−x+2+\frac{1}{x−1}$

31. $a−2$

33. $a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1$

35. $x^{3}+7x+5+ \frac{2x+1}{x^{2}+x−1}$

37. $x^{4}−3x^{2}+5x−\frac{1}{x}$

39. $15x^{2}z^{10}−y^{4}+\frac{2}{5z}$

41. $x^{5}+9x^{3}−2x+1−\frac{8}{3x−2}$

Вправа$\PageIndex{5}$ Dividing Polynomial Functions

Обчисліть$(f/g)(x)$, враховуючи функції.

1. $f(x)=40x^{8}$і$g(x)=10x^{5}$
2. $f(x)=54x^{5}$і$g(x)=9x^{3}$
3. $f(x)=12x^{2}+24x−15$і$g(x)=2x+5$
4. $f(x)=−8x^{2}+30x−7$і$g(x)=2x−7$
5. $f(x)=18x^{2}−36x+5$і$g(x)=3x−5$
6. $f(x)=−7x^{2}+29x−6$і$g(x)=7x−1$
7. $f(x)=10x^{3}−9x^{2}+27x−10$і$g(x)=5x−2$
8. $f(x)=15x^{3}+28x^{2}−11x+56$і$g(x)=3x+8$
9. $f(x)=2x^{4}+5x^{3}−11x^{2}−19x+20$і$g(x)=x^{2}+x−5$
10. $f(x)=4x^{4}−12x^{3}−20x^{2}+26x−3$і$g(x)=2x^{2}+2x−3$

Відповідь

1. $(f/g)(x)=4x^{3}$

3. $(f/g)(x)=6x−3$

5. $(f/g)(x)=6x−2−\frac{5}{3x−5}$

7. $(f/g)(x)=2x^{2}−x+5$

9. $(f/g)(x)=2x^{2}+3x−4$

Вправа$\PageIndex{6}$ Dividing Polynomial Functions

Дано$f(x)=6x^{3}+4x^{2}−11x+3$ і$g(x)=3x−1$, знайдіть наступне.

1. $(f/g)(x)$
2. $(f/g)(−1)$
3. $(f/g)(0)$
4. $(f/g)(1)$

Відповідь

1. $(f/g)(x)=2x^{2}+2x−3$

3. $(f/g)(0)=−3$

Вправа$\PageIndex{7}$ Dividing Polynomial Functions

Дано$f(x)=5x^{3}−13x^{2}+7x+3$ і$g(x)=x−2$, знайдіть наступне.

1. $(f/g)(x)$
2. $(f/g)(−3)$
3. $(f/g)(0)$
4. $(f/g)(7)$

Відповідь

1. $(f/g)(x)=5x^{2}−3x+1+\frac{5}{x−2}$

3. $(f/g)(0)=−\frac{3}{2}$

Вправа$\PageIndex{8}$ Discussion Board Topics

1. Як ви використовуєте розподільну властивість при діленні многочлена на мономіал?
2. Порівняйте довге ділення дійсних чисел з поліноміальним довгим діленням. Наведіть приклад кожного.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися