5.2: Вступ до поліномів

Цілі навчання

• Визначте многочлен і визначте його ступінь.
• Оцінити многочлен для заданих значень змінних.
• Оцінити многочлен за допомогою позначення функції.

Визначення

Многочлен - це спеціальний алгебраїчний вираз з термінами, які складаються з коефіцієнтів дійсних чисел і змінних факторів з цілими числовими показниками.

$\color{Cerulean}{Examples\:of\:polynomials:}$

$3x^{2}\quad 7xy+5\quad \frac{3}{2}x^{3}+3x^{2}-\frac{1}{2}x+1\quad 6x^{2}y-4xy^{3}-4xy^{3}+7$

Поліноми не мають змінних у знаменнику будь-якого терміна.

$\color{Cerulean}{Examples\:that\:are\:not\:polynomials:}$

$\frac{2x^{2}}{y} \quad 5\sqrt{x}+5\quad 5x^{2}+3x^{-2}+7\quad \frac{2}{x}-\frac{5}{y}=3$

Ступінь члена в поліномі визначається як показник змінної, або якщо в члені є більше однієї змінної, ступінь - це сума їх показників. Нагадаємо, що$x^{0}=1$; будь-який постійний термін може бути записаний як твір$x^{0}$ і самого себе. Звідси ступінь постійного терміну є$0$.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Термін	Ступінь
$3x^{2}$	$2$
$6x^{2}y$	$2+1=3$
$7a^{2}b^{3}$	$2+3=5$
$8$	$0$, так як$8=8x^{0}$
$2x$	$1$, так як$x=x^{1}$

Ступінь многочлена - найбільша ступінь з усіх його членів.

Таблиця$\PageIndex{2}$

многочлен	Ступінь
$4x^{5}-3x^{3}+2x-1$	$5$
$6x^{2}y-5xy^{3}+7$	$4$, тому що$5xy^{3}$ має ступінь$4$.
$12x+54$	$1$, тому що$x=x^{1}$

Класифікуємо многочлени за кількістю членів і ступенем наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{3}$

Вираз	Класифікація	Ступінь
$5x^{7}$	Мономіал (один термін)	$7$
$8x^{6}-1$	Біноміальний (два члени)	$6$
$-3x^{2}+x-1$	Тримінал (три терміни)	$2$
$5x^{3}-2x^{2}+3x-6$	Многочлен (багато членів)	$3$

У цьому тексті ми будемо називати многочлени з чотирма і більше термінами просто поліномами.

Приклад$\PageIndex{1}$

Класифікують і констатують ступінь:

$7x^{2}−4x^{5}−1$.

Рішення:

Тут є три терміни. Найвища змінна експонента є$5$. Тому це триноміал ступеня$5$.

Відповідь:

Тримінал; ступінь$5$

Приклад$\PageIndex{2}$

Класифікують і констатують ступінь:

$12a^{5}bc^{3}$.

Рішення:

Так як вираз складається тільки з множення, то це один член, мономіал. Змінну частину можна записати як$a^{5}b^{1}c^{3}$; отже, її ступінь є$5+1+3=9$.

Відповідь:

Мономіальна; ступінь$9$

Приклад$\PageIndex{3}$

Класифікують і констатують ступінь:

$4x^{2}y−6xy^{4}+5x^{3}y^{3}+4$.

Рішення:

Термін$4x^{2}y$ має ступінь$3$;$−6xy^{4}$ має ступінь$5; 5x^{3}y^{3}$ має ступінь$6$; і постійний термін$4$ має ступінь$0$. Тому многочлен має$4$ терміни зі ступенем$6$.

Відповідь:

многочлен; ступінь$6$

Особливий інтерес представляють поліноми з однією змінною, де кожен член має вигляд$a_{n}x^{n}$. Тут$a_{n}$ є будь-яке дійсне число і$n$ будь-яке ціле число. Такі многочлени мають стандартну форму

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$

Зазвичай ми влаштовуємо терміни поліномів у порядку убування на основі ступеня кожного члена. Провідним коефіцієнтом є коефіцієнт змінної з найбільшою потужністю, в даному випадку,$a_{n}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Пишіть в стандартній формі:

$3x−4x^{2}+5x^{3}+7−2x^{4}$.

Рішення:

Оскільки терміни розділені додаванням, напишіть наступне:

$\begin{aligned} & 3x-4x^{2}+5x^{3}+7-2x^{4} \\ &=3x+(-4x^{2})+5x^{3}+7+(-2x^{4}) \end{aligned}$

У такому вигляді ми бачимо, що віднімання в оригіналі відповідає негативним коефіцієнтам. Оскільки додавання є комутативним, ми можемо написати терміни у порядку спадання на основі ступеня кожного члена наступним чином:

$\begin{aligned} &=(-2x^{4})+5x^{3}+(-4x^{2})+3x+7 \\ &=-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+3x+7 \end{aligned}$

Відповідь:

$-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+3x+7$

Ми можемо додатково класифікувати многочлени з однією змінною за їх ступенем наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{4}$

многочлен	Ім'я
$5$	Постійна (ступінь$0$)
$2x+1$	Лінійний (ступінь$1$)
$3x^{2}+5x-3$	Квадратний (градус$2$)
$x^{3}+x^{2}+x+1$	Кубічний (градус$3$)
$7x^{4}+3x^{3}-7x+8$	Многочлен четвертого ступеня

У цьому тексті ми називаємо будь-який многочлен$n$ ступеня$n≥4$ поліномом th-го ступеня. Іншими словами, якщо ступінь є$4$, ми називаємо многочлен поліном четвертого ступеня. Якщо ступінь є$5$, ми називаємо це поліном п'ятого ступеня, і так далі.

Оцінювання поліномів

З огляду на значення змінних у многочлені, ми можемо підставити і спростити, використовуючи порядок операцій.

Приклад$\PageIndex{5}$

Оцініть:

$3x−1$, де$x=−\frac{3}{2}$.

Рішення:

Спочатку замініть змінну дужками, а потім підставити задане значення.

Відповідь:

$-\frac{11}{2}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Оцініть:

$3x^{2}+2x−1$, де$x=−1$.

Рішення:

Відповідь:

$0$

Приклад$\PageIndex{7}$

Оцініть:

$−2a^{2}b+ab^{2}−7$, Де$a=3$ і$b=−2$.

Рішення:

Відповідь:

$41$

Приклад$\PageIndex{8}$

Обсяг сфери в кубічних одиницях задається за формулою$V=\frac{4}{3}πr^{3}$, де$r$ - радіус. Обчисліть обсяг сфери радіусом$r=\frac{3}{2}$ метрів.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рішення:

$\begin{aligned} V&=\frac{4}{3}\pi r^{3} \\ &=\frac{4}{3}\pi \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \\ &=\frac{4}{3}\pi \frac{3^{3}}{2^{3}} \\ &=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{4}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{3}}}{1}}} \pi \frac{\color{Cerulean}{\stackrel{9}{\cancel{\color{black}{27}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{8}}}{2}}} \\ &=\frac{9}{2} \pi \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{9}{2}\pi$кубічних метрів

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцініть:

$x^{3}−x^{2}+4x−2$, де$x=−3$.

Відповідь

$-50$

Функції поліномів

Поліноміальні функції з однією змінною - це функції, які можна записати у вигляді

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{0}$$ ,

де$a_{n}$ будь-яке дійсне число і$n$ будь-яке ціле число. Нижче наведено кілька прикладів різних класів поліноміальних функцій:

Таблиця$\PageIndex{5}$

Функція полінома	Ім'я
$f(x)=5$	Постійна функція (ступінь$0$)
$f(x)=-2x+1$	Лінійна функція (ступінь$1$)
$f(x)=5x^{2}+4x-3$	Квадратична функція (ступінь$2$)
$f(x)=x^{3}-1$	Кубічна функція (ступінь$3$)
$f(x)=4x^{5}+3x^{4}-7$	Функція полінома

Оскільки обмежень на значення for немає$x$, область будь-якої поліноміальної функції складається з усіх дійсних чисел.

Приклад$\PageIndex{9}$

Розрахувати:

$f(5)$, дано$f(x)=−2x^{2}+5x+10$.

Рішення:

Нагадаємо, що позначення функції$f(5)$ вказує на те, що ми повинні оцінити функцію, коли$x=5$. Замініть кожен екземпляр змінної$x$ значенням$5$.

Відповідь:

$f(5)=-15$

Приклад$\PageIndex{10}$

Розрахувати:

$f(−1)$, дано$f(x)=−x^{3}+2x^{2}−4x+1$.

Рішення:

Замініть$x$ змінну на$−1$.

$\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=-(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{3}+2(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{2}-4(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)+1} \\ &=-(-1)+2\cdot 1 +4+1 \\ &=1+2+4+1 \\ &=8 \end{aligned}$

Відповідь:

$f(-1)=8$

Вправа$\PageIndex{2}$

Дано$g(x)=x^{3}−2x^{2}−x−4$, розрахуйте$g(−1)$.

Відповідь

$g(−1)=−6$

Ключові винос

• Поліноми - це спеціальні алгебраїчні вирази, де члени є добутком дійсних чисел і змінних з цілими числовими показниками.
• Ступінь многочлена з однією змінною є найбільшим показником змінної, знайденої в будь-якому терміні.
• Терміни многочлена, як правило, розташовані в порядку спадання на основі ступеня кожного члена.
• При оцінці полінома доцільною практикою є заміна всіх змінних дужками, а потім підставити відповідні значення.
• Всі многочлени є функціями.

Вправа$\PageIndex{3}$ Definitions

Класифікуйте заданий многочлен як лінійний, квадратичний або кубічний.

1. $2x+1$
2. $x^{2}+7x+2$
3. $2−3x^{2}+x$
4. $4x$
5. $x^{2}−x^{3}+x+1$
6. $5−10x^{3}$

Відповідь

1. Лінійний

3. Квадратичний

5. Кубічний

Вправа$\PageIndex{4}$ Definitions

Класифікуйте даний многочлен як мономіальний, біноміальний або триноміальний і вкажіть ступінь.

1. $x^{3}−1$
2. $x^{2}y^{2}$
3. $x−x^{5}+1$
4. $x^{2}+3x−1$
5. $5ab^{4}$
6. $13x−12$
7. $−5x^{3}+2x+1$
8. $8x^{2}−9$
9. $4x^{5}−5x^{3}+6x$
10. $8x^{4}−x^{5}+2x−3$
11. $9x+7$
12. $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}−x+1$
13. $6x−1+5x^{4}−8$
14. $4x−3x^{2}+3$
15. $7$
16. $x^{2}$
17. $4x^{2}y−3x^{3}y^{3}+xy^{3}$
18. $a^{3}b^{2}−6ab$
19. $a^{3}b^{3}$
20. $x^{2}y−y^{2}x$
21. $xy−3$
22. $a^{5}bc^{2}+3a^{9}−5a^{4}b^{3}c$
23. $−3x^{10}y^{2}z−xy^{12}z+9x^{13}+30$
24. $7x^{0}$

Відповідь

1. Біноміальна; ступінь$3$

3. Тримінал; ступінь$5$

5. Мономіальна; ступінь$5$

7. Тримінал; ступінь$3$

9. Тримінал; ступінь$5$

11. Біноміальна; ступінь$1$

13. Чи не многочлен

15. Мономіальна; ступінь$0$

17. Тримінал; ступінь$6$

19. Мономіальна; ступінь$6$

21. Біноміальна; ступінь$2$

23. многочлен; ступінь$14$

Вправа$\PageIndex{5}$ Definitions

Напишіть наступні многочлени в стандартній формі.

1. $1−6x+7x^{2}$
2. $x−9x^{2}−8$
3. $7−x^{3}+x^{7}−x^{2}+x−5x^{5}$
4. $a^{3}−a^{9}+6a^{5}−a+3−a^{4}$

Відповідь

1. $7x^{2}−6x+1$

3. $x^{7}−5x^{5}−x^{3}−x^{2}+x+7$

Вправа$\PageIndex{6}$ Evaluating Polynomials

1. Заповніть наступну діаграму:
   
   Малюнок$\PageIndex{2}$
2. Заповніть наступну діаграму:
   
   Малюнок$\PageIndex{3}$

Відповідь

1.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Вправа$\PageIndex{7}$ Evaluating Polynomials

Оцінити.

1. $2x−3$, де$x=3$
2. $x^{2}−3x+5$, де$x=−2$
3. $−12x+13$, де$x=−13$
4. $−x^{2}+5x−1$, де$x=−12$
5. $−2x^{2}+3x−5$, де$x=0$
6. $8x^{5}−27x^{3}+81x−17$, де$x=0$
7. $y^{3}−2y+1$, де$y=−2$
8. $y^{4}+2y^{2}−32$, де$y=2$
9. $a^{3}+2a^{2}+a−3$, де$a=−3$
10. $x^{3}−x^{2}$, де$x=5$
11. $34x^{2}−12x+36$, де$x=−23$
12. $58x^{2}−14x+12$, де$x=4$
13. $x^{2}y+xy^{2}$, де$x=2$ і$y=−3$
14. $2a^{5}b−ab^{4}+a^{2}b^{2}$, де$a=−1$ і$b=−2$
15. $a^{2}−b^{2}$, де$a=5$ і$b=−6$
16. $a^{2}−b^{2}$, де$a=34$ і$b=−14$
17. $a^{3}−b^{3}$, де$a=−2$ і$b=3$
18. $a^{3}+b^{3}$, де$a=5$ і$b=−5$

Відповідь

1. $3$

3. $\frac{1}{2}$

5. $−5$

7. $−3$

9. $−15$

11. $\frac{7}{6}$

13. $6$

15. $−11$

17. $−35$

Вправа$\PageIndex{8}$ Evaluating Polynomials

Для кожної задачі оцінюйте$b^{2}−4ac$, враховуючи наступні значення.

1. $a=−1, b=2$, і$c=−1$
2. $a=2, b=−2$, і$c=12$
3. $a=3, b=−5, c=0$
4. $a=1, b=0$, і$c=−4$
5. $a=14, b=−4$, і$c=2$
6. $a=1, b=5$, і$c=6$

Відповідь

1. $0$

3. $25$

5. $14$

Вправа$\PageIndex{9}$ Evaluating Polynomials

Обсяг сфери в кубічних одиницях задається за формулою$V=\frac{4}{3}πr^{3}$, де$r$ - радіус. Для кожної задачі обчислити об'єм сфери з урахуванням наступних радіусів.

1. $r = 3$сантиметри
2. $r = 1$сантиметр
3. $r = \frac{1}{2}$стопи
4. $r = \frac{3}{2}$стопи
5. $r = 0.15$в
6. $r = 1.3$дюймів

Відповідь

1. $36π$кубічні сантиметри

3. $\frac{π}{6}$кубічні фути

5. $0.014$кубічних дюймів

Вправа$\PageIndex{10}$ Evaluating Polynomials

Висота в ногах снаряда, запущеного вертикально від землі з початковою швидкістю$v_{0}$ в футах в секунду, задається формулою$h=−16t^{2}+v_{0}t$, де$t$ позначає час у секундах. Для кожної задачі обчислити висоту снаряда, враховуючи наступну початкову швидкість і час.

1. $v_{0}=64$фути/секунду, в рази$t = 0, 1, 2, 3, 4$ секунди
2. $v_{0}=80$фути/секунду, в рази$t = 0, 1, 2, 2.5, 3, 4, 5$ секунди

Відповідь

1.

Таблиця$\PageIndex{6}$

Час	Висота
$t=0$секунд	$h=0$стопи
$t=1$другий	$h=48$стопи
$t=2$секунд	$h=64$стопи
$t=3$секунд	$h=48$стопи
$t=4$секунд	$h=0$стопи

Вправа$\PageIndex{11}$ Evaluating Polynomials

Гальмівний шлях автомобіля з урахуванням середнього часу реакції можна оцінити за формулою$d=0.05v^{2}+1.5$, де$d$ знаходиться в футах і$v$ - швидкість в милі на годину. Для кожної задачі розрахуйте гальмівний шлях автомобіля, що рухається на заданих швидкостях.

1. $20$миль на годину
2. $40$миль на годину
3. $80$миль на годину
4. $100$миль на годину

Відповідь

1. $21.5$стопи

3. $321.5$стопи

Вправа$\PageIndex{12}$ Polynomial Functions

З огляду на лінійну функцію$f(x)=\frac{2}{3}x+6$, оцініть кожну з наступних дій.

1. $f(−6)$
2. $f(−3)$
3. $f(0)$
4. $f(3)$
5. Знайти$x$, коли$f(x)=10$.
6. Знайти$x$, коли$f(x)=−4$.

Відповідь

1. $2$

3. $6$

5. $x=6$

Вправа$\PageIndex{13}$ Polynomial Functions

З огляду на квадратичну функцію$f(x)=2x^{2}−3x+5$, оцініть кожну з наступних дій.

1. $f(−2)$
2. $f(−1)$
3. $f(0)$
4. $f(2)$

Відповідь

1. $19$

3. $5$

Вправа$\PageIndex{14}$ Polynomial Functions

З огляду на кубічну функцію$g(x)=x^{3}−x^{2}+x−1$, оцініть кожну з наступних дій.

1. $g(−2)$
2. $g(−1)$
3. $g(0)$
4. $g(1)$

Відповідь

1. $-15$

3. $-1$

Вправа$\PageIndex{15}$ Polynomial Functions

Висота в ногах снаряда, запущеного вертикально від землі з початковою швидкістю$128$ ніг в секунду, задається функцією$h(t)=−16t^{2}+128t$, де$t$ знаходиться в секундах. Обчисліть і інтерпретувати наступне.

1. $h(0)$
2. $h(12)$
3. $h(1)$
4. $h(3)$
5. $h(4)$
6. $h(5)$
7. $h(7)$
8. $h(8)$

Відповідь

1. Снаряд запускається з землі.

3. Снаряд знаходиться$112$ ногами над землею$1$ другий після запуску.

5. Снаряд знаходиться$256$ ногами над землею через$4$ кілька секунд після запуску.

7. Снаряд знаходиться$112$ ногами над землею через$7$ кілька секунд після запуску.

Вправа$\PageIndex{16}$ Discussion Board Topics

1. Знайти і поділитися деякими графіками поліноміальних функцій.
2. Поясніть, як перетворити фути в секунду в милі на годину.
3. Знайдіть і діліться іменами поліномів четвертого ступеня, п'ятого ступеня та вищого рівня.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися