5.4: Множення многочленів

Цілі навчання

• Помножте многочлен на моном.
• Помножте многочлен на біном.
• Помножте многочлен на многочлен будь-якого розміру.
• Розпізнавати і розрахувати спеціальні продукти.
• Множення поліноміальних функцій.

Множення на мономіал

Згадайте правило добутку для показників: якщо$m$ і$n$ є натуральними числами, то

$$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$$

Іншими словами, при множенні двох виразів з однаковою базою додайте показники. Це правило діє при множенні мономіала на мономіал. Щоб знайти добуток мономіалів, помножте коефіцієнти і складіть показники змінних факторів з однаковою базою. Наприклад,

$\begin{array} {cl} {3x\cdot 5x^{2} = 3\cdot 5\cdot x^{1}\cdot x^{2}}&{\color{Cerulean}{Commutative\: property}}\\{=15x^{1+2}}&{\color{Cerulean}{Product\:rule\:for\:exponents}}\\{=15x^{3}}&{} \end{array}$

Щоб помножити многочлен на мономіал, застосуйте розподільну властивість, а потім спростіть кожен член.

Приклад$\PageIndex{1}$

Помножити:

$−5x(4x−2)$.

Рішення:

В цьому випадку помножте мономіал$−5x$,, на біноміальний,$4x−2$. Застосовуємо розподільну властивість, а потім спрощуємо.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Відповідь:

$-20x^{2}+10x$

Приклад$\PageIndex{2}$

Помножити:

$2x^{2}(3x^{2}−5x+1)$.

Рішення:

Застосовуємо розподільну властивість, а потім спрощуємо.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Відповідь:

$6x^{4}-10x^{3}+2x^{2}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Помножити:

$−3ab^{2}(a^{2}b^{3}+2a^{3}b−6ab−4)$.

Рішення:

Відповідь:

Підводячи підсумок, множення полінома на мономіал передбачає розподільну властивість та правило добутку для експонентів. Помножте всі члени многочлена на мономіал. Для кожного члена помножте коефіцієнти і додайте показники змінних, де основи однакові.

Вправа$\PageIndex{1}$

Помножити:

$−5x^{2}y(2xy^{2}−3xy+6x^{2}y−1)$.

Відповідь

$−10x^{3}y^{3}+15x^{3}y^{2}−30x^{4}y^{2}+5x^{2}y$

Множення на біноміал

Точно так само, як ми використовували розподільну властивість, щоб знайти добуток мономіального та біноміального, ми будемо використовувати його, щоб знайти добуток двох біноміалів.

$$\begin{aligned} \color{Cerulean}{(a+b)}\color{black}{(c+d)} \\ &=\color{Cerulean}{(a+b)}\color{black}{\cdot c+}\color{Cerulean}{(a+b)}\color{black}{\cdot d} \\ &=ac+bc+ad+bd \\ &=ac+ad+bc+bd \end{aligned}$$

Тут ми застосовуємо властивість distributive кілька разів, щоб отримати кінцевий результат. Цей же результат виходить за один крок, якщо застосувати розподільну властивість до$a$ і$b$ окремо наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{3}$

Це часто називають методом FOIL. Ми додаємо продукти перших членів кожного біноміала$ac$, зовнішніх$o$ термінів$ad$, внутрішніх термінів$i$ і$bc$, нарешті, останніх термінів$bd$. Цей мнемонічний пристрій працює лише для продуктів біноміалів; отже, найкраще просто пам'ятати, що застосовується розподільна властивість.

Приклад$\PageIndex{4}$

Помножити:

$(2x+3)(5x−2)$.

Рішення:

Розподілити,$2x$ а потім розподілити$3$.

Спростіть, комбінуючи подібні терміни.

$=10x^{2}+11x-6$

Відповідь:

$10x^{2}+11x-6$

Приклад$\PageIndex{5}$

Помножити:

$(\frac{1}{2}x−\frac{1}{4})(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4})$.

Рішення:

Розподілити,$\frac{1}{2}x$ а потім розподілити$−\frac{1}{4}$.

$\begin{aligned} (\frac{1}{2}x−\frac{1}{4})(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}) &=\color{Cerulean}{\frac{1}{2}x}\color{black}{\frac{1}{2}x+}\color{Cerulean}{\frac{1}{2}x}\color{black}{\cdot\frac{1}{4}+}\color{OliveGreen}{\left( -\frac{1}{4} \right)}\color{black}{\cdot\frac{1}{2}x+}\color{OliveGreen}{\left(-\frac{1}{4} \right)}\color{black}{\cdot\frac{1}{4}} \\ &=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}x-\frac{1}{16} \\ &=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{16} \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{16}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Помножити:

$(3y^{2}−1)(2y+1)$.

Рішення:

Відповідь:

$6y^{3}+3y^{2}-2y-1$

Після застосування розподільного майна комбінуйте будь-які подібні терміни.

Приклад$\PageIndex{7}$

Помножити:

$(x^{2}−5)(3x^{2}−2x+2)$.

Рішення:

Після множення кожного члена триноміала на$x^{2}$ і$−5$, спростити.

Відповідь:

$3x^{4}-2x^{3}-13x^{2}+10x-10$

Приклад$\PageIndex{8}$

Помножити:

$(2x−1)^{3}$.

Рішення:

Виконуйте по одному виробу за раз.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Відповідь:

$8x^{3}-12x^{2}+6x-1$

На цьому етапі варто вказати на поширену помилку:

$(2x-1)^{3}\neq (2x)^{3}-(1)^{3}$

Плутанина походить від продукту до силового правила експонентів, де ми застосовуємо владу до всіх факторів. Оскільки в дужках є два терміни, це правило не застосовується. Слід подбати про те, щоб зрозуміти, чим відрізняється в наступних двох прикладах:

$\begin{aligned} (xy)^{2} &=x^{2}y^{2}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \\ (x+y)^{2} &\neq x^{2}+y^{2}\quad\color{red}{x} \end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Помножити:

$(2x−3)(7x^{2}−5x+4)$.

Відповідь

$14x^{3}-31x^{2}+23x-12$

добуток многочленів

При множенні многочленів ми застосовуємо розподільне властивість багато разів. Помножте всі члени кожного многочлена, а потім об'єднайте як члени.

Приклад$\PageIndex{9}$

Помножити:

$(2x^{2}+x−3)(x^{2}−2x+5)$.

Рішення:

Помножте кожен член першого тріноміалу на кожен член другого триноміалу, а потім об'єднайте подібні члени.

Вирівнювання подібних термінів у стовпцях, як у нас тут, допомагає в процесі спрощення

Відповідь:

$2x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+11x-15$

Зверніть увагу, що при множенні тріноміала на триноміал ми отримуємо дев'ять членів перед спрощенням. Фактично, при множенні$n$ -членного многочлена на m-членний многочлен ми$n × m$ отримаємо члени. У попередньому прикладі нас попросили помножити і виявили, що

$(2x^{2}+x-3)(x^{2}-2x+5)=2x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+11x-15$

Оскільки легко зробити невелику помилку обчислення, гарною практикою є простежити кроки подумки, щоб переконатися, що операції були виконані правильно. Крім того, ми можемо перевірити, оцінюючи будь-яке значення для$x$ обох виразів, щоб переконатися, що результати однакові. Тут вибираємо$x = 2$:

$\begin{aligned} (2x^{2}+x-3)(x^{2}-2x+5)&=(2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}+(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)-3)((}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)^{2}-2(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)+5)} \\ &=(8+2-3)(4-4+5) \\ &=(7)(5) \\ &=35 \end{aligned}$

Оскільки результати випадково можуть бути однаковими, перевірка шляхом оцінки не обов'язково доводить, що ми правильно помножили. Однак, перевіривши кілька значень, ми можемо бути досить впевнені, що продукт правильний.

Вправа$\PageIndex{3}$

Помножити:

$(x^{2}−2x−3)^{2}$.

Відповідь

$x^{4}−4x^{3}−2x^{2}+12x+9$

Спеціальні продукти

У цьому розділі мета полягає в тому, щоб розпізнати певні спеціальні продукти, які часто зустрічаються при нашому вивченні алгебри. Ми розробимо три формули, які будуть дуже корисні в міру просування. Три слід запам'ятати. Почнемо з розгляду наступних двох розрахунків:

$\begin{array}{r|r} {(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)}&{(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)}\\{=a^{2}+ab+ba+b^{2}}&{=a^{2}-ab-ba+b^{2}}\\{=a^{2}+ab+ab+b^{2}}&{=a^{2}-ab-ab+b^{2}}\\{=a^{2}+2ab+b^{2}}&{=a^{2}-2ab+b^{2}} \end{array}$

Це призводить нас до двох формул, які описують ідеальні квадратні триноми:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$

Ми можемо використовувати ці формули, щоб швидко квадратувати біном.

Приклад$\PageIndex{10}$

Помножити:

$(3x+5)^{2}$.

Рішення:

Ось$a=3x$ і$b=5$. Застосовуємо формулу:

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{(a+b)^{2}} &\color{Cerulean}{ =\:\: a^{2}\:\:\:\:+2\:\:\:\:\:\:a\:\:\:\:\:b\:\:+\:\:b^{2}} \\ &\color{Cerulean}{\quad\:\:\: \downarrow\qquad\qquad\:\: \downarrow\:\:\:\:\: \downarrow\qquad\downarrow} \\ (3x+5)^{2}&=(3x)^{2}+2\cdot(3x)(5)+(5)^{2} \\ &=9x^{2}+30x+25\end{aligned}$

Відповідь:

$9x^{2}+30x+25$

Цей процес повинен стати рутинним досить, щоб його виконували подумки.

Приклад$\PageIndex{11}$

Помножити:

$(x−4)^{2}$.

Рішення:

Ось$a=x$ і$b=4$. Застосовують відповідну формулу наступним чином:

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{(a-b)^{2}} &\color{Cerulean}{ =\:\: a^{2}\:\:\:\:-2\:\:\:\:a\:\:\:b\:\:+\:b^{2}} \\ &\color{Cerulean}{\quad\:\:\: \downarrow\qquad\quad\:\:\:\: \downarrow\:\:\: \downarrow\quad\:\:\:\downarrow} \\ (x-4)^{2}&=(x)^{2}-2\cdot(x)(4)+(4)^{2} \\ &=x^{2}-8x+16\end{aligned}$

Відповідь:

$x^{2}-8x+16$

Наш третій спеціальний продукт:

$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^{2}-ab+ba-b^{2} \\ &=a^{2}\color{red}{-ab+ab}\color{black}{-b^{2}}\\&=a^{2}-b^{2} \end{aligned}$

Цей твір називається різницею квадратів:

$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$

Біноміали$(a+b)$ і$(a−b)$ називаються сполученими біномами. Тому при множенні сполучених бічленів середній термін усуває, а твір сам по собі є біноміальним.

Приклад$\PageIndex{12}$

Помножити:

$(7x+4)(7x−4)$.

Рішення:

Відповідь:

$49x^{2}-16$

Вправа$\PageIndex{4}$

Помножити:

$(−5x+2)^{2}$.

Відповідь

$25x^{2}−20x+4$

Множення многочленних функцій

Ми використовуємо позначення функцій для позначення множення наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{1}$

Множення функцій:	$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Приклад$\PageIndex{13}$

Обчисліть:

$(f⋅g)(x)$, з огляду на$f(x)=5x^{2}$ і$g(x)=−x^{2}+2x−3$.

Рішення:

Помножте всі члени триноміала на мономіальну функцію$f(x)$.

$\begin{aligned} (f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x) \\ &=5x^{2}\cdot (-x^{2}+2x-3) \\ &=-5x^{4}+10x^{3}-15x^{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$(f\cdot g)(x)=-5x^{4}+10x^{3}-15x^{2}$

Приклад$\PageIndex{14}$

Обчисліть:

$(f⋅g)(−1)$, з огляду на$f(x)=−x+3$ і$g(x)=4x^{2}−3x+6$.

Рішення:

Для початку визначитеся$(f⋅g)(x)$.

$\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &=f(x)\cdot g(x) \\ &=(-x+3)(4x^{2}-3x+6) \\ &=-4x^{3}+3x^{2}-6x+12x^{2}-9x+18 \\ &=-4x^{3}+15x^{2}-15x+18 \end{aligned}$

У нас є

\ (f\ точка г) (х) = -4x^ {3} +15х^ {2} -15х+18

Далі$−1$ підставляємо змінну$x$.

$\begin{aligned} (f\cdot g)(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}&=-4(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{3}+15(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{2}-15(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)+18} \\ &=-4\cdot (-1)+15\cdot 1+15+18 \\ &=4+15+15+18 \\ &=52 \end{aligned}$

Відповідь:

$(f\cdot g)(-1)=52$

$(f⋅g)(−1)=f(−1)⋅g(−1)$Тому що ми могли б альтернативно обчислити$f(−1)$ і$g(−1)$ окремо, а потім помножити результати (спробуйте це як вправу). Однак, якби нас попросили оцінити кілька значень для функції$(f⋅g)(x)$, найкраще спочатку визначити загальну форму, як ми маємо в попередньому прикладі.

Ключові винос

• Щоб помножити многочлен на мономіал, застосуйте розподільну властивість, а потім спростіть кожен з отриманих членів.
• Щоб помножити многочлени, помножте кожен член у першому многочлені з кожним членом у другому многочлені. Потім комбінуйте подібні терміни.
• Добуток$n$ -членного многочлена і$m$ -членного полінома призводить до того, що$m × n$ термін поліном перед об'єднанням подібних термінів.
• Перевірте результати, оцінюючи значення у вихідному виразі та у вашій відповіді, щоб переконатися, що результати однакові.
• Використовуйте формули для спеціальних продуктів, щоб швидко розмножити біноміали, які часто зустрічаються в алгебрі.

Вправа$\PageIndex{5}$ Product of a Monomial and a Polynomial

Помножити.

1. $5x(−3x^{2}y)$
2. $(−2x^{3}y^{2})(−3xy^{4})$
3. $\frac{1}{2}(4x−3)$
4. $−\frac{3}{4}(\frac{2}{3}x−6)$
5. $3x(5x−2)$
6. $−4x(2x−1)$
7. $x^{2}(3x+2)$
8. $−6x^{2}(5x+3)$
9. $2ab(4a−2b)$
10. $5a^{2}b(a^{2}−b^{2})$
11. $6x^{2}y^{3}(−3x^{3}y+xy^{2})$
12. $3ab^{3}(−5ab^{3}+6a^{2}b)$
13. $−\frac{1}{2}x^{2}y(4xy−10)$
14. $−3x^{4}y^{2}(3x^{8}y^{3})$
15. $2x^{2}(−5x^{3})(3x^{4})$
16. $4ab(a^{2}b^{3}c)(a^{4}b^{2}c^{4})$
17. $−2(5x^{2}−3x+4)$
18. $\frac{4}{5}(25x^{2}−50xy+5y^{2})$
19. $3x(5x^{2}−2x+3)$
20. $−x(x^{2}+x−1)$
21. $x^{2}(3x^{2}−5x−7)$
22. $x^{3}(−4x^{2}−7x+9)$
23. $\frac{1}{4}x^{4}(8x^{3}−2x^{2}+\frac{1}{2}x−5)$
24. $−\frac{1}{3}x^{3}(\frac{3}{2}x^{5}−\frac{2}{3}x^{3}+\frac{9}{2}x−1)$
25. $a^{2}b(a^{2}−3ab+b^{2})$
26. $6a^{2}bc^{3}(2a−3b+c^{2})$
27. $\frac{2}{3}xy^{2}(9x^{3}y−27xy+3xy^{3})$
28. $−3x^{2}y^{2}(12x^{2}−10xy−6y^{2})$
29. Знайдіть продукт$3x$ і$2x^{2}−3x+5$.
30. Знайдіть продукт$−8y$ і$y^{2}−2y+12$.
31. Знайдіть продукт$−4x$ і$x^{4}−3x^{3}+2x^{2}−7x+8$.
32. Знайдіть продукт$3xy^{2}$ і$−2x^{2}y+4xy−xy^{2}$.

Відповідь

1. $−15x^{3}y$

3. $2x−\frac{3}{2}$

5. $15x^{2}−6x$

7. $3x^{3}+2x^{2}$

9. $8a^{2}b−4ab^{2}$

11. $−18x^{5}y^{4}+6x^{3}y^{5}$

13. $−2x^{3}y^{2}+5x^{2}y$

15. $−30x^{9}$

17. $−10x^{2}+6x−8$

19. $15x^{3}−6x^{2}+9x$

21. $3x^{4}−5x^{3}−7x^{2}$

23. $2x^{7}−\frac{1}{2}x^{6}+\frac{1}{8}x^{5}−\frac{5}{4}x^{4}$

25. $a^{4}b−3a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}$

27. $6x^{4}y^{3}−18x^{2}y^{3}+2x^{2}y^{5}$

29. $6x^{3}−9x^{2}+15x$

31. $−4x^{5}+12x^{4}−8x^{3}+28x^{2}−32x$

Вправа$\PageIndex{6}$ Product of a Binomial and a Polynomial

Помножити.

1. $(3x−2)(x+4)$
2. $(x+2)(x−3)$
3. $(x−1)(x+1)$
4. $(3x−1)(3x+1)$
5. $(2x−5)(x+3)$
6. $(5x−2)(3x+4)$
7. $(−3x+1)(x−1)$
8. $(x+5)(−x+1)$
9. $(y−\frac{2}{3})(y+\frac{2}{3})$
10. $(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})(\frac{3}{2}x−\frac{2}{3})$
11. $(\frac{3}{4}x+\frac{1}{5})(\frac{1}{4}x+\frac{2}{5})$
12. $(\frac{1}{5}x+\frac{3}{10})(\frac{3}{5}x−\frac{5}{2})$
13. $(y^{2}−2)(y+2)$
14. $(y^{3}−1)(y^{2}+2)$
15. $(a^{2}−b^{2})(a^{2}+b^{2})$
16. $(a^{2}−3b)^{2}$
17. $(x−5)(2x^{2}+3x+4)$
18. $(3x−1)(x^{2}−4x+7)$
19. $(2x−3)(4x^{2}+6x+9)$
20. $(5x+1)(25x^{2}−5x+1)$
21. $(x−\frac{1}{2})(3x^{2}+4x−1)$
22. $(\frac{1}{3}x−\frac{1}{4})(3x^{2}+9x−3)$
23. $(x+3)^{3}$
24. $(x−2)^{3}$
25. $(3x−1)^{3}$
26. $(2x+y)^{3}$
27. $(5x−2)(2x^{3}−4x^{2}+3x−2)$
28. $(x^{2}−2)(x^{3}−2x^{2}+x+1)$

Відповідь

1. $3x^{2}+10x−8$

3. $x^{2}−1$

5. $2x^{2}+x−15$

7. $−3x^{2}+4x−1$

9. $y^{2}−\frac{4}{9}$

11. $\frac{3}{16}x^{2}+\frac{7}{20}x+\frac{2}{25}$

13. $y^{3}+2y^{2}−2y−4$

15. $a^{4}−b^{4}$

17. $2x^{3}−7x^{2}−11x−20$

19. $8x^{3}−27$

21. $3x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}−3x+12$

23. $x^{3}+9x^{2}+27x+27$

25. $27x^{3}−27x^{2}+9x−1$

27. $10x^{4}−24x^{3}+23x^{2}−16x+4$

Вправа$\PageIndex{7}$ Product of Polynomials

Помножити.

1. $(x^{2}−x+1)(x^{2}+2x+1)$
2. $(3x^{2}−2x−1)(2x^{2}+3x−4)$
3. $(2x^{2}−3x+5)(x^{2}+5x−1)$
4. $(a+b+c)(a−b−c)$
5. $(a+2b−c)^{2}$
6. $(x+y+z)^{2}$
7. $(x−3)^{4}$
8. $(x+y)^{4}$
9. Знайдіть об'єм прямокутного твердого тіла зі сторонами вимірювання$x, x+2$ та$x+4$ одиницями.
10. Знайдіть об'єм куба, де кожна сторона вимірює$x−5$ одиниці виміру.

Відповідь

1. $x^{4}+x^{3}+x+1$

3. $2x^{4}+7x^{3}−12x^{2}+28x−5$

5. $a^{2}+4ab−2ac+4b^{2}−4bc+c^{2}$

7. $x^{4}−12x^{3}+54x^{2}−108x+81$

9. $x^{3}+6x^{2}+8x$

Вправа$\PageIndex{8}$ Special Products

Помножити.

1. $(x+2)^{2}$
2. $(x−3)^{2}$
3. $(2x+5)^{2}$
4. $(3x−7)^{2}$
5. $(−x+2)^{2}$
6. $(−9x+1)^{2}$
7. $(a+6)^{2}$
8. $(2a−3b)^{2}$
9. $(\frac{2}{3}x+\frac{3}{4})^{2}$
10. $(\frac{1}{2}x−\frac{3}{5})^{2}$
11. $(x^{2}+2)^{2}$
12. $(x^{2}+y^{2})^{2}$
13. $(x+4)(x−4)$
14. $(2x+1)(2x−1)$
15. $(5x+3)(5x−3)$
16. $(\frac{1}{5}x−\frac{1}{3})(\frac{1}{5}x+\frac{1}{3})$
17. $(\frac{3}{2}x+\frac{2}{5})(\frac{3}{2}x−\frac{2}{5})$
18. $(2x−3y)(2x+3y)$
19. $(4x−y)(4x+y)$
20. $(a^{3}−b^{3})(a^{3}+b^{3})$
21. Виготовляється коробочка, вирізаючи кути і склавши вгору краю квадратного шматка картону. Надано шаблон для картонної коробки висотою в$2$ дюйми. Знайдіть формулу для обсягу, якщо початковий шматок картону являє собою квадрат зі сторонами, що вимірюють$x$ дюйми.
    
    Малюнок$\PageIndex{5}$
22. Надано шаблон для картонної коробки висотою в$x$ дюйми. Знайдіть формулу для обсягу, якщо початковий шматок картону являє собою квадрат зі сторонами, що вимірюють$12$ дюйми.
    
    Малюнок$\PageIndex{6}$

Відповідь

1. $x^{2}+4x+4$

3. $4x^{2}+20x+25$

5. $x^{2}−4x+4$

7. $a^{2}+12a+36$

9. $\frac{4}{9}x^{2}+x+\frac{9}{16}$

11. $x^{4}+4x^{2}+4$

13. $x^{2}−16$

15. $25x^{2}−9$

17. $\frac{9}{4}x^{2}−\frac{4}{25}$

19. $16x^{2}−y^{2}$

21. $V=2x^{2}−16x+32$кубічних дюймів

Вправа$\PageIndex{9}$ Multiplying Polynomial Functions

Для кожної задачі обчислити$(f⋅g)(x)$, враховуючи функції.

1. $f(x)=8x$і$g(x)=3x−5$
2. $f(x)=x^{2}$і$g(x)=−5x+1$
3. $f(x)=x−7$і$g(x)=6x−1$
4. $f(x)=5x+3$і$g(x)=x^{2}+2x−3$
5. $f(x)=x^{2}+6x−3$і$g(x)=2x^{2}−3x+5$
6. $f(x)=3x^{2}−x+1$і$g(x)=−x^{2}+2x−1$

Відповідь

1. $(f⋅g)(x)=24x^{2}−40x$

3. $(f⋅g)(x)=6x^{2}−43x+7$

5. $(f⋅g)(x)=2x^{4}+9x^{3}−19x^{2}+39x−15$

Вправа$\PageIndex{10}$ Multiplying Polynomial Functions

Дано$f(x)=2x−3$ і$g(x)=3x−1$, знайдіть наступне

1. $(f⋅g)(x)$
2. $(g⋅f)(x)$
3. $(f⋅g)(0)$
4. $(f⋅g)(−1)$
5. $(f⋅g)(1)$
6. $(f⋅g)(\frac{1}{2})$

Відповідь

1. $(f⋅g)(x)=6x^{2}−11x+3$

3. $(f⋅g)(0)=3$

5. $(f⋅g)(1)=−2$

Вправа$\PageIndex{11}$ Multiplying Polynomial Functions

Дано$f(x)=5x−1$ і$g(x)=2x^{2}−4x+5$, знайдіть наступне.

1. $(f⋅g)(x)$
2. $(g⋅f)(x)$
3. $(f⋅g)(0)$
4. $(f⋅g)(−1)$
5. $(f⋅g)(1)$
6. $(f⋅g)(\frac{1}{2})$
7. $(f⋅f)(x)$
8. $(g⋅g)(x)$

Відповідь

1. $(f⋅g)(x)=10x^{3}−22x^{2}+29x−5$

3. $(f⋅g)(0)=−5$

5. $(f⋅g)(1)=12$

7. $(f⋅f)(x)=25x^{2}−10x+1$

Вправа$\PageIndex{12}$ Discussion Board Topics

1. Поясніть чому$(x+y)^{2}\neq x^{2}+y{2}$.
2. Поясніть, як швидко помножити біном з його сполученим. Наведемо приклад.
3. Які переваги і недоліки використання мнемонічного приладу ФОЛЬГА?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися