2.5: Застосування лінійних рівнянь

Цілі навчання

• Визначте ключові слова та фрази, перекладіть речення в математичні рівняння та розробляйте стратегії вирішення проблем.
• Вирішувати проблеми слів, що включають відносини між числами.
• Вирішити завдання геометрії за участю периметра
• Вирішити процентні та грошові проблеми, включаючи прості відсотки.
• Налаштуйте та вирішуйте проблеми рівномірного руху.

Ключові слова, переклад та стратегія

Алгебра спрощує процес вирішення реальних завдань. Це робиться за допомогою букв для представлення невідомих, повторюючи задачі у вигляді рівнянь та пропонуючи систематичні методи вирішення цих рівнянь. Для вирішення завдань за допомогою алгебри спочатку перекладіть формулювання задачі в математичні твердження, які описують відносини між заданою інформацією і невідомою. Зазвичай цей переклад на математичні твердження є складним кроком у процесі. Ключ до перекладу - уважно прочитати проблему і визначити певні ключові слова і фрази.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Ключові слова	Переклад
Сума, збільшена на, більше, ніж, плюс, додана до, загальна	$+$
Різниця, зменшена на, віднімається від, менше, мінус	$-$
Продукт, помножений на, of, раз, в два рази	$*$
Коефіцієнт, розділений на, співвідношення, на	$/$
Є, підсумок, результат	$=$

Ось кілька прикладів перекладених ключових фраз.

Таблиця$\PageIndex{2}$

Ключові фрази	Переклад
Сума числа і 7.	$x+7$
Сім більше, ніж число.
Різниця числа і 7.	$x-7$
Сім менше числа.
Сім віднімається з числа.
Твір 2 і число.	$2x$
Двічі число.
Половина числа.	$\frac{1}{2}x$
Коефіцієнт числа і 7.	$\frac{x}{7}$

При перекладі пропозицій в математичні висловлювання обов'язково прочитайте пропозицію кілька разів і визначте ключові слова і словосполучення.

Приклад$\PageIndex{1}$

Перекласти:

Чотири менше ніж в два рази деяке число$16$.

Рішення:

Спочатку виберіть змінну для невідомого числа і визначте ключові слова і фрази. Нехай$x$ представляють невідоме, позначене «деяким числом».

Малюнок$\PageIndex{1}$

Пам'ятайте, що віднімання не є комутативним. З цієї причини подбайте про налаштування відмінностей. У цьому прикладі$4−2x=16$ наведено неправильний переклад.

Відповідь:

$2x−4=16$

Важливо спочатку ідентифікувати variable— нехай х представляють... і держава словами, що невідома кількість. Цей крок не тільки робить вашу роботу більш читабельною, але і змушує задуматися про те, що ви шукаєте. Зазвичай, якщо ви знаєте, що вас просять знайти, то завдання його знайти досяжна.

Приклад$\PageIndex{2}$

Перекласти:

Коли$7$ віднімається від$3$ разів сума числа і$12$, результат є$20$.

Рішення:

$n$Дозволяти представляти невідоме число.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Відповідь:

$3(n+12)−7=20$

Щоб зрозуміти, навіщо потрібні дужки, вивчіть структури наступних двох пропозицій і їх переклади:

Таблиця$\PageIndex{3}$

«3 рази сума числа і 12»	$3(n+12)$
«сума в 3 рази число і 12»	$3n+12$

Ключовим є зосередження уваги на фразі «3 рази більше суми». Це спонукає нас згрупувати суму в дужках, а потім помножити на 3. Після того, як додаток перекладається в алгебраїчне рівняння, вирішіть його, використовуючи методи, які ви вивчили.

Рекомендації по налаштуванню та вирішенню проблем Word

• Крок 1: Прочитайте проблему кілька разів, визначте ключові слова та фрази та впорядкуйте задану інформацію.
• Крок 2: Визначте змінні, призначивши букву або вираз невідомим величинам.
• Крок 3: Перекладіть та налаштуйте алгебраїчне рівняння, яке моделює задачу.
• Крок 4: Розв'яжіть отримане алгебраїчне рівняння.
• Крок 5: Нарешті, дайте відповідь на питання у формі речення і переконайтеся, що це має сенс (перевірте його).

Наразі налаштуйте всі свої рівняння, використовуючи лише одну змінну. Уникайте двох змінних, шукаючи зв'язок між невідомими.

Проблеми, пов'язані з відносинами між реальними числами

Ми класифікуємо додатки, пов'язані з взаємозв'язками між дійсними числами в цілому, як числові проблеми. Ці проблеми іноді можна вирішити за допомогою якоїсь творчої арифметики, ворожіння та перевірки. Рішення таким чином не є гарною практикою, і його слід уникати. Почніть з опрацювання основних кроків, викладених у загальних рекомендаціях щодо вирішення проблем слів.

Приклад$\PageIndex{3}$

Більше ціле число$2$ менше, ніж$3$ в рази менше цілого. Сума двох цілих чисел дорівнює$18$. Знайти цілі числа.

Рішення:

Визначення змінних: Почніть з призначення змінної меншому цілому числу.

$x$Дозволяти представляти менше ціле число.

Використовуйте перше речення для визначення більшого цілого числа через змінну$x$: «Більше ціле число в 2 менше, ніж в 3 рази менше».

$3x-2$Дозволяти представляти більше ціле число.

Встановіть рівняння: Додайте вирази, що представляють два цілих числа, і встановіть отриманий вираз рівним,$18$ як зазначено у другому реченні: «Сума двох цілих чисел дорівнює»$18$.

$x+(3x-2)=18$

Вирішити: Розв'яжіть рівняння, щоб отримати менше ціле число$x$.

$\begin{aligned} x+(3x-2)&=18 \\ x+3x-2&=18 \\ 4x-2&=18 \\ 4x-2\color{Cerulean}{+2}&=18\color{Cerulean}{+2} \\ 4x&=20 \\ \frac{4x}{\color{Cerulean}{4}}&=\frac{20}{\color{Cerulean}{4}} \\ x&=5 \end{aligned}$

Назад заміна: Використовуйте вираз,$3x−2$ щоб знайти велике ціле число - це називається зворотною заміною.

$3x-2=3(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)-2=15-2=13}$

Дайте відповідь на питання: Два цілих числа -$5$ і$13$.

Перевірка:$5 + 13 = 18$. Відповідь має сенс.

Приклад$\PageIndex{4}$

Різниця між двома цілими числами дорівнює$2$. Більше ціле число$6$ менше, ніж в два рази менше. Знайти цілі числа.

Рішення:

Використовуйте зв'язок між двома цілими числами у другому реченні «Більше ціле число на 6 менше, ніж удвічі менше», щоб визначити невідомі через одну змінну.

$x$Дозволяти представляти менше ціле число.

$2x-6$Дозволяти представляти більше ціле число.

Оскільки різниця додатна, відніміть менше ціле число з більшого.

$(2x-6)-x=2$

Вирішити.

$\begin{aligned} \color{OliveGreen}{2x}\color{black}{-6}\color{OliveGreen}{-x}&=2 \\ x-6&=2 \\ x-6\color{Cerulean}{+6}&=2\color{Cerulean}{+6} \\ x&=8 \end{aligned}$

Використовуйте$2x − 6$ для пошуку більшого цілого числа.

$2x-6=2(\color{Cerulean}{8}\color{black}{)-6=16-6=10}$

Відповідь:

Два цілих числа -$8$ і$10$. Ці цілі числа чітко вирішують задачу.

Варто ще раз згадати, що часто можна знайти рішення простих проблем шляхом ворожіння і перевірки. Це відбувається тому, що числа вибираються для спрощення процесу розв'язання, так що алгебраїчні кроки не надто виснажливі. Ви дізнаєтеся, як налаштувати алгебраїчні рівняння з більш легкими задачами, так що ви можете використовувати ці ідеї для вирішення більш складних завдань пізніше.

Приклад$\PageIndex{5}$

Сума двох послідовних парних чисел дорівнює$46$. Знайти цілі числа.

Рішення:

Ключовою фразою, на якій слід зосередитись, є «послідовні парні цілі числа».

$x$Дозволяти представляти перше парне ціле число.

$x+2$Дозволяти представляти наступне парне ціле число.

Додайте парні цілі числа і встановіть їх рівними$46$.

$x+(x+2)=46$

Вирішити.

$\begin{aligned}\color{OliveGreen}{x+x}\color{black}{+2}&=46\\2x+2&=46\\2x+2\color{Cerulean}{-2}&=46\color{Cerulean}{-2}\\2x&=44\\x&=22 \end{aligned}$

Використовуйте$x + 2$ для пошуку наступного парного цілого числа.

$x+2=\color{Cerulean}{22}\color{black}{+2=24}$

Відповідь:

Послідовні парні цілі числа -$22$ і$24$.

Повинно бути зрозуміло, що послідовні парні цілі числа розділені двома одиницями. Однак може бути не так зрозуміло, що непарні цілі числа також.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Сума двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$36$. Знайти цілі числа.

Рішення:

Ключовою фразою, на якій слід зосередитись, є «послідовні непарні цілі числа».

$x$Дозволяти представляти перше непарне число.

$x+2$Дозволяти представляти наступне непарне число.

Додайте два непарних цілих числа і встановіть вираз рівним$36$.

$x+(x+2)=36$

Вирішити.

$\begin{aligned} \color{OliveGreen}{x+x}\color{black}{+2}&=36 \\ 2x+2&=36 \\ 2x+2\color{Cerulean}{-2}&=36\color{Cerulean}{-2} \\ 2x&=34 \\ \frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{34}{\color{Cerulean}{2}} \\ x&=17 \end{aligned}$

Використовуйте$x + 2$ для пошуку наступного непарного цілого числа.

$x+2=\color{OliveGreen}{17}\color{black}{+2=19}$

Відповідь:

Послідовні непарні цілі числа -$17$ і$19$.

Алгебраїчна установка для парних і непарних цілих задач однакова. Поширеною помилкою є використання$x$ і$x + 3$ при ідентифікації змінних для послідовних непарних цілих чисел. Це неправильно, оскільки додавання 3 до непарного числа дає парне число: наприклад,$5 + 3 = 8$. Неправильна настройка з великою ймовірністю призведе до десяткової відповіді, що може свідчити про те, що проблема була налаштована неправильно.

Приклад$\PageIndex{7}$

Сума трьох послідовних цілих чисел дорівнює$24$. Знайти цілі числа.

Рішення:

Послідовні цілі числа відокремлюються однією одиницею.

$x$Дозволяти представляти перше ціле число.

$x+1$Дозволяти представляти наступне ціле число.

$x+2$Дозволяти представляти третє ціле число.

Додайте цілі числа і встановіть суму рівну$24$.

$x+(x+1)+(x+2)=24$

Вирішити.

$\begin{aligned} \color{OliveGreen}{x+x}\color{black}{+1}\color{OliveGreen}{+x}\color{black}{+2}&=24\\ 3x+3&=24 \\ 3x+3\color{Cerulean}{-3}&=24\color{Cerulean}{-3} \\ 3x&=21 \\ x&=7 \end{aligned}$

Назад підставляємо, щоб знайти інші два цілих числа.

$x+1=\color{OliveGreen}{7}\color{black}{+1=8}$

$x+2=\color{OliveGreen}{7}\color{black}{+2=9}$

Відповідь:

Три послідовних цілих числа -$7, 8$ і$9$, де$7 + 8 + 9 = 24$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Сума трьох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$87$. Знайти цілі числа.

Відповідь

Цілі числа є$27, 29$, і$31$.

Проблеми геометрії (периметр)

Нагадаємо, що периметр багатокутника - це сума довжин всіх зовнішніх ребер. Крім того, корисно переглянути наступні формули периметра$(π≈3.14159)$.

Таблиця$\PageIndex{4}$

Периметр прямокутника:	$P=2l+2w$
Периметр квадрата:	$P=4s$
Периметр трикутника:	$P=a+b+c$
Периметр кола (окружності):	$C=2\pi r$

Майте на увазі, що ви шукаєте зв'язок між невідомими, щоб ви могли налаштувати алгебраїчні рівняння, використовуючи лише одну змінну. При роботі з проблемами геометрії часто корисно намалювати малюнок.

Приклад$\PageIndex{8}$

Прямокутник має периметр вимірювальні$64$ ноги. Довжина$4$ футів більше, ніж в$3$ рази більше ширини. Знайдіть розміри прямокутника.

Рішення:

Речення «Довжина на 4 фути більше, ніж в 3 рази більше ширини» дає зв'язок між двома змінними.

Малюнок$\PageIndex{4}$

$w$Дозволяти представляти ширину прямокутника.

$3w+4$Дозволяти представляти довжину.

Речення «Прямокутник має периметр вимірювальних$64$ футів» передбачає алгебраїчну установку. $64$Підставляємо периметр і вираз довжини у відповідну формулу наступним чином:

$\begin{aligned} P&=\:\:\:\:\quad 2l + 2w \\ \color{Cerulean}{\downarrow}&\:\:\:\qquad\quad\color{Cerulean}{\downarrow} \\ \color{OliveGreen}{64}&=2(\color{OliveGreen}{3w+4}\color{black}{)+2w} \end{aligned}$

Після того, як ви встановили алгебраїчне рівняння з однією змінною, вирішіть для ширини,$w$.

$\begin{aligned} 64&=\color{OliveGreen}{6w}\color{black}{+8+}\color{OliveGreen}{2w} \\ 64&=8w+8 \\ 64\color{Cerulean}{-8}&=8w+8\color{Cerulean}{-8} \\ 56&=8w \\ \frac{56}{\color{Cerulean}{8}}&=\frac{8w}{\color{Cerulean}{8}} \\ 7&=w \end{aligned}$

Використовуйте$3w + 4$ для пошуку довжини.

$l=3w+4=3(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)+4=21+4=25}$

Відповідь:

Прямокутник вимірює$7$ фути за$25$ футами. Для перевірки складаємо всі сторони:

$P=7\text{ ft+}7\text{ ft+}25\text{ ft+}25\text{ ft}=64\text{ ft}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Дві сторони трикутника$5$ і$7$ дюйми довші за третю сторону. Якщо периметр вимірює$21$ дюйми, знайдіть довжину кожної сторони.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення:

Перше речення описує відносини між невідомими.

$x$Дозволяти представляти довжину третьої сторони.

Дозвольте$x+5$ і$x+7$ представляють довжини двох інших сторін.

Підставте ці вирази у відповідну формулу і використовуйте$21$ для периметра$P$.

$\begin{aligned} P&=a+b+c \\ \color{OliveGreen}{21}&=\color{OliveGreen}{x}\color{black}{+}\color{OliveGreen}{(x+5)}\color{black}{+}\color{OliveGreen}{(x+7)} \end{aligned}$

Тепер у вас є рівняння з однією змінною для вирішення.

$\begin{aligned} 21&=x+x+5+x+7 \\ 21&=3x+12 \\ 21\color{Cerulean}{-12}&=3x+12\color{Cerulean}{-12} \\ 9&=3x\\ \frac{9}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}} \\ 3&=x \end{aligned}$

Замінник назад.

$x+5=\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+5=8}$

$x+5=\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+7=10}$

Відповідь:

Три сторони трикутника вимірюють$3$ дюйми,$8$ дюйми та$10$ дюйми. Чек залишається на розгляд зчитувача.

Вправа$\PageIndex{2}$

Довжина прямокутника -$1$ фут менше, ніж в два рази більше його ширини. Якщо периметр$46$ футів, знайдіть розміри.

Відповідь

Ширина:$8$ стопи; довжина:$15$ фути

Проблеми, пов'язані з грошима та відсотками

Всякий раз, коли ви встановлюєте рівняння за участю відсотка, нам зазвичай потрібно перетворити відсоток у десятковий або дріб. Якщо питання задає відсоток, то не забудьте перевести свою відповідь на відсоток в кінці. Також, коли задіяні гроші, обов'язково округляйте до двох знаків після коми.

Приклад$\PageIndex{10}$

Якщо пара взуття коштує $,$52.50$ включаючи податок$7\frac{1}{4}$%, яка початкова вартість товару до додавання податків?

Рішення:

Почніть з перетворення$7\frac{1}{4}$% в десяткове число.

$7\frac{1}{4}%=7.25%=0.0725$

Сума податку - ця ставка, що перевищує початкову вартість товару. Початкова вартість товару - це те, що вас просять знайти.

$c$Дозволяти представляти вартість товару$\underline{\text{before taxes}}$ додаються.

$\color{Cerulean}{amount\:of\:tax\:=\:tax\:rate\:\cdot\:cost\:of\:item}$

$=0.0725\cdot c$

$\color{Cerulean}{total\:cost\:=\:cost\:of\:item\:+\:amount\:of\:tax}$

$52.50=c+0.0725c$

Використовуйте це рівняння для вирішення для$c$, початкової вартості предмета.

$\begin{aligned} 52.50&=\color{OliveGreen}{1c+0.0725c} \\ 52.50&=1.0725c \\ \frac{52.50}{\color{Cerulean}{1.0725}}&=\frac{1.0725c}{\color{Cerulean}{1.0725}} \\ 48.95& \approx c \end{aligned}$

Відповідь:

Вартість статті до оподаткування становить $$48.95$. Перевірте це,$48.95$ помноживши $ на,$0.0725$ щоб отримати податок і додати його до цієї вартості.

Приклад$\PageIndex{11}$

Враховуючи$5\frac{1}{8}$% річної процентної ставки, скільки часу знадобиться $,$1,200$ щоб отримати $$307.50$ в простих відсотках?

Рішення:

Нехай$t$ представляють час, необхідний для заробітку $$307.50$ при$5.125$%.

Організуйте дані, необхідні для використання простої формули відсотків$I=prt$.

Таблиця$\PageIndex{5}$

Надані відсотки за часовий період:	$I=$$$307.50$
Дано принципал:	$p=$$$1200$
Задана ставка:	$r=5\frac{1}{8}$%$=5.125$%$=0.05125$

Далі підставляємо всі відомі величини в формулу, а потім вирішуємо для єдиного невідомого,$t$.

$\begin{aligned} I&=prt \\ \color{OliveGreen}{307.50}&=\color{OliveGreen}{1200}\color{black}{(}\color{OliveGreen}{0.05125}\color{black}{)t} \\ 307.50&=61.5t \\ \frac{307.50}{\color{Cerulean}{61.5}}&=\frac{61.5t}{\color{Cerulean}{61.5}} \\ 5&=t \end{aligned}$

Відповідь:

Потрібні$5$ роки, щоб $$1,200$ інвестували$5\frac{1}{8}$ в%, щоб заробити $$307.50$ в простих відсотках.

Приклад$\PageIndex{12}$

Мері інвестувала свої загальні заощадження$3,400$ в розмірі $ на два рахунки. Її рахунок пайового фонду заробив$8$% минулого року, а її компакт-диск заробив$5$%. Якщо її загальний відсоток за рік склав $$245$, скільки було на кожному рахунку?

Рішення:

Відносини між двома невідомими є те, що вони становлять 3400 доларів. Коли задіяна загальна сума, загальною методикою, яка використовується для уникнення двох змінних, є представлення другої невідомої як різниці загальної кількості та першої невідомої.

Нехай$x$ представляють суму, вкладену в ПІФ, під$8$%$=0.08$.

$3,400-x$Дозволяти представляти решту суми, вкладеної в компакт-диск в$5$%$=0.05$.

Загальний відсоток - це сума відсотків, зароблених з кожного рахунку.

Таблиця$\PageIndex{6}$

Відсотки, зароблені в ПІФ:	$I=Prt=x⋅0.08⋅1=0.08x$
Відсотки, зароблені на компакт-диску:	$I=Prt=(3,400−x)⋅0.05⋅1=0.05(3,400−x)$

$\color{Cerulean}{mutual\:fund\:interest\:+\:CD\:interest\:=\:total\:interest}$

$0.08x+0.05(3,400-x)=245$

Це рівняння моделює задачу з однією змінною. Вирішити для$x$.

$\begin{aligned} 0.08x+0.05(3,400-x)&=245 \\ \color{OliveGreen}{0.08x}\color{black}{+170}\color{OliveGreen}{-0.05x}&=245 \\ 0.03x+170\color{Cerulean}{-170} &=245\color{Cerulean}{-170} \\ 0.03x&=75 \\ \frac{0.03x}{\color{Cerulean}{0.03}}&=\frac{75}{\color{Cerulean}{0.03}} \\ x&=2,500 \end{aligned}$

Замінник назад.

$3,400-x=3,400-\color{OliveGreen}{2,500}\color{black}{=900}$

Відповідь:

Мері інвестувала $$2,500$ на$8$% в пайовий фонд і $$900$ при$5$% в компакт-диск.

Приклад$\PageIndex{13}$

Джо має кілька копійок і чвертей, що значення $$5.30$. У нього на одну менше, ніж в два рази більше копійки, ніж чверті. Скільки у нього кожної монети?

Рішення:

Почніть з ідентифікації змінних.

Нехай$q$ представляють кількість чвертей Джо тримає.

$2q-1$Дозволяти представляти кількість центів.

Щоб визначити загальну вартість ряду монет, помножте кількість монет на вартість кожної монети. Наприклад,$5$ квартали мають значення $$0.25 ⋅ 5 =$ $$1.25$.

$\color{Cerulean}{value\:in\:quarters\:+\:value\:in\:dimes\:=\:total\:value\:of\:coins}$

$0.25q+0.10(2q-1)=5.30$

Вирішити за кількістю чвертей,$q$.

$\begin{aligned} 0.25q+0.10(2q-1)&=5.30 \\ \color{OliveGreen}{0.25q+0.20q}\color{black}{-0.10}&=5.30 \\ 0.45q-0.10&=5.30 \\ 0.45q-0.10\color{Cerulean}{+0.10}&=5.30\color{Cerulean}{+0.10} \\ 0.45q&=5.40 \\ \frac{0.45q}{\color{Cerulean}{0.45}}&=\frac{5.40}{\color{Cerulean}{0.45}} \\ q&=12 \end{aligned}$

Назад підставляємо$2q − 1$ в, щоб знайти кількість копійок.

$2q-1=2(\color{OliveGreen}{12}\color{black}{)-1=24-1=23}$

Відповідь:

Джо має$12$ чверті і$23$ копійки. Перевірте, перемноживши$0.25 ⋅ 12 =$ $ $$3.00$ і $$0.10 ⋅ 23 =$ $$2.30$. Потім додайте для отримання правильної суми: $$3.00 +$ $$2.30 =$ $$5.30$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Загальна сума $$5,900$ інвестується на два рахунки. Один рахунок заробляє$3.5$% відсотків, а інший заробляє$4.5$%. Якщо відсотки за$1$ рік складають $$229.50$, то скільки вкладається в кожен рахунок?

Відповідь

$$3,600$ інвестується в$3.5$% і $$2,300$ при$4.5$%.

Проблеми рівномірного руху (задачі відстані)

Рівномірний рух відноситься до руху зі швидкістю, або швидкістю, яка не змінюється. Ми можемо визначити пройдену відстань, помноживши середню швидкість на час, пройдений з цією швидкістю за допомогою формули$D=r⋅t$. Програми, що включають рівномірний рух, зазвичай мають багато даних, тому це допомагає спочатку організувати дані на діаграмі, а потім встановити алгебраїчне рівняння, яке моделює проблему.

Приклад$\PageIndex{14}$

Два поїзда відправляються зі станції одночасно, що рухаються в протилежних напрямках. Один подорожує зі швидкістю$70$ миль на годину, а інший -$60$ милями на годину. Скільки часу потрібно, щоб відстань між ними досягла$390$ миль?

Рішення:

Спочатку визначте невідому кількість і впорядкуйте дані.

$t$Дозволяти представляти час, необхідний для розділення$390$ миль.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Наведена інформація заповнюється на наступному графіку. Час для кожного поїзда дорівнює.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Щоб уникнути введення ще двох змінних, використовуйте формулу$D=r⋅t$ для заповнення невідомих відстаней, пройдених кожним поїздом.

Відстань, пройдена поїздом 1:$D=r\cdot t=70\cdot t$

Відстань, пройдена поїздом 2:$D=r\cdot t=60\cdot t$

Тепер ми можемо повністю заповнити діаграму.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Алгебраїчне налаштування визначається стовпчиком відстані. Проблема запитує час, необхідний для того, щоб загальна відстань досягла$390$ миль.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Вирішити для$t$.

$\begin{aligned} 70t+60t&=390 \\ 130t&=390 \\ \frac{130t}{\color{Cerulean}{130}}&=\frac{390}{\color{Cerulean}{130}} \\ t&=3 \end{aligned}$

Відповідь:

Відстань між поїздами займає кілька$3$ годин, щоб досягти$390$ миль.

Приклад$\PageIndex{15}$

Поїзд, що прямує без зупинки до місця призначення, здатний здійснити поїздку із середньою швидкістю$72$ миль на годину. У зворотному напрямку поїзд робить кілька зупинок і здатний лише в середньому$48$ милі на годину. Якщо зворотна поїздка займає$2$ години довше, ніж початкова поїздка до пункту призначення, то який час у дорозі в кожну сторону?

Рішення:

Спочатку визначте невідому кількість і впорядкуйте дані.

$t$Дозволяти представляти час, необхідний для прибуття до пункту призначення.

$t+2$Дозволяти представляти час, необхідний для зворотної поїздки.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Наведена інформація заповнюється в наступному графіку:

Малюнок$\PageIndex{11}$

Використовуйте формулу$D=r⋅t$, щоб заповнити невідомі відстані.

Відстань, пройдена за пунктом призначення:$D=r\cdot t=72\cdot t$

Відстань, пройдена в зворотній поїздці:$D=r\cdot t=48\cdot (t+2)$

Використовуйте ці вирази, щоб завершити діаграму.

Малюнок$\PageIndex{12}$

Алгебраїчне налаштування знову визначається стовпчиком відстані. При цьому відстань до пункту призначення і назад однакове, а рівняння

$72t=48(t+2)$

Вирішити для$t$.

$\begin{aligned} 72t&=48(t+2) \\ 722&=48t+96 \\ 72t-48t&=48t+96-48t \\ 24t&=96 \\ \frac{24t}{24}&=\frac{96}{24} \\ t&=4 \end{aligned}$

Поїздка в зворотному напрямку займає$t+2=4+2=6$ години.

Відповідь:

Це займає$4$ години, щоб прибути до місця призначення і$6$ години, щоб повернутися.

Вправа$\PageIndex{4}$

Мері відправляється в школу на велосипеді з середньою швидкістю$6$ миль на годину. Її сестра Кейт, запізнюючись, йде$15$ хвилин пізніше і циклає з удвічі більшою швидкістю. Скільки часу знадобиться Кейт, щоб наздогнати Мері? Будьте обережні! Зверніть увагу на одиниці, наведені в задачі.

Відповідь

Це займе$15$ хвилини, щоб Кейт наздогнала згаяне.

Ключові виноси

• Спростити процес вирішення реальних задач шляхом створення математичних моделей, що описують взаємозв'язок між невідомими. Використовуйте алгебру для вирішення отриманих рівнянь.
• Ворожіння і перевірка рішень є поганою практикою. Цей метод іноді може дати правильні відповіді, але є ненадійним, особливо коли проблеми стають більш складними.
• Прочитайте завдання кілька разів і шукайте ключові слова і фрази. Визначте невідомі і призначте змінні або вирази невідомим величинам. Шукайте відносини, які дозволяють використовувати тільки одну змінну. Налаштуйте математичну модель для ситуації та використовуйте алгебру для вирішення рівняння. Перевірте, чи має сенс рішення, і представити рішення у формі речення.
• Не уникайте проблем зі словами: їх вирішення може бути веселим і корисним. З великою кількістю практики ви виявите, що вони насправді не такі вже й погані. Моделювання та рішення додатків є однією з основних причин вивчення алгебри.
• Не відчувайте зневіри, коли перша спроба вирішити проблему слова не виходить. Це частина процесу. Спробуйте щось інше і вчіться на неправильних спробах.

Вправа$\PageIndex{5}$ Translate

Переведіть наступне в алгебраїчні рівняння.

1. Сума числа і$6$ дорівнює$37$.
2. Коли$12$ віднімається з двічі деяке число, результат є$6$.
3. У чотирнадцять$5$ разів менше, ніж число$1$.
4. Двічі віднімається деяке число,$30$ і результат є$50$.
5. П'ять разів сума$6$ і деяке число дорівнює$20$.
6. Сума$5$ разів деяке число і$6$ дорівнює$20$.
7. Коли сума числа і$3$ віднімається$10$ з результату$5$.
8. Сума триразового числа і п'ять разів це ж число$24$.
9. Десять віднімається з подвійного деякого числа і результатом є сума числа і$2$.
10. Шість менше деякого числа в десять разів перевищує суму цього числа і$5$.

Відповідь

1. $x+6=37$

3. $5x−14=1$

5. $5(x+6)=20$

7. $10−(x+3)=5$

9. $2x−10=x+2$

Вправа$\PageIndex{6}$ Number Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Більше ціле число$1$ більше, ніж удвічі інше ціле число. Якщо сума цілих чисел дорівнює$25$, знайдіть цілі числа.
2. Якщо більше ціле число$2$ більше, ніж в$4$ рази інше ціле і їх різниця дорівнює$32$, знайдіть цілі числа.
3. Одне ціле число$30$ більше, ніж інше ціле число. Якщо різниця між більшим і подвійним меншим є$8$, знайдіть цілі числа.
4. Коефіцієнт деякого числа і$4$ є$22$. Знайдіть номер.
5. У вісім разів число зменшується в три рази стільки ж, що дає різницю$20$. Що таке число?
6. Одне ціле число на дві одиниці менше іншого. Якщо їх сума дорівнює$−22$, знайдіть два цілих числа.
7. Сума двох послідовних цілих чисел дорівнює$139$. Знайти цілі числа.
8. Сума трьох послідовних цілих чисел дорівнює$63$. Знайти цілі числа.
9. Сума трьох послідовних цілих чисел дорівнює$279$. Знайти цілі числа.
10. Різниця в два рази менша з двох послідовних цілих чисел і більша$39$. Знайти цілі числа.
11. Якщо менше з двох послідовних цілих чисел віднімається з двох разів більше, то результат буде$17$. Знайти цілі числа.
12. Сума двох послідовних парних чисел дорівнює$46$. Знайти цілі числа.
13. Сума двох послідовних парних чисел дорівнює$238$. Знайти цілі числа.
14. Сума трьох послідовних парних чисел дорівнює$96$. Знайти цілі числа.
15. Якщо менше з двох послідовних парних цілих чисел віднімається з$3$ разів, то більший результат$42$. Знайти цілі числа.
16. Сума трьох послідовних парних чисел дорівнює$90$. Знайти цілі числа.
17. Сума двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$68$. Знайти цілі числа.
18. Сума двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$180$. Знайти цілі числа.
19. Сума трьох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$57$. Знайти цілі числа.
20. Якщо менше з двох послідовних непарних цілих чисел віднімається з двох, то більший результат буде$23$. Знайти цілі числа.
21. Двічі сума двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$32$. Знайти цілі числа.
22. Різниця між подвійним більшим з двох послідовних непарних цілих чисел і меншим$59$. Знайти цілі числа.

Відповідь

1. $8, 17$

3. $22, 52$

5. $4$

7. $69, 70$

9. $92, 93, 94$

11. $15, 16$

13. $118, 120$

15. $18, 20$

17. $33, 35$

19. $17, 19, 21$

21. $7, 9$

Вправа$\PageIndex{7}$ Geometry Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Якщо периметр квадрата дорівнює$48$ дюймам, то знайдіть довжину кожної сторони.
2. Довжина прямокутника на$2$ дюйми більше його ширини. Якщо периметр дорівнює$36$ дюймам, знайдіть довжину і ширину.
3. Довжина прямокутника$2$ футів менше, ніж в два рази більше його ширини. Якщо периметр$26$ футів, знайдіть довжину і ширину.
4. Ширина прямокутника на$2$ сантиметри менше половини його довжини. Якщо периметр дорівнює$56$ сантиметрам, знайдіть довжину і ширину.
5. Довжина прямокутника$3$ футів менше, ніж в два рази більше його ширини. Якщо периметр$54$ футів, знайдіть розміри прямокутника.
6. Якщо довжина прямокутника вдвічі довша за ширину, а його периметр вимірює$72$ дюйми, знайдіть розміри прямокутника.
7. Периметр рівностороннього трикутника вимірює$63$ сантиметри. Знайдіть довжину кожної сторони.
8. Рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює половині довжини двох інших рівних сторін, має периметр$25$ сантиметрів. Знайдіть довжину кожної сторони.
9. Кожен з двох рівних ніжок рівнобедреного трикутника в два рази перевищує довжину підстави. Якщо периметр$105$ сантиметри, то якої довжини кожна ніжка?
10. Трикутник має сторони, міри яких є послідовними парними цілими числами. Якщо периметр дорівнює$42$ дюймам, знайдіть міру кожної сторони.
11. Трикутник має сторони, міри яких є послідовними непарними цілими числами. Якщо периметр дорівнює$21$ дюймам, знайдіть міру кожної сторони.
12. Трикутник має сторони, міри яких є послідовними цілими числами. Якщо периметр дорівнює$102$ дюймам, то знайдіть міру кожної сторони.
13. Окружність кола вимірює$50π$ одиниці виміру. Знайдіть радіус.
14. Окружність кола вимірює$10π$ одиниці виміру. Знайдіть радіус.
15. Окружність кола вимірює$100$ сантиметри. Визначте радіус до найближчої десятої.
16. Окружність кола вимірює$20$ сантиметри. Знайдіть діаметр, округлений до найближчої сотої.
17. Діаметр кола вимірює$5$ дюйми. Визначте окружність до найближчої десятої.
18. Діаметр кола -$13$ фути. Обчисліть точне значення окружності.

Відповідь

1. $12$дюймів

3. Ширина:$5$ стопи; довжина:$8$ фути

5. Ширина:$10$ стопи; довжина:$17$ фути

7. $21$сантиметри

9. $21$сантиметри,$42$ сантиметри,$42$ сантиметри

11. $5$дюйми,$7$ дюйми,$9$ дюйми

13. $25$одиниць

15. $15.9$сантиметри

17. $15.7$дюймів

Вправа$\PageIndex{8}$ Percent and Money Problems

Встановіть алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Обчисліть прості відсотки, зароблені на$2$ -річну інвестицію$1,550$ в $ під$8\frac{3}{4}$% річної процентної ставки.
2. Обчисліть прості відсотки, зароблені на$1$ -річну інвестицію$500$ в $ під$6$% річної процентної ставки.
3. За скільки років$10,000$ потрібно інвестувати $ під процентну ставку$8\frac{1}{2}$% річної, щоб отримати $$4,250$ в простих відсотках?
4. За скільки років$1,000$ потрібно інвестувати $ під процентну ставку$7.75$% річної, щоб отримати $$503.75$ в простих відсотках?
5. За якою річною процентною ставкою$2,500$ потрібно інвестувати $$3$ роками, щоб дати $$412.50$ в прості відсотки?
6. За якою річною процентною ставкою$500$ потрібно інвестувати $$2$ роками, щоб дати $$93.50$ в прості відсотки?
7. Якщо прості відсотки, зароблені за$1$ рік, становили $,$47.25$ а річна ставка дорівнювала$6.3$%, що було основним?
8. Якщо прості відсотки, зароблені$2$ роками, становили $,$369.60$ а річна ставка становила$5\frac{1}{4}$%, що було основним?
9. Джо інвестував минулорічну$2,500$ податкову декларацію $ у два різних рахунки. Він поклав більшу частину грошей на рахунок грошового ринку, заробляючи$5$% простих відсотків. Решту він вклав в компакт-диск, заробивши$8$% простих відсотків. Скільки він вклав на кожен рахунок, якщо загальний відсоток за рік склав $$138.50$?
10. Джеймс інвестував $$1,600$ на два рахунки. Один рахунок заробляє$4.25$% простих відсотків, а інший заробляє$8.5$%. Якщо відсотки за$1$ роком становили $$85$, скільки він вклав у кожен рахунок?
11. Джейн має свої$5,400$ заощадження $, інвестовані на два рахунки. Вона має частину його на компакт-диску під$3$% річних відсотків, а решта на ощадному рахунку, який заробляє$2$% річних відсотків. Якщо прості відсотки, зароблені з обох рахунків, складають $$140$ за рік, то скільки у неї на кожному рахунку?
12. Марті поклав торішній бонус у розмірі $$2,400$ на два рахунки. Він інвестував частину в компакт-диск з$2.5$% річних відсотків, а решту в фонд грошового ринку з$1.3$% річних відсотків. Його загальний відсоток за рік склав $$42.00$. Скільки він вклав в кожен рахунок?
13. Аліса вкладає гроші на два рахунки, один з$2$ відсотками річних відсотків, а інший з$3$% річних відсотків. Вона вкладає$3$ рази стільки ж в рахунок з вищою прибутковістю, як і в нижчий прибутковий рахунок. Якщо її загальний відсоток за рік становить $$27.50$, скільки вона вклала в кожен рахунок?
14. Джим вклав спадщину в двох окремих банках. Один банк запропонував$5.5$% річної процентної ставки, а інший$6\frac{1}{4}$%. Він вклав в більш прибутковий банківський рахунок вдвічі більше, ніж в інший. Якщо його сумарний простий відсоток за$1$ рік становив $$4,860$, то яка була сума його спадщини?
15. Якщо товар рекламується вартістю $$29.99$ плюс$9.25$% податку, яка загальна вартість?
16. Якщо товар рекламується вартістю $$32.98$ плюс$8\frac{3}{4}$% податку, яка загальна вартість?
17. Товар, включаючи податок$8.75$%, вартість $$46.49$. Яка початкова вартість товару до оподаткування?
18. Товар, включаючи податок$5.48$%, вартість $$17.82$. Яка початкова вартість товару до оподаткування?
19. Якщо їжа коштує $$32.75$, яка загальна сума після додавання чайового$15$%?
20. Скільки коштує$15$% чайових на рахунок ресторану, який становить $$33.33$?
21. У Рей є жменька копійок і нікелів, що оцінюють $$3.05$. У нього$5$ більше копійки, ніж у нього нікелів. Скільки у нього кожної монети?
22. У Джилл$3$ менше півдоларів, ніж у неї чверті. Значення всіх$27$ її монет додає до $$9.75$. Скільки кожної монети має Джилл?
23. Кеті повинна внести $ на$410$ суму п'ять- і десятидоларові купюри. У неї$1$ менше, ніж в три рази більше десятків, ніж у неї п'ятидоларові купюри. Скільки з кожного рахунку вона повинна внести?
24. Біллі має купу чвертей, копійок та нікелів, що значення $$3.75$. У нього$3$ більше копійок, ніж чверті і$5$ більше нікелів, ніж чвертей. Скільки кожної монети має Біллі?
25. Мері має банку з купюрами в один долар, півдоларовими монетами та кварталами вартістю $$14.00$. Вона має вдвічі більше чвертей, ніж вона робить півдоларові монети і стільки ж півдоларових монет, як однодоларові купюри. Скільки у неї кожного?
26. Чад має рахунки на один, п'ять- та десятидоларові купюри на загальну суму $$118$. У нього$2$ більше, ніж в$3$ рази більше, ніж він робить п'ятидоларові купюри і$1$ менше десяти-, ніж п'ятидоларові купюри. Скільки кожного законопроекту має Чад?

Відповідь

1. $$271.25$

3. $5$років

5. $5.5$%

7. $$750.00$

9. Джо інвестував $$2,050$ в рахунок грошового ринку і $$450$ в компакт-диск.

11. Джейн має $$3,200$ на компакт-диску та $$2,200$ в заощадженнях.

13. Аліса$250$ інвестувала $ в$2$% і $$750$ при$3$%.

15. $$32.76$

17. $$42.75$

19. $$37.66$

21. У нього є$17$ нікелі і$22$ копійки.

23. У Кеті$12$ п'ятірки і$35$ десятидоларові купюри.

25. Мері має купюри в$7$ один$7$ долар, півдоларові монети та$14$ чверті.

Вправа$\PageIndex{9}$ Uniform Motion (Distance Problems)

Налаштуйте алгебраїчне рівняння, а потім вирішіть.

1. Два автомобілі залишають локацію, що рухаються в протилежних напрямках. Якщо один автомобіль в середньому$55$ милі на годину, а інший$65$ середній милі на годину, то скільки часу знадобиться для них, щоб відокремити відстань$300$ миль?
2. Два літаки залишають аеропорт одночасно, подорожуючи в протилежних напрямках. Середні швидкості для літаків -$450$ милі на годину і$395$ милі на годину. Як довго це займе літаки, щоб бути відстань в$1,478.75$ милі один від одного?
3. Білл і Тед мчать по всій країні. Білл йде на$1$ годину раніше, ніж Тед і подорожує з середньою швидкістю$60$ миль на годину. Якщо Тед має намір наздогнати зі швидкістю$70$ миль на годину, то скільки часу це займе?
4. Двоє братів виїжджають з одного місця, один в машині, а інший на велосипеді, щоб зустрітися в будинку своєї бабусі на вечерю. Якщо один брат$30$ усереднює кілометри на годину в машині, а інший - в середньому$12$ милі на годину на велосипеді, то він займає у брата на велосипеді$1$ годину менше ніж в$3$ рази довше, ніж інший в машині. Скільки часу потрібно кожному з них, щоб здійснити поїздку?
5. Пілот комерційної авіакомпанії літав із середньою швидкістю$350$ миль на годину, перш ніж йому повідомили, що аеродром призначення може бути закритий через погані погодні умови. У спробі прибути перед штормом він збільшував швидкість$400$ миль на годину і летів ще$3$ годинами. Якщо загальна відстань, що пройшла, становила$2,950$ милі, то скільки часу зайняла поїздка?
6. Два брати проїхали$2,793$ кілометри від Лос-Анджелеса до Нью-Йорка. Один з братів, керуючи вдень, зміг скласти середні$70$ кілометри на годину, а інший, проїжджаючи вночі, зміг усереднити$53$ кілометри на годину. Якщо брат за кермом вночі проїхав$3$ годин менше, ніж брат за кермом вдень, то скільки годин вони проїхали кожен?
7. Джо і Еллен живуть$21$ милями один від одного. Відлітаючи при цьому, вони крутяться назустріч один одному. Якщо Джо в середньому$8$ милі на годину, а Еллен в середньому$6$ милі на годину, скільки часу знадобиться їм, щоб зустрітися?
8. Якщо їхати до автомайстерні з середньою швидкістю$30$ миль на годину потрібно$6$ хвилин, то скільки часу знадобиться, щоб повернутися назад із середньою швидкістю$4$ миль на годину?
9. Хайме і Алекс залишають ту ж локацію і подорожують в протилежних напрямках. Умови руху дозволили Алексу в середньому$14$ милі на годину швидше, ніж Хайме. Після$1\frac{1}{2}$ години вони знаходяться в$159$ милі один від одного. Знайдіть швидкість, з якою кожен зміг подорожувати.
10. Джейн і Холлі живуть$51$ милями один від одного і їдуть одночасно подорожуючи назустріч один одному, щоб зустрітися на обід. Джейн їздила по автостраді на вдвічі більшій середній швидкості, ніж Холлі. Вони змогли зустрітися за півгодини. З якою швидкістю здійснював кожен проїзд?

Відповідь

1. $2.5$годин

3. $6$годин

5. $8$годин

7. $1\frac{1}{2}$годин

9. Хайме:$46$ миль на годину; Алекс:$60$ миль на годину

Вправа$\PageIndex{10}$ Discussion Board Topics

1. Обговоріть ідеї розрахунку податків і поради подумки.
2. Дослідження історичних методів представлення невідомих.
3. Досліджуйте та порівняйте прості відсотки та складні відсотки. У чому різниця?
4. Обговоріть, чому алгебра є обов'язковим предметом.
5. Дослідження способів показати, що повторюване десяткове число є раціональним. Поділіться своїми висновками на дошці обговорень.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

5. Відповіді можуть відрізнятися