2.7: Вступ до нерівностей та інтервальних позначень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58192

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Графік розв'язків однієї нерівності на числовій лінії та вираження розв'язків за допомогою інтервальних позначень.
Графік розв'язків складної нерівності на числовій лінії та вираження розв'язків за допомогою інтервальних позначень.

Необмежені інтервали

Алгебраїчна нерівність$x≥2$, наприклад,$x$ читається «більше або дорівнює»$2$. Ця нерівність має нескінченно багато рішень для$x$. Деякі з рішень є$2, 3, 3.5, 5, 20,$ і$20.001$. Оскільки неможливо перерахувати всі рішення, потрібна система, яка дозволяє чітко спілкуватися з цим нескінченним набором. Двома поширеними способами вираження розв'язків нерівності є їх графіком на числовому рядку та використанням інтервальних позначень.

Щоб виразити рішення графічно, намалюйте числову лінію і затіньте у всіх значеннях, які є розв'язками нерівності. Інтервальне позначення є текстовим і використовує конкретні позначення наступним чином:

$Знімок екрана (771) .png$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Визначте інтервальне позначення після побудови графіків розв'язку, встановленого на числовому рядку. Числа в інтервальних позначеннях повинні бути записані в тому ж порядку, в якому вони з'являються на числовому рядку, причому менші числа в наборі з'являються першими. У цьому прикладі існує інклюзивна нерівність, що означає, що в розв'язку включається нижня межа 2. Позначте це замкнутою крапкою на цифровій лінії і квадратною дужкою в інтервальних позначеннях. Символ (∞) читається як нескінченність і вказує на те, що множина необмежена праворуч на числовому рядку. Інтервальне позначення вимагає дужки, щоб підкласти нескінченність. Квадратна дужка вказує, що межа включена в розв'язку. У дужках вказано, що межа не включена. Нескінченність є верхньою межею дійсних чисел, але сама по собі не є дійсним числом: вона не може бути включена в набір розв'язків.

Тепер порівняйте інтервальні позначення в попередньому прикладі з позначенням суворої або неінклюзивної нерівності, яка наступна:

$Знімок екрана (772) .png$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Суворі нерівності означають, що рішення можуть наблизитися до граничної точки, в даному випадку 2, але фактично не включати її. Позначте цю ідею відкритою крапкою на числовій лінії і круглою дужкою в інтервальних позначеннях.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$x<3$.

Рішення:

Використовуйте відкриту крапку на$3$ і затіньте всі дійсні числа строго менше$3$. Використовуйте негативну нескінченність,$(−∞)$ щоб вказати, що набір розв'язків необмежений ліворуч на числовому рядку.

$Знімок екрана (775) .png$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(-∞, 3)$

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$x≤5$.

Рішення:

Використовуйте замкнуту крапку і затінюйте всі числа менше і включаючи 5.

$Знімок екрана (778) .png$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−∞, 5]$

Важливо бачити, що$5≥x$ таке ж, як$x≤5$. Обидва вимагають значення$x$, щоб бути меншими або рівними$5$. Щоб уникнути плутанини, гарною практикою є переписати всі нерівності зі змінною зліва. Також при використанні тексту використовуйте «inf» як скорочену форму нескінченності. Наприклад,$(−∞, 5]$ може бути виражений текстово як$(−$ inf,$5]$.

Складна нерівність - це фактично дві або більше нерівностей в одному твердженні, з'єднаних словом «і» або словом «або». Складні нерівності з логічним «або» вимагають, щоб будь-яка умова повинна бути задоволена. Тому множина розв'язків цього типу складених нерівностей складається з усіх елементів множин розв'язків кожної нерівності. Коли ми приєднуємося до цих індивідуальних наборів рішення, це називається об'єднанням, позначається$∪$. Наприклад, розв'язки складеної нерівності$x<3$ або$x≥6$ можуть бути побудовані таким чином:

$Знімок екрана (779) .png$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Іноді ми стикаємося зі складними нерівностями, де роздільні набори розв'язку перекриваються. У разі, коли складна нерівність містить слово «або», ми об'єднаємо всі елементи обох множин, щоб створити один набір, що містить всі елементи кожного.

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$x≤−1$або$x<3$.

Рішення:

Об'єднайте всі рішення обох нерівностей. Розв'язки кожної нерівності намальовані над числовим рядком як засіб для визначення об'єднання, яке зображено на цифровому рядку нижче.

$Знімок екрана (780) .png$

Малюнок$\PageIndex{6}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−∞, 3)$

Будь-яке дійсне число менше, ніж$3$ у затіненій області на числовому рядку, задовольнить принаймні одну з двох заданих нерівностей.

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$x<3$або$x≥−1$.

Рішення:

Обидва набори рішень розміщені над об'єднанням, який зображений нижче.

$Знімок екрана (781) .png$

Малюнок$\PageIndex{7}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$R = (−∞, ∞)$

Коли ви об'єднаєте обидві множини розв'язків і утворюєте об'єднання, ви можете побачити, що всі дійсні числа задовольняють вихідній складній нерівності.

Підсумовуючи,

$Знімок екрана (782) .png$

Малюнок$\PageIndex{8}$

$Знімок екрана (783) .png$

Малюнок$\PageIndex{9}$

$Знімок екрана (784) .png$

Малюнок$\PageIndex{10}$

$Знімок екрана (785) .png$

Малюнок$\PageIndex{11}$

Обмежені інтервали

Нерівність, така як

$-1\leq x<3$

читає «$−1$один менше або$x$ дорівнює$x$ і менше трьох». Це складна нерівність, оскільки вона може бути розкладена наступним чином:

$-1\leq x$і$x<3$

Логічне «і» вимагає, щоб обидві умови були істинними. Обидві нерівності задовольняють всі елементи в перетині, що позначаються$∩$, множин розв'язків кожного.

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$x<3$і$x≥−1$.

Рішення:

Визначте перетин або перекриття двох наборів рішень. Розв'язки кожної нерівності намальовані над числовою лінією як засіб для визначення перетину, яке зображено на цифровій лінії нижче.

$Знімок екрана (786) .png$

Малюнок$\PageIndex{12}$

Тут$x=3$ не рішення, оскільки воно вирішує лише одну з нерівностей.

Відповідь:

Інтервальні позначення:$[−1, 3)$

Крім того, ми можемо інтерпретувати$−1≤x<3$ як всі можливі значення$x$ між або$−1$ обмеженими$3$ числовим рядком. Наприклад, одним з таких рішень є$x=1$. Зверніть увагу, що$1$ знаходиться між$−1$ і$3$ на числовому рядку, або що$−1 < 1 < 3$. Аналогічно, ми бачимо, що інші можливі рішення$−1, −0.99, 0, 0.0056, 1.8$, і$2.99$. Оскільки між$−1$ і існує нескінченно багато дійсних чисел$3$, ми повинні виразити рішення графічно та/або з інтервальними позначеннями, в даному випадку$[−1, 3)$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$−\frac{3}{2}<x<2$.

Рішення:

Затіньте всі дійсні числа, обмежені або строго між ними,$−\frac{3}{2}=−1\frac{1}{2}$ і$2$.

$Знімок екрана (788) .png$

Малюнок$\PageIndex{13}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−\frac{3}{2}, 2)$

Приклад$\PageIndex{7}$

Графік і дати інтервал позначення еквівалент:

$−5<x\leq 15$

Рішення:

Затіньте всі дійсні числа між$−5$ і$15$, і вкажіть$15$, що верхня межа включена до набору розв'язків за допомогою замкнутої крапки.

$Знімок екрана (790) .png$

Малюнок$\PageIndex{14}$

Відповідь:

Інтервальні позначення:$(−5, 15]$

У попередніх двох прикладах ми не розкладали нерівності; натомість ми вирішили думати про всі дійсні числа між двома заданими межами.

Підсумовуючи,

$Знімок екрана (791) .png$

Малюнок$\PageIndex{15}$

Позначення Set-Builder

У цьому тексті ми використовуємо інтервальні позначення. Однак інші ресурси, з якими ви, ймовірно, зіткнетеся, використовують альтернативний метод опису наборів, які називаються позначеннями set-builder. Ми використовували множинні позначення для переліку елементів, таких як цілі числа

$\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Фігурні дужки групують елементи множини, а знаки крапки вказують на те, що цілі числа тривають вічно. У цьому розділі ми хочемо описати інтервали дійсних чисел - наприклад, дійсні числа, більші або рівні$2$.

$Знімок екрана (794) .png$

Малюнок$\PageIndex{16}$

Оскільки набір занадто великий для списку, позначення set-builder дозволяє нам описати його за допомогою звичних математичних позначень. Нижче наведено приклад позначення set-builder:

$\{ x∈\mathbb{R} | x\geq 2\}$

Тут$x∈R$ описується тип числа, де символ$(∈)$ читається «елемент». Це означає, що змінна$x$ являє собою дійсне число. Вертикальна смуга$(|)$ читається «такий, що». Нарешті, оператор$x≥2$ є умовою, яка описує множину за допомогою математичних позначень. На даний момент в нашому вивченні алгебри передбачається, що всі змінні представляють дійсні числа. З цієї причини можна опустити «$∈R$» і написати$\{x|x≥2\}$, що читається «множина всіх дійсних чисел,$x$ таких, що$x$ більше або дорівнює»$2$.

$Знімок екрана (795) .png$

Малюнок$\PageIndex{17}$

Щоб описати складні нерівності, такі як$x<3$$\{x|x<3$ або$x≥6$$x≥6\}$, запишіть або, що читається «множина всіх дійсних чисел,$x$ таких, що$x$ менше$3$ або$x$ більше або дорівнює»$6$.

$Знімок екрана (796) .png$

Малюнок$\PageIndex{18}$

Запишіть обмежені інтервали$−1≤x<3$, такі як$\{x|−1≤x<3\}$, як, який читається «множина всіх дійсних чисел,$x$ таких, що$x$ більше або дорівнює$−1$ і менше»$3$.

Ключові винос

Нерівності зазвичай мають нескінченно багато розв'язків, тому замість того, щоб представляти неймовірно великий список, ми представляємо такі набори розв'язків або графічно на числовому рядку, або текстово використовуючи інтервальні позначення.
Інклюзивні нерівності з компонентом «або дорівнює» позначаються замкнутою крапкою на числовій лінії і квадратною дужкою за допомогою інтервальних позначень.
Суворі нерівності без компонента «або дорівнює» позначаються відкритою крапкою на числовій лінії і дужками з використанням інтервальних позначень.
Складні нерівності, які використовують логічне «або», вирішуються розв'язками будь-якої нерівності. Набір рішень - це об'єднання кожного окремого набору рішень.
Складні нерівності, які використовують логічне «і», вимагають, щоб усі нерівності вирішувалися єдиним рішенням. Набір рішень - це перетин кожного окремого набору рішень.
Складні нерівності форми$n<A<m$ можна розкласти на дві нерівності за допомогою логічного «і». Однак так само справедливо вважати аргумент$A$ обмеженим між значеннями$n$ і$m$.

Вправа$\PageIndex{1}$ Simple Inequalities

Графік всіх розв'язків на числовому рядку і надайте відповідні інтервальні позначення.

$x≤10$
$x>−5$
$x>0$
$x≤0$
$x≤−3$
$x≥−1$
$−4<x$
$1≥x$
$x<−\frac{1}{2}$
$x≥−\frac{3}{2}$
$x≥−1\frac{3}{4}$
$x<\frac{3}{4}$

Відповідь

1. $(−∞, 10]$

$Знімок екрана (799) .png$

Малюнок$\PageIndex{19}$

3. $(0, ∞)$

$Знімок екрана (802) .png$

Малюнок$\PageIndex{20}$

5. $(−∞, −3]$

$Знімок екрана (805) .png$

Малюнок$\PageIndex{21}$

7. $(−4, ∞)$

$Знімок екрана (808) .png$

Малюнок$\PageIndex{22}$

9. $(−∞, −\frac{1}{2})$

$Знімок екрана (810) .png$

Малюнок$\PageIndex{23}$

11. $[−1\frac{3}{4}, ∞)$

$Знімок екрана (811) .png$

Малюнок$\PageIndex{24}$

Вправа$\PageIndex{2}$ Compound Inequalities

Графік всіх розв'язків на числовому рядку і дати відповідні інтервальні позначення.

$−2<x<5$
$−5≤x≤−1$
$−5<x\leq 20$
$0\leq x<15$
$10<x\leq 40$
$-40\leq x<-10$
$0<x\leq 50$
$-30<x<0$
$-\frac{5}{8}<x<\frac{1}{8}$
$-\frac{3}{4}\leq x\leq \frac{1}{2}$
$−1≤x<1\frac{1}{2}$
$−1\frac{1}{2}<x<-\frac{1}{2}$
$x<-3$або$x>3$
$x<−2$або$x≥4$
$x≤0$або$x>10$
$x≤−20$або$x≥−10$
$x<-\frac{2}{3}$або$x>\frac{1}{3}$
$x≤−\frac{4}{3}$або$x>−\frac{1}{3}$
$x>−5$або$x<5$
$x<12$або$x>-6$
$x<3$або$x≥3$
$x≤0$або$x>0$
$x<−7$або$x<2$
$x≥−3$або$x>0$
$x≥5$або$x>0$
$x<15$або$x≤10$
$x>−2$і$x<3$
$x≥0$і$x<5$
$x≥−5$і$x≤−1$
$x<-4$і$x>2$
$x≤3$і$ x>3$
$x≤5$і$x≥5$
$x≤0$і$ x≥0$
$x<2$і$ x≤−1$
$x>0$і$ x≥−1$
$x<5$і$ x<2$

Відповідь

1. $(−2, 5)$

$Знімок екрана (814) .png$

Малюнок$\PageIndex{25}$

3. $(−5, 20]$

$Знімок екрана (816) .png$

Малюнок$\PageIndex{26}$

5. $(10, 40]$

$Знімок екрана (818) .png$

Малюнок$\PageIndex{27}$

7. $(0, 50]$

$Знімок екрана (820) .png$

Малюнок$\PageIndex{28}$

9. $(−\frac{5}{8}, \frac{1}{8})$

$Знімок екрана (822) .png$

Малюнок$\PageIndex{29}$

11. $[−1, 1\frac{1}{2})$

$Знімок екрана (824) .png$

Малюнок$\PageIndex{30}$

13. $(−∞, −3)∪(3, ∞)$

$Знімок екрана (826) .png$

Малюнок$\PageIndex{31}$

15. $(−∞, 0]∪(10, ∞)$

$Знімок екрана (828) .png$

Малюнок$\PageIndex{32}$

17. $(−∞, −\frac{2}{3})∪(\frac{1}{3}, ∞)$

$Знімок екрана (829) .png$

Малюнок$\PageIndex{33}$

19. $R$

$Знімок екрана (831) .png$

Малюнок$\PageIndex{34}$

21. $R$

$Знімок екрана (831) .png$

Малюнок$\PageIndex{35}$

23. $(−∞, 2)$

$Знімок екрана (833) .png$

Малюнок$\PageIndex{36}$

25. $(0, ∞)$

$Знімок екрана (835) .png$

Малюнок$\PageIndex{37}$

27. $(−2, 3)$

$Знімок екрана (837) .png$

Малюнок$\PageIndex{38}$

29. $[−5, −1]$

$Знімок екрана (839) .png$

Малюнок$\PageIndex{39}$

31. $∅$

$Знімок екрана (842) .png$

Малюнок$\PageIndex{40}$

33. $\{0\}$

$Знімок екрана (844) .png$

Малюнок$\PageIndex{41}$

35. $(0, ∞)$

$Знімок екрана (848) .png$

Малюнок$\PageIndex{42}$

Вправа$\PageIndex{3}$ Interval Notation

Визначте нерівність за даними відповідей, виражених в інтервальних позначеннях.

$(−∞, 7]$
$(−4, ∞)$
$[−\frac{1}{2}, ∞)$
$(−∞, −3)$
$(−8, 10]$
$(−20, 0]$
$(−14, −2)$
$[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$
$(−\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$
$(−∞, −8)$
$(8, ∞)$
$(−∞, 4)∪[8, ∞)$
$(−∞, −2]∪[0, ∞)$
$(−∞, −5]∪(5, ∞)$
$(−∞, 0)∪(2, ∞)$
$(−∞, −15)∪(−5, ∞)$

Відповідь

1. $x\leq 7$

3. $x≥−\frac{1}{2}$

5. $−8<x\leq 10$

7. $−14<x<-2$

9. $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{2}$

11. $x>8$

13. $x≤−2$або$x≥0$

15. $x<0$або$x>2$

Вправа$\PageIndex{4}$ Interval Notation

Напишіть еквівалентну нерівність.

Всі дійсні числа менше$27$.
Всі дійсні числа менше або рівні нулю.
Всі дійсні числа більше$5$.
Всі дійсні числа більше або рівні$−8$.
Всі дійсні числа строго між$−6$ і$6$.
Всі дійсні числа строго між$−80$ і$0$.

Відповідь

1. $x<27$

3. $x>5$

5. $-6<x<6$

Вправа$\PageIndex{5}$ Discussion Board Topics

Порівняйте інтервальне позначення з нотацією set-builder. Поділіться прикладом набору, описаного за допомогою обох систем.
Поясніть, чому ми не використовуємо дужку в інтервальних позначеннях, коли нескінченність є кінцевою точкою.
Досліджуйте та обговоріть різні складні нерівності, зокрема союзи та перетину.
Досліджуйте та обговорюйте історію нескінченності.
Досліджуйте та обговоріть внесок Георга Кантора.
Що таке діаграма Венна? Поясніть і опублікуйте приклад.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

5. Відповіді можуть відрізнятися