2.4: Рішення лінійних рівнянь - Частина II

Цілі навчання

• Вирішити загальні лінійні рівняння.
• Визначте та вирішуйте умовні рівняння, тотожності та протиріччя.
• Очистити десяткові дроби та дроби з рівнянь.
• Розв'яжіть буквальні рівняння або формули для заданої змінної.

Поєднання подібних термінів та спрощення

Лінійні рівняння зазвичай не задаються в стандартному вигляді, тому їх вирішення вимагає додаткових кроків. Ці додаткові кроки включають спрощення виразів з кожного боку знака рівності за допомогою порядку операцій.

Умови подібного до того ж боку

Ми часто стикаємося з лінійними рівняннями, де вирази з кожного боку знака рівності можуть бути спрощені. Як правило, це передбачає поєднання однакових сторін, як терміни. Якщо це так, то краще спростити кожну сторону спочатку перед вирішенням.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(−4a+2−a=3−2\).

Рішення:

Спочатку з'єднайте подібні терміни з кожного боку знака рівності.

Відповідь:

Рішення є\(\frac{1}{5}\).

Протилежна сторона, як умови

З огляду на лінійне рівняння у вигляді\(ax+b=cx+d\), ми починаємо з об'єднання подібних членів з протилежних сторін знака рівності. Щоб об'єднати протилежну сторону, подібні до термінів, використовуйте властивість додавання або віднімання рівності для ефективного «переміщення термінів» з однієї сторони на іншу, щоб їх можна було об'єднати.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(−2y−3=5y+11\).

Рішення:

Щоб «перемістити» термін\(5y\) в ліву сторону, відніміть його з обох сторін.

\(\begin{aligned} -2y-3&=5y+11 \\ -2y-3\color{Cerulean}{-5y}&=5y+11\color{Cerulean}{-5y} &\color{Cerulean}{Subtract\:5y\:from\:both\:sides.} \\ -7y-3&=11 \end{aligned}\)

Звідси вирішуйте, використовуючи методи, розроблені раніше.

Завжди перевіряйте, чи правильне рішення, підставляючи рішення назад у вихідне рівняння та спрощуючи, чи отримаєте ви справжнє твердження.

\(\begin{aligned} -2y-3&=5y+11 \\ -2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)-3}&=5(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)+1} \\ 4-3&=-10+11 \\ 1&=1 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(-2\).

Загальні рекомендації щодо розв'язання лінійних рівнянь

При вирішенні лінійних рівнянь мета полягає в тому, щоб визначити, яке значення, якщо воно є, дасть істинне твердження при підстановці в вихідне рівняння. Зробіть це, ізолюючи змінну за допомогою наступних кроків:

Крок 1: Спростіть обидві сторони рівняння, використовуючи порядок операцій, і об'єднайте всі однакові, подібні до термінів.

Крок 2: Використовуйте відповідні властивості рівності, щоб об'єднати протилежні сторони, подібні до членів зі змінним терміном на одній стороні рівняння та постійним з іншого.

Крок 3: Розділіть або помножте за потребою, щоб ізолювати змінну.

Крок 4: Перевірте, чи вирішує відповідь вихідне рівняння.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(-\frac{1}{2}(10y-2)+3=14\)

Рішення:

Спростіть лінійний вираз з лівого боку перед розв'язанням.

Щоб перевірити,

\(\begin{aligned} -\frac{1}{2}(10(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)-2)+3}&=14 \\ -\frac{1}{2}(-20-2)+3&=14 \\ -\frac{1}{2}(-22)+3&=14 \\ 11+3&=14 \\ 14&=14\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(-2\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(5(3x+2)−2=−2(1−7x)\).

Рішення:

По-перше, спростіть вирази по обидва боки знака рівності.

Відповідь:

Рішення є\(−10\). Перевірку залишають як вправу.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(6−3(4x−1)=4x−7\).

Відповідь

\(x=1\)

Умовні рівняння, тотожності та протиріччя

Існує три різних типи рівнянь. До цього моменту ми розв'язували умовні рівняння. Це рівняння, які вірні для певних значень. Ідентичність - це рівняння, яке вірно для всіх можливих значень змінної. Наприклад,

\(x=x\quad\color{Cerulean}{Identity}\)

має набір розв'язків, що складається з усіх дійсних чисел,\(R\). Протиріччя - це рівняння, яке ніколи не є істинним і, таким чином, не має рішень. Наприклад,

\(x+1=x\quad\color{Cerulean}{Contradiction}\)

не має рішення. Використовуємо порожній набір\(∅\), щоб вказати, що рішень немає.

Якщо кінцевим результатом розв'язання рівняння є істинне твердження, як\(0 = 0\), то рівняння є тотожністю і будь-яке дійсне число - це рішення. Якщо рішення призводить до помилкового твердження, типу\(0 = 1\), то рівняння є протиріччям і рішення немає.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\(4(x+5)+6=2(2x+3)\).

Рішення:

\(\begin{aligned} 4(x+5)+6&=2(2x+3)&\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 4x\color{OliveGreen}{+20+6}&=4x+6&\color{Cerulean}{Combine\:same-side\:like\:terms.} \\ 4x+26&=4x+6 &\color{Cerulean}{Combine\:opposite-side\:like\:terms.} \\ 4x+26\color{Cerulean}{-4x}&=4x+6\color{Cerulean}{-4x} \\ 26&=6\quad\color{red}{x} &\color{Cerulean}{False} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(∅\). Розв'язування призводить до помилкового твердження; отже, рівняння є протиріччям і рішення не існує.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(3(3y+5)+5=10(y+2)−y\).

Рішення:

\(\begin{aligned} 3(3y+5)+5&=10(y+2)-y &\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 9y\color{OliveGreen}{+15+5}&=10y+20-y &\color{Cerulean}{Combine\:same-side\:like\:terms.} \\ 9y+20&=9y+20 &\color{Cerulean}{Combine\:opposite-side\:like\:terms.} \\ 9y+20\color{Cerulean}{-9y}&=9y+20\color{Cerulean}{-9y} \\ 20&=20 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} &\color{Cerulean}{True} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(R\). Розв'язування призводить до істинного твердження; отже, рівняння є ідентичністю, а будь-яке дійсне число - це рішення.

Якщо важко повірити, що будь-яке дійсне число є рішенням рівняння в попередньому прикладі, то вибирайте своє улюблене дійсне число, і підставте його в рівняння, щоб побачити, що воно призводить до істинного твердження. Вибираємо\(x=7\) і перевіряємо:

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(−2(3x+1)−(x−3)=−7x+1\).

Відповідь

\(R\)

Очищення десяткових дробів і дробів

Коефіцієнти лінійних рівнянь можуть бути будь-якими дійсними числами, навіть десятковими і дроби. При використанні десяткових знаків і дробів можна використовувати властивість множення рівності для очищення коефіцієнтів за один крок. Якщо задані десяткові коефіцієнти, то помножте на відповідну ступінь 10 для очищення десяткових знаків. Якщо задані дробові коефіцієнти, то помножте обидві сторони рівняння на найменш спільний кратний знаменників (РК).

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(2.3x+2.8=−1.2x+9.8\).

Рішення:

Зверніть увагу, що всі десяткові коефіцієнти виражаються цифрами в десятому місці; це говорить про те, що ми можемо очистити десяткові числа, множивши обидві сторони на\(10\). Подбайте про\(10\) розподіл на кожен член по обидва боки рівняння.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{(2.3x+2.8)} &=\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{-1.2x+9.8} &\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:10.} \\ \color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{2.3x+}\color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{2.8}&=\color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{(-1.2x)+}\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{9.8} \\ 23x+28&=-12x+98 &\color{Cerulean}{Integer\:coefficients} \\ 23x+28\color{Cerulean}{+12x}&=-12x+98\color{Cerulean}{+12x} &\color{Cerulean}{Solve.} \\ 35x+28&=98 \\ 35x+28\color{Cerulean}{-28}&=98\color{Cerulean}{-28} \\ 35x&=70 \\ \frac{35x}{\color{Cerulean}{35}}&=\frac{70}{\color{Cerulean}{35}} \\ x&=2 \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(2\).

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішити:

\(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}x−1\).

Рішення:

Очистіть дроби, множивши обидві сторони на найменш спільний кратний заданих знаменників. В даному випадку ЛКМ\((3, 5)=15\).

Відповідь:

Рішення є\(-9\).

Важливо знати, що ці методи працюють лише для рівнянь. Не намагайтеся очищати дроби при спрощенні виразів. Як нагадування

\(\begin{array}{c|c} {\underline{\color{Cerulean}{Expression}}}&{\underline{\color{Cerulean}{Equation}}} \\ {\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}&{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}=0} \end{array}\)

Вирішити рівняння і спростити вирази. Якщо помножити вираз на\(6\), ви зміните задачу. Однак, якщо помножити обидві сторони рівняння на 6, вийде еквівалентне рівняння.

\(\begin{array}{c|c} {\underline{\color{red}{Incorrect}}}&{\underline{\color{Cerulean}{Correct}}}\\{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}&{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}=0} \\ {\neq\color{red}{6\cdot}\color{black}{\left( \frac{1}{2}x+\frac{5}{3} \right)}}&{\color{Cerulean}{6\cdot}\color{black}{\left( \frac{1}{2}x+\frac{5}{3} \right) =}\color{Cerulean}{6\cdot }\color{black}{0}} \\{=3x+10\quad\color{red}{x}}&{3x+10=10\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Літеральні рівняння (лінійні формули)

Алгебра дозволяє нам вирішувати цілі класи додатків за допомогою літеральних рівнянь або формул. Формули часто мають більше однієї змінної і описують або моделюють певну реальну проблему. Наприклад, знайома формула\(D=rt\) описує пройдену відстань з точки зору середньої швидкості і часу; з огляду на будь-які дві з цих величин, ми можемо визначити третю. Використовуючи алгебру, ми можемо вирішити рівняння для будь-якої з змінних і вивести ще дві формули.

\(\begin{aligned} D&=rt \\ \frac{D}{\color{Cerulean}{r}}&=\frac{rt}{\color{Cerulean}{r}}&\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:r.} \\ \frac{D}{r}&=t \end{aligned}\)

Якщо розділити обидві сторони на\(r\), то отримаємо формулу\(t=Dr\). Використовуйте цю формулу, щоб знайти час, враховуючи відстань і швидкість

\(\begin{aligned} D&=rt \\ \frac{D}{\color{Cerulean}{t}}&=\frac{rt}{\color{Cerulean}{t}}&\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:t.} \\ \frac{D}{t}&=r \end{aligned}\)

Якщо розділити обидві сторони на\(t\), то отримаємо формулу\(r=Dt\). Використовуйте цю формулу, щоб знайти швидкість, враховуючи пройдену відстань та час, необхідний для проходження цієї відстані. Використовуючи методи, вивчені до цього моменту, ми тепер маємо три еквівалентні формули, що стосуються відстані, середньої швидкості та часу:

\(D=rt\qquad t=\frac{D}{r}\qquad r=\frac{D}{t}\)

Коли дається буквальне рівняння, часто доводиться вирішувати для однієї зі змінних з точки зору інших. Використовуйте властивості рівності для виділення зазначеної змінної.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вирішити для\(a\):

\(P=2a+b\).

Рішення:

Мета - ізолювати змінну\(a\).

\(\begin{aligned} P&=2a+b \\ P\color{Cerulean}{-b}&=2a+b\color{Cerulean}{-b} &\color{Cerulean}{Subtract\:b\:from\:both\:sides.} \\ P-b&=2a \\ \frac{P-b}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{2a}{\color{Cerulean}{2}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:2.} \\ \frac{P-b}{2}&=a \end{aligned}\)

Відповідь:

\(a=\frac{P-b}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вирішити для\(y\):

\(z=\frac{x+y}{2}\).

Рішення:

Мета - ізолювати змінну\(y\).

\(\begin{aligned} z&=\frac{x+y}{2} \\ \color{Cerulean}{2\cdot}\color{black}{z}&=\color{Cerulean}{2\cdot}\color{black}{\frac{x+y}{2}}&\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:2.} \\ 2z&=x+y \\ 2z\color{Cerulean}{-x}&=x+y\color{Cerulean}{-x}&\color{Cerulean}{Subtract\:x\:from\:both\:sides.} \\ 2z-x&=y \end{aligned}\)

Відповідь:

\(y=2z-x\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити для\(b\):

\(2a−3b=c\).

Відповідь

\(b=\frac{2a−c}{3}\)

Ключові винос

• Розв'язування загальних лінійних рівнянь передбачає виділення змінної\(1\), з коефіцієнтом, з одного боку знака рівності.
• Етапами розв'язання лінійних рівнянь є:
  • Спростити обидві сторони рівняння і об'єднати всі ті ж сторони, як терміни.
  • Об'єднайте протилежну сторону, як терміни, щоб отримати змінний член з одного боку знака рівності і постійний член з іншого.
  • Ділимо або множимо в міру необхідності, щоб ізолювати змінну.
  • Перевірте відповідь.
• Більшість лінійних рівнянь, з якими ви зіткнетеся, є умовними і мають одне рішення.
• Якщо рішення лінійного рівняння призводить до істинного твердження типу\(0 = 0\), то рівняння є тотожністю, а набір розв'язків складається з усіх дійсних чисел,\(R\).
• Якщо рішення лінійного рівняння призводить до помилкового твердження типу\(0 = 5\), то рівняння є протиріччям і рішення немає,\(∅\).
• Очистити дроби шляхом множення обох сторін лінійного рівняння на найменш спільний кратний усіх знаменників. Розподіліть і помножте всі члени на РК, щоб отримати еквівалентне рівняння з цілими коефіцієнтами.
• Дано формулу, вирішуйте для будь-якої змінної, використовуючи однакові методи розв'язування лінійних рівнянь. Це працює, тому що змінні - це просто уявлення дійсних чисел.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Checking for Solutions

Чи є дане значення розв'язком лінійного рівняння?

1. \(2(3x+5)−6=3x−8; x=−4 \)
2. \(−x+17−8x=9−x; x=−1 \)
3. \(4(3x−7)−3(x+2)=−1; x=\frac{1}{3}\)
4. \(−5−2(x−5)=−(x+3); x=−8 \)
5. \(7−2(\frac{1}{2}x−6)=x−1; x=10 \)
6. \(3x−\frac{2}{3}(9x−2)=0; x=\frac{4}{9}\)

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Так

Вправа\(\PageIndex{5}\) Solving Linear Equations

Вирішити.

1. \(4x−7=7x+5\)
2. \(−5x+3=−8x−9\)
3. \(3x−5=2x−17\)
4. \(−2y−52=3y+13\)
5. \(−4x+2=7x−20\)
6. \(4x−3=6x−15\)
7. \(9x−25=12x−25\)
8. \(12y+15=−6y+23\)
9. \(1.2x−0.7=3x+4.7\)
10. \(2.1x+6.1=−1.3x+4.4\)
11. \(2.02x+4.8=14.782−1.2x\)
12. \(−3.6x+5.5+8.2x=6.5+4.6x\)
13. \(\frac{1}{2}x−\frac{2}{3}=x+\frac{1}{5}\)
14. \(\frac{1}{3}x−\frac{1}{2}=−\frac{1}{4}x−\frac{1}{3}\)
15. \(−\frac{1}{10}y+\frac{2}{5}=\frac{1}{5}y+\frac{3}{10}\)
16. \(x−\frac{20}{3}=\frac{5}{2}x+\frac{5}{6}\)
17. \(\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}y+\frac{37}{24}\)
18. \(\frac{1}{3}+\frac{4}{3}x=\frac{10}{7}x+\frac{1}{3}−\frac{2}{21}x\)
19. \(\frac{8}{9}−\frac{11}{18}x=\frac{7}{6}−12x\)
20. \(\frac{1}{3}−9x=\frac{4}{9}+\frac{1}{2}x\)
21. \(12x−5+9x=44\)
22. \(10−6x−13=12\)
23. \(−2+4x+9=7x+8−2x\)
24. \(20x−5+12x=6−x+7\)
25. \(3a+5−a=2a+7\)
26. \(−7b+3=2−5b+1−2b\)
27. \(7x−2+3x=4+2x−2\)
28. \(−3x+8−4x+2=10\)
29. \(6x+2−3x=−2x−13\)
30. \(3x−0.75+0.21x=1.24x+7.13\)
31. \(−x−2+4x=5+3x−7\)
32. \(−2y−5=8y−6−10y\)
33. \(\frac{1}{10}x−\frac{1}{3}=\frac{1}{30}−\frac{1}{15}x−\frac{7}{15}\)
34. \(\frac{5}{8}−\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}=−\frac{3}{9}x−\frac{1}{4}+\frac{1}{3}x\)

Відповідь

1. \(−4\)

3. \(−12\)

5. \(2\)

7. \(0\)

9. \(−3\)

11. \(3.1\)

13. \(−\frac{26}{15}\)

15. \(\frac{1}{3}\)

17. \(25\)

19. \(−\frac{5}{2}\)

21. \(\frac{7}{3}\)

23. \(−1\)

25. \(∅\)

27. \(\frac{1}{2}\)

29. \(−3\)

31. \(R\)

33. \(−\frac{3}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Solving Linear Equations Involving Parentheses

Вирішити.

1. \(−5(2y−3)+2=12\)
2. \(3(5x+4)+5x=−8\)
3. \(4−2(x−5)=−2\)
4. \(10−5(3x+1)=5(x−4)\)
5. \(9−(x+7)=2(x−1)\)
6. \(−5(2x−1)+3=−12\)
7. \(3x−2(x+1)=x+5\)
8. \(5x−3(2x−1)=2(x−3)\)
9. \(−6(x−1)−3x=3(x+8)\)
10. \(−\frac{3}{5}(5x+10)=\frac{1}{2}(4x−12)\)
11. \(3.1(2x−3)+0.5=22.2\)
12. \(4.22−3.13(x−1)=5.2(2x+1)−11.38\)
13. \(6(x−2)−(7x−12)=14\)
14. \(−9(x−3)−3x=−3(4x+9)\)
15. \(3−2(x+4)=−3(4x−5)\)
16. \(12−2(2x+1)=4(x−1)\)
17. \(3(x+5)−2(2x+3)=7x+9\)
18. \(3(2x−1)−4(3x−2)=−5x+10\)
19. \(−3(2a−3)+2=3(a+7)\)
20. \(−2(5x−3)−1=5(−2x+1)\)
21. \(\frac{1}{2}(2x+1)−\frac{1}{4}(8x+2)=3(x−4)\)
22. \(−\frac{2}{3}(6x−3)−\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(4x+1)\)
23. \(\frac{1}{2}(3x−1)+\frac{1}{3}(2x−5)=0\)
24. \(\frac{1}{3}(x−2)+\frac{1}{5}=\frac{1}{9}(3x+3)\)
25. \(−2(2x−7)−(x+3)=6(x−1)\)
26. \(10(3x+5)−5(4x+2)=2(5x+20)\)
27. \(2(x−3)−6(2x+1)=−5(2x−4)\)
28. \(5(x−2)−(4x−1)=−2(3−x)\)
29. \(6(3x−2)−(12x−1)+4=0\)
30. \(−3(4x−2)−(9x+3)−6x=0\)

Відповідь

1. \(\frac{1}{2}\)

3. \(8\)

5. \(\frac{4}{3}\)

7. \(∅\)

9. \(−\frac{3}{2}\)

11. \(5\)

13. \(−14\)

15. \(2\)

17. \(0\)

19. \(−\frac{10}{9}\)

21. \(3\)

23. \(1\)

25. \(\frac{17}{11}\)

27. \(∅\)

29. \(\frac{7}{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Literal Equations

Вирішити для зазначеної змінної.

1. Вирішити для\(w\):\(A=l⋅w\).
2. Вирішити для\(a\):\(F=ma\).
3. Вирішити для\(w\):\(P=2l+2w\).
4. Вирішити для\(r\):\(C=2πr\).
5. Вирішити для\(b\):\(P=a+b+c\).
6. Вирішити для\(C\):\(F=\frac{9}{5}C+32\).
7. Вирішити для\(h\):\(A=\frac{1}{2}bh\).
8. Вирішити для\(t\):\(I=Prt\).
9. Вирішити для\(y\):\(ax+by=c\).
10. Вирішити для\(h\):\(S=2πr^{2}+2πrh\).
11. Вирішити для\(x\):\(z=\frac{2x+y}{5}\).
12. Вирішити для\(c\):\(a=3b−\frac{2c}{3}\).
13. Вирішити для\(b\):\(y=mx+b\).
14. Вирішити для\(m\):\(y=mx+b\).
15. Вирішити для\(y\):\(3x−2y=6\).
16. Вирішити для\(y\):\(−5x+2y=12\).
17. Вирішити для\(y\):\(\frac{x}{3}−\frac{y}{5}=1\).
18. Вирішити для\(y\):\(\frac{3}{4}x−\frac{1}{5}y=\frac{1}{2}\).

Відповідь

1. \(w=\frac{A}{l}\)

3. \(w=\frac{P−2l}{2}\)

5. \(b=P−a−c \)

7. \(h=\frac{2A}{b}\)

9. \(y=\frac{−ax+c}{b}\)

11. \(x=\frac{5z−y}{2}\)

13. \(b=y−mx\)

15. \(y=\frac{3x−6}{2}\)

17. \(y=\frac{5x−15}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Literal Equations

Переведіть наступні пропозиції в лінійні рівняння, а потім вирішіть.

1. Сума\(3x\) і\(5\) дорівнює сумі\(2x\) і\(7\).
2. Сума\(−5x\) і\(6\) дорівнює різниці\(4x\) і\(2\).
3. Різниця\(5x\) і\(25\) дорівнює різниці\(3x\) і\(51\).
4. Сума\(\frac{1}{2}x\) і\(\frac{3}{4}\) дорівнює\(\frac{2}{3}x\).
5. Число,\(n\)\(5\) поділене на, дорівнює сумі подвоєного числа і\(3\).
6. Негативне десятикратне число\(n\) дорівнює сумі триразового числа і\(13\).

Відповідь

1. \(3x+5=2x+7\);\(x=2\)

3. \(5x−25=3x−51\);\(x=−13\)

5. \(\frac{n}{5}=2n+3\);\(n=−\frac{5}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\) Discussion Board Topics

1. Яке походження слова алгебра?
2. Що розглядається як основна справа алгебри?
3. Чому рішення рівнянь є такою важливою темою алгебри?
4. Опублікуйте деякі реальні лінійні формули, не представлені в цьому розділі.
5. Досліджуйте та обговоріть внесок Діофанта Олександрійського.
6. Створіть особистість або протиріччя і поділіться на дошці обговорень. Надайте рішення та поясніть, як ви його знайшли.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

5. Відповіді можуть відрізнятися