2.8: Лінійні нерівності (одна змінна)

Цілі навчання

• Визначте лінійні нерівності та перевіряйте розв'язки.
• Розв'яжіть лінійні нерівності та виражайте розв'язки графічно на числовій лінії та в інтервальних позначеннях.
• Розв'яжіть складні лінійні нерівності та виражайте розв'язки графічно на числовій лінії та в інтервальних позначеннях.
• Розв'язуйте програми, що включають лінійні нерівності та інтерпретуйте результати.

Визначення лінійної нерівності

Лінійна нерівність - це математичне твердження, яке пов'язує лінійний вираз як менший або більший за інше. Нижче наведено кілька прикладів лінійних нерівностей, всі з яких вирішуються в цьому розділі:

\(3x+7<16\quad -2x+1\geq 21\quad -7(2x+1)<1\)

Розв'язок лінійної нерівності - це дійсне число, яке видасть справжнє твердження при заміні змінної. Лінійні нерівності мають або нескінченно багато розв'язків, або немає рішення. Якщо розв'язків нескінченно багато, графуйте розв'язку, встановлене на числовому рядку і/або висловіть рішення за допомогою інтервальних позначень.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чи є\(x=−2\) і\(x=4\) рішення\(3x+7<16\)?

Рішення:

Підставляємо значення для\(x\), спрощуємо і перевіряємо, чи отримаємо ми справжнє твердження.

\(\begin{array}{c|c} {\underline{Check\:x=-2}}&{\underline{Check\:x=4}}\\{\begin{aligned} 3(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)+7}&<16 \\ -6+7&<16 \\ 1&<16\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}}&{\begin{aligned} 3(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)+7}&<16 \\ 12+7&<16 \\ 19&<16\quad\color{red}{x} \end{aligned}} \end{array}\)

Відповідь:

\(x=-2\)є рішенням і не\(x=4\) є.

Алгебра лінійних нерівностей

Усі методи, крім однієї, вивчені для розв'язування лінійних рівнянь, застосовуються до розв'язання лінійних нерівностей. Ви можете додати або відняти будь-яке дійсне число до обох сторін нерівності, і ви можете помножити або розділити обидві сторони на будь-яке додатне дійсне число, щоб створити еквівалентні нерівності. Наприклад,

-5\ колір {Cerulean} {-7} &\ color {Cerulean} {Відняти\ :7\ :від\ :обидві\ :сторони.}\\ 3&>-12\ quad\ color {\ галочка} &\ колір {Cerulean} {True}\\ 10&>-5\\ frac {10} {\ color {Cerulean} {5}} &>\ розрив {-5} {\ color {Cerulean} {5}} &\ color {Cerulean} {Розділити\ :обидві\ :сторони\ :по\ :5.}\\ 2&>-1\ quad\ color { Cerulean} {\ галочка} &\ color {Cerulean} {True}\ end {вирівняний}\)

Як віднімання\(7\) з кожної сторони, так і поділ кожної сторони на\(+5\) призводить до еквівалентної нерівності, яка є істинною.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розв'яжіть та графуйте набір рішень:

\(3x+7<16\).

Рішення:

\(\begin{aligned} 3x+7&<16 \\ 3x+7\color{Cerulean}{-7}&<16\color{Cerulean}{-7} \\ 3x&<9 \\ \frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}&<\frac{9}{\color{Cerulean}{3}} \\ x&<3 \end{aligned}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Корисно взяти хвилину і вибрати кілька значень у наборі рішень і поза ним, замінити їх у вихідну нерівність, а потім перевірити результати. Як зазначено, слід\(x=0\) розраховувати на вирішення початкової нерівності, але не\(x=5\) слід.

\(\begin{array}{c|c} {\underline{Check\:x=0}}&{\underline{Check\:x=5}}\\{\begin{aligned} 3(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)+7}&<16 \\ 7&<16\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}}&{\begin{aligned} 3(\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)+7}&<16 \\ 15+7&<16 \\ 22&<16\quad\color{red}{x} \end{aligned}} \end{array}\)

Перевірка таким чином дає хороший показник того, що нерівність вирішена правильно. Це можна зробити подумки.

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−∞, 3)\)

При роботі з лінійними нерівностями застосовується інше правило при множенні або діленні на від'ємне число. Щоб проілюструвати проблему, розглянемо істинне твердження\(10>−5\) і розділіть обидві сторони на\(−5\).

\ frac {-5} {\ color {Cerulean} {-5}} &\ color {Cerulean} {Розділити\ :обидві\ :сторони\ :-5.}\\ -2&\ колір {червоний} {>}\ колір {чорний} {1}\ квадратний\ колір {x} &\ колір {Cerulean} {помилковий}\ кінець {вирівняний}\)

Поділ на\(−5\) призводить до помилкового твердження. Щоб зберегти справжнє твердження, нерівність повинна бути зворотна.

\(\begin{aligned} 10&\color{OliveGreen}{>}\color{black}{-5} \\ \frac{10}{\color{Cerulean}{-5}}&<\frac{-5}{\color{Cerulean}{-5}} &\color{Cerulean}{Reverse\:the\:inequality.} \\ -2&\color{OliveGreen}{<}\color{black}{1}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}&\color{Cerulean}{True} \end{aligned}\)

Така ж проблема виникає при множенні на від'ємне число. Це призводить до наступного нового правила: при множенні або діленні на від'ємне число зворотне нерівність. Це легко забути, тому особливо уважно стежте за негативними коефіцієнтами.

Загалом, задані алгебраїчні вирази\(A\) і\(B\), де\(c\) додатне ненульове дійсне число, ми маємо такі властивості нерівностей:

\(\begin{array}{ll}{\textbf{Addition property of inequalities:}}&{\text{If }A<B\text{ then, }A\color{Cerulean}{+c}\color{black}{<B}\color{Cerulean}{+c}}\\{\textbf{Subtraction property of inequalities:}}&{\text{If }A<B,\text{ then }A\color{Cerulean}{-c}\color{black}{<B}\color{Cerulean}{-c}}\\{\textbf{Multiplication property of inequalities:}}&{\text{If }A<B,\text{ then }\color{Cerulean}{c}\color{black}{A<}\color{Cerulean}{c}\color{black}{B}}\\{}&{\text{If }A<B,\text{ then }\color{Cerulean}{-c}\color{black}{A}\color{OliveGreen}{>}\color{Cerulean}{-c}\color{black}{B}}\\{\textbf{Division property of inequalities:}}&{\text{If }A<B,\text{ then }\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}\color{black}{<\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}}}\\{}&{\text{If }A<B,\text{ then }\frac{A}{\color{Cerulean}{-c}}\color{OliveGreen}{>}\color{black}{\frac{B}{\color{Cerulean}{-c}}}} \end{array}\)

Ми використовуємо ці властивості для отримання еквівалентної нерівності, однієї з однаковим набором розв'язків, де змінна ізольована. Процес схожий на розв'язування лінійних рівнянь.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(−2x+1≥21\).

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−∞, −10]\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(−7(2x+1)<1\).

Рішення:

\(\begin{aligned} -7(2x+1)&<1 & & \color{Cerulean}{Distribute.} \\ -14x-7&<1 \\ -14x-7\color{Cerulean}{+7}&<1\color{Cerulean}{+7} \\ 14x&<8 \\ \frac{-14x}{\color{Cerulean}{-14}}&\color{OliveGreen}{>}\color{black}{\frac{8}{\color{Cerulean}{-14}}} & & \color{Cerulean}{Reverse\:the\:inequality.} \\ x&>-\color{black}{\frac{8\color{Cerulean}{\div 2}}{14\color{Cerulean}{\div 2}}} & & \color{Cerulean}{Reduce.} \\ x&>-\frac{4}{7} \end{aligned}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−\frac{4}{7}, ∞)\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\(5x−3(2x−1)≥2(x−3)\).

Рішення:

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−∞, 3]\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(3−5(x−1)≤28\).

Відповідь

\([−4, ∞)\)

Складні нерівності

Нижче наведено кілька прикладів складних лінійних нерівностей:

\(-3<2x+5<17\)

\(-1\leq\frac{1}{2}x-3<1\)

\(3x+1<10\quad or\quad 2x-1\geq 11\)

Ці складні нерівності насправді є двома нерівностями в одному твердженні, з'єднаних словом «і» або словом «або». Наприклад,

\(-3<2x+5<17\)

це складна нерівність, оскільки вона може бути розкладена наступним чином:

\(-3<2x+5\quad\text{and}\quad 2x+5<17\)

Розв'яжіть кожну нерівність окремо, і перетин двох множин розв'язків вирішує вихідну складну нерівність. Хоча цей метод працює, є ще один метод, який зазвичай вимагає менше кроків. Застосовують властивості цього розділу до всіх трьох частин складної нерівності з метою виділення змінної в середині оператора для визначення меж множини розв'язку.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(−3<2x+5<17\).

Рішення:

\(\begin{array}{c} {-3<2x+5<17}\\{-3\color{Cerulean}{-5}\color{black}{<2x+5}\color{Cerulean}{-5}\color{black}{<17}\color{Cerulean}{-5}}\\{-8<2x<12}\\{\frac{-8}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{<\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}<\frac{12}{\color{Cerulean}{2}}}}\\{-4<x<6} \end{array}\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−4, 6)\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(−1≤\frac{1}{2}x−3<1\).

Рішення:

\(\begin{array}{c}{-1\leq\frac{1}{2}x-3<1}\\{-1\color{Cerulean}{+3}\color{black}{\leq\frac{1}{2}x-3}\color{Cerulean}{+3}\color{black}{<1}\color{Cerulean}{+3}}\\{2\leq\frac{1}{2}x<4}\\{\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot 2\leq}\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot\frac{1}{2}x<}\color{Cerulean}{2}\color{black}{\cdot 4}}\\{4\leq x<8} \end{array}\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\([4, 8)\)

Важливо відзначити, що при множенні або діленні всіх трьох частин складної нерівності на від'ємне число необхідно повернути назад всі нерівності в твердженні. Наприклад,

\(\begin{array}{c}{-10<-2x<20}\\{\frac{-10}{\color{Cerulean}{-2}}\color{OliveGreen}{>}\color{black}{\frac{-2x}{\color{Cerulean}{-2}}}\color{OliveGreen}{>}\color{black}{\frac{20}{\color{Cerulean}{-2}}}}\\{5>x>-10} \end{array}\)

Відповідь вище можна записати в еквівалентній формі, де менші числа лежать зліва, а більші числа лежать праворуч, так як вони з'являються на числовій лінії.

\(-10<x<5\)

Використовуючи інтервальне позначення, запишіть\((−10, 5)\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(−8≤2(−3x+5)<34\).

Відповідь

\((−4, 3]\)

Для складних нерівностей зі словом «або» ви повинні працювати обидві нерівності окремо, а потім розглянути об'єднання множин рішень. Цінності в цьому союзі вирішують або нерівність.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішити:

\(3x+1<10\)або\(2x−1≥11\).

Рішення:

Вирішіть кожну нерівність і сформуйте об'єднання, об'єднавши множини рішень.

\(\begin{array}{ccc}{3x+1<10}&{}&{2x-1\geq 11}\\{3x+1\color{Cerulean}{-1}\color{black}{<10}\color{Cerulean}{-1}}&{}&{2x-1\color{Cerulean}{+1}\color{black}{\geq 11}\color{Cerulean}{+1}}\\{3x<9}&{\text{or}}&{2x\geq 12}\\{\frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}\color{black}{<\frac{9}{\color{Cerulean}{3}}}}&{}&{\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{\geq \frac{12}{\color{Cerulean}{2}}}}\\{x<3}&{}&{x\geq 6} \end{array}\)

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Відповідь:

Інтервальні позначення:\((−∞, 3)∪[6, ∞)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(4x−1<-5\)або\(4x-1>5\).

Відповідь

\((−∞,−1)∪(\frac{3}{2}, ∞)\)

Застосування лінійних нерівностей

Деякі ключові слова та фрази, які вказують на нерівності, узагальнені нижче:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Ключові фрази	Переклад
Число - це як мінімум\(5\).	\(x\geq 5\)
Число є\(5\) або більше включно.
Число є не більше\(3\).	\(x\leq 3\)
Число є\(3\) або менш включно.
Число строго менше\(4\).	\(x<4\)
Число менше\(4\), не включно.
Число більше, ніж\(7\).	\(x>7\)
Число більше\(7\), ніж, не включено.
Число знаходиться між\(2\) і\(10\).	\(2<x<10\)
Число є принаймні\(5\) і максимум\(15\).	\(5\leq x\leq 15\)
Число може варіюватися від\(5\) до\(15\).

Як і у всіх додатках, уважно прочитайте проблему кілька разів і шукайте ключові слова і фрази. Визначте невідомі і призначте змінні. Далі перекладіть формулювання в математичну нерівність. Нарешті, використовуйте властивості, які ви навчилися вирішувати нерівність і висловити рішення графічно або в інтервальній нотації.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Перекласти:

П'ять менше, ніж удвічі більше числа\(25\).

Рішення:

Спочатку виберіть змінну для невідомого числа і визначте ключові слова і фрази.

\(\begin{array}{cccc}{\color{Cerulean}{twice\:a\:number}}&{\color{Cerulean}{five\:less\:than}}&{\color{Cerulean}{is\:at\:most}}&{}\\{\overbrace{\:\:2n\:\:}}&{\overbrace{\:\:-\:\:5\:\:}}&{\overbrace{\:\:\leq\:\:}}&{25} \end{array}\)

Відповідь:

\(2n−5≤25\).

Ключова фраза «є максимум» вказує на те, що величина має максимальне значення\(25\) або менше.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Температура в пустелі може коливатися від\(10°C\) до\(45°C\) одного\(24\) годинного періоду. Знайти еквівалентний діапазон в градусах Фаренгейта\(F\), враховуючи це\(C=\frac{5}{9}(F−32)\).

Рішення:

Встановіть складну нерівність, де температура в Цельсії включно між\(10°C\) і\(45°C\). Потім підставляємо вираз, еквівалентний температурі Цельсія, в нерівність і вирішуємо для\(F\).

\(\begin{array}{c}{10°C\leq\color{OliveGreen}{temperature\:in\:Celsius}\color{black}{\leq 45°C}}\\{10\leq\color{OliveGreen}{\frac{5}{9}(F-32)}\color{black}{\leq 45}}\\{\color{Cerulean}{\frac{9}{5}\cdot}\color{black}{10\leq}\color{Cerulean}{\frac{9}{5}\cdot}\color{black}{\frac{5}{9}(F-32)\leq}\color{Cerulean}{\frac{9}{5}\cdot}\color{black}{45}}\\{18\leq F-32\leq 81}\\{18\color{Cerulean}{+32}\color{black}{\leq F-32}\color{Cerulean}{+32}\color{black}{\leq 81}\color{Cerulean}{+32}}\\{50\leq F\leq 113}\end{array}\)

Відповідь:

Еквівалентний діапазон Фаренгейта - від\(50°F\) до\(113°F\).

Приклад\(\PageIndex{11}\)

У перших чотирьох подіях зустрічі гімнастка забиває\(7.5, 8.2, 8.5\), і\(9.0\). Що вона повинна забити на п'ятій події, щоб усереднити хоча б\(8.5\)?

Рішення:

Середній повинен бути не менше\(8.5\); це означає, що середнє значення має бути більше або дорівнює\(8.5\).

\(\begin{aligned} average &\geq 5 \\ \frac{7.5+8.2+8.5+9.0+x}{5}&\geq 8.5 \\ \frac{33.2+x}{5}&\geq 8.5 \\ \color{Cerulean}{5\cdot}\color{black}{\frac{33.2+x}{5}}&\geq\color{Cerulean}{5\cdot}\color{black}{8.5} & & \color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:5.} \\ 33.2+x&\geq 42.5 \\ 33.2+x\color{Cerulean}{-33.2}&\geq 42.5\color{Cerulean}{-33.2} \\ x&\geq 9.3 \end{aligned}\)

Відповідь:

Вона повинна забити хоча б\(9.3\) на п'ятій події.

Ключові виноси

• Нерівності, як правило, мають нескінченно багато рішень. Розв'язки представлені графічно на числовому рядку або з використанням інтервальних позначень або обох.
• Все, крім одного з правил розв'язання лінійних нерівностей, такі ж, як і при розв'язанні лінійних рівнянь. Якщо розділити або помножити нерівність на від'ємне число, зворотне нерівність, щоб отримати еквівалентну нерівність.
• Складні нерівності за участю слова «або» вимагають від нас вирішити кожну нерівність і сформувати об'єднання кожного набору розв'язків. Це ті значення, які вирішують хоча б одну з заданих нерівностей.
• Складні нерівності за участю слова «і» вимагають перетину множин розв'язків для кожної нерівності. Це ті значення, які вирішують обидві або всі задані нерівності.
• Загальні рекомендації щодо вирішення проблем слів стосуються додатків, пов'язаних з нерівностями. Будьте в курсі нового списку ключових слів і фраз, які вказують на математичну установку, що включає нерівності.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Checking for Solutions

Визначте, чи є дане число розв'язком заданої нерівності.

1. \(2x−3<6; x=-1\)
2. \(-3x+1\leq 0; x=-2\)
3. \(5x-20>0; x=3\)
4. \(\frac{1}{2}x+1>−\frac{3}{4}; x=−\frac{1}{4}\)
5. \(−5<7x+1<9; x=0\)
6. \(−20≤−3x−5≤−10; x=5\)
7. \(x<-3 \text{ or }x>3; x=−10\)
8. \(x<0\text{ or }x≥1; x=\frac{1}{2}\)
9. \(2x+1<−3\text{ or }2x+1≥5; x=2\)
10. \(4x−1<−17\text{ or }3x+2≥6; x=1\)

Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Так

7. Так

9. Так

Вправа\(\PageIndex{5}\) Solving Linear Inequalities

Розв'яжіть та графуйте набір рішень. Крім того, представте рішення, встановлене в інтервальних позначеннях.

1. \(x+5>1\)
2. \(x−3<−4\)
3. \(6x≤24\)
4. \(4x>−8\)
5. \(−7x≤14\)
6. \(−2x+5>9\)
7. \(7x−3≤25\)
8. \(12x+7>−53\)
9. \(−2x+5<-7\)
10. \(-2x+4\leq 4\)
11. \(-15x+10>20\)
12. \(−8x+1≤29\)
13. \(\frac{1}{7}x−3<1\)
14. \(\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}>\frac{2}{3}\)
15. \(\frac{5}{3}x+\frac{1}{2}≤\frac{1}{3}\)
16. \(−\frac{3}{4}x−\frac{1}{2}≥\frac{5}{2}\)
17. \(−\frac{1}{5}x+\frac{3}{4}<−\frac{1}{5}\)
18. \(−\frac{2}{3}x+1<-3\)
19. \(2(-3x+1)<14\)
20. \(-7(x-2)+1<15\)
21. \(9x-3(3x+4)>−12\)
22. \(12x−4(3x+5)≤−2\)
23. \(5−3(2x−6)≥−1\)
24. \(9x−(10x−12)<22\)
25. \(2(x-7)-3(x+3)\leq -3\)
26. \(5x-3>3x+7\)
27. \(4(3x−2)≤−2(x+3)+12\)
28. \(5(x−3)≥15x−(10x+4)\)
29. \(12x+1>2(6x−3)−5\)
30. \(3(x−2)+5>2(3x+5)+2\)
31. \(−4(3x−1)+2x≤2(4x−1)−3\)
32. \(−2(x−2)+14x<7(2x+1) \)

Відповідь

1. \(x>−4; (−4, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

3. \(x≤4; (−∞, 4]\)

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

5. \(x≥−2; [−2, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

7. \(x≤4; (−∞, 4]\)

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

9. \(x>6; (6, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

11. \(x<−\frac{2}{3}; (−∞, −\frac{2}{3})\)

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

13. \(x<28; (−∞, 28)\)

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

15. \(x≤−\frac{1}{10}; (−∞, −\frac{1}{10}]\)

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

17. \(x>\frac{19}{4}; (\frac{19}{4}, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

19. \(x>−2; (−2, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

21. \(∅\)

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

23. \(x≤4; (−∞, 4]\)

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

25. \(x≥−20; [−20, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

27. \(x≤1; (−∞, 1]\)

Малюнок\(\PageIndex{21}\)

29. \(R\)

Малюнок\(\PageIndex{22}\)

31. \(x≥\frac{1}{2}; [\frac{1}{2}, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{23}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Solving Linear Inequalities

Налаштуйте алгебраїчну нерівність, а потім вирішіть її.

1. Сума тричі більше числа і більше\(4\) від'ємного\(8\).
2. Сума\(7\) і трикратного числа менше або дорівнює\(1\).
3. Коли з числа віднімається\(10\), результат - максимум\(12\).
4. Коли\(5\) раз віднімається число\(6\), результат буде принаймні\(26\).
5. Якщо п'ять додати до триразового числа, то в результаті виходить менше двадцяти.
6. Якщо з двох разів віднімається три числа, то результат більше або дорівнює дев'яти.
7. Білл заробляє $\(12.00\) за день плюс $\(0.25\) за кожну людину, яку він отримує, щоб зареєструватися, щоб проголосувати. Скільки людей він повинен зареєструватися, щоб заробити хоча б $\(50.00\) за день?
8. З членство в гольф-клубі вартістю $\(100\) на місяць, кожен раунд гольф коштує тільки $\(25.00\). Скільки раундів гольф може член грати, якщо він хоче, щоб зберегти свої витрати до $\(250\) на місяць щонайбільше?
9. Джо заробив\(72, 85\) бали і\(75\) на своїх перших трьох іспитах з алгебри. Що він повинен набрати на четвертому іспиті, щоб усереднити хоча б\(80\)?
10. Моріс заробив\(4, 7\), і\(9\) вказує\(10\) на перші три вікторини. Що він повинен забити на четвертій вікторині, щоб усереднити хоча б\(7\)?
11. Комп'ютер налаштований на відключення, якщо температура перевищує\(40°C\). Дайте еквівалентне твердження, використовуючи градуси за Фаренгейтом. (Підказка:\(C=\frac{5}{9}(F−32)\).)
12. Певна марка макіяжу гарантовано не запускається, якщо температура буде менше\(35°C\). Дайте еквівалентне твердження, використовуючи градуси за Фаренгейтом.

Відповідь

1. \(n>−4\)

3. \(n≥−2\)

5. \(n<5\)

7. Законопроект повинен реєструвати хоча б\(152\) людей.

9. Джо повинен заробити хоча б\(88\) на четвертому іспиті.

11. Комп'ютер вимкнеться, коли температура перевищить\(104\)° F.

Вправа\(\PageIndex{7}\) Compound Inequalities

Розв'яжіть та графуйте набір рішень. Крім того, представте рішення, встановлене в інтервальних позначеннях.

1. \(−1<x+3<5\)
2. \(−10≤5x<20\)
3. \(−2≤4x+6<10\)
4. \(−10≤3x−1≤−4\)
5. \(−15<3x−6≤6\)
6. \(−22<5x+3≤3\)
7. \(−1≤\frac{1}{2}x−5≤1\)
8. \(1<8x+5<5\)
9. \(−\frac{1}{5}≤\frac{2}{3}x−\frac{1}{5}<\frac{4}{5}\)
10. \(−\frac{1}{2}<\frac{3}{4}x−\frac{2}{3}≤\frac{1}{2}\)
11. \(−3≤3(x−1)≤3\)
12. \(−12<6(x−3)≤0\)
13. \(4<−2(x+3)<6\)
14. \(−5≤5(−x+1)<15\)
15. \(−\frac{3}{2}≤\frac{1}{4}(\frac{1}{2}x−1)+\frac{3}{4}<\frac{3}{2}\)
16. \(−4≤−\frac{1}{3}(3x+12)<4\)
17. \(−2≤12−2(x−3)≤20\)
18. \(−5<2(x-1)-3(x+2)<5\)
19. \(3x\leq -15\text{ or }2x>6\)
20. \(4x−1<-17\text{ or }3x+2\geq 8\)
21. \(-2x+1<-1\text{ or }-2x+1>1\)
22. \(7x+4≤4\text{ or }6x−5≥1\)
23. \(3x−7<14\text{ or }2x+3>7\)
24. \(−3x+1<-5\text{ or }-4x-3>−23\)
25. \(\frac{1}{2}x−2<-1\text{ or }\frac{1}{2}x-2>1\)
26. \(\frac{1}{3}x+3≥−2\text{ or }\frac{1}{3}x+3≤2\)
27. \(3x+7≤7\text{ or }−5x+6>6\)
28. \(−10x−3≤17\text{ or }20x−6>−26\)
29. \(2x−10<-2\text{ or }-3x+4>−5\)
30. \(5x+3<4\text{ or }5-10x>4\)
31. \(3x<18\text{ and }5x>-20\)
32. \(x+7\leq 5\text{ and } x−3≥−10\)
33. \(2x−1<5\text{ and }3x-1<10\)
34. \(5x+2<-13\text{ and }3x+4>13\)

Відповідь

1. \(−4<x<2; (-4,2)\)

Малюнок\(\PageIndex{24}\)

3. \(−2≤x<1; [−2, 1)\)

Малюнок\(\PageIndex{25}\)

5. \(-3<x\leq 4; (-3,4]\)

Малюнок\(\PageIndex{26}\)

7. \(8≤x≤12; [8, 12]\)

Малюнок\(\PageIndex{27}\)

9. \(0≤x<\frac{3}{2}; [0, \frac{3}{2})\)

Малюнок\(\PageIndex{28}\)

11. \(0≤x≤2; [0, 2]\)

Малюнок\(\PageIndex{29}\)

13. \(-6<x<-5; (-6,-5)\)

Малюнок\(\PageIndex{30}\)

15. \(−16≤x<8; [−16, 8)\)

Малюнок\(\PageIndex{31}\)

17. \(−1≤x≤10; [−1, 10]\)

Малюнок\(\PageIndex{32}\)

19. \(x≤−5\text{ or }x>3; (−∞, −5]∪(3, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{33}\)

21. \(x>1\text{ or }x<0; (−∞, 0)∪(1, ∞)\)

Малюнок\(\PageIndex{34}\)

23. \(R\)

Малюнок\(\PageIndex{35}\)

25. \(x<2\text{ or }x>6; (−∞, 2)∪(6, ∞) \)

Малюнок\(\PageIndex{36}\)

27. \(x≤0; (−∞, 0]\)

Малюнок\(\PageIndex{37}\)

29. \(x<4; (−∞, 4)\)

Малюнок\(\PageIndex{38}\)

31. \(-4<x<6; (-4,6)\)

Малюнок\(\PageIndex{39}\)

33. \(x<3; (−∞, 3)\)

Малюнок\(\PageIndex{40}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\) Compound Inequalities

Налаштуйте складну нерівність для наступного, а потім вирішуйте.

1. П'ять більше двох разів деяке число знаходиться між\(15\) і\(25\).
2. Чотири віднімається з трьох разів деяке число між\(−4\) і\(14\).
3. Клінт бажає заробити B, який принаймні,\(80\) але менше, ніж\(90\). Який діапазон він повинен набрати на четвертому іспиті, якщо перші три були\(65, 75\), і\(90\)?
4. Певний антифриз ефективний для температурного діапазону від\(−35°C\) до\(120°C\). Знайти еквівалентний діапазон в градусах Фаренгейта.
5. Середня температура в Лондоні коливається від\(23°C\)\(14°C\) влітку до взимку. Знайти еквівалентний діапазон в градусах Фаренгейта.
6. Якщо основа трикутника вимірює\(5\) дюйми, то в якому діапазоні повинна бути висота, щоб площа була між\(10\) квадратними дюймами і\(20\) квадратними дюймами?
7. Прямокутник має довжину\(7\) дюймів. Знайти всі можливі ширини, якщо площа повинна бути не менше\(14\) квадратних дюймів і не більше\(28\) квадратних дюймів.
8. Прямокутник має ширину\(3\) сантиметрів. Знайдіть всі можливі довжини, якщо периметр повинен бути не менше\(12\) сантиметрів і максимум\(26\) сантиметрів.
9. Периметр квадрата повинен знаходитися між\(40\) футами і\(200\) стопами. Знайдіть довжину всіх можливих сторін, які задовольняють цій умові.
10. Якщо два рази кут знаходиться між\(180\) градусами і\(270\) градусами, то які межі початкового кута?
11. Якщо три рази кут між\(270\) градусами і\(360\) градусами, то які межі початкового кута?

Відповідь

1. \(5<n<20\)

3. Клінт повинен заробити рахунок в діапазоні від\(90\) до\(100\).

5. Середня температура в Лондоні коливається від\(57.2°F\) до\(73.4°F\).

7. Ширина повинна бути не менше\(2\) дюймів і не більше\(4\) дюймів.

9. Сторони повинні знаходитися між\(10\) ступнями і\(50\) стопами.

11. Кут знаходиться між\(90\) градусами і\(120\) градусами.

Вправа\(\PageIndex{9}\) Discussion Board Topics

1. Досліджуйте та обговоріть використання множинних позначень з перехрестями та об'єднаннями.
2. Чи можемо ми об'єднати логічне «або» в одне твердження, як ми робимо для логічного «і»?

Відповідь

2. Відповіді можуть відрізнятися