5.7: Комплексні числа та їх операції

Цілі навчання

• Визначте уявну одиницю і комплексні числа.
• Додавання і віднімання комплексних чисел.
• Множення і ділення комплексних чисел.

Вступ до комплексних чисел

До цього моменту квадратний корінь від'ємного числа залишався невизначеним. Наприклад, ми знаємо, що\(\sqrt { - 9 }\) це не реальне число.

\(\sqrt { - 9 } = \color{Cerulean}{?}\color{black}{ \quad \text { or }} \quad ( \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 } = - 9\)

Немає дійсного числа, яке при квадраті призводить до негативного числа. Ми починаємо вирішувати це питання з визначення уявної одиниці ²⁶\(i\), як квадратний корінь\(−1\).

\(i = \sqrt { - 1 } \quad \text { and } \quad i ^ { 2 } = - 1\)

Для вираження квадратного кореня від'ємного числа через уявну одиницю ми використовуємо таку властивість\(i\), де\(a\) представляє будь-яке невід'ємне дійсне число:

\(\sqrt { - a } = \sqrt { - 1 \cdot a } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { a } = i \sqrt { a }\)

З цим ми можемо писати.

\(\sqrt { - 9 } = \sqrt { - 1 \cdot 9 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 9 } = i \cdot 3 = 3 i\)

Якщо\(\sqrt { - 9 } = 3 i\), то ми очікуємо, що\(3i\) квадрат дорівнюватиме\(−9\):

\(( 3 i ) ^ { 2 } = 9 i ^ { 2 } = 9 ( - 1 ) = - 9\:\:\color{Cerulean}{✓}\)

Таким чином будь-який квадратний корінь від'ємного дійсного числа може бути записаний через уявну одиницю. Таке число часто називають уявним числом ²⁷.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Перепишіть в терміні уявної одиниці\(i\).

1. \(\sqrt { - 7 }\)
2. \(\sqrt { - 25 }\)
3. \(\sqrt { - 72 }\)

Рішення

1. \(\sqrt { - 7 } = \sqrt { - 1 \cdot 7 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 7 } = i \sqrt { 7 }\)
2. \(\sqrt { - 25 } = \sqrt { - 1 \cdot 25 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 25 } = i \cdot 5 = 5 i\)
3. \(\sqrt { - 72 } = \sqrt { - 1 \cdot 36 \cdot 2 } = \sqrt { - 1 } \cdot \sqrt { 36 } \cdot \sqrt { 2 } = i \cdot 6 \cdot \sqrt { 2 } = 6 i \sqrt { 2 }\)

Коли уявне число включає радикал, ми\(i\) розміщуємо перед радикалом. Розглянемо наступне:

\(6 i \sqrt { 2 } = 6 \sqrt { 2 } i\)

Оскільки множення є комутативним, ці числа еквівалентні. Однак у формі\(6 \sqrt { 2 } i\) уявна одиниця\(i\) часто неправильно трактується як частина радиканда. Щоб уникнути цієї плутанини, найкраще розмістити\(i\) перед радикалом і використовувати\(6 i \sqrt { 2 }\)

Комплексне число ²⁸ - це будь-яке число форми,

\(a + b i\)

де\(a\) і\(b\) є дійсними числами. Тут a називається реальною частиною ²⁹ і\(b\) називається уявною частиною ³⁰. Наприклад,\(3 − 4i\) це комплексне число з дійсною частиною\(3\) і уявною частиною\(−4\). Важливо відзначити, що будь-яке дійсне число також є комплексним числом. Наприклад,\(5\) є дійсним числом; його можна записати як\(5 + 0i\) з реальною частиною, так\(5\) і уявною частиною\(0\). Значить, безліч дійсних чисел, що позначаються\(ℝ\), є підмножиною безлічі комплексних чисел, що позначаються\(ℂ\).

\(C = \{ a + b i | a , b \in ℝ\}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Комплексні числа використовуються в багатьох галузях, включаючи електроніку, техніку, фізику та математику. У цьому підручнику ми будемо використовувати їх, щоб краще зрозуміти рішення рівнянь, таких як\(x^{2} + 4 = 0\). З цієї причини ми далі досліджуємо алгебраїчні операції з ними.

Додавання та віднімання комплексних чисел

Додавання або віднімання комплексних чисел схоже на додавання і віднімання поліномів з подібними термінами. Ми додаємо або віднімаємо реальні частини, а потім уявні частини.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Додати\(( 5 - 2 i ) + ( 7 + 3 i )\).

Рішення

Додайте реальні частини, а потім додайте уявні частини.

\(\begin{aligned} ( 5 - 2 i ) + ( 7 + 3 i ) & = 5 - 2 i + 7 + 3 i \\ & = 5 + 7 - 2 i + 3 i \\ & = 12 + i \end{aligned}\)

Відповідь

\(12 + i\)

Для віднімання комплексних чисел віднімаємо дійсні частини і віднімаємо уявні частини. Це узгоджується з використанням розподільного властивості.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Відніміть\(( 10 - 7 i ) - ( 9 + 5 i )\).

Рішення

Розподіліть негативний знак, а потім комбінуйте подібні терміни.

\(\begin{aligned} ( 10 - 7 i ) - ( 9 + 5 i ) & = 10 - 7 i - 9 - 5 i \\ & = 10 - 9 - 7 i - 5 i \\ & = 1 - 12 i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(1-12i\)

Загалом, задані дійсні числа\(a\),\(b\),\(c\), і\(d\):

\(\begin{array} { l } { ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i } \\ { ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i } \end{array}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Спростити\(( 5 + i ) + ( 2 - 3 i ) - ( 4 - 7 i )\).

Рішення

\(\begin{aligned} ( 5 + i ) + ( 2 - 3 i ) - ( 4 - 7 i ) & = 5 + i + 2 - 3 i - 4 + 7 i \\ & = 3 + 5 i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3+5i\)

Підсумовуючи, додавання та віднімання комплексних чисел призводить до отримання комплексного числа.

Множення та ділення комплексних чисел

Множення комплексних чисел схоже на множення многочленів. Застосовується розподільна властивість. Крім того, ми використовуємо те, що\(i^{2} = −1\) для спрощення результату в стандартну форму\(a + bi\).

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Помножити\(- 6 i ( 2 - 3 i )\).

Рішення

Починаємо з застосування розподільного властивості.

\(\begin{aligned} - 6 i ( 2 - 3 i ) & = \color{Cerulean}{( - 6 i )}\color{black}{ \cdot} 2 - \color{Cerulean}{( - 6 i )} \cdot 3i \quad\color{Cerulean}{Distribute.}\\ & = - 12 i + 18 i ^ { 2 } \quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Substitute\:i^{2}=-1.}\\ & = - 12 i + 18 ( - 1 )\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = - 12 i - 18 \\ & = - 18 - 12 i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-18-12i\)

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Помножити\(( 3 - 4 i ) ( 4 + 5 i )\).

Рішення

\(\begin{aligned} ( 3 - 4 i ) ( 4 + 5 i ) & = \color{Cerulean}{3 \cdot}\color{black}{ 4} + \color{Cerulean}{3 \cdot}\color{black}{ 5} i \color{Cerulean}{- 4 i \cdot}\color{black}{ 4}\color{Cerulean}{ - 4 i \cdot}\color{black}{ 5} i\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ & = 12 + 15 i - 16 i - 20 i ^ { 2 }\quad\quad\color{Cerulean}{Substitute\:i^{2}=-1.} \\ & = 12 + 15 i - 16 i - 20 ( - 1 ) \\ & = 12 - i + 20 \\ & = 32 - i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(32-i\)

Загалом, задані дійсні числа\(a\),\(b\),\(c\), і\(d\):

\(\begin{aligned} ( a + b i ) ( c + d i ) & = a c + a d i + b c i + b d i ^ { 2 } \\ & = a c + a d i + b c i + b d ( - 1 ) \\ & = a c + ( a d + b c ) i - b d \\ & = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i \end{aligned}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростити:\(( 3 - 2 i ) ^ { 2 }\).

Відповідь

\(5-12i\)

www.youtube.com/В/ОВТКБ2З9В8

З огляду на комплексне число\(a + bi\), його комплексний спряжений ³¹\(a − bi\) є.Далі досліджуємо добуток складних сполучень.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Помножити\(( 5 + 2 i ) ( 5 - 2 i )\).

Рішення

\(\begin{aligned} ( 5 + 2 i ) ( 5 - 2 i ) & = \color{Cerulean}{5 \cdot}\color{black}{ 5} - \color{Cerulean}{5 \cdot}\color{black}{ 2} i + \color{Cerulean}{2 i \cdot}\color{black}{ 5} -\color{Cerulean}{ 2 i \cdot }\color{black}{2} i \\ & = 25 - 10 i + 10 i - 4 i ^ { 2 } \\ & = 25 - 4 ( - 1 ) \\ & = 25 + 4 \\ & = 29 \end{aligned}\)

Відповідь:

\(29\)

В цілому добуток складних кон'югатів ³² наступним чином:

\(\begin{aligned} ( a + b i ) ( a - b i ) & = a ^ { 2 } - a \cdot b i + b i \cdot a - b ^ { 2 } i ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - a b i + a b i - b ^ { 2 } ( - 1 ) \\ & = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що результат не передбачає уявної одиниці; отже, він реальний. Це призводить нас до дуже корисної властивості

\(( a + b i ) ( a - b i ) = a ^ { 2 } + b ^ { 2 }\)

Для поділу комплексних чисел застосовуємо методику, яка використовується для раціоналізації знаменника. Помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник. Результат потім можна спростити в стандартному вигляді\(a + bi\).

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Розділити\(\frac { 1 } { 2 - 3 i }\).

Рішення

У цьому прикладі сполучений знаменник є\(2 + 3i\). Тому помножимо на\(1\) в формі\(\frac { ( 2 + 3 i ) } { ( 2 + 3 i ) }\).

\(\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 - 3 i } & = \frac { 1 } { ( 2 - 3 i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( 2 + 3 i ) } { ( 2 + 3 i ) }} \\ & = \frac { ( 2 + 3 i ) } { 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } \\ & = \frac { 2 + 3 i } { 4 + 9 } \\ & = \frac { 2 + 3 i } { 13 } \end{aligned}\)

Щоб записати це комплексне число в стандартному вигляді, скористаємося тим, що 13 є спільним знаменником.

\(\begin{aligned} \frac { 2 + 3 i } { 13 } & = \frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 i } { 13 } \\ & = \frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 } { 13 } i \end{aligned}\)

Відповідь

\(\frac { 2 } { 13 } + \frac { 3 } { 13 } i\)

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Розділити:\(\frac { 1 - 5 i } { 4 + i }\).

Рішення

\(\begin{aligned} \frac { 1 - 5 i } { 4 + i } & = \frac { ( 1 - 5 i ) } { ( 4 + i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( 4 - i ) } { ( 4 - i ) }} \\ & = \frac { 4 - i - 20 i + 5 i ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } \\ & = \frac { 4 - 21 i + 5 ( - 1 ) } { 16 + 1 } \\ & = \frac { 4 - 21 i - 5 } { 16 + 1 } \\ & = \frac { - 1 - 21 i } { 17 } \\ & = - \frac { 1 } { 17 } - \frac { 21 } { 17 } i \end{aligned}\)

Відповідь

\(- \frac { 1 } { 17 } - \frac { 21 } { 17 } i\)

Загалом, задані дійсні числа\(a\)\(b\),\(c\) а\(d\) де\(c\) і не\(d\) обидва\(0\):

\(\begin{aligned} \frac { ( a + b i ) } { ( c + d i ) } & = \frac { ( a + b i ) } { ( c + d i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { ( c - d i ) } { ( c - d i ) }} \\ & = \frac { a c - a d i + b c i - b d i ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \\ & = \frac { ( a c + b d ) + ( b c - a d ) i } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \\ & = \left( \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right) + \left( \frac { b c - a d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \right) i \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Розділити:\(\frac { 8 - 3 i } { 2 i }\).

Рішення

Тут ми можемо думати\(2i = 0 + 2i\) і, таким чином, ми можемо побачити, що його сполучений є\(−2i = 0 − 2i\).

\(\begin{aligned} \frac { 8 - 3 i } { 2 i } & = \frac { ( 8 - 3 i ) } { ( 2 i ) } \cdot \frac { ( - 2 i ) } { ( - 2 i ) } \\ & = \frac { - 16 i + 6 i ^ { 2 } } { - 4 i ^ { 2 } } \\ & = \frac { - 16 i + 6 ( - 1 ) } { - 4 ( - 1 ) } \\ & = \frac { - 16 i - 6 } { 4 } \\ & = \frac { - 6 - 16 i } { 4 }\\ & = \frac{-6}{4} - \frac{-16i}{4} \\ & = - \frac { 3 } { 2 } - 4 i \end{aligned}\)

Оскільки знаменник є мономіалом, ми могли б помножити чисельник і знаменник на\(1\) у вигляді\(\frac{i}{i}\) і зберегти деякі кроки зменшення в кінці.

\(\begin{aligned} \frac { 8 - 3 i } { 2 i } & = \frac { ( 8 - 3 i ) } { ( 2 i ) } \cdot \color{Cerulean}{\frac { i } { i } }\\ & = \frac { 8 i - 3 i ^ { 2 } } { 2 i ^ { 2 } } \\ & = \frac { 8 i - 3 ( - 1 ) } { 2 ( - 1 ) } \\ & = \frac { 8 i + 3 } { - 2 } \\ & = \frac { 8 i } { - 2 } + \frac { 3 } { - 2 } \\ & = - 4 i - \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь

\(- \frac { 3 } { 2 } - 4 i\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розділити\(\frac { 3 + 2 i } { 1 - i }\).

Відповідь

\(\frac { 1 } { 2 } + \frac { 5 } { 2 } i\)

www.youtube.com/В/4Р2КоЛК-Т0

При множенні та діленні комплексних чисел ми повинні подбати про те, щоб зрозуміти, що правила добутку та частки для радикалів вимагають, щоб обидва\(a\) і\(b\) були позитивними. Іншими словами, якщо\(\sqrt [ n ] { a }\) і обидва\(\sqrt [ n ] { b }\) дійсні числа, то у нас є наступні правила.

\(\begin{array} { l } {Product\:rule\:for\:radicals:\:\:\: \sqrt [ n ] { a \cdot b } = \sqrt [ n ] { a } \cdot \sqrt [ n ] { b } } \\ Quotient\:rule\:for\:radicals:\:{ \sqrt [ n ] { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt [ n ] { a } } { \sqrt [ n ] { b } } } \end{array}\)

Наприклад, ми можемо продемонструвати, що правило продукту вірно, коли\(a\) і\(b\) є позитивними наступним чином:

\(\begin{aligned} \sqrt { 4 } \cdot \sqrt { 9 } & = \sqrt { 36 } \\ 2 \cdot 3 & = 6 \\ 6&=6\:\:\color{OliveGreen}{✓} \end{aligned}\)

Однак коли\(a\) і\(b\) обидва негативні властивість не відповідає дійсності.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 4 } \cdot \sqrt { - 9 } & \stackrel{\color{Cerulean}{?}}{\color{black}{=}} \sqrt { 36 } \\ 2 i \cdot 3 i & = 6 \\ 6 i ^ { 2 } & = 6 \\ - 6 & = 6\:\:\color{red}{✗} \end{aligned}\)

Тут\(\sqrt{−4}\) і\(\sqrt{−9}\) обидва не є дійсними числами, і правило продукту для радикалів не дає справжнього твердження. Тому, щоб уникнути деяких поширених помилок, пов'язаних з цією технічністю,\(i\) перед виконанням будь-яких операцій переконайтеся, що будь-яке комплексне число записано в терміні уявної одиниці.

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Помножити\(\sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 }\).

Рішення

Почніть з написання радикалів з точки зору уявної одиниці\(i\).

\(\sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 } = i \sqrt { 6 } \cdot i \sqrt { 15 }\)

Зараз радиканди є позитивними, і застосовується правило продукту для радикалів.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 6 } \cdot \sqrt { - 15 } & = i \sqrt { 6 } \cdot i \sqrt { 15 } \\ & = i \sqrt { 6 \cdot 15 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 90 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 9 \cdot 10 } \\ & = ( - 1 ) \cdot 3 \cdot \sqrt { 10 } \\ & = - 3 \sqrt { 10 } \end{aligned}\)

Відповідь

\(-3\sqrt{10}\)

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Помножити:\(\sqrt { - 10 } ( \sqrt { - 6 } - \sqrt { 10 } )\).

Рішення

Почніть з написання радикалів з точки зору уявної одиниці i, а потім розподіліть.

\(\begin{aligned} \sqrt { - 10 } ( \sqrt { - 6 } - \sqrt { 10 } ) & = i \sqrt { 10 } ( i \sqrt { 6 } - \sqrt { 10 } ) \\ & = i ^ { 2 } \sqrt { 60 } - i \sqrt { 100 } \\ & = ( - 1 ) \sqrt { 4 \cdot 15 } - i \sqrt { 100 } \\ & = ( - 1 ) \cdot 2 \cdot \sqrt { 15 } - i \cdot 10 \\ & = - 2 \sqrt { 15 } - 10 i \end{aligned}\)

Відповідь:

\(- 2 \sqrt { 15 } - 10 i\)

Підсумовуючи, множення і ділення комплексних чисел призводить до комплексного числа.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Спростити:\(( 2 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - ( 3 - i \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }\).

Відповідь

\(- 12 + 6 i \sqrt { 5 }\)

www.youtube.com/В/Тоніі5ОКТТГ

Ключові винос

• Уявна одиниця\(i\) визначається як квадратний корінь від'ємного. Іншими словами,\(i = \sqrt { - 1 }\) і\(i^{2} = −1\).
• Комплексні числа мають вигляд\(a + bi\) де\(a\) і\(b\) є дійсними числами.
• Множина дійсних чисел є підмножиною комплексних чисел.
• Результатом додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел є комплексне число.
• Твір складних сполучень,\(a + bi\) і\(a − bi\), є дійсним числом. Використовуйте цей факт для поділу комплексних чисел. Помножте чисельник і знаменник дробу на складний сполучений знаменника, а потім спростіть.
• Переконайтеся, що будь-яке комплексне число записано в терміні уявної одиниці\(i\) перед виконанням будь-яких операцій.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Перепишіть в терміні уявної одиниці\(i\).

1. \(\sqrt { - 81 }\)
2. \(\sqrt { - 64 }\)
3. \(-\sqrt { - 4 }\)
4. \(- \sqrt { - 36 }\)
5. \(\sqrt { - 20 }\)
6. \(\sqrt { - 18 }\)
7. \(\sqrt { - 50 }\)
8. \(\sqrt { - 48 }\)
9. \(- \sqrt { - 45 }\)
10. \(- \sqrt { - 8 }\)
11. \(\sqrt { - \frac { 1 } { 16 } }\)
12. \(\sqrt { - \frac { 2 } { 9 } }\)
13. \(\sqrt { - 0.25 }\)
14. \(\sqrt { - 1.44 }\)

Відповідь

1. \(9i\)

3. \(-2i\)

5. \(2 i \sqrt { 5 }\)

7. \(5 i \sqrt { 2 }\)

9. \(- 3 i \sqrt { 5 }\)

11. \(\frac { i } { 4 }\)

13. \(0.5i\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Запишіть комплексне число в стандартному вигляді\(a+bi\).

1. \(5 - 2 \sqrt { - 4 }\)
2. \(3 - 5 \sqrt { - 9 }\)
3. \(- 2 + 3 \sqrt { - 8 }\)
4. \(4 - 2 \sqrt { - 18 }\)
5. \(\frac { 3 - \sqrt { - 24 } } { 6 }\)
6. \(\frac { 2 + \sqrt { - 75 } } { 10 }\)
7. \(\frac { \sqrt { - 63 } - \sqrt { 5 } } { - 12 }\)
8. \(\frac { - \sqrt { - 72 } + \sqrt { 8 } } { - 24 }\)

Відповідь

1. \(5-4i\)

3. \(- 2 + 6 i \sqrt { 2 }\)

5. \(\frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } i\)

7. \(\frac { \sqrt { 5 } } { 12 } - \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } i\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Враховуючи, що\(i^{12}=-1\) обчислюють наступні повноваження\(i\).

1. \(i^{3}\)
2. \(i^{4}\)
3. \(i^{5}\)
4. \(i^{6}\)
5. \(i^{15}\)
6. \(i^{24}\)

Відповідь

1. \(-i\)

3. \(i\)

5. \(-i\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Виконайте операції.

1. \(( 3 + 5 i ) + ( 7 - 4 i )\)
2. \(( 6 - 7 i ) + ( - 5 - 2 i )\)
3. \(( - 8 - 3 i ) + ( 5 + 2 i )\)
4. \(( - 10 + 15 i ) + ( 15 - 20 i )\)
5. \(\left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } i \right) + \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 } { 8 } i \right)\)
6. \(\left( \frac { 2 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } i \right) + \left( \frac { 1 } { 10 } - \frac { 3 } { 2 } i \right)\)
7. \(( 5 + 2 i ) - ( 8 - 3 i )\)
8. \(( 7 - i ) - ( - 6 - 9 i )\)
9. \(( - 9 - 5 i ) - ( 8 + 12 i )\)
10. \(( - 11 + 2 i ) - ( 13 - 7 i )\)
11. \(\left( \frac { 1 } { 14 } + \frac { 3 } { 2 } i \right) - \left( \frac { 4 } { 7 } - \frac { 3 } { 4 } i \right)\)
12. \(\left( \frac { 3 } { 8 } - \frac { 1 } { 3 } i \right) - \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } i \right)\)
13. \(( 2 - i ) + ( 3 + 4 i ) - ( 6 - 5 i )\)
14. \(( 7 + 2 i ) - ( 6 - i ) - ( 3 - 4 i )\)
15. \(\left( \frac { 1 } { 3 } - i \right) - \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } i \right) - \left( \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } i \right)\)
16. \(\left( 1 - \frac { 3 } { 4 } i \right) + \left( \frac { 5 } { 2 } + i \right) - \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 5 } { 8 } i \right)\)
17. \(( 5 - 3 i ) - ( 2 + 7 i ) - ( 1 - 10 i )\)
18. \(( 6 - 11 i ) + ( 2 + 3 i ) - ( 8 - 4 i )\)
19. \(\sqrt { - 16 } - ( 3 - \sqrt { - 1 } )\)
20. \(\sqrt { - 100 } + ( \sqrt { - 9 } + 7 )\)
21. \(( 1 + \sqrt { - 1 } ) - ( 1 - \sqrt { - 1 } )\)
22. \(( 3 - \sqrt { - 81 } ) - ( 5 - 3 \sqrt { - 9 } )\)
23. \(( 5 - 2 \sqrt { - 25 } ) - ( - 3 + 4 \sqrt { - 1 } )\)
24. \(( - 12 - \sqrt { - 1 } ) - ( 3 - \sqrt { - 49 } )\)

Відповідь

1. \(10+i\)

3. \(-3-i\)

5. \(\frac { 2 } { 3 } + \frac { 5 } { 8 } i\)

7. \(-3+5i\)

9. \(-17-17i\)

11. \(- \frac { 1 } { 2 } + \frac { 9 } { 4 } i\)

13. \(-1+8i\)

15. \(- \frac { 5 } { 6 } - \frac { 2 } { 3 } i\)

17. \(2\)

19. \(-3+5i\)

21. \(2i\)

23. \(8-14i\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Виконайте операції.

1. \(i ( 1 - i )\)
2. \(i ( 1 + i )\)
3. \(2 i ( 7 - 4 i )\)
4. \(6 i ( 1 - 2 i )\)
5. \(- 2 i ( 3 - 4 i )\)
6. \(- 5 i ( 2 - i )\)
7. \(( 2 + i ) ( 2 - 3 i )\)
8. \(( 3 - 5 i ) ( 1 - 2 i )\)
9. \(( 1 - i ) ( 8 - 9 i )\)
10. \(( 1 + 5 i ) ( 5 + 2 i )\)
11. \(( 4 + 3 i ) ^ { 2 }\)
12. \(( - 1 + 2 i ) ^ { 2 }\)
13. \(( 2 - 5 i ) ^ { 2 }\)
14. \(( 5 - i ) ^ { 2 }\)
15. \(( 1 + i ) ( 1 - i )\)
16. \(( 2 - i ) ( 2 + i )\)
17. \(( 4 - 2 i ) ( 4 + 2 i )\)
18. \(( 6 + 5 i ) ( 6 - 5 i )\)
19. \(\left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } i \right) \left( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 2 } i \right)\)
20. \(\left( \frac { 2 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } i \right) \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } i \right)\)
21. \(( 2 - i ) ^ { 3 }\)
22. \(( 1 - 3 i ) ^ { 3 }\)
23. \(\sqrt { - 2 } ( \sqrt { - 2 } - \sqrt { 6 } )\)
24. \(\sqrt { - 1 } ( \sqrt { - 1 } + \sqrt { 8 } )\)
25. \(\sqrt { - 6 } ( \sqrt { 10 } - \sqrt { - 6 } )\)
26. \(\sqrt { - 15 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { - 10 } )\)
27. \(( 2 - 3 \sqrt { - 2 } ) ( 2 + 3 \sqrt { - 2 } )\)
28. \(( 1 + \sqrt { - 5 } ) ( 1 - \sqrt { - 5 } )\)
29. \(( 1 - 3 \sqrt { - 4 } ) ( 2 + \sqrt { - 9 } )\)
30. \(( 2 - 3 \sqrt { - 1 } ) ( 1 + 2 \sqrt { - 16 } )\)
31. \(( 2 - 3 i \sqrt { 2 } ) ( 3 + i \sqrt { 2 } )\)
32. \(( - 1 + i \sqrt { 3 } ) ( 2 - 2 i \sqrt { 3 } )\)
33. \(\frac { - 3 } { i }\)
34. \(\frac { 5 } { i }\)
35. \(\frac { 1 } { 5 + 4 i }\)
36. \(\frac { 1 } { 3 - 4 i }\)
37. \(\frac { 15 } { 1 - 2 i }\)
38. \(\frac { 29 } { 5 + 2 i }\)
39. \(\frac { 20 i } { 1 - 3 i }\)
40. \(\frac { 10 i } { 1 + 2 i }\)
41. \(\frac { 10 - 5 i } { 3 - i }\)
42. \(\frac { 5 - 2 i } { 1 - 2 i }\)
43. \(\frac { 5 + 10 i } { 3 + 4 i }\)
44. \(\frac { 2 - 4 i } { 5 + 3 i }\)
45. \(\frac { 26 + 13 i } { 2 - 3 i }\)
46. \(\frac { \overline { 4 } + 2 i } { 1 + i }\)
47. \(\frac { 3 - i } { 2 i }\)
48. \(\frac { - 5 + 2 i } { 4 i }\)
49. \(\frac { 1 } { a - b i }\)
50. \(\frac { 1 } { a + b i }\)
51. \(\frac { 1 - \sqrt { - 1 } } { 1 + \sqrt { - 1 } }\)
52. \(\frac { 1 + \sqrt { - 9 } } { 1 - \sqrt { - 9 } }\)
53. \(\frac { - \sqrt { - 6 } } { \sqrt { 18 } + \sqrt { - 4 } }\)
54. \(\frac { \sqrt { - 12 } } { \sqrt { 2 } - \sqrt { - 27 } }\)

Відповідь

1. \(1 + i\)

3. \(8 + 14 i\)

5. \(- 8 - 6 i\)

7. \(7 - 4 i\)

9. \(- 1 - 17 i\)

11. \(7 + 24 i\)

13. \(- 21 - 20 i\)

15. \(2\)

17. \(20\)

19. \(\frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 36 } i\)

21. \(2-11i\)

23. \(- 2 - 2 i \sqrt { 3 }\)

25. \(6 + 2 i \sqrt { 15 }\)

27. \(22\)

29. \(20-9i\)

31. \(12 - 7 i \sqrt { 2 }\)

33. \(3i\)

35. \(\frac { 5 } { 41 } - \frac { 4 } { 41 } i\)

37. \(3+6i\)

39. \(-6+2i\)

41. \(\frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } i\)

43. \(\frac { 11 } { 5 } - \frac { 2 } { 5 } i\)

45. \(1 + 8 i\)

47. \(- \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } i\)

49. \(\frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } i\)

51. \(- i\)

53. \(- \frac { \sqrt { 6 } } { 11 } - \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 11 } i\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Враховуючи, що\(i ^ { - n } = \frac { 1 } { i ^ { n } }\) обчислюють наступні повноваження\(i\).

1. \(i ^ { - 1 }\)
2. \(i ^ { - 2 }\)
3. \(i ^ { - 3 }\)
4. \(i ^ { - 4 }\)

Відповідь

1. \(-i\)

3. \(i\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Виконайте операції і спростіть.

1. \(2 i ( 2 - i ) - i ( 3 - 4 i )\)
2. \(i ( 5 - i ) - 3 i ( 1 - 6 i )\)
3. \(5 - 3 ( 1 - i ) ^ { 2 }\)
4. \(2 ( 1 - 2 i ) ^ { 2 } + 3 i\)
5. \(( 1 - i ) ^ { 2 } - 2 ( 1 - i ) + 2\)
6. \(( 1 + i ) ^ { 2 } - 2 ( 1 + i ) + 2\)
7. \(( 2 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 5\)
8. \(( 3 i \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( i \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }\)
9. \(( \sqrt { 2 } - i ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } + i ) ^ { 2 }\)
10. \(( i \sqrt { 3 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 4 i \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
11. \(\left( \frac { 1 } { 1 + i } \right) ^ { 2 }\)
12. \(\left( \frac { 1 } { 1 + i } \right) ^ { 3 }\)
13. \(( a - b i ) ^ { 2 } - ( a + b i ) ^ { 2 }\)
14. \(\left( a ^ { 2 } + a i + 1 \right) \left( a ^ { 2 } - a i + 1 \right)\)
15. Покажіть, що обидва\(-2i\) і\(2i\) задовольняють\(x ^ { 2 } + 4 = 0\).
16. Покажіть, що обидва\(-i\) і\(i\) задовольняють\(x^{2}+1=0\).
17. Покажіть, що обидва\(3-2i\) і\(3+2i\) задовольняють\(x^{2}-6x+13=0\).
18. Покажіть, що обидва\(5-i\) і\(5+i\) задовольняють\(x^{2}-10x+26=0\).
19. Покажіть\(3 , - 2 i\), що, і\(2i\) є всі рішення для\(x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 4 x - 12 = 0\).
20. Покажіть\(-2, 1, -i\), що, і\(1+i\) є всі рішення для\(x ^ { 3 } - 2 x + 4 = 0\).

Відповідь

1. \(-2+i\)

3. \(5+6i\)

5. \(0\)

7. \(-3\)

9. \(- 4 i \sqrt { 2 }\)

11. \(- \frac {i } { 2 }\)

13. \(-4abi\)

15. Доказ

17. Доказ

19. Доказ

Вправа\(\PageIndex{11}\)

1. Досліджуйте та обговоріть історію уявної одиниці та комплексних чисел.
2. Як би ви визначили\(i^{0}\) і чому?
3. Дослідіть, що означає обчислити абсолютне значення комплексного числа\(| a + b i |\). Проілюструйте свою знахідку на прикладі.
4. Досліджуйте повноваження\(i\). Шукайте шаблон і поділіться своїми висновками.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

^{26 Визначається} як\(i = \sqrt { - 1 }\) де\(i^{2} = −1\).

²⁷ Квадратний корінь будь-якого негативного дійсного числа.

²⁸ Число виду\(a + bi\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами.

²⁹ Справжнє\(a\) число комплексного числа\(a + bi\).

³⁰ Справжнє\(b\) число комплексного числа\(a + bi\).

³¹ Два комплексних числа, дійсні частини яких однакові, а уявні частини протилежні. Якщо дано\(a + bi\), то його складний сполучений є\(a − bi\).

³² Справжнє число, яке виникає в результаті множення складних сполучень:\((a + bi) (a − bi) = a^{2} + b^{2}\).