6.1: Додавання та віднімання поліномів

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Визначте многочлени, мономи, біноми та тріноми
• Визначаємо ступінь многочленів
• Додавання та віднімання мономов
• Додавання та віднімання многочленів
• Оцінити многочлен для заданого значення

Вікторина

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:$8x+3x$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.3.37.
2. Відніміть:$(5n+8)−(2n−1)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.10.52.
3. Пишіть в розгорнутому вигляді:$a^{5}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.3.7.

Визначте многочлени, мономи, біноми та триноми

Ви дізналися, що термін - це константа або добуток константи і однієї або декількох змінних. Коли вона має форму$ax^{m}$, де$a$ постійна і$m$ є цілим числом, його називають мономіалом. Деякі приклади мономіальних є$8,−2x^{2},4y^{3}$, і$11z^{7}$.

Визначення: Мономи

Мономіал - це термін форми$ax^{m}$, де$a$ є постійною і$m$ є позитивним цілим числом.

Мономіал, або два або більше мономи, об'єднані додаванням або відніманням, є поліном. Деякі многочлени мають спеціальні назви, засновані на кількості членів. Мономіал - це многочлен з рівно одним терміном. Біноміал має рівно два члени, а тріноміал має рівно три члени. Спеціальних назв для многочленів більше трьох членів немає.

Визначення: Поліноми

• многочлен —мономіал, або два або більше мономи, об'єднані додаванням або відніманням, є поліном.
• мономіальний —многочлен з рівно одним членом називається мономіалом.
• біноміальний —многочлен з рівно двома членами називається біноміальним.
• trinomial —многочлен з рівно трьома членами називається тріноміалом.

Ось кілька прикладів многочленів.

$$\begin{array}{lllll}{\text { Polynomial }} & {b+1} &{4 y^{2}-7 y+2} & {4 x^{4}+x^{3}+8 x^{2}-9 x+1} \\ {\text { Monomial }} & {14} & {8 y^{2}} & {-9 x^{3} y^{5}} & {-13}\\ {\text { Binomial }} & {a+7}&{4 b-5} & {y^{2}-16}& {3 x^{3}-9 x^{2}} \\ {\text { Trinomial }} & {x^{2}-7 x+12} & {9 y^{2}+2 y-8} & {6 m^{4}-m^{3}+8 m}&{z^{4}+3 z^{2}-1} \end{array} \nonumber$$

Зверніть увагу, що кожен мономіальний, біноміальний і триноміальний також є поліномом. Вони просто особливі члени «сімейства» поліномів і тому мають особливі назви. Ми використовуємо слова мономіальний, біноміальний і триноміальний при зверненні до цих спеціальних поліномів і просто називаємо всі інші поліноми.

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте, чи є кожен многочлен мономіальним, біноміальним, триноміальним або іншим поліномом.

1. $4y^{2}−8y−6$
2. $−5a^{4}b^{2}$
3. $2x^{5}−5x^{3}−3x + 4$
4. $13−5m^{3}$
5. q

Відповідь

$\begin{array}{lll}&{\text { Polynomial }} & {\text { Number of terms }} & {\text { Type }} \\ {\text { (a) }} & {4 y^{2}-8 y-6} & {3} & {\text { Trinomial }} \\ {\text { (b) }} & {-5 a^{4} b^{2}} & {1} & {\text { Monomial }} \\ {\text { (c) }} & {2 x^{5}-5 x^{3}-9 x^{2}+3 x+4} & {5} & {\text { Ponomial }} \\ {\text { (d) }} & {13-5 m^{3}} & {2} & {\text { Binomial }} \\ {\text { (e) }} & {q} & {1} & {\text { Monomial }}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, чи є кожен многочлен мономіальним, біноміальним, триноміальним або іншим поліномом:

1. 5б
2. $8 y^{3}-7 y^{2}-y-3$
3. $-3 x^{2}-5 x+9$
4. $81-4 a^{2}$
5. $-5 x^{6}$

Відповідь

1. мономіальний
2. многочлен
3. тріпомінал
4. біноміальних
5. мономіальний

Приклад$\PageIndex{3}$

Визначте, чи є кожен многочлен мономіальним, біноміальним, триноміальним або іншим поліномом:

1. $27 z^{3}-8$
2. $12 m^{3}-5 m^{2}-2 m$
3. $\frac{5}{6}$
4. $8 x^{4}-7 x^{2}-6 x-5$
5. $-n^{4}$

Відповідь

1. біноміальних
2. тріпомінал
3. мономіальний
4. многочлен
5. мономіальний

Визначаємо ступінь многочленів

Ступінь многочлена і ступінь його членів визначаються показниками змінної. Мономіал, який не має змінної, просто константа, - це особливий випадок. Ступінь константи дорівнює 0, тобто вона не має змінної.

Визначення: Ступінь многочлена

• Ступінь члена - це сума показників його змінних.
• Ступінь константи дорівнює 0.
• Ступінь многочлена - найвища ступінь з усіх його членів.

Давайте подивимося, як це працює, розглянувши кілька поліномів. Ми будемо приймати це крок за кроком, починаючи з мономов, а потім прогресуючи до поліномів з більшою кількістю термінів.

Многочлен знаходиться в стандартній формі, коли члени многочлена записуються в порядку спадання ступенів. Отримайте звичку спочатку писати термін з вищим ступенем.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть ступінь наступних многочленів.

1. 10г
2. $4 x^{3}-7 x+5$
3. −15
4. $-8 b^{2}+9 b-2$
5. $8 x y^{2}+2 y$

Відповідь

1. $\begin{array}{ll} & 10y\\ \text{The exponent of y is one. } y=y^1 & \text{The degree is 1.}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} & 4 x^{3}-7 x+5\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}$
3. $\begin{array}{ll} & -15\\ \text{The degree of a constant is 0.} & \text{The degree is 0.}\end{array}$
4. $\begin{array}{ll} & -8 b^{2}+9 b-2\\ \text{The highest degree of all the terms is 2.} & \text{The degree is 2.}\end{array}$
5. $\begin{array}{ll} & 8 x y^{2}+2 y\\ \text{The highest degree of all the terms is 3.} & \text{The degree is 3.}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть ступінь наступних многочленів:

1. −15б
2. $10 z^{4}+4 z^{2}-5$
3. $12 c^{5} d^{4}+9 c^{3} d^{9}-7$
4. $3 x^{2} y-4 x$
5. −9

Відповідь

1. 1
2. 4
3. 12
4. 3
5. 0

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайдіть ступінь наступних многочленів:

1. 52
2. $a^{4} b-17 a^{4}$
3. $5 x+6 y+2 z$
4. $3 x^{2}-5 x+7$
5. $-a^{3}$

Відповідь

1. 0
2. 5
3. 1
4. 2
5. 3

Додавання та віднімання мономов

Ви навчилися спрощувати вирази, комбінуючи подібні терміни. Пам'ятайте, що подібні терміни повинні мати однакові змінні з однаковим показником. Оскільки мономи є термінами, додавання та віднімання мономов - це те саме, що і об'єднання подібних термінів. Якщо мономи схожі на терміни, ми просто об'єднаємо їх, додаючи або віднімаючи коефіцієнт.

Приклад$\PageIndex{7}$

Додати:$25 y^{2}+15 y^{2}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & 25 y^{2}+15 y^{2}\\ \text{Combine like terms.} & 40y^{2}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Додати:$12 q^{2}+9 q^{2}$

Відповідь

21$q^{2}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Додати:$-15 c^{2}+8 c^{2}$

Відповідь

$-7 c^{2}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Відніміть: 16p− (−7p)

Відповідь

$\begin{array}{ll} & 16p−(−7p) \\ \text{Combine like terms.} & 23p\end{array}$

Приклад$\PageIndex{11}$

Відніміть: 8 м− (−5м).

Відповідь

13м

Приклад$\PageIndex{12}$

Відніміть:$-15 z^{3}-\left(-5 z^{3}\right)$

Відповідь

$-10 z^{3}$

Пам'ятайте, що подібні терміни повинні мати однакові змінні з однаковими показниками.

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:$c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & c^{2}+7 d^{2}-6 c^{2} \\ \text{Combine like terms.} & -5 c^{2}+7 d^{2} \end{array}$

Приклад$\PageIndex{14}$

Додати:$8 y^{2}+3 z^{2}-3 y^{2}$

Відповідь

$5 y^{2}+3 z^{2}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Додати:$3 m^{2}+n^{2}-7 m^{2}$

Відповідь

$-4 m^{2}+n^{2}$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:$u^{2} v+5 u^{2}-3 v^{2}$

Відповідь

\ (\ begin {масив} {ll} &u^ {2} v+5 u^ {2} -3 v^ {2}
\\ text {Немає подібних термінів для об'єднання.} & u^ {2} v+5 u^ {2} -3 v^ {2}\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$m^{2} n^{2}-8 m^{2}+4 n^{2}$

Відповідь

Немає подібних термінів для комбінування.

Приклад$\PageIndex{18}$

Спростити:$p q^{2}-6 p-5 q^{2}$

Відповідь

Немає подібних термінів для комбінування.

Додавання та віднімання многочленів

Ми можемо думати про додавання та віднімання поліномів як просто додавання та віднімання ряду мономов. Шукайте подібні терміни - ті, у яких однакові змінні та однаковий показник. Комутативна власність дозволяє нам змінювати умови, щоб скласти подібні терміни разом.

Приклад$\PageIndex{19}$

Знайдіть суму:$\left(5 y^{2}-3 y+15\right)+\left(3 y^{2}-4 y-11\right)$

Відповідь

Визначте подібні терміни.
Переставляйте, щоб отримати подібні терміни разом.
Поєднуйте подібні терміни.

Приклад$\PageIndex{20}$

Знайдіть суму:$\left(7 x^{2}-4 x+5\right)+\left(x^{2}-7 x+3\right)$

Відповідь

$8 x^{2}-11 x+1$

Приклад$\PageIndex{21}$

Знайдіть суму:$\left(14 y^{2}+6 y-4\right)+\left(3 y^{2}+8 y+5\right)$

Відповідь

$17 y^{2}+14 y+1$

Приклад$\PageIndex{22}$

Знайдіть різницю:$\left(9 w^{2}-7 w+5\right)-\left(2 w^{2}-4\right)$

Відповідь

Поширюйте та ідентифікуйте подібні терміни.
Перевпорядкувати умови.
Поєднуйте подібні терміни.

Приклад$\PageIndex{23}$

Знайдіть різницю:$\left(8 x^{2}+3 x-19\right)-\left(7 x^{2}-14\right)$

Відповідь

$15 x^{2}+3 x-5$

Приклад$\PageIndex{24}$

Знайдіть різницю:$\left(9 b^{2}-5 b-4\right)-\left(3 b^{2}-5 b-7\right)$

Відповідь

$6 b^{2}+3$

Приклад$\PageIndex{25}$

Відняти:$\left(c^{2}-4 c+7\right)$ з$\left(7 c^{2}-5 c+3\right)$

Відповідь

Поширюйте та ідентифікуйте подібні терміни.
Перевпорядкувати умови.
Поєднуйте подібні терміни.

Приклад$\PageIndex{26}$

Відняти:$\left(5 z^{2}-6 z-2\right)$ з$\left(7 z^{2}+6 z-4\right)$

Відповідь

$2 z^{2}+12 z-2$

Приклад$\PageIndex{27}$

Відняти:$\left(x^{2}-5 x-8\right)$ з$\left(6 x^{2}+9 x-1\right)$

Відповідь

$5 x^{2}+14 x+7$

Приклад$\PageIndex{28}$

Знайдіть суму:$\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)$

Відповідь

$\begin{array} {ll} & {\left(u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)+\left(3 u^{2}+2 u v\right)} \\\text{Distribute.} & {u^{2}-6 u v+5 v^{2}+3 u^{2}+2 u v} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {u^{2}+3 u^{2}-6 u v+2 u v+5 v^{2}} \\ \text{Combine like terms.} & {4 u^{2}-4 u v+5 v^{2}}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{29}$

Знайдіть суму:$\left(3 x^{2}-4 x y+5 y^{2}\right)+\left(2 x^{2}-x y\right)$

Відповідь

$5 x^{2}-5 x y+5 y^{2}$

Приклад$\PageIndex{30}$

Знайдіть суму:$\left(2 x^{2}-3 x y-2 y^{2}\right)+\left(5 x^{2}-3 x y\right)$

Відповідь

$7 x^{2}-6 x y-2 y^{2}$

Приклад$\PageIndex{31}$

Знайдіть різницю:$\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & {\left(p^{2}+q^{2}\right)-\left(p^{2}+10 p q-2 q^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{p^{2}+q^{2}-p^{2}-10 p q+2 q^{2}} \\\text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {p^{2}-p^{2}-10 p q+q^{2}+2 q^{2}} \\\text{Combine like terms.} & {-10 p q+3 q^{2}}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{32}$

Знайдіть різницю:$\left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(a^{2}+5 a b-6 b^{2}\right)$

Відповідь

$-5 a b-5 b^{2}$

Приклад$\PageIndex{33}$

Знайдіть різницю:$\left(m^{2}+n^{2}\right)-\left(m^{2}-7 m n-3 n^{2}\right)$

Відповідь

$4 n^{2}+7 m n$

Приклад$\PageIndex{34}$

Спростити:$\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)$

Відповідь

$\begin{array}{ll } & {\left(a^{3}-a^{2} b\right)-\left(a b^{2}+b^{3}\right)+\left(a^{2} b+a b^{2}\right)} \\ \text{Distribute.} &{a^{3}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3}+a^{2} b+a b^{2}} \\ \text{Rearrange the terms, to put like terms together} & {a^{3}-a^{2} b+a^{2} b-a b^{2}+a b^{2}-b^{3}} \\ \text{Combine like terms.} &{a^{3}-b^{3}}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{35}$

Спростити:$\left(x^{3}-x^{2} y\right)-\left(x y^{2}+y^{3}\right)+\left(x^{2} y+x y^{2}\right)$

Відповідь

$x^{3}-y^{3}$

Приклад$\PageIndex{36}$

Спростити:$\left(p^{3}-p^{2} q\right)+\left(p q^{2}+q^{3}\right)-\left(p^{2} q+p q^{2}\right)$

Відповідь

$p^{3}-2 p^{2} q+q^{3}$

Оцінити многочлен для заданого значення

Ми вже навчилися оцінювати вирази. Оскільки поліноми є вирази, ми будемо слідувати тим же процедурам, щоб оцінити многочлен. Ми підставимо задане значення для змінної, а потім спростимо, використовуючи порядок операцій.

Приклад$\PageIndex{37}$

Оцініть$5x^{2}−8x+4$, коли

1. х=4
2. x=−2
3. х=0

Відповідь

1. x=4
Спростіть показники.
Помножити.
Спростити.

2. x=−2
Спростіть показники.
Помножити.
Спростити.

3. x=0
Спростіть показники.
Помножити.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{38}$

Оцініть:$3x^{2}+2x−15$ коли

1. х=3
2. x=−5
3. х=0

Відповідь

1. 18
2. 50
3. −15

Приклад$\PageIndex{39}$

Оцініть:$5z^{2}−z−4$ коли

1. z=−2
2. з=0
3. з=2

Відповідь

1. 18
2. −4
3. 14

Приклад$\PageIndex{40}$

Поліном$−16t^{2}+250$ дає висоту м'яча tt секунд після того, як він скидається з будівлі висотою 250 футів. Знайдіть висоту через t = 2 секунди.

Відповідь

$\begin{array}{ll } & −16t^{2}+250 \\ \text{Substitute t = 2.} & -16(2)^{2} + 250 \\ \text{Simplify }& −16\cdot 4+250 \\ \text{Simplify }& -64 + 250\\ \text{Simplify }& 186 \\& \text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet. } \end{array}$

Приклад$\PageIndex{41}$

Поліном$−16t^{2}+250$ дає висоту м'яча tt секунд після того, як він скидається з будівлі висотою 250 футів. Знайти висоту через t = 0 секунд.

Відповідь

250

Приклад$\PageIndex{42}$

Поліном$−16t^{2}+250$ дає висоту кулі tt секунд після того, як він скидається з будівлі висотою 250 футів. Знайдіть висоту через t = 3 секунди.

Відповідь

106

Приклад$\PageIndex{43}$

Поліном$6x^{2}+15xy$ дає вартість, у доларах, виготовлення прямокутного контейнера, верх і низ якого є квадрати зі стороною х футів і сторонами висоти y футів. Знайдіть вартість виготовлення коробки з x = 4 футами і y=6y = 6 футів.

Відповідь

Спростити.
Спростити.
Спростити.
	Вартість виготовлення коробки становить 456 доларів.

Приклад$\PageIndex{43}$

Поліном$6x^{2}+15xy$ дає вартість, у доларах, виготовлення прямокутного контейнера, верх і низ якого є квадрати зі стороною х футів і сторонами висоти y футів. Знайдіть вартість виготовлення коробки з x = 6 футів і y = 4 фути.

Відповідь

$576

Приклад$\PageIndex{44}$

Поліном$6x^{2}+15xy$ дає вартість, у доларах, виготовлення прямокутного контейнера, верх і низ якого є квадрати зі стороною х футів і сторонами висоти y футів. Знайдіть вартість виготовлення коробки з x = 5 футів і y = 8 футів.

Відповідь

$750

Ключові концепції

• Мономи
  • Мономіал - це термін виду$ax^{m}$, де aa - постійна, а мм - ціле число
    
• Поліноми
  • многочлен —мономіал, або два або більше мономи, об'єднані додаванням або відніманням, є поліном.
  • мономіальний —многочлен з рівно одним членом називається мономіалом.
  • біноміальний —многочлен з рівно двома членами називається біноміальним.
  • trinomial —многочлен з рівно трьома членами називається тріноміалом.
    
• Ступінь многочлена
  • Ступінь члена - це сума показників його змінних.
  • Ступінь константи дорівнює 0.
  • Ступінь многочлена - найвища ступінь з усіх його членів.

Глосарій

біноміальний

Біноміал - це многочлен з рівно двома долями.

ступінь постійної

Ступінь будь-якої константи дорівнює 0.

ступінь многочлена

Ступінь многочлена - найвища ступінь з усіх його членів.

ступінь терміну

Ступінь терміна - це показник його змінної.

мономіальний

Мономіал - це термін виду$ax^m$, де a - константа, а m - ціле число; мономіал має рівно один член.

многочлен

Многочлен - це моном, або два або більше мономи, об'єднані додаванням або відніманням.

стандартна форма

Многочлен знаходиться в стандартній формі, коли члени многочлена записуються в порядку спадання ступенів.

тріпомінал

Триноміал - це многочлен з рівно трьома долями.