4.4: Застосування лінійних систем

У цьому розділі ми створюємо і вирішуємо додатки, які ведуть до систем лінійних рівнянь. Коли ми створюємо та вирішуємо наші моделі, ми будемо дотримуватися вимог до вирішення проблем Word з розділу 2, розділ 5. Однак замість того, щоб встановлювати єдине рівняння, ми створили систему рівнянь для кожного додатка.

Приклад$\PageIndex{1}$

У геометрії два кути, які підсумовуються,$90^{\circ}$ називаються взаємодоповнюючими кутами. Якщо другий з двох взаємодоповнюючих кутів більше, ніж удвічі$30^{\circ}$ більший перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

Рішення

У рішенні розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. Наш змінний словник буде мати форму діаграми, називаючи два взаємодоповнюючих кути$\alpha$ і$β$.

2. Налаштуйте системи рівнянь. «Другий кут на$30$ градуси більше, ніж удвічі перший кут» стає $$\beta=30+2 \alpha \label{Eq4.4.1}$$ По-друге, кути взаємодоповнюють, що означає, що сума кутів є$90^{\circ}$. $$\alpha+\beta=90 \label{Eq4.4.2}$$ Таким чином, ми маємо систему з двох рівнянь в двох невідомих$\alpha$ і$β$.
3. Вирішити систему. Оскільки рівняння\ ref {Eq4.4.1} вже вирішено$β$, давайте скористаємося методом підстановки та заміною$30 + 2α$$β$ в Equation\ ref {Eq4.4.2}. $$\begin{aligned} \alpha+\beta &= 90 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.2} \\ \alpha+(30+2 \alpha) &= 90 \quad \color {Red} \text { Substitute } 30+2 \alpha \text { for } \beta \\ 3 \alpha+30 &= 90 \quad \color {Red} \text { Combine like terms. } \\ 3 \alpha &= 60 \quad \color {Red} \text { Subtract } 30 \text { from both sides. } \\ \alpha &= 20 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber$$
4. Дайте відповідь на питання. Перший кут -$α = 20$ градуси. Другий кут - це: $$\begin{aligned} \beta &= 30+2 \alpha \quad {\color {Red} \text { Equation }}\ref{Eq4.4.1} \\ \beta &= 30+2(20) \quad \color {Red} \text { Substitute } 20 \text { for } \alpha \\ \beta &=70 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber$$
5. Озирніться назад. Безумовно$70^{\circ}$,$30^{\circ}$ більше, ніж в два рази$20^{\circ}$. Також зверніть увагу на те$20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ}$, що, таким чином, кути доповнюють один одного. У нас є правильне рішення.

Вправа$\PageIndex{1}$

Якщо другий з двох взаємодоповнюючих кутів$6^{\circ}$$3$ times the більший за перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

Відповідь

$21$і$69$

Приклад$\PageIndex{2}$

Периметр прямокутника -$280$ фути. Довжина прямокутника$10$ футів менше, ніж в два рази більше ширини. Знайдіть ширину і довжину прямокутника.

Рішення

У рішенні розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. Наш змінний словник буде мати форму діаграми, називаючи ширину і довжину$W$ і$L$, відповідно.

2. Налаштуйте систему рівнянь. Периметр знаходять шляхом підсумовування чотирьох сторін прямокутника. $$\begin{array}{l}{P=L+W+L+W} \\ {P=2 L+2 W}\end{array} \nonumber$$ Нам сказали периметр$280$ футів, так що ми можемо замінити$280$$P$ в останньому рівнянні. $$280=2 L+2 W \nonumber$$ Ми можемо спростити це рівняння, розділивши обидві сторони на$2$, даючи наступний результат: $$L+W=140 \nonumber$$ По-друге, нам кажуть, що «довжина$10$ футів менше ніж удвічі більше ширини». Це означає: $$L=2 W-10 \nonumber$$ Таким чином, система, яку нам потрібно вирішити, є: $$L+W=140 \label{Eq4.4.3}$$ $$L=2 W-10 \label{Eq4.4.4}$$
3. Вирішити систему. Оскільки рівняння\ ref {Eq4.4.4} вже вирішено$L$, давайте скористаємося методом підстановки та заміною$2W −10$$L$ в Equation\ ref {Eq4.4.3}. $$\begin{aligned} W+L &= 140 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.3} \\ W+(2 W-10) &= 140 \quad \color {Red} \text { Substitute } 2 W-10 \text { for } L \\ 3 W-10 &= 140 \quad \color {Red} \text { Combine like terms. } \\ 3 W &= 150 \quad \color {Red} \text { Add } 10 \text { to both sides. } \\ W &= 50 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 3 \end{aligned} \nonumber$$
4. Дайте відповідь на питання. Ширина -$W = 50$ ноги. Довжина така: $$\begin{aligned} L &= 2W-10 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.4} \\ L &= 2(50)-10 \quad \color {Red} \text { Substitute } 50 \text { for } W. \\ L &= 90 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber$$ Таким чином, довжина -$L = 90$ стопи.
5. Озирніться назад. Можливо, зображення, позначене нашими відповідями, найкраще може продемонструвати, що ми маємо правильне рішення. Пам'ятайте, ми виявили, що ширина була$50$ футами, а довжина -$90$ ногами.

Зверніть увагу, що периметр -$P = 90 + 50 + 90 + 50 = 280$ фути. По-друге, врахуйте, що довжина$90$$10$ ніг менше ніж в два рази більше ширини. Отже, ми маємо правильне рішення.

Вправа$\PageIndex{2}$

Периметр прямокутника дорівнює$368$ meters. The length of the rectangle is $34$ meters more than twice the width. Find the width and length of the rectangle.

Відповідь

довжина$=134$, ширина$=50$

Приклад$\PageIndex{3}$

Паскаль має зміни$\$3.25$ в кишені, все в копійки і чверті. У нього є$22$ монети у всіх. Скільки у нього копійок?

Рішення

У рішенні розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. $D$Дозволяти представляють кількість копійок і нехай$Q$ представляють кількість чвертей.
2. Налаштуйте систему рівнянь. Використання таблиці для узагальнення інформації - хороша стратегія. У першій колонці ми перерахуємо тип монети. Другий стовпець дає номер кожного виду монет, а третій стовпець містить значення (у центах) кількості монет в кишені Паскаля.

   	Кількість монет	Значення (в центах)
   Даймс	$D$	$10D$
   Квартали	$Q$	$25Q$
   Підсумки	$22$	$325$

   
   Зверніть увагу, що$D$ рази, оцінені в$10$ центах за штуку, коштують$10D$ центів. Точно так само$Q$ квартали, оцінені в$25$ центах за штуку, коштують$25Q$ центів. Зверніть увагу також, як ми змінилися$\$3.25$ на$325$ центи. Другий стовпець таблиці дає нам перше рівняння. $$D+Q=22 \label{Eq4.4.5}$$ Третій стовпець таблиці дає нам наше друге рівняння. $$10 D+25 Q=325 \label{Eq4.4.6}$$
3. Вирішити систему. Оскільки рівняння\ ref {Eq4.4.5} і\ ref {Eq4.4.6} обидва знаходяться в стандартній формі$Ax + By = C$, ми будемо використовувати метод усунення, щоб знайти рішення. Оскільки питання просить нас знайти кількість копійок у кишені Паскаля, ми зосередимося на усуненні$Q$ -термінів та збереженні$D$ термінів. $$\begin{aligned} -25 D-25 Q &=-550 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.5} \color {Red} \text { by } -25\\ 10 D+25 Q &=325 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.6}\\ \hline-15 D\quad\qquad &=-225 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber$$ Розділення обох сторін останнього рівняння на$−15$ дає нам$D = 15$.
4. Дайте відповідь на питання. Попереднє рішення говорить нам, що Паскаль має$15$ копійки в кишені.
5. Озирніться назад. Знову ж таки, підведення результатів у таблиці може допомогти нам зрозуміти, чи є у нас правильне рішення. По-перше, тому що нам сказали, що у Паскаля є$22$ монети, і ми виявили, що у нього є$15$ копійки, це означає, що він повинен мати$7$ чверті.

   	Кількість монет	Значення (в центах)
   Даймс	$15$	$150$
   Квартали	$7$	$175$
   Підсумки	$22$	$325$

   
   П'ятнадцять$150$ копійок коштують центів, а$7$ чверті коштують$175$ центів. Це загальна кількість$22$ монет і$325$ центів, або$\$3.25$. Таким чином, ми маємо правильне рішення.

Вправа$\PageIndex{3}$

Елоїза має$\$7.10$ in change in her pocket, all in nickels and quarters. she has $46$ coins in all. How many quarters does she have?

Відповідь

$24$

Приклад$\PageIndex{4}$

Роза успадковує$\$10,000$ і вирішує вкласти гроші на два рахунки, одну частину в сертифікат депозиту, який виплачує$4\%$ відсотки на рік, а решту в пайовий фонд, який платить$5\%$ за рік. Наприкінці першого року інвестиції Рози заробляють$\$420$ в цілому відсотки. Знайдіть суму, вкладену в кожен рахунок.

Рішення

У рішенні розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. $C$Дозволяти представляти суму, вкладену в депозитний сертифікат і$M$ представляти суму, вкладену в ПІФ.
2. Налаштуйте систему рівнянь. Ми знову будемо використовувати таблицю для узагальнення інформації.

   	Оцінити	Сума інвестування	Інтерес
   Депозитний сертифікат	$4\%$	$C$	$0.04C$
   пайовий фонд	$5\%$	$M$	$0.05M$
   Підсумки		$10,000$	$420$

   На$4\%$, відсотки, зароблені на інвестиції в$C$ доларах, знаходять шляхом$4\%$ взяття$C$ (тобто,$0.04C$). Аналогічним чином і відсотки, зароблені на ПІФ, є$0.05M$. Третій стовпець таблиці дає нам перше рівняння. Загальний обсяг інвестицій становить$\$10,000$. $$C+M=10000 \nonumber$$ Четвертий стовпець таблиці дає нам наше друге рівняння. Загальні зароблені відсотки - це сума відсотків, зароблених на кожному рахунку. $$0.04 C+0.05 M=420 \nonumber$$ Давайте очистимо десяткові числа з останнього рівняння, помноживши обидві сторони рівняння на$100$. $$4 C+5 M=42000 \nonumber$$ Таким чином, система, яку нам потрібно вирішити, це: $$C+M=10000 \label{Eq4.4.7}$$ $$4 C+5 M=42000 \label{Eq4.4.8}$$
3. Вирішити систему. Оскільки рівняння\ ref {Eq4.4.7} і\ ref {Eq4.4.8} обидва знаходяться в стандартній формі$Ax + By = C$, ми будемо використовувати метод усунення, щоб знайти рішення. Ми зосередимося на усуненні$C$ -термінів. $$\begin{aligned} -4C-4M &=-40000 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.7} \color {Red} \text { by } -4\\ 4C+5M &=\;\;\;42000 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.8}\\ \hline-15 M &=\;\quad2000 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber$$ Таким чином, сума вкладається в ПІФ в$M = \$2 ,000$.
4. Дайте відповідь на питання. Питання просить нас знайти суму, вкладену в кожен рахунок. Отже, підставляємо$M = 2000$ в Equation\ ref {Eq4.4.7} і вирішуємо для$C$. $$\begin{aligned} C+M &=10000 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.4.7}\\ C+2000 &=10000 \quad \color {Red} \text { Substitute 2000 for M }\\ C &=\;\;8000 \quad \color {Red} \text {Subtract 2000 from both sides.} \end{aligned} \nonumber$$ Таким чином$C = \$8 ,000$ було інвестовано в депозитне свідоцтво.
5. Озирніться назад. По-перше, відзначимо, що вкладення в депозитний сертифікат і ПІФу,$\$8,000$ а$\$2,000$ відповідно, загальні$\$10,000$. Давайте розрахуємо відсотки по кожній інвестиції:$4\%$ of$\$8,000$ is$\$320$ and$5\%$ of$\$2,000$ is$\$100$.

   	Оцінити	Сума інвестування	Інтерес
   Депозитний сертифікат	$4\%$	$8,000$	$320$
   пайовий фонд	$5\%$	$2,000$	$100$
   Підсумки		$10,000$	$420$

   Зверніть увагу, що загальний відсоток становить$\$420$, як це вимагається в постановці проблеми. Таким чином, наше рішення є правильним.

Вправа$\PageIndex{4}$

Айлін успадковує$\$40,000$ and decides to invest the money in two accounts, part in a сертифікат депозиту, який сплачує$3\%$ interest per year, and the rest in a mutual fund that pays $6\%$ per year. At the end of the перший рік, її інвестиції заробляють загалом$\$2,010$ in interest. Find the amount invested in each account.

Відповідь

$\$13,000$в депозитному сертифікаті,$\$27,000$ в пайовому фонді.

Приклад$\PageIndex{5}$

$\$0.50$Роздрібна торгівля арахісом за фунт і вартість кешью$\$1.25$ за фунт. Якби ви були власником магазину, скільки фунтів арахісу та кешью ви повинні змішати, щоб зробити$50$ фунти арахісово-кешью суміші вартістю$\$0.95$ за фунт?

Рішення

У рішенні розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. $P$Дозволяти кількість фунтів арахісу, використовуваних і нехай$C$ буде кількість фунтів кешью, використовуваних.
2. Налаштуйте систему рівнянь. Ми знову будемо використовувати таблицю для узагальнення інформації.

   	Вартість за фунт	Сума (фунти)	Вартість
   Арахіс	$\$0.50$	$P$	$0.50P$
   Кешью	$\$1.25$	$C$	$1.25C$
   Підсумки	$\$0.95$	$50$	$0.95(50)=47.50$

   $\$0.50$За фунт,$P$ фунти арахісу коштують$0.50P$. $\$1.25$За фунт,$C$ фунти кешью коштують$1.25C$. Нарешті,$\$0.95$ за фунт,$50$ фунти суміші арахісу та кешью коштуватимуть$0.95(50)$, або$\$47.50$. Третій стовпець таблиці дає нам перше рівняння. Загальна кількість фунтів суміші задається наступним рівнянням: $$P+C=50 \nonumber$$ Четвертий стовпець таблиці дає нам наше друге рівняння. Загальна вартість становить суму витрат на придбання арахісу та кешью. $$0.50 P+1.25 C=47.50 \nonumber$$ Давайте очистимо десяткові числа з останнього рівняння, помноживши обидві сторони рівняння на$100$. $$50 P+125 C=4750 \nonumber$$ Таким чином, система, яку нам потрібно вирішити, це: $$P+C=50 \label{Eq4.4.9}$$ $$50 P+125 C=4750 \label{Eq4.4.10}$$
3. Вирішити систему. Оскільки рівняння\ ref {Eq4.4.9} і\ ref {Eq4.4.10} обидва знаходяться в стандартній формі$Ax + By = C$, ми будемо використовувати метод усунення, щоб знайти рішення. Ми зосередимося на усуненні$P$ -термінів. $$\begin{aligned} -50P-50C &=-2500 \quad {\color {Red} \text {Multiply equation }} \ref{Eq4.4.9} \color {Red} \text { by } -50\\ 50P+125C &=\;\;\;4750 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.4.10}\\ \hline 75C &=\quad2250 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber$$ Розділіть обидві сторони$75$, щоб отримати$C = 30$ кілограми кешью знаходяться в суміші.
4. Дайте відповідь на питання. Питання задається як кількостями, арахісом, так і кешью. $C = 30$Замініть рівняння\ ref {Eq4.4.9} для визначення$P$. $$\begin{aligned} P+C &=50 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.4.9}\\ C+30 &=50 \quad \color {Red} \text { Substitute 30 for C }\\ P &=20 \quad \color {Red} \text {Subtract 30 from both sides.} \end{aligned} \nonumber$$ Таким чином, в суміші є$P = 20$ кілограми арахісу.
5. Озирніться назад. По-перше, зверніть увагу, що кількість арахісу та кешью в суміші становить$20$ і$30$ фунти відповідно, тому загальна суміш важить$50$ кілограми, як потрібно. Давайте розрахуємо витрати: на арахіс$0.50(20)$, або$\$10$, для кешью,$1.25(30) = 37.50$.

   	Вартість за фунт	Сума (фунти)	Вартість
   Арахіс	$\$0.50$	$20$	$\$10.00$
   Кешью	$\$1.25$	$30$	$\$37.50$
   Підсумки	$\$0.95$	$50$	$\$47.50$

   Зверніть увагу, що загальна вартість є$\$47.50$, як це вимагається в постановці проблеми. Таким чином, наше рішення є правильним.

Вправа$\PageIndex{5}$

Магазин продає арахіс для$\$4.00$ per pound and pecans for $\$7.00$ per pound. How many pounds of peanuts and how many pounds of pecans should you mix to make a $25$-lb mixture costing $\$5.80$ per pound?

Відповідь

$10$фунти арахісу,$15$ фунти пекан