4.3: Рішення систем шляхом ліквідації
- Page ID
- 58237
Коли обидва рівняння системи знаходяться в стандартній формі\(Ax + By = C\), то процес, який називається ліквідацією, зазвичай є найкращою процедурою для пошуку рішення системи. Ліквідація заснована на двох простих ідеях, перша з яких повинна бути знайома.
- Множення обох сторін рівняння на ненульове число не змінює його розв'язків. Таким чином, рівняння\[x+3 y=7 \label{Eq4.3.1}\] матиме ті ж розв'язки (вона ж рядок), що і рівняння, отримане множенням Equation\ ref {Eq4.3.1} на\(2\):\[2 x+6 y=14 \]
- Додавання двох істинних рівнянь дає інше справжнє рівняння. Наприклад, розглянемо, що відбувається при додаванні\(4 = 4\) до\(5 = 5\). \[\begin{aligned} 4 &=4 \\ 5 &=5 \\ \hline 9 &=9 \end{aligned} \nonumber\]
Ще важливіше, подумайте, що відбувається, коли ви додаєте два рівняння, які мають\((2,1)\) як рішення. В результаті виходить третє рівняння, графік якого також проходить через рішення.
\[\begin{array}{rlrl}{x+y} & {=} & {3} \\ {x-y} & {=} & {1} \\ \hline 2 x\;\;\;\;\; & {=} & {4} \\ {x} \;\;\;\;\;& {=} & {2}\end{array} \nonumber \]
факт
Додавання кратного рівнянню до другого рівняння створює рівняння, яке проходить через те саме рішення, що і перші два рівняння.
Ще одна важлива річ, яку слід звернути увагу, - це той факт, що коли ми додали рівняння\[\begin{aligned} x+y &=3 \\ x-y &=1 \\ \hline 2 x \;\;\;\;\;&=4 \end{aligned} \nonumber \]
змінна\(y\) була усунена. Саме тут метод елімінації і отримує свою назву. Стратегія полягає в тому, щоб якось додати рівняння системи з метою усунення однієї з невідомих змінних. Однак іноді потрібно зробити трохи більше, ніж просто додати рівняння. Давайте розглянемо приклад.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[x+2y=-5 \label{Eq4.3.3} \]
\[2x-y=-5 \label{Eq4.3.4} \]
Рішення
Наша увага буде зосереджена на усуненні змінної\(x\). Зауважте, що якщо ми помножимо Equation\ ref {Eq4.3.3} на\(−2\), потім додамо результат до Equation\ ref {Eq4.3.4},\(x\) терміни будуть усунені.
\[\begin{aligned}-2 x-4 y &=10 \quad {\color{Red} \text{Multiply equation}} \ref{Eq4.3.3} \color{Red} \text{ by } -2\\ 2 x-y &=-5 \quad {\color{Red} \text{Multiply equation}} \ref{Eq4.3.4}\\ \hline-5 y &=5 \quad \color{Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Розділіть обидві сторони\(−5y = 5\) на,\(−5\) щоб отримати\(y =−1\). Щоб знайти відповідне значення\(x\),\(−1\) замініть\(y\) в Рівняння\ ref {Eq4.3.3} (або Рівняння\ ref {Eq4.3.4}) і вирішити для\(x\).
\[\begin{aligned} x+2y &= -5 \quad {\color{Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.3.3} \\ x+2(-1) &= -5 \quad \color{Red} \text { Substitute }-1 \text { for } y \\ x &= -3 \quad \color{Red} \text { Solve for } x . \end{aligned} \nonumber \]
Перевірка: Щоб перевірити, нам потрібно показати, що точка\((x,y)=( −3,1)\) задовольняє обом рівнянням.
Підставити\((x,y)=( −3,−1)\) в рівняння\ ref {Eq4.3.3}.
\[\begin{aligned} x+2 y &=-5 \\-3+2(-1) &=-5 \\-5 &=-5 \end{aligned} \nonumber \]
Підставити\((x,y)=( −3,−1)\) в рівняння\ ref {Eq4.3.4}.
\[\begin{aligned} 2 x-y &=-5 \\ 2(-3)-(-1) &=-5 \\-5 &=-5 \end{aligned} \nonumber \]
Таким чином, точка\((x,y)=(−3,−1)\) задовольняє обом рівнянням і, отже, є рішенням системи.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[\begin{aligned} x+3 y &=14 \\-8 x-3 y &=-28 \end{aligned} \nonumber \]
- Відповідь
-
\((2,4)\)
Щоб показати, що у вас є варіант, яку змінну ви виберете для усунення, давайте спробуємо Приклад\(\PageIndex{1}\) вдруге, цього разу усуваючи\(y\) замість\(x\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[x+2y=-5 \label{Eq4.3.5} \]
\[2x-y=-5 \label{Eq4.3.6} \]
Рішення
Цього разу ми зосередимося на усуненні змінної\(y\). Зауважимо, що якщо помножити Equation\ ref {Eq4.3.6} на\(2\), потім додати результат до Equation\ ref {Eq4.3.5}, то\(y\) терміни будуть усунені.
\[\begin{aligned} x+2y &=-5 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.3.5}\\ 4 x-2y &=-10 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.6} \color {Red} \text { by } 2\\ \hline 5x \;\;\;\;\;\;\;&=-15 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Розділіть обидві сторони\(5x = −15\) на,\(5\) щоб отримати\(x =−3\). Щоб знайти відповідне значення\(y\),\(−3\) замініть\(x\) в Рівняння\ ref {Eq4.3.5} (або Рівняння\ ref {Eq4.3.6}) і вирішити для\(y\).
\[\begin{aligned} x+2y &= -5 \quad {\color {Red} \text { Equation }} \ref{Eq4.3.5} \\ -3+2y &= -5 \quad \color {Red} \text { Substitute }-3 \text { for } x \\ 2y &= -2 \quad \color {Red} \text { Add } 3 \text { to both sides. } \\ y &= -1 \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 2 \end{aligned} \nonumber \]
Отже\((x,y)=(−3,−1)\), так само, як і в прикладі\(\PageIndex{1}\), є рішенням системи.
Іноді для усунення потрібен розумовий процес, подібний до процесу пошуку спільного знаменника.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[3x+4y=12 \label{Eq4.3.7} \]
\[2x-5y=10 \label{Eq4.3.8} \]
Рішення
Давайте зосередимося на усуненні\(x\) -термінів. Зауважте, що якщо ми помножимо Equation\ ref {Eq4.3.7} на\(2\), а потім помножимо Equation\ ref {Eq4.3.8} на\(−3\),\(x\) то -члени будуть усунені, коли ми додамо отримані рівняння.
\[\begin{aligned} 6x+8y &= 24 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.7} \color {Red} \text { by } 2\\ -6x+15y &= -30 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.8} \color {Red} \text { by } 2\\ \hline 23y &= -6 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Отже,\(y = −6/23\).
На цьому етапі ми могли б замінити\(y = −6/23\) в будь-якому рівнянні, а потім вирішити результат для\(x\). Однак робота з трохи\(y = −6/23\) складною, особливо в світлі усунення легше. Тож давайте знову використаємо усунення, на цей раз зосередившись на усуненні\(y\). Зауважте, що якщо ми помножимо Equation\ ref {Eq4.3.7} на\(5\), то множимо Equation\ ref {Eq4.3.8} на\(4\), коли ми додамо результати,\(y\) -члени будуть усунені.
\[\begin{aligned} 5x+20y &= 60 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.7} \color {Red} \text { by } 5\\ 8x-20y &= 40 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.8} \color {Red} \text { by } 4\\ \hline 23x\;\;\;\;\;\;\;\;\; &= 100 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Таким чином\(x = 100/23\), і система системи є\((x,y) = (100/23,−6/23)\).
Перевірка: Давайте скористаємося графічним калькулятором, щоб перевірити рішення. Спочатку зберігайте\(100/23\) в\(X\), потім\(−6/23\) в\(Y\) (див. Рис.\(\PageIndex{5}\)). Далі введіть ліву частину рівнянь\ ref {Eq4.3.7} і\ ref {Eq4.3.8}.
Зауважте, що обидва обчислення на рисунку\(\PageIndex{6}\) дають правильні праві сторони для рівнянь\ ref {Eq4.3.7} та\ ref {Eq4.3.8}. Таким чином, рішення\((x,y) = (100/23,−6/23)\) перевіряє.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[\begin{aligned}-14 x+9 y &=94 \\ 7 x+3 y &=-62 \end{aligned} \nonumber \]
- Відповідь
-
\((-8,-2)\)
Виняткові випадки
У попередньому розділі ми бачили, що якщо метод підстановки призвів до помилкового твердження, то у нас паралельні лінії. Те ж саме може статися і з методом ліквідації цього розділу.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[x+y=3 \label{Eq4.3.9} \]
\[2x+2y=6 \label{Eq4.3.10} \]
Рішення
Давайте зосередимося на усуненні\(x\) -термінів. Зауважте, що якщо ми помножимо Equation\ ref {Eq4.3.9} на\(−2\), то\(x\) -члени будуть усунені, коли ми додамо отримані рівняння.
\[\begin{aligned} -2x-2y &= -6 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.9} \color {Red} \text { by } -2\\ 2x+2y &= -6 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.3.10} \\ \hline 0 &= -12 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Через наш досвід вирішення цього виняткового випадку з підміною, той факт, що обидві змінні зникли, не повинен бути абсолютно дивним. Зверніть увагу, що цей останній оператор є помилковим, незалежно від значень\(x\) і\(y\). Значить, система не має рішення.
Дійсно, якщо знайти перехоплення кожного рівняння і побудувати їх, то ми можемо легко побачити, що лінії цієї системи паралельні (див. Рис.\(\PageIndex{7}\)). Паралельні лінії ніколи не перетинаються, тому система не має рішень.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[\begin{aligned} 5 x-4 y &=-16 \\ 15 x-12 y &=49 \end{aligned} \nonumber \]
- Відповідь
-
немає рішення
У попередньому розділі ми бачили, що якщо метод підстановки привів до true оператора, то у нас такі ж рядки. Те ж саме може статися і з методом ліквідації цього розділу.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[x-7y=4 \label{Eq4.3.11} \]
\[-3x+21y=-12 \label{Eq4.3.12} \]
Рішення
Якщо ми не на автоматичному пілоті пізно ввечері, виконуючи домашнє завдання, ми можемо визнати, що рівняння\ ref {Eq4.3.11} і\ ref {Eq4.3.12} ідентичні. Але також можливо, що ми не бачимо цього відразу і починаємо метод ліквідації. Давайте помножимо перше рівняння на\(3\), потім додамо. Це дозволить виключити\(x\) -терміни.
\[\begin{aligned} 3x-21y &= 12 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.11} \color {Red} \text { by } 3\\ 3x+21y &= -12 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.3.12} \\ \hline 0 &= 0 \quad \color {Red} \text {Add the equations.} \end{aligned} \nonumber \]
Знову ж таки, всі змінні зникли! Однак на цей раз останнє твердження вірно, незалежно від значень\(x\) і\(y\).
Зверніть увагу, що якщо ми помножимо Equation\ ref {Eq4.3.11} на\(−3\), то у нас є два однакових рівняння.
\[\begin{aligned} -3x+21y &= -12 \quad {\color {Red} \text {Multiple equation }} \ref{Eq4.3.11} \color {Red} \text { by } 3\\ -3x+21y &= -12 \quad {\color {Red} \text {Equation }} \ref{Eq4.3.12} \end{aligned} \nonumber \]
Рівняння ідентичні! Отже, існує нескінченна кількість точок перетину. Дійсно, будь-яка точка на будь-якій лінії є рішенням. Прикладом точок вирішення є\((−3,−1)\),\((0,−4/7)\), і\((4,0)\).
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Вирішити таку систему рівнянь:
\[\begin{array}{c}{2 x-7 y=4} \\ {8 x-28 y=16}\end{array} \nonumber \]
- Відповідь
-
Існує нескінченна кількість рішень. Прикладами точок вирішення є\((2,0)\),\((9,2)\), і\((−5,−2)\).