4.E: Системи лінійних рівнянь (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58232

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

4.1: Розв'язування систем за допомогою графіків

У вправах 1-6 розв'яжіть кожну з заданих систем, замальовуючи лінії, представлені кожним рівнянням в системі, потім визначаючи координати точки перетину. Кожна з цих задач була спроектована так, що координати точки перетину є цілими числами. Перевірте своє рішення.

1)$\begin{aligned} 3 x-4 y &=24 \\ y &=-\dfrac{1}{2} x-1 \end{aligned}$

Відповідь: $(4,-3)$

2)$\begin{aligned} x-4 y &=-8 \\ y &=\dfrac{5}{4} x+6 \end{aligned}$

3)$\begin{aligned} 2 x+y &=6 \\ y &=x+3 \end{aligned}$

Відповідь: $(1,4)$

4)$\begin{aligned} x-2 y &=-4 \\ y &=\dfrac{5}{2} x+6 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned} x+2 y &=-6 \\ y &=-3 x-8 \end{aligned}$

Відповідь: $(-2,-2)$

6)$\begin{aligned} x-3 y &=6 \\ y &=2 x-7 \end{aligned}$

У вправах 7-18 розв'яжіть кожну з заданих систем, накидавши лінії, представлені кожним рівнянням даної системи на графічному папері, потім оцінюючи координати точки перетину до найближчої десятої. Перевірте розчин.

7)$\begin{aligned}x-3 y&=3 \\ x-4 y&=-4\end{aligned}$

Відповідь: $(-3.4,0.1)$

8)$\begin{aligned}4 x-3 y&=-12 \\ -x-4 y&=4\end{aligned}$

9)$\begin{aligned}-3 x+3 y&=-9 \\ -3 x+3 y&=-12\end{aligned}$

Відповідь: Немає рішення. Лінії паралельні.

10)$\begin{aligned} x-y &=-2 \\ 2 x-2 y &=6 \end{aligned}$

11)$\begin{aligned} 6 x-7 y &=-42 \\ y &=-\dfrac{1}{4} x+4 \end{aligned}$

Відповідь: $(-1.8,4.5)$

12)$\begin{aligned} 4 x+3 y &=24 \\ y &=\dfrac{1}{7} x+5 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned} 6 x-7 y &=-42 \\ y &=-\dfrac{1}{5} x+2 \end{aligned}$

Відповідь: $(-3.8,2.8)$

14)$\begin{aligned} 7 x-8 y &=56 \\ y &=-\dfrac{1}{3} x-4 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned}6 x+3 y&=12 \\ -2 x-y&=4 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішення. Лінії паралельні.

16)$\begin{aligned} x-4 y &=-4 \\-x+4 y &=-4 \end{aligned}$

17)$\begin{aligned}3 x+y&=3 \\ -2 x+3 y&=-6\end{aligned}$

Відповідь: $(1.4,-1.1)$

18)$\begin{aligned}2 x-y&=-2 \\ -x-2 y&=4\end{aligned}$

У Вправи 19-24 використовуйте графічний калькулятор для вирішення даної системи. Округлите відповідь до найближчої десятої. Використовуйте Рекомендації щодо подання калькулятора з розділу 2 глави 3, коли повідомляєте про свою відповідь на домашнє завдання.

19)$\begin{aligned}y&=\dfrac{3}{4} x+7 \\ y&=-\dfrac{1}{3} x+2 \end{aligned}$

Відповідь: $(-4.6,3.5)$

20)$\begin{aligned}y&=\dfrac{7}{6} x+6 \\ y&=-\dfrac{1}{7} x+3\end{aligned}$

21)$\begin{aligned}y&=\dfrac{4}{3} x-3 \\ y&=-\dfrac{4}{7} x-1\end{aligned}$

Відповідь: $(1.1,-1.6)$

22)$\begin{aligned}y&=\dfrac{8}{3} x-3 \\ y&=-\dfrac{1}{8} x-2\end{aligned}$

23)$\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{6} x+1 \\ y&=-\dfrac{3}{7} x+5\end{aligned}$

Відповідь: $(6.7,2.1)$

24)$\begin{aligned}y&=\dfrac{5}{8} x+3 \\ y&=-\dfrac{5}{6} x-5\end{aligned}$

У Вправи 25-30 використовуйте графічний калькулятор для вирішення даної системи. Округлите відповідь до найближчої десятої. Використовуйте Рекомендації щодо подання калькулятора, коли повідомляєте про свою відповідь на домашнє завдання.

25)$\begin{array}{c}{6 x+16 y=96} \\ {-6 x+13 y=-78}\end{array}$

Відповідь: $(14.3,0.6)$

26)$\begin{aligned}-4 x+16 y &=-64 \\ 5 x+8 y &=40 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned}-2 x-11 y &=22 \\ 8 x-12 y &=-96 \end{aligned}$

Відповідь: $(-11.8,0.1)$

28)$\begin{aligned}-6 x-10 y &=60 \\ 2 x-18 y &=-36 \end{aligned}$

29)$\begin{array}{c}{-6 x+2 y=-12} \\ {-12 x+3 y=-36}\end{array}$

Відповідь: $(6.0,12.0)$

30)$\begin{aligned}-3 x+y &=-3 \\-14 x+3 y &=-42 \end{aligned}$

4.2: Розв'язування систем шляхом заміщення

У вправах 1-8 використовуйте метод заміщення для вирішення кожної з наступних систем. Перевірте свою відповідь вручну, без використання калькулятора.

1)$\begin{aligned}-7 x+7 y &=63 \\ y &=6-2 x \end{aligned}$

Відповідь: $(-1,8)$

2)$\begin{aligned} 3 x-8 y &=27 \\ y &=4-7 x \end{aligned}$

3)$\begin{aligned} x &=19+7 y \\ 3 x-3 y &=3 \end{aligned}$

Відповідь: $(3,-4)$

4)$\begin{aligned} x &=39+8 y \\-9 x+2 y &=-71 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned} x &=-5-2 y \\-2 x-6 y &=18 \end{aligned}$

Відповідь: $(3,-4)$

6)$\begin{aligned} x &=15+6 y \\ 9 x+3 y &=21 \end{aligned}$

7)$\begin{aligned} 6 x-8 y &=24 \\ y &=15+3 x \end{aligned}$

Відповідь: $(-8,-9)$

8)$\begin{aligned} 9 x+8 y &=-45 \\ y &=15-8 x \end{aligned}$

У Вправах 9-28 використовуйте метод заміщення для вирішення кожної з наступних систем.

9)$\begin{aligned}-x+9 y&=46 \\ 7 x-4 y&=-27\end{aligned}$

Відповідь: $(-1,5)$

10)$\begin{aligned}-x+9 y&=-12 \\ 4 x+7 y&=-38\end{aligned}$

11)$\begin{aligned}-x+4 y&=22 \\ 8 x+7 y&=-20\end{aligned}$

Відповідь: $(-6,4)$

12)$\begin{aligned}-x-2 y&=15 \\ 3 x-9 y&=15 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned}x+2 y&=-4 \\ 6 x-4 y&=-56 \end{aligned}$

Відповідь: $(-8,2)$

14)$\begin{aligned}x+8 y&=79 \\ 4 x+6 y&=8 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned} x+6 y &=-49 \\-3 x+4 y &=-7 \end{aligned}$

Відповідь: $(-7,-7)$

16)$\begin{aligned} x-4 y &=33 \\ 4 x+7 y &=-6 \end{aligned}$

17)$\begin{aligned}-2 x+8 y&=-50 \\ -9 x-y&=-3 \end{aligned}$

Відповідь: $(1,-6)$

18)$\begin{aligned}-6 x-6 y &=102 \\ 9 x-y &=-63 \end{aligned}$

19)$\begin{aligned}-4 x-8 y &=-4 \\ y &=-2 y-4 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішення

20)$\begin{aligned} 3 x+6 y &=2 \\ y &=-2 y+2 \end{aligned}$

21)$\begin{aligned}-2 x-2 y &=26 \\-7 x+y &=19 \end{aligned}$

Відповідь: $(-4,-9)$

22)$\begin{aligned}-2 x-8 y&=-30 \\ -6 x+y&=10 \end{aligned}$

23)$\begin{aligned}3 x-4 y&=-43 \\ -3 x+y&=22 \end{aligned}$

Відповідь: $(-5,7)$

24)$\begin{aligned}-2 x+8 y &=14 \\ 8 x+y &=43 \end{aligned}$

25)$\begin{aligned}-8 x-4 y &=24 \\ 9 x-y &=-71 \end{aligned}$

Відповідь: $(-7,8)$

26)$\begin{aligned}-8 x-2 y&=-14 \\ -6 x-y&=-9 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned}-8 x-7 y &=2 \\ y &=-\dfrac{8}{7} x+9 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішення

28)$\begin{aligned} 9 x+4 y &=-3 \\ y &=-\dfrac{9}{4} x+6 \end{aligned}$

У Вправах 29-36 використовуйте метод заміщення для вирішення кожної з наступних систем. Використовуйте графічний калькулятор, щоб перевірити своє рішення.

29)$\begin{aligned}3 x-5 y&=3 \\ 5 x-7 y&=2 \end{aligned}$

Відповідь: $(-11 / 4,-9 / 4)$

30)$\begin{aligned}4 x-5 y&=4 \\ 3 x-2 y&=-1 \end{aligned}$

31)$\begin{aligned}4 x+3 y&=8 \\ 3 x+4 y&=2 \end{aligned}$

Відповідь: $(26 / 7,-16 / 7)$

32)$\begin{aligned}3 x+8 y&=3 \\ -4 x-9 y&=-2 \end{aligned}$

33)$\begin{aligned}3 x+8 y&=6 \\ 2 x+7 y&=-2 \end{aligned}$

Відповідь: $(58 / 5,-18 / 5)$

34)$\begin{aligned}3 x-7 y&=6 \\ 2 x-3 y&=1 \end{aligned}$

35)$\begin{aligned}4 x+5 y&=4 \\ -3 x-2 y&=1 \end{aligned}$

Відповідь: $(-13 / 7,16 / 7)$

36)$\begin{aligned}5 x+4 y&=5 \\ 4 x+5 y&=2 \end{aligned}$

У Вправах 37-48 використовуйте метод заміщення, щоб визначити, скільки розв'язків має кожна з наступних лінійних систем.

37)$\begin{aligned}-9 x+6 y &=9 \\ y &=\dfrac{3}{2} x-8 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішень

38)$\begin{aligned} 3 x-5 y &=9 \\ y &=\dfrac{3}{5} x+6 \end{aligned}$

39)$\begin{aligned} y &=-2 x-16 \\-14 x-7 y &=112 \end{aligned}$

Відповідь: Нескінченна кількість розв'язків

40)$\begin{aligned} y &=-12 x+12 \\ 120 x+10 y &=120 \end{aligned}$

41)$\begin{aligned} x &=16-5 y \\-4 x+2 y &=24 \end{aligned}$

Відповідь: Одне рішення

42)$\begin{aligned} x &=-18-4 y \\ 7 x-7 y &=49 \end{aligned}$

43)$\begin{aligned} y &=7 y+18 \\ 9 x-63 y &=162 \end{aligned}$

Відповідь: Нескінченна кількість розв'язків

44)$\begin{aligned} y &=4 y-9 \\-10 x+40 y &=90 \end{aligned}$

45)$\begin{aligned} x &=-2 y+3 \\ 4 x+8 y &=4 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішень

46)$\begin{aligned} x &=2 y+4 \\-3 x+6 y &=5 \end{aligned}$

47)$\begin{aligned}-9 x+4 y &=73 \\ y &=-3-2 x \end{aligned}$

Відповідь: Одне рішення

48)$\begin{aligned} 6 x+9 y &=27 \\ y &=16-5 x \end{aligned}$

4.3: Рішення систем шляхом ліквідації

У Вправи 1-8 використовуйте метод елімінації для вирішення кожної з наступних систем. Перевірте свій результат вручну, без допомоги калькулятора.

1)$\begin{aligned}x+4 y&=0 \\ 9 x-7 y&=-43\end{aligned}$

Відповідь: $(-4,1)$

2)$\begin{aligned} x+6 y &=-53 \\ 5 x-9 y &=47 \end{aligned}$

3)$\begin{aligned}6 x+y&=8 \\ 4 x+2 y&=0 \end{aligned}$

Відповідь: $(2,-4)$

4)$\begin{aligned} 4 x+y &=18 \\-2 x+6 y &=-22 \end{aligned}$

5)$\begin{aligned}-8 x+y&=-56 \\ 4 x+3 y&=56 \end{aligned}$

Відповідь: $(8,8)$

6)$\begin{aligned}2 x+y=21 \\ 7 x+8 y&=87 \end{aligned}$

7)$\begin{aligned} x+8 y &=41 \\-5 x-9 y &=-50 \end{aligned}$

Відповідь: $(1,5)$

8)$\begin{aligned} x-4 y &=-31 \\-2 x-6 y &=-36 \end{aligned}$

У вправах 9-16 використовуйте метод елімінації для вирішення кожної з наступних систем.

9)$\begin{aligned}-12 x+9 y&=0 \\ -6 x-4 y&=-34 \end{aligned}$

Відповідь: $(3,4)$

10)$\begin{aligned}-27 x-5 y&=148 \\ -9 x-3 y&=60 \end{aligned}$

11)$\begin{aligned}27 x-6 y&=-96 \\ -3 x-5 y&=22 \end{aligned}$

Відповідь: $(-4,-2)$

12)$\begin{aligned}-8 x+8 y&=-32 \\ 2 x-9 y&=15 \end{aligned}$

13)$\begin{aligned}2 x-6 y&=28 \\ -3 x+18 y&=-60 \end{aligned}$

Відповідь: $(8,-2)$

14)$\begin{aligned}-8 x-6 y&=96 \\ 4 x+30 y&=-156 \end{aligned}$

15)$\begin{aligned}-32 x+7 y&=-238 \\ 8 x-4 y&=64 \end{aligned}$

Відповідь: $(7,-2)$

16)$\begin{aligned}12 x+6 y&=30 \\ -2 x+7 y&=51 \end{aligned}$

У Вправи 17-24 використовуйте метод елімінації для вирішення кожної з наступних систем.

17)$\begin{aligned} 3 x-7 y &=-75 \\-2 x-2 y &=-10 \end{aligned}$

Відповідь: $(-4,9)$

18)$\begin{aligned}-8 x+3 y&=42 \\ -7 x+8 y&=26 \end{aligned}$

19)$\begin{aligned}9 x-9 y&=-63 \\ 2 x-6 y&=-34 \end{aligned}$

Відповідь: $(-2,5)$

20)$\begin{aligned}-4 x-8 y&=-52 \\ -7 x-3 y&=-14 \end{aligned}$

21)$\begin{aligned}-9 x-2 y&=28 \\ 5 x-3 y&=-32 \end{aligned}$

Відповідь: $(-4,4)$

22)$\begin{aligned}-8 x-2 y&=-12 \\ 6 x+3 y&=12 \end{aligned}$

23)$\begin{aligned}-3 x-5 y &=-34 \\ 7 x+7 y &=56 \end{aligned}$

Відповідь: $(3,5)$

24)$\begin{aligned}-9 x-9 y&=9 \\ 7 x+4 y&=8 \end{aligned}$

У Вправи 25-32 використовуйте метод елімінації для вирішення кожної з наступних систем. Використовуйте калькулятор, щоб перевірити свої рішення.

25)$\begin{aligned}2 x-7 y&=-2 \\ 7 x+6 y&=3 \end{aligned}$

Відповідь: $(9 / 61,20 / 61)$

26)$\begin{aligned}-9 x-4 y &=4 \\ 5 x-3 y &=-1 \end{aligned}$

27)$\begin{aligned} 2 x+3 y &=-2 \\-5 x+5 y &=2 \end{aligned}$

Відповідь: $(-16 / 25,-6 / 25)$

28)$\begin{aligned}-5 x+8 y&=-3 \\ -4 x-7 y&=3 \end{aligned}$

29)$\begin{aligned}9 x+4 y&=-4 \\ -7 x-9 y&=3 \end{aligned}$

Відповідь: $(-24 / 53,1 / 53)$

30)$\begin{aligned}-3 x-5 y&=-4 \\ 4 x+6 y&=1 \end{aligned}$

31)$\begin{aligned}2 x+2 y&=4 \\ 3 x-5 y&=3 \end{aligned}$

Відповідь: $(13 / 8,3 / 8)$

32)$\begin{aligned}6 x-9 y&=-2 \\ -4 x-8 y&=4 \end{aligned}$

У вправах 33-40 використовуйте метод елімінації, щоб визначити, скільки розв'язків має кожна з наступних систем рівнянь.

33)$\begin{aligned} x+7 y &=-32 \\-8 x-56 y &=256 \end{aligned}$

Відповідь: Нескінченна кількість розв'язків

34)$\begin{aligned}-8 x+y&=-53 \\ 56 x-7 y&=371 \end{aligned}$

35)$\begin{aligned} 16 x-16 y &=-256 \\-8 x+8 y &=128 \end{aligned}$

Відповідь: Нескінченна кількість розв'язків

36)$\begin{aligned} 3 x-3 y &=42 \\-6 x+6 y &=-84 \end{aligned}$

37)$\begin{aligned}x-4 y&=-37 \\ 2 x-8 y&=54 \end{aligned}$

Відповідь: Немає рішень

38)$\begin{aligned}4 x+y&=-13 \\ 28 x+7 y&=189 \end{aligned}$

39)$\begin{aligned} x+9 y &=73 \\-4 x-5 y &=-44 \end{aligned}$

Відповідь: Одне рішення

40)$\begin{aligned}6 x+y&=31 \\ -5 x-6 y&=-62 \end{aligned}$

4.4: Застосування лінійних систем

1) У геометрії два кути, які підсумовуються,$90^{\circ}$ називаються взаємодоповнюючими кутами. Якщо другий з двох взаємодоповнюючих кутів$42$ градуси більше, ніж$3$ перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

Відповідь: $12^{\circ}$і$78^{\circ}$

2) У геометрії два кути, які підсумовуються,$90^{\circ}$ називаються взаємодоповнюючими кутами. Якщо другий з двох взаємодоповнюючих кутів$57$ градуси більше, ніж$2$ перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

3) Периметр прямокутника дорівнює$116$ дюймам. Довжина прямокутника в$28$ дюймах більше, ніж в два рази більше ширини. Знайдіть ширину і довжину прямокутника.

Відповідь: Довжина$48$ дюймів, ширина -$10$ дюйми

4) Периметр прямокутника дорівнює$528$ дюймам. Довжина прямокутника в$24$ дюймах більше, ніж в два рази більше ширини. Знайдіть ширину і довжину прямокутника.

5) Марія$\$6.35$ в зміні в кишені, все в нікельсах і чвертях. У неї є$59$ монети у всіх. Скільки у неї чвертей?

Відповідь: $17$кварталів

6) Емі$\$5.05$ в зміні в кишені, все в нікельсах і чвертях. У неї є$53$ монети у всіх. Скільки у неї чвертей?

7) Магазин продає кешью$\$6.00$ за фунт і родзинки$\$7.00$ за фунт. Скільки фунтів кешью і скільки фунтів родзинок слід змішати, щоб зробити суміш$50$ -lb вартістю$\$6.42$ за фунт?

Відповідь: $29$фунти кешью,$21$ фунти родзинок

8) Магазин продає кешью$\$3.00$ за фунт і пекан$\$8.00$ за фунт. Скільки фунтів кешью і скільки фунтів пекан слід змішати, щоб зробити суміш$50$ -lb вартістю$\$4.10$ за фунт?

9) Роберто має зміни$\$5.45$ в кишені, все в копійках і чвертях. У нього є$38$ монети у всіх. Скільки у нього копійок?

Відповідь: $27$дайми

10) Бенджамін змінює$\$7.40$ свою кишеню, все в копійках і чвертях. У нього є$44$ монети у всіх. Скільки у нього копійок?

11) У геометрії два кути, які підсумовуються,$180^{\circ}$ називаються додатковими кутами. Якщо другий з двох додаткових кутів на$40$ градуси більше$3$, ніж перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

Відповідь: $35^{\circ}$і$145^{\circ}$

12) У геометрії два кути, які підсумовуються,$180^{\circ}$ називаються додатковими кутами. Якщо другий з двох додаткових кутів на$114$ градуси більше$2$, ніж перший кут, знайдіть ступінь міри обох кутів.

13) Ейлін успадковує$\$20,000$ і вирішує вкласти гроші на два рахунки, частина в сертифікат депозиту, який виплачує$3\%$ відсотки на рік, а решту в пайовий фонд, який платить$5\%$ за рік. Наприкінці першого року її інвестиції заробляють$\$780$ в цілому відсотки. Знайдіть суму, вкладену в кожен рахунок.

Відповідь: $\$11,000$в депозитному сертифікаті,$\$9,000$ в пайовому фонді.

14) Аліса успадковує$\$40,000$ і вирішує вкласти гроші на два рахунки, частина в сертифікат про депозит, який виплачує$3\%$ відсотки на рік, а решту - в пайовий фонд, який платить$6\%$ за рік. Наприкінці першого року її інвестиції заробляють$\$1,980$ в цілому відсотки. Знайдіть суму, вкладену в кожен рахунок.

15) Периметр прямокутника -$376$ сантиметри. Довжина прямокутника -$12$ сантиметри менше, ніж в три рази більше ширини. Знайдіть ширину і довжину прямокутника.

Відповідь: Довжина -$138$ сантиметри, ширина -$50$ сантиметри

16) Периметр прямокутника -$344$ фути. Довжина прямокутника$28$ футів менше, ніж в три рази більше ширини. Знайдіть ширину і довжину прямокутника.