4.1: Рішення систем за допомогою графіків

У цьому розділі ми введемо графічну техніку розв'язування систем двох лінійних рівнянь у двох невідомих. Як ми бачили в попередньому розділі, якщо точка задовольняє рівнянню, то ця точка лежить на графіку рівняння. Якщо ми шукаємо точку, яка задовольняє двом рівнянням, то шукаємо точку, яка лежить на графіках обох рівнянь; тобто шукаємо точку перетину.

Для прикладу розглянемо два рівняння:

\[\begin{aligned} x-3 y &=-9 \\ 2 x+3 y &=18 \end{aligned} \nonumber \]

яка називається системою лінійних рівнянь. Рівняння є лінійними рівняннями, оскільки їх графіки є лініями, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Зверніть увагу, що дві лінії на малюнку\(\PageIndex{1}\) перетинаються в точці\((3,4)\). Тому точка\((3,4)\) повинна задовольняти обом рівнянням. Давайте перевіримо.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Точка перетину - це рішення системи лінійних рівнянь.

Замінник\(x\) і\(3\)\(4\) для\(y\).

\[\begin{aligned} x-3 y &=-9 \\ 3-3(4) &=-9 \\ 3-12 &=-9 \\-9 &=-9 \end{aligned} \nonumber \]

Замінник\(x\) і\(3\)\(4\) для\(y\).

\[\begin{aligned} 2 x+3 y &=18 \\ 2(3)+3(4) &=18 \\ 6+12 &=18 \\ 18 &=18 \end{aligned} \nonumber \]

Отже, точка\((3,4)\) задовольняє обом рівнянням і називається розв'язком системи.

Рішення лінійної системи

Точка\((x,y)\) називається розв'язком системи двох лінійних рівнянь тоді і тільки тоді, коли вона задовольняла обидва рівняння. Крім того, оскільки точка задовольняє рівнянню тоді і лише тоді, коли воно лежить на графіку рівняння, для графічного вирішення системи лінійних рівнянь нам потрібно визначити точку перетину двох ліній, що мають задані рівняння.

Спробуємо приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити таку систему рівнянь:\[3x+2y =12 \\ y =x+1 \label{system1}\]

Рішення

Ми шукаємо точку\((x,y)\), яка задовольняє обидва рівняння; тобто шукаємо точку, яка лежить на графіку обох рівнянь. Тому логічний підхід полягає в тому, щоб побудувати графіки обох ліній, потім визначити точку перетину.

Для початку визначимося з\(x\) - і\(y\) -перехопленнями\(3x +2y = 12\).

Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y = 0\).

\[\begin{aligned} 3 x+2 y &=12 \\ 3 x+2(0) &=12 \\ 3 x &=12 \\ x &=4 \end{aligned} \nonumber \]

Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x = 0\).

\[\begin{aligned} 3 x+2 y &=12 \\ 3(0)+2 y &=12 \\ 2 y &=12 \\ y &=6 \end{aligned} \nonumber \]

Отже,\(x\) -перехоплення є\((4,0)\) і\(y\) -перехоплення є\((0,6)\). Ці перехоплення нанесені на малюнку\(\PageIndex{2}\) і через них\(3x +2y = 12\) проводиться лінія.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Креслення графіка\(3x +2y = 12\).

Порівнюючи друге рівняння\(y = x + 1\) з формою ухил-перехоплення\(y = mx + b\), ми бачимо, що нахил є\(m = 1\) і вони-перехоплення є\((0,1)\). Ділянка перехоплення\((0,1)\), потім підніміться вгору і\(1\)\(1\) блок вправо, потім проведіть лінію (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Креслення графіка\(y = x + 1\).

Ми намагаємося знайти точку, яка лежить на обох лініях, тому ми будуємо обидві лінії на одній системі координат, позначаючи кожну своїм рівнянням (див. Рис.\(\PageIndex{4}\)). Виявляється, що лінії перетинаються в точці\((2,3)\), роблячи\((x,y) = (2 ,3)\) рішення System in Example\(\PageIndex{1}\) (див. Рис.\(\PageIndex{4}\)).

Перевірка: Щоб показати, що\((x,y) = (2 ,3)\) це рішення System\ ref {system1}, ми повинні показати, що ми отримуємо true твердження, коли підставляємо\(x\) і\(2\)\(3\) для\(y\) обох рівнянь System\ ref {system1}.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Координати точки перетину є рішенням системи\ ref {system1}.

Підставивши\(x\) і\(2\)\(3\) для\(y\) in\(3x +2y = 12\), отримуємо:

\[\begin{aligned} 3 x+2 y &=12 \\ 3(2)+2(3) &=12 \\ 6+6 &=12 \\ 12 &=12 \end{aligned} \nonumber \]

Отже,\((2,3)\) задовольняє рівняння\(3x +2y = 12\).

Підставивши\(x\) і\(2\)\(3\) для\(y\) in\(y = x + 1\), отримуємо:

\[\begin{array}{l}{y=x+1} \\ {3=2+1} \\ {3=3}\end{array} \nonumber \]

Отже,\((2,3)\) задовольняє рівняння\(y = x + 1\).

Оскільки\((2,3)\) задовольняє обидва рівняння, це робить\((2,3)\) рішення System\ ref {system1}.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} 2 x-5 y &=-10 \\ y &=x-1 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь

\((5,4)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити таку систему рівнянь:\[3x-5y =-15 \\ 2x+y =-4 \label{system2}\]

Рішення

Ще раз шукаємо точку, яка задовольняє обидва рівняння Системи\ ref {system2}. Таким чином, нам потрібно знайти точку, яка лежить на графіках обох рядків, представлених рівняннями System\ ref {system2}. Підхід буде полягати в тому, щоб навести графік обох ліній, потім наблизити координати точки перетину. Для початку визначимося з\(x\) - і\(y\) -перехопленнями\(3x−5y = −15\).

Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y = 0\).

\[\begin{aligned} 3 x-5 y &=-15 \\ 3 x-5(0) &=-15 \\ 3 x &=-15 \\ x &=-5 \end{aligned} \nonumber \]

Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x=0\).

\[\begin{aligned} 3 x-5 y &=-15 \\ 3(0)-5 y &=-15 \\-5 y &=-15 \\ y &=3 \end{aligned} \nonumber \]

Отже,\(x\) -перехоплення є\((−5,0)\) і\(y\) -перехоплення є\((0,3)\). Ці перехоплення нанесені на малюнку\(\PageIndex{5}\) і через них\(3x−5y = −15\) проводиться лінія.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Креслення графіка лінії\(3x−5y =−15\).

Далі визначимося з перехопленнями другого рівняння\(2x + y = −4\).

Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(y = 0\).

\[\begin{aligned} 2 x+y &=-4 \\ 2 x+0 &=-4 \\ 2 x &=-4 \\ x &=-2 \end{aligned} \nonumber \]

Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x = 0\).

\[ \begin{aligned} 2 x+y &=-4 \\ 2(0)+y &=-4 \\ y &=-4 \end{aligned} \nonumber \]

Отже,\(x\) -перехоплення є\((−2,0)\) і\(y\) -перехоплення є\((0,−4)\). Ці перехоплення нанесені на малюнку\(\PageIndex{6}\) і через них\(2x + y =−4\) проводиться лінія.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Креслення графіка лінії\(2x + y = −4\).

Щоб знайти рішення System\ ref {system2}, нам потрібно побудувати обидві лінії на одній і тій же системі координат і визначити координати точки перетину. На відміну від Example\(\PageIndex{1}\), у цьому випадку нам доведеться задовольнятися наближенням цих координат. Виявляється, що координати точки перетину приблизно\((−2.6,1.4)\) (див. Малюнок\(\PageIndex{7}\)).

Перевірка: Оскільки ми маємо лише наближення розв'язку системи, ми не можемо очікувати, що рішення точно перевірятиметься у кожному рівнянні. Однак ми сподіваємося, що рішення перевіряє приблизно.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Приблизні координати точки перетину є\((−2.6,1.4)\).

\((x,y)=(−2.6,1.4)\)Підставляємо в перше рівняння системи\ ref {system2}.

\[\begin{aligned} 3 x-5 y &=-15 \\ 3(-2.6)-5(1.4) &=-15 \\-7.8-7 &=-15 \\-14.8 &=-15 \end{aligned} \nonumber \]

Зверніть увагу, що\((x,y)=(−2.6,1.4)\) не перевіряє точно, але це досить близько до того, щоб бути істинним твердженням.

\((x,y)=(−2.6,1.4)\)Підставляємо в друге рівняння системи\ ref {system2}.

\[\begin{aligned} 2 x+y=-4 \\ 2(-2.6)+1.4=-4 \\-5.2+1.4=-4 \\-3.8=-4 \end{aligned} \nonumber \]

Знову ж таки, зауважте, що\((x,y)= (−2.6,1.4)\) не перевіряє точно, але це досить близько до того, щоб бути істинним твердженням.

Примітка

Пізніше в цьому розділі ми дізнаємося, як використовувати утиліту intersect на графічному калькуляторі для отримання набагато більш точного наближення фактичного рішення. Потім у розділі 4.2 та розділі 4.3 ми покажемо, як знайти точне рішення.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned}-4 x-3 y &=12 \\ x-2 y &=-2 \end{aligned} \nonumber\]

Відповідь

\((−2.7,−0.4)\)

Виняткові випадки

Велику частину часу, враховуючи графіки двох ліній, вони будуть перетинатися рівно в одній точці. Але є два винятки з цього загального сценарію.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити таку систему рівнянь:\[2x+3y=6\\2x+3y=-6 \label{system3}\]

Рішення

Давайте розмістимо кожне рівняння у формі перехоплення нахилу, вирішивши кожне рівняння для\(y\).

Вирішити\(2x +3y = 6\) для\(y\):

\[\begin{aligned} 2 x+3 y &=6 \\ 2 x+3 y-2 x &=6-2 x \\ 3 y &=6-2 x \\ \dfrac{3 y}{3} &=\dfrac{6-2 x}{3} \\ y &=-\dfrac{2}{3} x+2 \end{aligned} \nonumber \]

Вирішити\(2x +3y =−6\) для\(y\):

\[\begin{aligned} 2 x+3 y &=-6 \\ 2 x+3 y-2 x &=-6-2 x \\ 3 y &=-6-2 x \\ \dfrac{3 y}{3} &=\dfrac{-6-2 x}{3} \\ y &=-\dfrac{2}{3} x-2 \end{aligned} \nonumber \]

Порівняння\(y =(−2/3)x+2\) з формою нахилу-перехоплення\(y = mx+b\) говорить нам, що нахил є\(m = −2/3\) і вони-перехоплення є\((0,2)\). Намалюйте перехоплення\((0,2)\), потім спускайтеся вниз\(2\) одиницями і правими\(3\) одиницями і проведіть лінію (див. Рис.\(\PageIndex{8}\)).

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Креслення графіка лінії\(2x +3y = 6\).

Порівняння\(y =( −2/3)x − 2\) з формою нахилу-перехоплення\(y = mx + b\) говорить нам, що нахил є\(m = −2/3\) і вони-перехоплення є\((0,−2)\). Намалюйте перехоплення\((0 ,−2)\), потім спускайтеся вниз\(2\) одиницями і правими\(3\) одиницями і проведіть лінію (див. Рис.\(\PageIndex{9}\)).

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Креслення графіка лінії\(2x +3y =−6\).

Щоб знайти рішення системи\ ref {system3}, намалюйте обидві лінії в одній системі координат (див. Рис.\(\PageIndex{10}\)). Зверніть увагу на те, як лінії здаються паралельними (вони не перетинаються). Той факт, що обидві лінії мають однаковий нахил\(−2/3\), підтверджує нашу підозру, що лінії паралельні. Однак зверніть увагу, що лінії мають різні\(y\) -перехоплення. Отже, ми дивимося на дві паралельні, але різні лінії (див. Рис.\(\PageIndex{10}\)), які не перетинаються. Отже, система\ ref {system3} не має рішення.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Лінії\(2x+3y = 6\) і\(2x+3y = −6\) паралельні, чіткі лінії.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} x-y &=3 \\-2 x+2 y &=4 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь

Немає рішення.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити таку систему рівнянь:\[x-y=3 \\-2 x+2 y=-6 \label{system4}\]

Рішення

Давайте вирішимо обидва рівняння для\(y\).

Вирішити\(x−y = 3\) для\(y\):

\[\begin{aligned} x-y &=3 \\ x-y-x &=3-x \\-y &=-x+3 \\-1(-y) &=-1(-x+3) \\ y &=x-3 \end{aligned} \nonumber \]

Вирішити\(−2x +2y =−6\) для\(y\):

\[\begin{aligned}-2 x+2 y &=-6 \\-2 x+2 y+2 x &=-6+2 x \\ 2 y &=2 x-6 \\ \dfrac{2 y}{2} &=\dfrac{2 x-6}{2} \\ y &=x-3 \end{aligned} \nonumber \]

Обидві лінії мають нахил\(m = 1\), і обидві мають однаковий\(y\) -перехоплення\((0,−3)\). Значить, дві лінії ідентичні (див. Малюнок\(\PageIndex{11}\)). Отже, система\ ref {system4} має нескінченну кількість точок перетину. Будь-яка точка на будь-якій лінії є рішенням системи. Прикладами точок перетину (рішення, що задовольняють обидва рівняння) є\((0,−3)\)\((1,−2)\), і\((3,0)\).

Малюнок\(\PageIndex{11}\): \(x − y = 3\)і\(−2x +2y = −6\) є однією і тією ж лінією.

Альтернативне рішення:

Набагато простіший підхід - відзначити, що якщо розділити обидві сторони другого рівняння\(−2x +2y = −6\) на\(−2\), то отримаємо:

\[\begin{aligned} -2x+2y &= -6 \quad {\color {Red} \text { Second equation in System }} \ref{system4}. \\ \dfrac{-2 x+2 y}{-2} &= \dfrac{-6}{-2} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by }-2 \\ \dfrac{-2 x}{-2}+\dfrac{2 y}{-2} &= \dfrac{-6}{-2} \quad \color {Red} \text { Distribute }-2 \\ x-y &= 3 \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber \]

Отже, друге рівняння в System\ ref {system4} ідентичне першому. Таким чином, існує нескінченна кількість рішень. Будь-яка точка на будь-якій лінії є рішенням.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned}-6 x+3 y &=-12 \\ 2 x-y &=4 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь

Існує нескінченна кількість рішень. Лінії ідентичні, тому будь-яка точка на будь-якій лінії є рішенням.

Приклади\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\),\(\PageIndex{3}\),, і\(\PageIndex{4}\) привести нас до наступного висновку.

Кількість розв'язків лінійної системи

При роботі з системою двох лінійних рівнянь в двох невідомих існує всього три можливості:

1. Є рівно одне рішення.
2. Рішень немає.
3. Існує нескінченна кількість рішень.

Розв'язування систем за допомогою графічного калькулятора

Ми вже мали досвід графічних рівнянь з графічним калькулятором. Ми також використовували кнопку TRACE для оцінки точок перетину. Однак графічний калькулятор має набагато складніший інструмент для пошуку точок перетину. У наступному прикладі ми скористаємося графічним калькулятором, щоб знайти рішення системи\ ref {system1} Прикладу\(\PageIndex{1}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Використовуйте графічний калькулятор для вирішення наступної системи рівнянь:\[3x+2y=12 \\ y=x+1 \label{system5} \]

Рішення

Щоб ввести рівняння в меню Y=, спочатку слід розв'язати рівняння\(y\). Отже, ми повинні спочатку вирішити\(3x +2y = 12\) для\(y\).

\[\begin{aligned} 3x+2y &=12 \quad \color {Red} \text { Original equation. } \\ 2y &= 12-3x \quad \color {Red} \text { Subtract } 3x \text { from both sides of the equation. } \\ \dfrac{2y}{2} &= \dfrac{12-3 x}{2} \quad \color {Red} \text { Divide both sides by } 2 \\ y &= \dfrac{12}{2}-\dfrac{3 x}{2} \quad \color {Red} \text { On the left, simplify. On the right, } \\ y &= 6-\dfrac{3}{2} x \quad \color {Red} \text { Simplify. } \end{aligned}\]

Тепер ми можемо замінити обидва рівняння системи\ ref {system5} в меню Y= (див. Рисунок\(\PageIndex{12}\)).

Рисунок\(\PageIndex{12}\): Введіть системні рівняння\ ref {system5} в меню Y=.

Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити графіки, показані на малюнку\(\PageIndex{13}\).

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Виберіть 6:zStandard для створення графіків рівнянь System\ ref {system5}.

Тепер постає питання «Як обчислити координати точки перетину?» Подивіться на корпус калькулятора трохи вище кнопки TRACE у верхньому ряду кнопок, де ви побачите слово CalC, пофарбоване в той же колір, що і 2-а клавіша. Натискаємо 2ND клавішу, потім кнопку TRACE, яка відкриє меню CALCULATE, показане на малюнку\(\PageIndex{14}\).

Малюнок\(\PageIndex{14}\): Натисніть 2ND, потім TRACE, щоб відкрити меню РОЗРАХУВАТИ. Потім виберіть 5: перетин, щоб створити екран на малюнку\(\PageIndex{15}\).

Примітка

Якщо калькулятор запитує «Перша крива», «Друга крива», коли на екрані є лише дві криві, може здатися дратівливим. Однак уявіть ситуацію, коли на екрані три і більше кривих. Тоді ці питання мають хороший сенс. Ви можете змінити вибір «Перша крива» або «Друга крива» за допомогою клавіш зі стрілками вгору-вниз, щоб перемістити курсор на іншу криву.

Виберіть 5: перетин. Результат показаний на малюнку\(\PageIndex{15}\). Калькулятор розмістив курсор на криву\(y =6−(3/2)x\) (див. Верхній лівий кут екрана перегляду), а в лівому нижньому кутку калькулятор запитує вас, чи хочете ви використовувати вибрану криву як «Першу криву». Дайте відповідь «так» натисканням кнопки ENTER.

Малюнок\(\PageIndex{15}\): Натисніть клавішу ENTER на калькуляторі, щоб сказати «так» вибору «Перша крива».

Калькулятор реагує так, як показано на малюнку\(\PageIndex{16}\). Курсор переходить до кривої\(y = x + 1\) (див. Верхній лівий кут вікна перегляду), а в лівому нижньому кутку калькулятор запитує вас, чи хочете ви використовувати вибрану криву як «Другу криву». Дайте відповідь «так», знову натиснувши клавішу ENTER.

Малюнок\(\PageIndex{16}\): Натисніть клавішу ENTER на калькуляторі, щоб сказати «так» вибору «Друга крива».

Калькулятор відповідає так, як показано на малюнку\(\PageIndex{17}\), з проханням «Вгадати». У цьому випадку залиште курсор там, де він знаходиться, і знову натисніть клавішу ENTER, щоб сигналізувати калькулятору про те, що ви робите припущення в поточному положенні курсора.

Малюнок\(\PageIndex{17}\): Натисніть клавішу ENTER, щоб повідомити калькулятору, що ви задоволені поточним положенням курсора, як ви здогадуєтеся.

Результат натискання клавіші ENTER до питання «Вгадай» на малюнку\(\PageIndex{17}\) показаний на малюнку\(\PageIndex{18}\), де калькулятор тепер забезпечує наближення координат точки перетину по нижньому краю оглядового вікна. Зверніть увагу, що калькулятор поставив курсор на точку перетину на малюнку\(\PageIndex{17}\) і повідомляє, що приблизні координати точки перетину є\((2,3)\).

Малюнок\(\PageIndex{18}\): Прочитайте приблизні координати точки перетину по нижньому краю оглядового вікна.

Примітка

У більш пізніх розділах, коли ми досліджуємо перетин двох графіків, що мають більше однієї точки перетину, ворожіння стане більш важливим. У цих майбутніх випадках нам потрібно буде використовувати клавіші зі стрілками вліво і вправо, щоб перемістити курсор біля точки перетину, яку ми хочемо знайти калькулятор.

Повідомлення про ваше рішення на домашнє завдання. Повідомляючи про своє рішення на домашньому папері, дотримуйтесь вказівок щодо подання калькулятора з розділу 3, розділ 2. Зробіть точну копію зображення, показаного у вікні перегляду. Позначте свої сокири\(x\) і\(y\). В кінці кожної осі поставте відповідне значення\(\mathrm{Xmin}, \mathrm{Xmax}, \mathrm{Ymin}\) і\(\mathrm{Ymax}\) повідомте в меню ВІКНО вашого калькулятора. Використовуйте лінійку, щоб намалювати лінії та позначити кожну своїми рівняннями. Нарешті, позначте точку перетину з її координатами (див. Рис.\(\PageIndex{19}\)). Якщо не вказано інше, завжди повідомляйте про кожну цифру, що відображається на калькуляторі.

Малюнок\(\PageIndex{19}\): Повідомлення про результат на домашньому папері.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} 2 x-5 y &=9 \\ y &=2 x-5 \end{aligned} \nonumber \]

Відповідь

\((2,-1)\)

Іноді потрібно буде налаштувати параметри в меню WINDOW так, щоб в оглядовому вікні була видна точка перетину.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Скористайтеся графічним калькулятором, щоб знайти приблизне рішення наступної системи:\[y=-\dfrac{2}{7} x+7\\ y=\dfrac{3}{5} x-5 \label{system6} \]

Рішення

Кожне рівняння System\ ref {system6} вже вирішено\(y\), тому ми можемо приступити безпосередньо і ввести їх у меню Y=, як показано на малюнку\(\PageIndex{20}\). Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити зображення, показане на малюнку\(\PageIndex{21}\).

Малюнок\(\PageIndex{20}\): Введіть рівняння системи\ ref {system6}.

Малюнок\(\PageIndex{21}\): Виберіть 6:ZStandard, щоб створити це вікно.

Очевидно, що точка перетину oекран праворуч, тому нам доведеться збільшити значення\(\mathrm{Xmax}\) (набір\(\mathrm{Xmax}=20\)), як показано на малюнку\(\PageIndex{22}\). Після того, як ви зробили цю зміну\(\mathrm{Xmax}\), натисніть кнопку GRAPH, щоб створити зображення, показане на малюнку\(\PageIndex{23}\).

Малюнок\(\PageIndex{22}\):\(\mathrm{Xmax}\) Змінити на\(20\).

Малюнок\(\PageIndex{23}\): Натисніть кнопку GRAPH, щоб створити це вікно.

Тепер, коли точка перетину видно у вікні перегляду, натисніть 2ND CALC і виберіть 5:intersect з меню РОЗРАХУВАТИ (див. Рис.\(\PageIndex{24}\)). Зробіть три послідовні натискання кнопки ENTER, щоб відповісти на «Перша крива», «Друга крива» та «Вгадати». Калькулятор відповідає зображенням на малюнку\(\PageIndex{25}\). Таким чином, рішення системи\ ref {system6} є орієнтовним\((x,y) ≈ (13.54837,3.1290323)\).

Малюнок\(\PageIndex{24}\): Натисніть 2ND CALC, щоб відкрити меню РОЗРАХУВАТИ. Виберіть 5: перетин, щоб знайти точку перетину.

Малюнок\(\PageIndex{25}\): Три послідовні натискання клавіші ENTER дають координати, показані в нижній частині вікна перегляду.

\(\color {Red}Warning!\)

Ваш калькулятор - це апроксимаційна машина. Цілком імовірно, що ваші рішення можуть дещо відрізнятися від рішення, представленого на малюнку\(\PageIndex{25}\) в останніх\(2-3\) місцях.

Повідомлення про ваше рішення про домашнє завдання:

Повідомляючи про своє рішення на домашньому папері, дотримуйтесь вказівок щодо подання калькулятора з розділу 3, розділ 2. Зробіть точну копію зображення, показаного у вікні перегляду. Позначте свої сокири\(x\) і\(y\). В кінці кожної осі поставте відповідне значення\(\mathrm{Xmin}, \mathrm{Xmax}, \mathrm{Ymin}\) і\(\mathrm{Ymax}\) повідомте в меню ВІКНО вашого калькулятора. Використовуйте лінійку, щоб намалювати лінії та позначити кожну своїми рівняннями. Нарешті, позначте точку перетину з її координатами (див. Рис.\(\PageIndex{26}\)). Якщо не вказано інше, завжди повідомляйте про кожну цифру, що відображається на калькуляторі.

Малюнок\(\PageIndex{26}\): Повідомлення про результат на домашньому папері.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити таку систему рівнянь:

\[\begin{aligned} y &= \dfrac{3}{2} x+6 \\ y &= -\dfrac{6}{7} x-4\end{aligned} \nonumber \]

Відповідь

\((-4.2,-0.4)\)