Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Раціональні числа

Починаємо з визначення раціонального числа.

Раціональні числа

Будь-яке число, яке може бути виражено у виглядіp/q, деp іq є цілими числамиq0, називається раціональним числом. БукваQ використовується для представлення множини раціональних чисел. Тобто:

Q={pq:p and q are integers, q0}

Тому що2/34/5, і123/(12) мають виглядp/q, деp іq є цілими числами, кожен є прикладом раціонального числа. Якщо ви думаєте, що чуєте слово «дріб», коли ми говоримо «раціональне число», ви маєте рацію у своєму мисленні. Будь-яке число, яке можна виразити у вигляді дробу, де чисельник і знаменник є цілими числами, є раціональним числом. Кожне ціле число також є раціональним числом. Візьмемо, наприклад, ціле число12. Є кілька способів, які ми можемо висловити12 як дріб з цілим числом чисельником і знаменником12/1,24/(2),, і36/3 будучи кілька.

Зменшення дробів до найнижчих термінів

Спочатку ми визначаємо, що мається на увазі під найбільшим спільним дільником двох цілих чисел.

Найбільший спільний дільник

Задано два цілих числаa іb, найбільший спільний дільникa іb є найбільшим цілим числом, яке ділиться рівномірно (без залишку) на обидваa іb. ПозначенняGCD(a,b) використовується для представлення найбільшого спільного дільникаa іb.

Наприклад,GCD(12,18)=6,GCD(32,40)=8, іGCD(18,27)=9.

Тепер ми можемо констатувати, коли дріб скорочується до найнижчих показників.

Найнижчі терміни

a/bФракція, як кажуть, зменшується до найнижчих показників, якщо і тільки тодіGCD(a,b)=1.

Загальною методикою, яка використовується для зведення дробу до найнижчих членів, є поділ чисельника та знаменника на їх найбільший спільний дільник.

Приклад1.3.1

Знизити8/12 до найнижчих термінів.

Рішення

Зауважте, щоGCD(8,12)=4. Розділіть і чисельник, і знаменник на4.

812=8÷412÷4Divide numerator and denominator by GCD(8,12)=4=23Simplify numerator and denominator.Thus, 8/12=2/3

Вправа1.3.1

Зменшити:48/60.

Відповідь

4/5

Згадайте визначення простого числа.

Просте число

Натуральне число більше одиниці є простим тоді і тільки тоді, коли його єдиними дільниками є один і сам.

Наприклад,7 є простим (його єдиними дільниками є1 і7), але не14 є (його дільники є1,2,7, і14). У подібній моді2,3,, і5 є простими, але6,15, і не21 є простими.

Приклад1.3.2

Знизити10/40 до найнижчих термінів.

Рішення

Зауважте, щоGCD(10,40)=10. Ділимо чисельник і знаменник на10.

1040=10÷1040÷10Divide numerator and denominator by GCD(10,40)=10=14Simplify numerator and denominator.Thus, 10/40=1/4

Альтернативне рішення

Використовуйте множникові дерева для вираження чисельника та знаменника як добутку простих множників.

рис. 1.3.1a.png

Малюнок1.3.1

Значить,10=25 і40=2225. Тепер, щоб звести10/40 до найнижчих членів, замініть чисельник і знаменник на їх прості множники, а потім скасувати множники, які є загальними як для чисельника, так і знаменника.

\ [\ почати {вирівняний}
\ dfrac {10} {40} &=\ dfrac {2\ cdot 5} {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 5}\ quad\ color {Червоний}\ текст {Простий множник чисельник і знаменник.} \\
&=\ dfrac {\ колір {\ колір {червоний}\ не} 2\ cdot {\ колір {червоний}\ не} 5} {\ колір {червоний}\ не} 2\ cdot 2\ cdot {\ колір {червоний}\ не} 5}\ квадратний\ колір {червоний}\ текст {Скасувати загальні фактори.} \\
&=\ dfrac {1} {4}\ quad\ color {Червоний}\ text {Спрощення чисельника і знаменника.}
\ end {вирівняний}\]

Коли ми скасуємо2 з обох чисельника і знаменника, ми насправді ділимо як чисельник і знаменник на2. Аналогічну заяву можна зробити і про скасування5. Скасування обох2 і a5 еквівалентно діленню чисельника і знаменника на10. Це пояснює1 в чисельнику, коли всі фактори скасовуються.

Вправа1.3.2

18/24Знизити до найнижчих термінів.

Відповідь

3/4

Приклад 1.3.2демонструє важливий момент.

Коли всі фактори скасовуються

Коли всі множники скасовуються або чисельником, або знаменником, отриманий чисельник або знаменник дорівнює одиниці.

Множення дробів

По-перше, визначення.

Множення дробів

Якщоa/b іc/d є двома фракціями, то їх продукт визначається наступним чином:

abcd=acbd

Таким чином, щоб знайти добутокa/b іc/d, досить просто помножити чисельники і помножити знаменники. Наприклад:

1234=38 and 2573=1415 and 58(16)=548

Як і цілочисельне множення, подібні знаки дають позитивну відповідь, на відміну від знаків дають негативну відповідь. Звичайно, коли це необхідно, не забудьте зменшити свою відповідь до найнижчих термінів.

Приклад1.3.3

Спростити:14201021.

Рішення

Множимо чисельники і знаменники, потім зменшуємо до найнижчих.

\ [\ почати {вирівняний}
-\ dfrac {14} {20}\ cdot\ dfrac {10} {21} &=-\ dfrac {140} {420}\ квадратний\ колір {Червоний}\ текст {Множення чисельників і знаменників}\\
&=-\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 5\ cdot 7} {2\ cdot 2\ cdot 7} точка 3\ cdot 5\ cdot 7}\ квадратний\ колір {червоний}\ текст {Простий фактор.} \\
&=-\ dfrac {\ колір {\ колір {червоний}\ не} 2\ cdot {\ колір {червоний}\ не} 2\ cdot {\ колір {червоний}\ не} 7} {\ колір {червоний}\ ні} 2\ точка {колір {колір {колір {колір {червоний}\ не} 2\ cdot {колір {червоний}\ не} 2\ dot 3\ dot {{Червоний}\ not} 5\ cdot {\ color {Red}\ not} 7}\ quad\ color {Red}\ text {Скасувати загальні фактори.} \\
&=-\ dfrac {1} {3}\ квадратний\ колір {червоний}\ текст {спростити.}
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Зверніть увагу, що коли всі множники скасовуються з чисельника, ви залишитеся з1. Таким чином,(14/20)(10/21)=1/3.

Вправа1.3.3

Спростити:89(2720).

Відповідь

6/5

Правило скасування

При множенні дробів скасуйте загальні множники за таким правилом: «Скасувати множник в чисельнику для ідентичного множника в знаменнику».

Правило - «скасувати щось зверху для чогось внизу». Таким чином, альтернативним підходом до множення дробів є множник чисельників і знаменників на місці, а потім скасування множника в чисельнику для ідентичного множника в знаменнику.

Приклад1.3.4

Спростити:158(149).

Рішення

Факторні чисельники та знаменники на місці, а потім скасовують загальні множники в чисельниках для загальних факторів у знаменниках.

\ [\ почати {вирівняний}
\ drac {15} {8}\ ddot\ ліворуч (-\ dfrac {14} {9}\ праворуч) &=\ drac {3\ dot 5} {2\ dot 2\ dot 2}\ dot\ ліворуч (-\ drac {2\ dot 7} {3\ dot 3}\ праворуч)\ квадрат\ {колір Червоний}\ text {Факторні чисельники та знаменники.} \\
&=\ dfrac {\ колір {\ колір {червоний}\ не} 3\ cdot 5} {\ колір {червоний}\ не} 2\ крапка 2}\ крапка\ ліворуч (-\ dfrac {\ колір {\ колір {червоний}\ not} 2\ dot 7} {\ колір {червоний}\ ні} 3\ dot 3}\ праворуч)\ квадратний\ {Red}\ text {Скасувати множник в чисельнику для загального множника в знаменнику.} \\
&=-\ dfrac {35} {12}\ quad\ color {Червоний}\ text {Множення чисельників і знаменників.}
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Відзначимо, що на відміну від ознак виходить негативний продукт. Таким чином,(15/8)(14/9)=35/12.

Вправа1.3.4

Спростити:645(3514)

Відповідь

1/3

Ділення дробів

Кожне ненульове раціональне число має мультиплікативне обернене або зворотне.

Взаємний

Якщоa є будь-яким ненульовим раціональним числом, то1/a називається мультиплікативним оберненим або зворотнимa, і:

a1a=1

Зверніть увагу, що:

212=1 and 3553=1 and 47(74)=1

Таким чином,2 взаємне є1/2,3/5 взаємне є5/3, і4/7 взаємне є7/4. Зауважте, що щоб знайти зворотне число, просто інвертуйте число (переверніть його догори дном). Тепер ми можемо визначити частку двох дробів.

Розподіл дробів

Якщоa/b іc/d є двома дробами, то їх частка визначається наступним чином:

ab÷cd=abdc

Наведене вище визначення ділення підсумовується фразою «інвертувати і помножити».

Приклад1.3.5

Спростити:3521÷(1012).

Рішення

Інвертувати і помножити, потім коефіцієнт на місце і скасувати загальні множники в чисельнику для загальних факторів у знаменнику.

\ [\ почати {вирівняний}
-\ dfrac {35} {21}\ div\ ліворуч (-\ dfrac {10} {12}\ праворуч) &=-\ dfrac {35} {21}\ cdot\ ліворуч (-\ dfrac {12} {10}\ праворуч)\ quad\ колір {червоний}\ текст {Інвертувати і помножити.} \\
&=-\ drac {5\ cdot 7} {3\ cdot 7}\ cdot\ ліворуч (-\ dfrac {2\ cdot 2\ dot 3} {2\ cdot 5}\ праворуч)\ квадратний\ колір {червоний}\ текст {Простий фактор.} \\
&=-\ dfrac {\ колір {\ колір {червоний}\ не} 5\ cdot {\ колір {червоний}\ не} 7} {\ колір {червоний}\ not} 3\ cdot {червоний}\ not} 7}\ ddot\ left (-\ dfrac {\ колір {червоний}\ ні} 2\ cdot 2\ dot {\ колір {червоний}\ not} 3} {{\ color {Red}\ not} 2\ cdot {\ color {Red}\ not} 5}\ праворуч)\ quad\ color {Червоний}\ text {Скасувати загальні фактори.} \\
&=\ dfrac {2} {1}\ quad\ color {Червоний}\ text {Множення чисельників і знаменників.}\\ &=2\ quad\ color {Red}\ text {Simplify.} \ end {вирівняний}\ nonumber\]

Зверніть увагу, що коли всі фактори в знаменнику скасовуються, а1 залишається. Таким чином,(35/21)÷(10/12)=2. Відзначимо також, що подібні ознаки дають позитивний результат.

Вправа1.3.5

Спростити:49÷2781.

Відповідь

4/3

Додавання дробів

Спочатку визначення.

Додавання дробів

Якщо два дроби мають спільний знаменник, додайте чисельники і помістіть результат над спільним знаменником. В символах:

ac+bc=a+bc

Наприклад:

35+75=45 and 43+(73)=113 and 47+(57)=17

Якщо дроби не мають спільного знаменника, спочатку створіть еквівалентні дроби з найменшим спільним знаменником, а потім додайте відповідно до наведеного вище правила.

Найменш спільний знаменник

Якщо дробиa/b іc/d не мають спільного знаменника, то найменш спільний знаменник дляb іd, написанийLCD(b,d), визначається як найменше число, що ділиться на обидваb іd.

Приклад1.3.6

Спростити:38+512.

Рішення

Найменшим спільним знаменником в даному випадку є найменше число, що ділиться на обидва8 і12. В даному випадку,LCD(8,12)=24. Спочатку нам потрібно зробити еквівалентні дроби зі спільним знаменником24.

38+512=3833+51222Make equivalent fraction with a common denominator of 24=924+1024Multiply numerators and denominators.=124Add: 9+10=1

Зверніть увагу, як ми додаємо чисельники на останньому кроці, розміщуючи результат над спільним знаменником. Таким чином,3/8+5/12=1/24.

Вправа1.3.6

Спростити:56+19.

Відповідь

13/18

Порядок операцій

Раціональні числа підпорядковуються тим самим Правилам, що і цілі числа.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

  1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
  2. Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
  3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
  4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Приклад1.3.7

З огляду наx=2/3y=3/5, іz=10/9, оцінитиxy+yz.

Рішення

Дотримуючись порад щодо оцінки алгебраїчних виразів, спочатку замініть усі входження змінних у виразіxy+yz відкритими дужками. Далі підставляємо задані значення змінних (2/33/5forxy, for і10/9 forz) у відкриті дужки.

xy+yz=()()+()()Replace variables with parentheses=(23)(35)+(35)(109)Substitute: 2/3 for x,3/5 for y, and 10/9 for z

Скористайтеся Правилами, що керують порядком операцій, щоб спростити.

\ [\ почати {вирівняний}
&=-\ dfrac {6} {15} +\ лівий (-\ dfrac {30} {45}\ праворуч)\ квадратний\ колір {Червоний}\ текст {Множення}\\
&=-\ dfrac {2} {2}\ dfrac {2}\ праворуч)\ quad\ колір {червоний}\ текст {Зменшити}\\
&=-\ drac {2} {5}\ ddot\ dfrac {3} {3} +\ лівий (-\ dfrac {2} {3}\ ddot\ dfrac {5} {5}\ праворуч )\ quad\ color {Red}\ text {Зробити еквівалентні дроби з}\\
&=-\ dfrac {6} {15} +\ left (-\ dfrac {10} {15}\ праворуч)\ quad\ color {Red}\ text {\
&=-\ dfrac {16} {15}\ quad\ color {Червоний}\ text {{Додати}
кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Таким чином, якщоx=2/3,y=3/5, іz=10/9, тодіxy+yz=16/15

Вправа1.3.7

Даноa=1/2,b=2/3 іc=3/4, оцінити виразa+bc і спростити результат.

Відповідь

1

Приклад1.3.8

Даноx=3/5, оцінітьx3.

Рішення

Спочатку замініть кожне входження змінноїx відкритими дужками, потім підставляємо3/5 наx.

\ [\ begin {вирівняний}
-x^ {3} &=- () ^ {3}\ quad\ color {Red}\ text {Замінити x відкритими дужками.} \\
&=-\ ліворуч (-\ dfrac {3} {5}\ праворуч) ^ {3}\ квадратний\ колір {Червоний}\ текст {Заміна -3/5 для x}\\
&=-\ ліворуч (-\ dfrac {3} {5}\ праворуч)\ лівий (-\ dfrac {3} {3} {5}\ праворуч)\ лівий (-\ dfrac {3} {3} 5}\ праворуч)\ quad\ color {Червоний}\ text {Напишіть -3/5 як множник тричі}\\
&=-\ left (-\ dfrac {27} {125}\ праворуч)\ quad\ color {Red}\ text {Добуток трьох від'ємних дробів від'ємний. Множення чисельників і знаменників.} \\
&=\ dfrac {27} {125}\ quad\ color {Червоний}\ текст {Протилежність -27/125}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Значитьx3=27/125, даноx=3/5.

Вправа1.3.8

Спростити:(1/3)4.

Відповідь

1/81

Приклад1.3.9

Даноa=4/3 іb=3/2, оцінітьa2+2ab3b2.

Рішення

Дотримуючись порад щодо оцінки алгебраїчних виразів, спочатку замініть усі входження змінних у виразіa2+2ab3b2 відкритими дужками.

Далі підставляємо задані значення змінних (4/33/2fora іb for) у відкриті дужки.

a2+2ab3b2=()2+2()()3()2=(43)2+2(43)(32)3(32)2

Далі оцінюємо показники:(4/3)2=16/9 і(3/2)2=9/4
=169+21(43)(32)31(94)

Далі виконуємо множення і зменшуємо.

=169+246274=169+4274

Зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте.

=16944+4363627499=6436+1443624336=3536

Таким чином, якщоa=4/3 іb=3/2, тоa2+2ab3b2=35/36

Вправа1.3.9

Даноx=3/4 іy=4/5, оцінітьx2y2.

Відповідь

31/400

Дроби на графічному калькуляторі

Ми завжди повинні пам'ятати, що графічний калькулятор - це «апроксимуюча машина». У невеликій кількості ситуацій він здатний дати точну відповідь, але для більшості розрахунків найкраще, на яке ми можемо сподіватися, - це приблизна відповідь.

Однак калькулятор дає точні результати для операцій за участю дробів, якщо ми не використовуємо дроби зі знаменниками, які занадто великі, щоб калькулятор відповідав точною відповіддю.

Приклад1.3.10

Скористайтеся калькулятором графіків, щоб спростити кожне з наведенихСпрощення за допомогою графічного калькулятора:

  1. 23+12
  2. 2357
  3. 35÷13

Рішення

Вводимо кожен вираз по черзі.

  1. Правила, що керують порядком операцій, говорять нам, що ми повинні виконувати поділи перед доповненнями. Таким чином, вираз2/3+1/2 еквівалентно:
    2/3+1/2=23+12Divide first.=46+36Equivalent fractions with LCD.=76Add. Введіть вираз2/3+1/2 на калькуляторі, а потім натисніть клавішу ENTER. Результат показаний на першому зображенні на малюнку1.3.2. Далі натисніть кнопку MATH, потім виберіть 1:Frac (див. Друге зображення на малюнку1.3.2) і знову натисніть клавішу ENTER. Зверніть увагу, що результат, показаний на третьому зображенні на малюнку,1.3.2 відповідає правильній відповіді7/6 знайденої вище.

рис. 1.3.2.png

Малюнок1.3.2: Розрахунок2/3+1/2.

  1. Правила, що керують порядком операцій, говорять нам, що немає переваги ділення над множенням, або навпаки. Ми повинні виконувати ділення і множення в міру їх виникнення, рухаючись зліва направо. Звідси:\ [\ почати {вирівняний}
    2/3\ раз 5/7 &=\ dfrac {2} {3}\ раз 5/7\ квадратний\ колір {Червоний}\ текст {Розділити:} 2/3=\ dfrac {2} {3}\\
    &=\ dfrac {10} {3}/7\ quad\ колір {червоний}\ текст {Множення:}\ dfrac {2} {3}\ раз 5=\ dfrac {10} {3}\
    &=\ dfrac {10} {3}\ раз\ dfrac {1} {7}\ quad\ color {Червоний}\ текст {Інвертувати і помножити.} \\
    &=\ dfrac {10} {21}\ quad\ color {Червоний}\ text {Множення:}\ dfrac {10} {3}\ times\ dfrac {1} {7} =\ dfrac {10} {21}
    \ end {вирівняний}\ nonumber\] Це саме той самий результат, який ми отримуємо, коли виконуємо наступний розрахунок. 23×57=1021Multiply numerators and denominators.Звідси:2/3×5/7 is equivalent to 23×57 Введіть вираз2/3×5/7 на калькуляторі, а потім натисніть клавішу ENTER. Результат показаний на першому зображенні на малюнку1.3.3. Далі натисніть кнопку MATH, потім виберіть 1:Frac (див. Друге зображення на малюнку1.3.3) і знову натисніть клавішу ENTER. Зверніть увагу, що результат, показаний на третьому зображенні на малюнку,1.3.3 відповідає правильній відповіді10/21 знайденої вище.

рис. 1.3.3.png

Малюнок1.3.3: Розрахунок2/3×1/2.

  1. Цей приклад демонструє, що нам потрібно постійне нагадування про Правила, що керують порядком операцій. Ми знаємо, що в цій ситуації нам потрібно інвертувати і множити. 35÷13=35×31 Invert and multiply. =95 Multiply numerators and denominators. 
    Отже, правильна відповідь - 9/5. Введіть вираз3/5/1/3 на калькуляторі, а потім натисніть клавішу ENTER. Виберіть 1: Frac з меню MATH і натисніть клавішу ENTER ще раз. Зауважте, що результат на першому зображенні1.3.4 на малюнку не відповідає правильній відповіді,9/5 знайденій вище. Що ми зробили не так? Якщо точно дотримуватися Правил Керівного Порядку операцій, то:\ [\ begin {вирівняний}
    3/5/1/3 & =\ dfrac {3} {5}/1/3\ quad\ color {Red}\ text {3}\ quad\
    color {3}\ dfrac {3}\ dfrac {3} {5} {Розділити:}\ dfrac {3} {5}/1=\ dfrac {3} {5}\\
    & =\ dfrac {3} {5}\ times\ dfrac {1} {3}\ quad\ color {Червоний}\ текст {Інвертувати і помножити.} \\
    & =\ dfrac {1} {5}\ quad\ color {Червоний}\ текст {Множення:}\ dfrac {3} {5}\ times\ dfrac {1} {3} =\ dfrac {1} {5}
    \ end {вирівняний}\ nonumber\] Це пояснює відповідь, знайдену на першому зображенні на малюнку1.3.4. Однак це також показує, що:3/5/1/3 is not equivalent to 35÷13 Ми можемо вилікувати проблему, використовуючи символи групування. (3/5)/(1/3)=35/13 Parentheses first. =35÷13 is equivalent to ÷Звідси:(3/5)/(1/3) is equivalent to 35÷13 Введіть вираз(3/5)/(1/3) на калькуляторі, а потім натисніть клавішу ENTER. Виберіть 1: Frac з меню MATH і натисніть клавішу ENTER ще раз. Зверніть увагу, що результат на другому зображенні на малюнку1.3.4 відповідає правильній відповіді9/5.

рис. 1.3.4.png

Малюнок1.3.4: Розрахунок(3/5)/(1/3).

Вправа1.3.10

Спростіть за допомогою графічного калькулятора:45+83.

Відповідь

28/15

Дописувачі