1.1: Вступ до цілих чисел

Починаємо з набору підрахунку чисел, формально званих набором натуральних чисел.

Натуральні числа

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots \} \nonumber$$ Множиною називається множина натуральних чисел.

Якщо додати число нуль до набору натуральних чисел, то у нас є набір чисел, які називаються цілими числами.

Цілі числа

Безліч $$W=\{0,1,2,3,4,5, \ldots\} \nonumber$$ називається сукупністю цілих чисел.

Число$0$ особливе, оскільки щоразу, коли ви додаєте його до іншого цілого числа, ви отримуєте однакове число як відповідь.

Властивість адитивної ідентичності

Якщо a - будь-яке ціле число, то з цієї $$a +0=a \nonumber$$ причини все число$0$ називається адитивної ідентичністю.

Таким чином, наприклад,$3 + 0 = 3$,$15 + 0 = 15$, і$123 + 0 = 123$. Це все приклади властивості адитивної ідентичності. Кожне натуральне число має протилежне, так що при складанні їх разом їх сума дорівнює нулю.

Адитивна зворотна властивість

Якщо$a$ є будь-яке натуральне число, то визначте протилежне$a$, символізується$-a$, так що $$a +(-a)=0 \nonumber$$ Число$-a$ називається «протилежним»$a$, або більш формально, адитивним оберненим$a$.

Наприклад, протилежне (добавка обернена)$3$ is$−3$, і$3+(−3) = 0$. Протилежне (добавка обернена)$12$ is$−12$, і$12 + (−12) = 0$. Протилежність$254$ є$−254$, і$254+(−254) = 0$. Це все приклади адитивних інверсів і адитивного зворотного властивості.

Тому що$7+(−7) = 0$, ми сказали,$−7$ що протилежне (добавка обернена)$7$. Однак ми також можемо це повернути і сказати,$7$ що протилежне$−7$. Якщо перевести словосполучення «$−7$протилежне є$7$» в математичні символи, отримаємо$−(−7) = 7$.

Протилежність протилежному

Тому що можна$a+(-a)=0,$ сказати,$a$ що протилежне$-a$. В символах пишемо: $$-(-a)=a \nonumber$$

Таким чином, наприклад,$-(-11)=11$,$-(-103)=103$, і$-(-1255)=1255$.

Цілі числа

Якщо ми збираємо всі натуральні числа і їх адитивні зворотні, то включаємо число нуль, у нас буде колекція чисел, званих цілими числами.

Цілі числа

$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5, \ldots\} \nonumber$$ Множиною називається множина цілих чисел.

Цілі числа можна зробити так, щоб відповідати точкам на прямій дуже природним чином. Спочатку намалюйте лінію, а потім знайдіть нуль в будь-якому місці. По-друге, поставте цифру один праворуч від нуля. Це визначає довжину однієї одиниці. Нарешті, знайдіть числа$1,2,3,4,5, \dots$ праворуч від нуля, потім їх протилежності (адитивні інверси)$-1,-2,-3,-4,-5, \dots$ зліва від нуля (див. Рис.$\PageIndex{1}$).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Кожне ціле число відповідає унікальній позиції на числовому рядку.

Зверніть увагу, що коли ми рухаємося вправо на числовому рядку, цілі числа стають більшими. З іншого боку, коли ми рухаємося вліво на числовому рядку, цілі числа стають меншими.

Позитивні та від'ємні цілі числа

У числовому рядку деякі цілі числа лежать праворуч від нуля, а деякі лежать ліворуч від нуля.

• Якщо$a$ є цілим числом, яке лежить праворуч від нуля, то$a$ називається натуральним числом.
• Якщо$a$ є цілим числом, яке лежить зліва від нуля, то$a$ називається від'ємним цілим числом.

Таким чином,,$4$$25$, і$142$ є додатними цілими числами, while$-7$,$-53,$ і$-435$ є від'ємними цілими числами.

Абсолютне значення

Абсолютне значення (або величина) цілого числа визначається наступним чином.

Абсолютне значення цілого числа

Якщо$a$ є цілим числом, то абсолютне значення$a$$|a|$, записане, визначається як відстань між цілим і нулем у числовому рядку.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити$|-4|$.

Рішення

Розглянемо положення$-4$ на числовому рядку. Зверніть увагу, що$-4$ лежить на відстані чотирьох одиниць від нуля.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Тому що абсолютне значення (величина) цілого числа дорівнює його відстані від нуля,$|-4|=4$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:$|-23|$

Відповідь

$|-23|=23$

Подібним чином:

• Ціле число$5$ лежить на відстані п'яти одиниць від нуля. Отже,$|5|= 5$.
• Ціле число$0$ лежить нуль одиниць від нуля, отже,$|0|= 0$. Зверніть увагу, що абсолютне значення будь-якого числа є або додатним, або нулем. Тобто абсолютне значення числа є невід'ємним (не від'ємним).

Додавання цілих чисел

Цей розділ призначений для швидкого перегляду додавання цілих чисел. Розглянемо перший з двох випадків.

Додавання цілих чисел з подібними знаками

Щоб додати два цілих числа з подібними знаками (обидва додатні або обидва негативні), додайте їх величини (абсолютні значення), а потім префіксі їх загальний знак.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити$7+12$.

Рішення

У нас є подібні знаки. Величини (абсолютні значення)$7$ і$12$ є$7$ і$12$, відповідно. Якщо додати величини, то отримаємо$19$. Якщо префіксити загальний знак, то отримаємо$19$. Тобто: $$7+12=19 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:$13+28$.

Відповідь

$41$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити$-8+(-9)$.

Рішення

У нас є подібні знаки. Величини (абсолютні значення)$-8$ і$-9$ є$8$ і$9$, відповідно. Якщо додати величини, то отримаємо$17$. Якщо префіксити загальний знак, то отримаємо$-17$. Тобто: $$-8+(-9)=-17 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:$-12+(-21)$.

Відповідь

$-33$

Далі розглянемо випадок, коли у нас є несхожі ознаки.

Додавання цілих чисел з несхожими знаками

Щоб додати два цілих числа зі знаками відмінності (один позитивний і один від'ємний), відніміть ціле число з меншою величиною (абсолютне значення) від числа з більшою величиною, а потім префікс знак цілого числа з більшою величиною.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити$-14+11$.

Рішення

У нас несхожі ознаки. Величини (абсолютні значення)$-14$ і$11$ є$14$ і$11$, відповідно. Якщо відняти меншу величину від більшої, то отримаємо$3$. Число$-14$ має більшу величину, тому ми префікуємо нашу відповідь його негативним знаком. Тобто: $$-14+11=-3 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити:$12+(-29)$.

Відповідь

$-17$

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити$40+(-25)$.

Рішення

У нас несхожі ознаки. Величини (абсолютні значення)$40$ і$-25$ є$40$ і$25$, відповідно. Якщо відняти меншу величину від більшої, то отримаємо$15$. Число$40$ має більшу величину, тому ми префікуємо нашу відповідь його позитивним знаком. Тобто: $$40+(-25)=15 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити:$32+(-90)$.

Відповідь

$-58$

Математичні властивості додавання

Порядок, в якому ми додаємо цілі числа, значення не має. Тобто$-20 + 34$ дає відповідь, ідентичну сумі$34 + (−20)$. В обох випадках відповідь є$14$. Цей факт називають комутативним властивістю додавання.

Комутативна властивість додавання

Якщо$a$ і$b$ є будь-якими двома цілими числами, то: $$a+b=b+a \nonumber$$

Далі, коли ми додаємо три цілих числа, не має значення, які два ми додаємо першим. Наприклад, якщо спочатку скласти друге і третє з трьох чисел, то отримаємо:

$$\begin{aligned}-11+(-2+5) &=-11+3 \quad {\color{Red} \text { Parentheses first: }-2+5=3} \\ &=-8 \quad {\color{Red} \text { Add: }-11+3=-8} \end{aligned} \nonumber$$

З іншого боку, якщо спочатку додати перше і друге з трьох чисел, ми отримаємо:

$$\begin{aligned}(-11+(-2))+5 &=-13+5 \quad {\color{Red} \text { Parentheses first: }-11+(-2)=-13} \\ &=-8 \quad {\color{Red} \text { Add: }-13+5=-8} \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-11 + (−2 + 5) = (−11 + (−2)) + 5$. Цей факт називають асоціативним властивістю додавання.

Асоціативна властивість додавання

Якщо$a$$b$, і$c$ є будь-якими трьома цілими числами, то: $$a +( b + c)=( a + b)+c \nonumber$$

Цілочисельне віднімання

Віднімання - це зворотне, або протилежне, додавання.

Віднімання цілих чисел

Якщо$a$ і$b$ є будь-якими двома цілими числами, то: $$a-b = a +(-b) \nonumber$$ Віднімання$b$ ідентично додаванню протилежного (адитивного оберненого)$b$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:$-13-27$.

Рішення

«Протилежність» (добавка обернена)$27$ є$-27$. Отже, віднімання$27$ - це те ж саме, що і додавання$-27$.

$\begin{aligned}-13-27&=-13+(-27) \quad {\color{Red} \text { Subtracting 27 is the same as adding −27.}} \\ &=-50 \quad {\color{Red} \text { Add the magnitudes, then prefix the common negative sign.}} \end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Спростити:$-11-15$.

Відповідь

$-26$

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:$-27-(-50)$.

Рішення

«Протилежність» (добавка обернена)$-50$ is$-(-50)$, або$50$. Отже, віднімання$-50$ - це те ж саме, що і додавання$50$.

$\begin{aligned}-27-(-50)&=-27+50 \quad {\color{Red} \text { Subtracting -50 is the same as adding 50.}} \\&=23 \quad {\color{Red} \text { Subtract the smaller magnitude from the larger magnitude, then prefix the sign of the larger magnitude.}} \end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростити:$-18-(-54)$.

Відповідь

$36$

Числочисельне множення

Цей розділ призначений для швидкого перегляду множення та ділення цілих чисел.

Як Знаки

Якщо$a$ і$b$ є цілими числами з подібними знаками (як додатними, так і негативними), то добуток$ab$ і частка$a/b$ є додатними.

$$\begin{array}{ll}{(+)(+)=+} \quad {\text { or }} & {(+) /(+)=+} \\ {(-)(-)=+\quad \text { or }} & {(-) /(-)=+}\end{array} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростіть кожне з наступних виразів:

1. $(2)(3)$
2. $(-12)(-8)$
3. $-14 /(-2)$

Рішення

При множенні або діленні подібні знаки дають позитивний результат.

1. $(2)(3)=6$
2. $(-12)(-8)=96$
3. $-14 /(-2)=7$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:$(-18)(-5)$.

Відповідь

$90$

На відміну від знаків

Якщо$a$ і$b$ є цілими числами з несхожими знаками (один позитивний і один негативний), то добуток$ab$ і частка$a/b$ негативні.

$$\begin{array}{ll}{(+)(-)=-} & {\text { or }}& {(+) /(-)=-} \\ {(-)(+)=-} & {\text { or }} & {(-) /(+)=-}\end{array} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростіть кожне з наступних виразів:

1. $(2)(-12)$
2. $(-9)(12)$
3. $24/(-8)$

Рішення

При множенні або діленні, на відміну від знаків, дають негативний результат.

1. $(2)(-12)=-24$
2. $(-9)(12)=-108$
3. $24 /(-8)=-3$

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити:$(-19)(3)$.

Відповідь

$-57$

Математичні властивості множення

Порядок, в якому ми множимо цілі числа, значення не має. Тобто$(-8)(5)$ дає відповідь ідентичний$(5)(-8)$. В обох випадках відповідь є$-40$. Цей факт називається комутативним властивістю множення.

Комутативна властивість множення

Якщо$a$ і$b$ є будь-якими двома цілими числами, то: $$a \cdot b=b+a \nonumber$$

Далі, коли ми множимо три цілих числа, не має значення, які два ми помножимо спочатку. Якщо спочатку помножити друге і третє з трьох чисел, то отримаємо:

$$\begin{aligned}(-3)[(-4)(-5)] &=(-3)(20) & {\color{Red} \text { Brackets first: }(-4)(-5)=20} \\ &=-60 & {\color{Red} \text { Multiply: }(-3)(20)=-60} \end{aligned} \nonumber$$

З іншого боку, якщо спочатку помножити перше і друге з трьох чисел, то отримаємо:

$$\begin{aligned}[(-3)(-4)](-5)&=(12)(-5) & {\color{Red} \text { Brackets first: }(-3)(-4)=12} \\ & =-60 & {\color{Red} \text { Multiply: }(12)(-5)=-60}\end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$(-3)[(-4)(-5)]=[(-3)(-4)](-5)$. Цей факт називається асоціативним властивістю множення.

Асоціативна властивість множення

Якщо$a$$b$, і$c$ є будь-якими трьома цілими числами, то: $$a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \nonumber$$

Коли ви множите ціле число на$1$, ви отримаєте однакове число назад як добуток. Наприклад,$(1)(5) = 5$ і$(-11)(1) = -11$. Цей факт відомий як мультиплікативна властивість ідентичності.

Властивість мультиплікативної ідентичності

Якщо a - будь-яке ціле число, то: З цієї $$1 \cdot a=a \quad \text { and } \quad a \cdot 1=a \nonumber$$ причини ціле число$1$ називається «мультиплікативною ідентичністю».

Нарешті, зауважте, що$(-1)(5) = -5$. Таким чином,$5$ множення на$-1$ ідентично прийнятню «протилежного»$5$ або заперечення$5$.

Мультиплікативна властивість$−1$

Множення на мінус одне ідентично запереченню. Тобто: $$(-1) a=-a \nonumber$$

Показники

У$a^n$ експоненціальному$a$ виразі число називається базовим, тоді як число$n$ називається показником. Тепер ми визначаємо, що мається на увазі під показником.

Показники

$a$Дозволяти ціле число і нехай$n$ бути будь-яке ціле число. Якщо$n \neq 0$, то: $$a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n \text { times }} \nonumber$$

Тобто обчислити$a^n$, записувати$a$ як множник$n$ раз.

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити$(-2)^{3}$.

Рішення

У експоненціальному виразі зверніть увагу$(-2)^3$, що$-2$ є основою,$3$ while - експонентою. Показник підказує нам написати базу як коефіцієнт три рази. Спростіть результат, виконуючи множення по порядку, рухаючись зліва направо.

$$\begin{aligned}(-2)^{3} & =(-2)(-2)(-2)\quad {\color{Red}\text { -2 as a factor, three times.}} \\ & =(4)(-2)\quad {\color{Red}\text { Multiply: (-2)(-2)=4}} \\ & =-8 \quad {\color{Red}\text { Multiply: (4)(-2)=-8}}\\ \text{Thus } (-2)^{3} &=-8\end{aligned} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити:$(-2)^{2}$.

Відповідь

$4$

У прикладі відзначимо $\PageIndex{10}$, що твір трьох негативних чинників є негативним. Спробуємо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити$(-2)^{4}$.

Рішення

У експоненціальному виразі зверніть увагу$(-2)4$, що$-2$ є основою,$4$ while - експонентою. Експонента говорить нам написати базу як коефіцієнт чотири рази. Спростіть результат, виконуючи множення по порядку, рухаючись зліва направо.

$$\begin{aligned}(-2)^{4} & =(-2)(-2)(-2)(-2)\quad {\color{Red}\text { -2 as a factor, four times.}} \\ & =(4)(-2)(-2)\quad {\color{Red}\text { Multiply: (-2)(-2)=4}} \\ & =(-8)(-2) \quad {\color{Red}\text { Multiply: (4)(-2)=-8}}\\ & = 16 \quad {\color{Red}\text { Multiply: (-8)(-2)=-8}}\\ \text{Thus } (-2)^{4} &=16\end{aligned} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:$(-2)^{5}$.

Відповідь

$-32$

У прикладі відзначимо $\PageIndex{11}$, що добуток чотирьох негативних чинників є позитивним. Приклади $\PageIndex{10}$і $\PageIndex{11}$розкриваємо наступну закономірність.

Непарні або парні показники

1. Коли від'ємне ціле число піднімається до парного показника, результат позитивний.
2. Коли від'ємне ціле число піднімається до непарного показника, результат буде від'ємним.

Графічний калькулятор: заперечення проти віднімання

Малюнок$\PageIndex{3}$: Нижня половина ТІ-84.

Розглянемо вигляд нижньої половини графічного калькулятора TI-84 на рис$\PageIndex{3}$. Зверніть увагу, що є дві клавіші, які містять якийсь негативний знак, один у нижньому рядку клавіш, а інший в останньому стовпці клавіш праворуч, розташований трохи вище символу плюс.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Перша з цих кнопок є унарним оператором «заперечення». Якщо ви хочете звести нанівець єдине (таким чином слово «унарне») число, то це ключ до використання. Наприклад, введіть,$-3$ натиснувши наступну послідовність кнопок. Результат показаний на малюнку$\PageIndex{7}$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Друга кнопка - двійковий оператор «віднімання». Якщо ви хочете відняти одне число з іншого числа (таким чином слово «двійковий»), то це ключ для використання. Наприклад, введіть,$7-15$ натиснувши наступну послідовність кнопок. Результат показаний на малюнку$\PageIndex{8}$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Малюнок$\PageIndex{7}$: Заперечення числа. Малюнок$\PageIndex{8}$: Відніміть два числа.

Примітка

Не міняйте між собою ролі оператора унарного заперечення та оператора двійкового віднімання.

1. Щоб звести нанівець число, використовуйте: (-)
2. Щоб відняти одне число від іншого, використовуйте: -

Якщо ви поміняєте ролі цих операторів, калькулятор відповість, що ви зробили «синтаксичну помилку» (див. Рисунки$\PageIndex{9}$ та$\PageIndex{10}$).

Малюнок$\PageIndex{9}$: Використання неправильного символу для віднімання. Малюнок$\PageIndex{10}$: Результуюча синтаксична помилка.

Приклад$\PageIndex{12}$

Скористайтеся калькулятором графіків TI-84, щоб спростити кожне з наступних виразів:

1. $-717-432$
2. $(232)(-313)$
3. $(-17)^{3}$

Рішення

Знак мінус в кожному з цих прикладів виглядає точно так само, але іноді його використовують як «негативний» знак і іноді його використовують як знак «віднімання».

1. Вираз$-717-432$ просить нас відняти$432$ від «негативного»$717$. Введіть наступну послідовність натискань клавіш, щоб отримати результат, показаний на першому зображенні на малюнку$\PageIndex{11}$.

Отже,$-717-432=-1149$.

2. Вираз$(232)(-313)$ просить нас знайти твір$232$ і «негативний»$313$. Введіть наступну послідовність натискань клавіш, щоб отримати результат, показаний на другому зображенні на малюнку.\(\PageIndex{11}\).

Отже,$(232)(-313)=-72616$.

3. Вираз$(-17)^3$ просить нас підняти «негатив» до третьої влади. Введіть наступну послідовність натискань клавіш, щоб отримати результат, показаний на третьому зображенні на малюнку$\PageIndex{11}$. Символ «каретка» ^ розташований трохи над клавішею поділу в крайньому правому стовпці графічного калькулятора TI-84.

Отже,$(-17)^{3}=-4913$.

Малюнок$\PageIndex{11}$: Розрахунки, зроблені на графічному калькуляторі.

Вправа$\PageIndex{12}$

Використовуйте графічний калькулятор для оцінки$(-225)^3$.

Відповідь

$(-225)^3 = -11390625$

Дописувачі

• Template:ContribElemAlgebraArnold