1.5: Алгебраїчні вирази

Асоціативне властивість множення справедливо для всіх чисел.

Асоціативна властивість множення

Дозволяти$a$$b$, і$c$ бути будь-які числа. Потім: $$a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \nonumber$$

Асоціативне властивість множення корисно в ряді ситуацій.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:$-3(4y)$.

Рішення

В даний час угруповання$-3(4y)$ вимагає, щоб ми спочатку помножили$4$ і$y$. Однак ми можемо використовувати асоціативну властивість множення для перегрупування, спочатку множення$-3$ і$4$.

$$\begin{aligned} -3(4 y)=&(-3 \cdot 4) y \quad \color{Red} \text{ The associative property of multiplication.}\\ &=-12 y \quad \color{Red} \text { Multiply: }-3 \cdot 4=-12 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-3(4y)=-12y$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:$2(3 x)$.

Відповідь

$6x$

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:$-2(-4 x y)$.

Рішення

В даний час угруповання$-2(-4xy)$ вимагає, щоб ми спочатку помножили$-4$ і$xy$. Однак ми можемо використовувати асоціативну властивість множення для перегрупування, спочатку множення$-2$ і$-4$.

$$\begin{aligned}-2(-4 x y) &=(-2 \cdot(-4)) x y \quad \color{Red} \text { The associative property of multiplication. } \\ &=8 x y \quad \color{Red} \text { Multiply: } -2 \cdot (-4)=8 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-2(-4xy)=8xy$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:$-3\left(-8 u^{2}\right)$.

Відповідь

$24 u^{2}$

На практиці ми можемо рухатися швидше, якщо проведемо перегрупування подумки, то просто запишемо відповідь. Наприклад:

$$-2(-4 t)=8 t \quad \text { and } \quad 2\left(-5 z^{2}\right)=-10 z^{2} \quad \text { and } \quad-3\left(4 u^{3}\right)=-12 u^{3} \nonumber$$

Розподільна власність

Зараз ми обговоримо властивість, яка поєднує додавання і множення. Розглянемо вираз$2 \cdot(3+5)$. Правила, що керують порядком операцій, вимагають, щоб ми спочатку спростили вираз всередині дужок.

$$\begin{aligned} 2 \cdot(3+5) &=2 \cdot 8 \quad \color{Red} \text { Add: } 3+5=8 \\ &=16 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2 \cdot 8=16 \end{aligned} \nonumber$$

Крім того, ми можемо замість цього розподілити$2$ час кожного члена в дужках. Тобто ми спочатку помножимо$3$ на$2$, потім помножимо$5$ на$2$. Потім додаємо результати.

$$\begin{aligned} 2 \cdot(3+5) &=2 \cdot 3+2 \cdot 5 \quad \color{Red} \text { Distribute the 2. }\\ &=6+10 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2 \cdot 3=6 \text { and } 2 \cdot 5=10\\ &=16 \quad \color{Red} \text { Add: } 6+10=16 \end{aligned} \nonumber$$

Відзначимо, що обидва способи дають однаковий результат, а саме 16. Цей приклад демонструє надзвичайно важливе властивість чисел, зване розподільним властивістю.

Розподільна власність

Дозволяти$a$$b$, і$c$ бути будь-які числа. Тоді: $$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c \nonumber$$ Тобто множення є розподільним щодо додавання.

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте властивість distributive для розширення$2(3x + 7)$.

Рішення

Спочатку розподіліть$2$ час кожного члена в дужках. Тоді спростити.

$$\begin{aligned} 2(3 x+7)&=2(3 x)+2(7) \quad \color{Red} \text { Use the distributive property. } \\ &=6 x+14 \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2(3 x)=6 x \text { and } 2(7)=14 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$2(3 x+7)=6 x+14$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Розгорнути:$5(2 y+7)$.

Відповідь

$10y+35$

Множення також розподільне щодо віднімання.

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуйте властивість distributive для розширення$-2(5y-6)$.

Рішення

Змініть на додавання, додавши протилежне, потім застосуйте розподільну властивість.

$$\begin{aligned} -2(5 y-6)&=-2(5 y+(-6)) \quad \color{Red} \text { Add the opposite. } \\ &=-2(5 y)+(-2)(-6) \quad \color{Red} \text { Use the distributive property. } \\ &=-10 y+12 \quad \color{Red} \text { Multiply: } -2(5 y)=-10 y \text { and }(-2)(-6)=12 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-2(5 y-6)=-10 y+12$

Вправа$\PageIndex{4}$

Розгорнути:$-3(2z-7)$.

Відповідь

$-6 z+21$

Прискорення речей трохи

У прикладі $\PageIndex{4}$ми змінили віднімання на додавання, застосували розподільну властивість, потім кілька кроків пізніше ми закінчили. Однак, якщо ви розумієте, що віднімання дійсно те саме, що додавання протилежного, і якщо ви готові зробити кілька кроків у своїй голові, ви повинні бути в змозі просто записати відповідь відразу після даної проблеми.

Якщо подивитися на вираз$-2(5y-6)$ з Прикладу $\PageIndex{4}$ще раз, тільки на цей раз подумайте «множити$-2$ раз$5y$, потім множимо$-2$ раз$-6$, то результат негайний. $$-2(5y-6) = -10y + 12 \nonumber$$

Давайте спробуємо цю техніку «прискорення» ще на кількох прикладах.

Приклад$\PageIndex{5}$

Використовуйте властивість distributive для розширення$-3(-2 x+5 y-12)$.

Рішення

Щоб розподілити$-3$ їх, ми просто думаємо так: «$-3(-2x)=6x$$-3(5y)=-15y$, і»$-3(-12) = 36$. Таке мислення дозволяє записати відповідь відразу без будь-яких додаткових кроків. $$-3(-2 x+5 y-12)=6 x-15 y+36 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Розгорнути:$-3(-2 a+3 b-7)$.

Відповідь

$6 a-9 b+21$

Приклад$\PageIndex{6}$

Використовуйте властивість distributive для розширення$-5(-2 a-5 b+8)$.

Рішення

Щоб розподілити$-5$ їх, ми просто думаємо так: «$-5(-2a) = 10a$$-5(-5b) = 25 b$, і»$-5(8) = -40$. Таке мислення дозволяє записати відповідь відразу без будь-яких додаткових кроків. $$-5(-2 a-5 b+8)=10 a+25 b-40 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розгорнути:$-4(-x-2 y-7)$.

Відповідь

$4 x+8 y+28$

Розподіл негативного знака

Нагадаємо, що заперечення числа еквівалентно множенню числа на$-1$.

Мультиплікативна властивість мінус одиниці

Якщо$a$ будь-яке число, то: $$(-1)a = -a \nonumber$$

Це означає, що якщо ми заперечуємо вираз, це еквівалентно множенню виразу на$-1$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Розгорнути$-(7 x-8 y-10)$.

Рішення

По-перше, заперечення еквівалентно множенню на$-1$. Тоді ми можемо змінити віднімання на додавання шляхом «додавання протилежного» і використовувати розподільну властивість, щоб закінчити розширення.

$$\begin{aligned} -(7 x-8 y-10) &=-1(7 x-8 y-10) \quad \color{Red} \text { Negating is equivalent to multiplying by } -1 \\ &=-1(7 x+(-8 y)+(-10)) \quad \color{Red} \text { Add the opposite. } \\ &=-1(7 x)+(-1)(-8 y)+(-1)(-10) \quad \color{Red} \text { Distribute the } -1 \\ &=-7 x+8 y+10 \quad \color{Red} \text { Multiply.} \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-(7 x-8 y-10)=-7 x+8 y+10$

Вправа$\PageIndex{7}$

Розгорнути:$-(-a-2 b+11)$.

Відповідь

$a+2 b-11$

Будучи математично точним, техніку Прикладу $\PageIndex{7}$можна спростити, зазначивши, що заперечення виразу, оточеного дужками, просто змінює знак кожного члена всередині дужок на протилежний знак.

Як тільки ми це зрозуміємо, можемо просто «розподілити знак мінус» і написати:

$$-(7 x-8 y-10)=-7 x+8 y+10 \nonumber$$

У аналогічних фас ч іо н,

$$-(-3 a+5 b-c)=3 a-5 b+c \nonumber$$

і,

$$-(-3 x-8 y+11)=3 x+8 y-11 \nonumber$$

Поєднання подібних термінів

Ми можемо використовувати розподільну властивість, щоб розподілити кількість разів на суму. $$a(b+c)=a b+a c \nonumber$$

Однак розподільне властивість також може використовуватися в зворотному порядку, для «множення» або множника виразу. Таким чином, ми можемо почати з виразу$ab + ac$ та «вивести» загальний фактор a наступним чином:

$$a b+a c=a(b+c) \nonumber$$

Ви також можете врахувати загальний фактор праворуч.

$$a c+b c=(a+b) c \nonumber$$

Ми можемо використовувати цю останню техніку для поєднання подібних термінів.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:$7 x+5 x$.

Рішення

Використовуйте розподільну властивість, щоб вивести загальний фактор$x$ з кожного члена, а потім спростити результат.

$$\begin{aligned} 7x+5x&=(7+5)x \quad \color{Red} \text { Factor out an } x \text { using the distributive property. } \\ &=12x \quad \color{Red} \text { Simplify: } 7+5=12 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$7x +5x = 12x$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:$3 y+8 y$.

Відповідь

$11y$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:$-8 a^{2}+5 a^{2}$.

Рішення

Використовуйте розподільну властивість, щоб вивести загальний фактор$a^2$ з кожного члена, а потім спростити результат.

$$\begin{aligned} -8 a^{2}+5 a^{2}&=(-8+5) a^{2} \quad \color{Red} \text { Factor out an } a^{2} \text { using the distributive property. } \\ &=-3 a^{2} \quad \color{Red} \text { Simplify: }-8+5=-3 \end{aligned} \nonumber$$

Таким чином,$-8 a^{2}+5 a^{2}=-3 a^{2}$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити:$-5 z^{3}+9 z^{3}$.

Відповідь

$4z^3$

Приклади $\PageIndex{8}$і $\PageIndex{9}$комбінувати те, що відомо як «як терміни». Приклади, $\PageIndex{8}$а $\PageIndex{9}$також пропонують можливий ярлик для поєднання подібних термінів.

Подобається Умови

Два члени називаються як терміни, якщо вони мають однакові змінні частини, а це означає, що терміни повинні містити однакові змінні, підняті до тих самих показників.

Наприклад,$2x^2y$ і$11x^2y$ схожі на терміни, оскільки вони містять однакові змінні, підняті до тих самих показників. З іншого боку,$-3st^2$ і не$4s^2t$ схожі на терміни. Вони містять однакові змінні, але змінні не піднімаються до однакових показників.

Розглянемо подібні терміни$2x^2y$ і$11x^2y$. Цифри$2$ і$11$ називаються коефіцієнтами подібних термінів. Ми можемо використовувати розподільну властивість, щоб об'єднати ці подібні терміни, як ми це робили в Прикладах $\PageIndex{8}$і $\PageIndex{9}$, враховуючи загальний фактор$x^2y$.

$$\begin{aligned} 2 x^{2} y+11 x^{2} y &=(2+11) x^{2} y \\ &=13 x^{2} y \end{aligned} \nonumber$$

Однак набагато швидший підхід полягає в тому, щоб просто додати коефіцієнти подібних термінів, зберігаючи ту саму змінну частину. Тобто$2 + 11 = 13$, так:

$$2 x^{2} y+11 x^{2} y=13 x^{2} y \nonumber$$

Саме такою процедурою ми будемо слідувати відтепер.

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:$-8 w^{2}+17 w^{2}$.

Рішення

Це як терміни. Якщо додати коефіцієнти$-8$ і$17$, то отримаємо$9$. Таким чином:

$$-8 w^{2}+17 w^{2}=9 w^{2} \quad \color{Red} \text{Add the coefficients and repeat the variable part.} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити:$4 a b-15 a b$.

Відповідь

$-11ab$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:$-4 u v-9 u v$.

Рішення

Це як терміни. Якщо додати$-4$ і$-9$, то отримаємо$-13$. Таким чином:

$$-4 u v-9 u v=-13 u v \quad \color{Red} \text{Add the coefficients and repeat the variable part.} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:$-3 x y-8 x y$.

Відповідь

$-11xy$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:$-3 x^{2} y+2 x y^{2}$

Рішення

Це не схожі на терміни. Вони не мають однакових змінних частин. Вони мають однакові змінні, але змінні не піднімаються до тих самих показників. Отже, цей вислів вже максимально спрощено.

$$-3 x^{2} y+2 x y^{2} \quad \color{Red} \text{Unlike terms. Already simplified.} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити:$5ab+11bc$.

Відповідь

$5ab+11bc$

Іноді у нас є більше, ніж просто одна пара подібних термінів. У такому випадку ми хочемо згрупувати подібні терміни та об'єднати їх.

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:$-8 u-4 v-12 u+9 v$.

Рішення

Використовуйте асоціативну та комутативну властивість додавання, щоб змінити порядок та перегрупувати, а потім об'єднати терміни рядка.

$$\begin{aligned} -8u-4v-12u+9v &=(-8u-12u)+(-4v+9v) \quad \color{Red} \text { Reorder and regroup. } \\ &=-20u+5v \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, що$-8u-12u =-20u$ і$-4v +9v =5 v$.

Альтернативне рішення

Ви можете пропустити крок переупорядкування та перегрупування, якщо хочете, просто поєднуючи подібні терміни подумки. Тобто цілком можливо замовити свою роботу наступним чином:

$$-8 u-4 v-12 u+9 v=-20 u+5 v \quad \color{Red} \text {Combine like terms.} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:$-3 z^{2}+4 z-8 z^{2}-9 z$.

Відповідь

$-11 z^{2}-5 z$

У прикладі $\PageIndex{13}$, «Альтернативне рішення» дозволяє нам рухатися швидше і буде технікою, яку ми слідуємо звідси, групуючи та поєднуючи терміни подумки.

Порядок операцій

Тепер, коли ми знаємо, як поєднувати подібні терміни, давайте вирішимо деякі більш складні вирази, які вимагають Правил Керівний порядок операцій.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в угрупованні символів. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
2. Оцінити всі показники, які з'являються у виразі.
3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Приклад$\PageIndex{14}$

Спростити:$4(-3 a+2 b)-3(4 a-5 b)$.

Рішення

Використовуйте розподільну властивість, щоб розподілити$4$ і$-3$, а потім об'єднати подібні терміни.

$$\begin{aligned} 4(-3a+2b)-3(4a-5b) &=-12a+8b-12a+15b \quad \color{Red} \text { Distribute. } \\ &=-24a+23b \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, що$-12a-12a =-24a$ і$8b + 15b=23b$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:$-2x-3(5-2x)$.

Відповідь

$4 x-15$

Приклад$\PageIndex{15}$

Спростити:$-2(3 x-4 y)-(5 x-2 y)$.

Рішення

Використовуйте розподільну властивість для множення$-2$ разів$3x-4y$, а потім розподіліть знак мінус раз на кожен член виразу$5x-2y$. Після цього комбінуйте подібні терміни.

$$\begin{aligned} -2(3x-4y)-(5x-2y) &=-6x+8y-5x+2y \quad \color{Red} \text { Distribute. } \\ &=-11x+10y \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, що$-6x-5x =-11x$ і$8y +2y = 10 y$.

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростити:$-3(u+v)-(u-5 v)$.

Відповідь

$-4 u+2 v$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:$-2\left(x^{2} y-3 x y^{2}\right)-4\left(-x^{2} y+3 x y^{2}\right)$.

Рішення

Використовуйте розподільну властивість для множення$-2$ разів$x^2y-3xy^2$ і$-4$ разів$-x^2y +3xy^2$. Після цього комбінуйте подібні терміни.

$$\begin{aligned}-2\left(x^{2} y-3 x y^{2}\right)-4\left(-x^{2} y+3 x y^{2}\right) &=-2 x^{2} y+6 x y^{2}+4 x^{2} y-12 x y^{2} \\ &=2 x^{2} y-6 x y^{2} \end{aligned} \nonumber$$

Зверніть увагу, що$-2 x^{2} y+4 x^{2} y=2 x^{2} y$ і$6 x y^{2}-12 x y^{2}=-6 x y^{2}$.

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростити:$8 u^{2} v-3\left(u^{2} v+4 u v^{2}\right)$.

Відповідь

$5 u^{2} v-12 u v^{2}$

Коли символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз всередині внутрішньої пари символів групування.

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$-2 x-2(-2 x-2[-2 x-2])$.

Рішення

Усередині дужок ми маємо вираз$-2 x-2[-2 x-2]$. Правила, що керують порядком операцій, диктують, що ми повинні спочатку множити, розширюючи$-2[-2 x-2]$ та поєднуючи подібні терміни.

$$\begin{aligned} -2x-2({\color{Red}-2x-2[-2x-2]}) &=-2x-2({\color{Red}-2x+4x+2}) \\ &=-2x-2({\color{Red}2x+2}) \end{aligned} \nonumber$$

В іншому виразі ми знову множимо спочатку, розширюючи$-2(2x+2)$ і комбінуючи подібні терміни.

$$\begin{aligned} &=-2x-4x-4\\ &=-6x-4 \end{aligned} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{17}$

Спростити:$x-2[-x+4(x+1)]$.

Відповідь

$-5 x-8$

Дописувачі

• Template:ContribElemAlgebraArnold