11: Системи рівнянь та нерівностей
- Page ID
- 59205
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми досліджуємо матриці та їх зворотні сторони, а також різні способи використання матриць для розв'язання систем рівнянь. Однак спочатку ми вивчимо системи рівнянь самостійно: лінійні і нелінійні, а потім часткові дроби.
- 11.0: Прелюдія до систем рівнянь та нерівностей
- У цьому розділі ми досліджуємо матриці та їх зворотні сторони, а також різні способи використання матриць для розв'язання систем рівнянь. Однак спочатку ми вивчимо системи рівнянь самостійно: лінійні і нелінійні, а потім часткові дроби. Тут ми не будемо порушувати ніяких секретних кодів, але закладемо основу для майбутніх курсів.
- 11.1: Системи лінійних рівнянь - дві змінні
- Система лінійних рівнянь складається з двох або більше рівнянь, що складаються з двох або більше змінних, таких, що всі рівняння в системі розглядаються одночасно. Розв'язком системи лінійних рівнянь у двох змінних є будь-яка впорядкована пара, яка задовольняє кожне рівняння незалежно. Системи рівнянь класифікуються як незалежні з одним розв'язком, залежні з нескінченною кількістю розв'язків, або неузгоджені з відсутністю розв'язку.
- 11.2: Системи лінійних рівнянь з трьома змінними
- Набір рішень - це впорядкована трійка, яка представляє перетин трьох площин у просторі. Система з трьох рівнянь у трьох змінних може бути вирішена за допомогою серії кроків, які змушують змінну бути усунена. Ці кроки включають зміну порядку рівнянь, множення обох сторін рівняння на ненульову константу та додавання ненульового кратного одному рівнянню до іншого рівняння. Системи трьох рівнянь у трьох змінних корисні для вирішення реальних задач.
- 11.3: Системи нелінійних рівнянь та нерівностей - дві змінні
- У цьому розділі ми розглянемо перетин параболи і лінії, кола і лінії, а також кола і еліпса. Методи розв'язання систем нелінійних рівнянь аналогічні методам для лінійних рівнянь.
- 11.4: Часткові дроби
- Розкладіть співвідношення многочленів шляхом запису часткових дробів. Вирішити шляхом очищення дробів, розширення правого боку, збору подібних членів, і встановлення відповідних коефіцієнтів, рівних один одному, потім встановлюючи і вирішуючи систему рівнянь. Розкладання з повторюваними лінійними факторами повинно враховувати фактори знаменника в зростаючих ступенях. Розкладання з неповторюваним нескорочуваним квадратичним коефіцієнтом потребує лінійного чисельника над квадратичним коефіцієнтом.
- 11.5: Матриці та матричні операції
- Для розв'язання системи рівнянь ми можемо використовувати матрицю, яка представляє собою прямокутний масив чисел. Рядок в матриці - це набір чисел, які вирівняні по горизонталі. Стовпець в матриці являє собою набір чисел, які вирівняні по вертикалі. Кожне число є записом, який іноді називають елементом, матриці. Матриці (множина) укладені в [] або () і зазвичай називаються великими літерами.
- 11.6: Розв'язування систем з гаусовою елімінацією
- Матриця може служити пристроєм для представлення і вирішення системи рівнянь. Щоб виразити систему в матричному вигляді, ми витягуємо коефіцієнти змінних і констант, і вони стають записами матриці. Ми використовуємо вертикальну лінію, щоб відокремити записи коефіцієнтів від констант, по суті замінюючи знаки рівності. Коли система пишеться в такому вигляді, ми називаємо її доповненою матрицею.
- 11.7: Розв'язування систем з інверсами
- Матриця, яка має мультиплікативну обернену, називається оборотною матрицею. Тільки квадратна матриця може мати мультиплікативний зворотний, оскільки оборотність є вимогою. Не всі квадратні матриці мають зворотну. Ми розглянемо два методи знаходження зворотної матриці 2×2 і третій метод, який можна використовувати як на матрицях 2×2, так і 3×3.
- 11.8: Розв'язування систем за допомогою правила Крамера
- У цьому розділі ми вивчимо ще дві стратегії розв'язання систем рівнянь. Детермінант - це дійсне число, яке може бути дуже корисним у математиці, оскільки воно має кілька застосувань, таких як обчислення площі, обсягу та інших величин. Тут ми будемо використовувати детермінанти, щоб виявити, чи є матриця оборотною, використовуючи записи квадратної матриці, щоб визначити, чи є рішення системи рівнянь. Правило Крамера для вирішення системи рівнянь у двох і трьох змінних.
Мініатюра: можливі типи розв'язків точок перетину кола та еліпса.