4.7: Композитні функції

Подібно до того, як ми використовували перетворення для аналізу рівняння функції, іноді корисно розглядати задану функцію як кілька функцій змінної, об'єднаних разом.

Наприклад, замість того, щоб думати про функцію$f(x)=(2 x-7)^{3}$ як про єдину функцію, ми можемо вважати її двома функціями:
\ [
\ begin {масив} {c}
g (x) =2 x-7\
\ text {і}\\
h (x) =x^ {3}
\ end {масив}
\]
Потім$f(x)$ відбувається поєднання або «композиція» цих двох функцій разом. Перша функція множить змінну на$2,$ і віднімає 7 з результату. Друга функція приймає цю відповідь і піднімає його до третьої потужності. Позначення для композиції функцій - відкрите коло: 0

У наведеному вище прикладі ми б сказали,$f(x)=(2 x-7)^{3}$ що функція еквівалентна композиції$h \circ g(x)$ або$h(g(x))$. Важливий порядок композиції функцій. Функція$g \circ h(x)$ буде еквівалентна$g(h(x)),$ якій буде
\ [
\ text {дорівнює} g\ left (x^ {3}\ праворуч) =2\ left (x^ {3}\ right) -7=2 x^ {3} -7
\]

Вправи 4.7
Знайдіть$f \circ g(x)$ і$g \circ f(x)$ для кожної з наступних завдань.
1)$\quad f(x)=x^{2} \\ g(x)=x-1$
2)$\quad f(x)=|x-3| \\ g(x)=2 x+3$

3)$\quad f(x)=\frac{x}{x-2} \\ g(x)=\frac{x+3}{x}$
4)$\quad f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=\frac{1}{x^{3}+1$

5)$\quad f(x)=\sqrt{x+1} \\ g(x)=x^{4}-1$
6)$\quad f(x)=2 x^{3}-1 \\ g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}$

Знайти функції$f(x)$ і$g(x)$ так, щоб дана функція$h(x)=f \circ g(x)$
7)$\quad h(x)=(3 x+1)^{2}$
8)$\quad h(x)=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}$
9)$\quad h(x)=\sqrt{1-4 x}$
10)$\quad h(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}$
11)$\quad h(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}$
12)$\quad h(x)=\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{3}$
13)$\quad h(x)=\left(3 x^{2}-1\right)^{-3}$
14)$\quad h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-2}$
15) $\quad h(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$
16)$\quad h(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}$
17)$\quad h(x)=\sqrt{\left(x^{2}-x-1\right)^{3}}$
18)$\quad h(x)=\sqrt[3]{\left(1-x^{4}\right)^{2}}$
19)$\quad h(x)=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}$
20)$\quad h(x)=-\left(\frac{3}{x-1}\right)^{5}$

21) сферичний метеорологічний балон надувається так, щоб радіус в часі$t$ задавався рівняння:
\ [
r=f (t) =\ frac {1} {2} t+2
\]
Припустимо, що$r$$t$ знаходиться в метрах і знаходиться в секундах, з$t=0$ відповідним часу балон починає надуватися. Якщо об'єм сфери задається за формулою:
\ [
v (r) =\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}
\]
Знайдіть$V(f(t))$ і використовуйте це для обчислення часу, в який об'єм повітряної кулі$36 \pi \mathrm{m}^{3}$