4.7: Композитні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58786

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Подібно до того, як ми використовували перетворення для аналізу рівняння функції, іноді корисно розглядати задану функцію як кілька функцій змінної, об'єднаних разом.

Наприклад, замість того, щоб думати про функцію\(f(x)=(2 x-7)^{3}\) як про єдину функцію, ми можемо вважати її двома функціями:
\ [
\ begin {масив} {c}
g (x) =2 x-7\
\ text {і}\\
h (x) =x^ {3}
\ end {масив}
\]
Потім\(f(x)\) відбувається поєднання або «композиція» цих двох функцій разом. Перша функція множить змінну на\(2,\) і віднімає 7 з результату. Друга функція приймає цю відповідь і піднімає його до третьої потужності. Позначення для композиції функцій - відкрите коло: 0

У наведеному вище прикладі ми б сказали,\(f(x)=(2 x-7)^{3}\) що функція еквівалентна композиції\(h \circ g(x)\) або\(h(g(x))\). Важливий порядок композиції функцій. Функція\(g \circ h(x)\) буде еквівалентна\(g(h(x)),\) якій буде
\ [
\ text {дорівнює} g\ left (x^ {3}\ праворуч) =2\ left (x^ {3}\ right) -7=2 x^ {3} -7
\]

Вправи 4.7
Знайдіть\(f \circ g(x)\) і\(g \circ f(x)\) для кожної з наступних завдань.
1)\(\quad f(x)=x^{2} \\ g(x)=x-1\)
2)\(\quad f(x)=|x-3| \\ g(x)=2 x+3\)

3)\(\quad f(x)=\frac{x}{x-2} \\ g(x)=\frac{x+3}{x} \)
4)\(\quad f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=\frac{1}{x^{3}+1\)

5)\(\quad f(x)=\sqrt{x+1} \\ g(x)=x^{4}-1\)
6)\(\quad f(x)=2 x^{3}-1 \\ g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}\)

Знайти функції\(f(x)\) і\(g(x)\) так, щоб дана функція\(h(x)=f \circ g(x)\)
7)\(\quad h(x)=(3 x+1)^{2}\)
8)\(\quad h(x)=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}\)
9)\(\quad h(x)=\sqrt{1-4 x}\)
10)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}\)
11)\(\quad h(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}\)
12)\(\quad h(x)=\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{3}\)
13)\(\quad h(x)=\left(3 x^{2}-1\right)^{-3}\)
14)\(\quad h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-2}\)
15) \(\quad h(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}\)
16)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}\)
17)\(\quad h(x)=\sqrt{\left(x^{2}-x-1\right)^{3}}\)
18)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{\left(1-x^{4}\right)^{2}}\)
19)\(\quad h(x)=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}\)
20)\(\quad h(x)=-\left(\frac{3}{x-1}\right)^{5}\)

21) сферичний метеорологічний балон надувається так, щоб радіус в часі\(t\) задавався рівняння:
\ [
r=f (t) =\ frac {1} {2} t+2
\]
Припустимо, що\(r\)\(t\) знаходиться в метрах і знаходиться в секундах, з\(t=0\) відповідним часу балон починає надуватися. Якщо об'єм сфери задається за формулою:
\ [
v (r) =\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}
\]
Знайдіть\(V(f(t))\) і використовуйте це для обчислення часу, в який об'єм повітряної кулі\(36 \pi \mathrm{m}^{3}\)