3.8: Зворотні функції
Цілі навчання
- Перевірте зворотні функції.
- Визначте область та діапазон оберненої функції та обмежте область функції, щоб зробити її один-на-один.
- Знайти або оцінити обернену функцію.
- Використовуйте графік функції один до одного для графіка її оберненої функції на однакових осях.
Реверсивний тепловий насос - це система клімат-контролю, яка являє собою кондиціонер і обігрівач в одному пристрої. Працюючи в одному напрямку, він відкачує тепло з будинку, щоб забезпечити охолодження. Працюючи в зворотному напрямку, він перекачує тепло в будівлю зовні, навіть в прохолодну погоду, для забезпечення обігріву. Як обігрівач тепловий насос в кілька разів ефективніше звичайного електричного опору опалення.
Якщо деякі фізичні машини можуть працювати в двох напрямках, ми можемо запитати, чи можуть деякі функції «машини», які ми вивчали, також можуть працювати назад. Малюнок3.8.1 надає наочне уявлення про це питання. У цьому розділі ми розглянемо зворотний характер функцій.
Малюнок3.8.1: Чи може функція «машина» працювати в зворотному напрямку?
Перевірка того, що дві функції є зворотними функціями
Припустимо, модельєр, який їде в Мілан на показ мод, хоче знати, якою буде температура. Він не знайомий зі шкалою Цельсія. Щоб отримати уявлення про те, як пов'язані вимірювання температури, він просить свого помічника Бетті перетворити 75 градусів за Фаренгейтом в градуси Цельсія. Вона знаходить формулу
C=59(F−32)
і підставляє 75F для обчислення
59(75−32)≈24∘
Знаючи, що комфортний 75 градусів за Фаренгейтом становить близько 24 градусів Цельсія, він надсилає своєму помічнику тижневий прогноз погоди з малюнка3.8.2 для Мілана і просить її перетворити всі температури в градуси Фаренгейта.

Спочатку Бетті розглядає можливість використання формули, яку вона вже знайшла, щоб завершити перетворення. Адже вона знає свою алгебру, і може легко вирішити рівняння дляF після підстановки значення дляC. Наприклад, щоб перетворити 26 градусів Цельсія, вона могла б написати
26=59(F−32)26⋅95=F−32F=26⋅95+32≈79
Однак, розглянувши цей варіант на мить, вона розуміє, що рішення рівняння для кожної з температур буде жахливо стомлюючим. Вона розуміє, що оскільки оцінка легше, ніж рішення, було б набагато зручніше мати іншу формулу, таку, яка приймає температуру за Цельсієм і виводить температуру Фаренгейта.
Формула, за якою шукає Бетті, відповідає ідеї зворотної функції, яка є функцією, для якої вхід вихідної функції стає виходом оберненої функції, а вихід вихідної функції стає входом оберненої функції.
Задано функціюf(x), ми представляємо її зворотну якf−1(x), читається як «fобернена»x. Піднятий −1 є частиною позначення. Він не є показником; він не означає ступінь −1. Іншими словами, це неf−1(x) означає,1f(x) тому що1f(x) є взаємним,f а не зворотним.
Позначення «exponent-like» походить від аналогії між складом функцій і множенням: так само, якa−1a=1 (1 - елемент ідентичності для множення) для будь-якого ненульового числаa, такf−1∘f дорівнює функції ідентичності, тобто
(f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(y)=x
Це стосується всіхx у доменіf. Неофіційно це означає, що зворотні функції «скасовують» один одного. Однак так само, як нуль не має зворотного, деякі функції не мають зворотних.
Враховуючи функціюf(x), ми можемо перевірити, чиg(x) є інша функція зворотною,f(x) перевіривши, чиf(g(x))=x єg(f(x))=x або є істинним. Ми можемо перевірити будь-яке рівняння, з яким зручніше працювати, оскільки вони логічно еквівалентні (тобто якщо одне істинне, то інше так само).
Наприклад,y=4x іy=14x є зворотними функціями.
(f−1∘f)(x)=f−1(4x)=14(4x)=x
і
(f∘f−1)(x)=f(14x)=4(14x)=x
Кілька пар координат з графіка функціїy=4x є(−2,−8),(0,0), і(2,8). Кілька пар координат з графіка функціїy=14x є(−8,−2),(0,0), і(8,2). Якщо ми обміняємо вхідні та вихідні дані кожної пари координат функції, змінені пари координат з'являться на графіку оберненої функції.
Визначення: Обернена функція
Для будь-якої функції один до одного функціяf(x)=yf−1(x) є оберненою функцієюf iff−1(y)=x. Це також може бути написано, як іf−1(f(x))=x для всіхx в доменіf. Звідси також випливає, щоf(f−1(x))=x для всіхx в областіf−1 iff−1 є зворотнимf.
Позначенняf−1 читається «fзворотне». Як і будь-яка інша функція, ми можемо використовувати будь-яке ім'я змінної в якості вхідних даних дляf−1, тому ми будемо часто писатиf−1(x), які ми читаємо як «fобернений»x. Майте на увазі, що
f−1(x)≠1f(x)
і не всі функції мають зворотні.
Приклад3.8.1: Identifying an Inverse Function for a Given Input-Output Pair
Якщо для певної функції один до одногоf(2)=4 іf(5)=12, які відповідні вхідні та вихідні значення для оберненої функції?
Рішення
Зворотна функція змінює вхідні та вихідні величини, тому якщо
f(2)=4, then f−1(4)=2;f(5)=12, then f−1(12)=5.
Крім того, якщо ми хочемо назвати зворотну функціюg, тоg(4)=2 іg(12)=5.
Аналіз
Зверніть увагу, що якщо ми покажемо пари координат у вигляді таблиці, вхідні та вихідні дані чітко змінюються. Див3.8.1. Таблицю.
(x,f(x)) | (x,g(x)) |
---|---|
\ (x, f (x))\)» style="вертикальне вирівнювання: по середині; вирівнювання тексту: по центру; ">(2,4) | \ (x, g (x))\)» style="вертикальне вирівнювання: по середині; вирівнювання тексту: по центру; ">(4,2) |
\ (x, f (x))\)» style="вертикальне вирівнювання: по середині; вирівнювання тексту: по центру; ">(5,12) | \ (x, g (x))\)» style="вертикальне вирівнювання: по середині; вирівнювання тексту: по центру; ">(12,5) |
Вправа3.8.1
Враховуючи цеh−1(6)=2, які відповідні вхідні та вихідні значення вихідної функціїh?
- Відповідь
-
h(2)=6
Як: Враховуючи дві функціїf(x) and g(x), test whether the functions are inverses of each other.
- Визначте,f(g(x))=x чи є чиg(f(x))=x.
- Якщо обидва твердження вірні, тоg=f−1 іf=g−1. Якщо будь-яке твердження є помилковим, то обидва є помилковими, іg≠f−1 іf≠g−1.
Приклад3.8.2: Testing Inverse Relationships Algebraically
Якщоf(x)=1x+2 іg(x)=1x−2, єg=f−1?
Рішення
g(f(x))=1(1x+2)−2=x+2−2=x
тому
g=f−1 and f=g−1
Цього достатньо, щоб відповісти «так» на питання, але ми також можемо перевірити іншу формулу.
f(g(x))=11x−2+2=11x=x
Аналіз
Зверніть увагу, що зворотні операції знаходяться в зворотному порядку операцій від початкової функції.
Вправа3.8.2
Якщоf(x)=x3−4 іg(x)=3√x+4, єg=f−1?
- Відповідь
-
Так
Приклад3.8.3: Determining Inverse Relationships for Power Functions
Якщоf(x)=x3 (функція куба) іg(x)=13x, єg=f−1?
Рішення
f(g(x))=x327≠x
Ні, функції не зворотні.
Аналіз
Правильний зворотний кубу - це, звичайно, кубічний корінь3√x=x13, тобто третина - показник, а не множник.
Вправа3.8.3
Якщоf(x)=(x−1)3 іg(x)=3√x+1, єg=f−1?
- Відповідь
-
Так
Пошук області та діапазону обернених функцій
Виходи функціїf є входами доf−1, тому діапазон такожf є областюf−1. Так само, оскільки входиf є виходамиf−1, областьf - це діапазонf−1. Ми можемо візуалізувати ситуацію, як на малюнку3.8.3.
Рисунок3.8.3: Домен та діапазон функції та її зворотна.
Коли функція не має зворотної функції, можна створити нову функцію, де ця нова функція в обмеженій області має обернену функцію. Наприклад, оберненеf(x)=√x єf−1(x)=x2, тому що квадрат «скасовує» квадратний корінь; але квадрат є лише зворотним квадратним коренем на області[0,∞), оскільки це діапазонf(x)=√x.
Ми можемо подивитися на цю проблему з іншого боку, починаючи з квадратної (квадратної) функціїf(x)=x2. Якщо ми хочемо побудувати зворотну до цієї функції, ми стикаємося з задачею, тому що для кожного заданого виходу квадратичної функції є два відповідних входи (крім випадків, коли вхід дорівнює 0). Наприклад, вихід 9 з квадратичної функції відповідає входам 3 і —3. Але вихід з функції є входом до її зворотного; якщо цей зворотний вхід відповідає більш ніж одному оберненому виводу (вхід вихідної функції), то «обернений» взагалі не є функцією! Якщо говорити інакше, квадратична функція не є функцією один до одного; вона не проходить тест горизонтальної лінії, тому вона не має зворотної функції. Для того, щоб функція мала зворотну, вона повинна бути функцією один до одного.
У багатьох випадках, якщо функція не є один-на-один, ми все одно можемо обмежити функцію частиною її домену, на якій вона є один до одного. Наприклад, ми можемо зробити обмежену версію квадратної функціїf(x)=x2 з обмеженою її діапазоном[0,∞), яка є функцією один до одного (вона проходить тест горизонтальної лінії) і яка має зворотну (функція квадратного кореня).
Якщоf(x)=(x−1)2[1,∞) увімкнено, то обернена функція єf−1(x)=√x+1.
- Доменf = діапазонf−1=[1,∞).
- Доменf−1 = діапазонf=[0,∞).
Чи можливо, щоб функція мала більше одного зворотного?
Ні. Якщо дві нібито різні функції, скажімо,g і h, обидві відповідають визначенню бути зворотними іншої функціїf, то ви можете це довестиg=h. Ми щойно бачили, що деякі функції мають зворотні лише якщо ми обмежуємо домен оригінальної функції. У цих випадках може існувати кілька способів обмеження домену, що призводить до різних зворотних. Однак на якомусь одному домені оригінальна функція все ще має лише один унікальний зворотний.
Примітка: Домен і діапазон обернених функцій
Діапазон функціїf(x) є областю оберненої функціїf−1(x).
Доменf(x) - це діапазонf−1(x).
Як: Задано функцію, знайдіть область та діапазон її зворотного.
- Якщо функція один до одного, запишіть діапазон вихідної функції як область зворотної, а область вихідної функції запишіть як діапазон оберненої.
- Якщо область вихідної функції потрібно обмежити, щоб зробити її один-на-один, то цей обмежений домен стає діапазоном оберненої функції.
Приклад3.8.4: Finding the Inverses of Toolkit Functions
Визначте, які функції інструментарію крім квадратичної функції не є один-на-один, і знайдіть обмежений домен, на якому кожна функція є один-на-один, якщо така є. Функції інструментарію розглянуті в табл3.8.2. Обмежуємо домен таким чином, що функція приймає всі y-значення рівно один раз.
Постійна | Ідентичність | Квадратичний | Кубічний | Взаємний |
---|---|---|---|---|
f(x)=c | f(x)=x | f(x)=x2 | f(x)=x3 | f(x)=1x |
Взаємний квадрат | Корінь куба | Квадратний корінь | Абсолютна величина | |
f(x)=1x2 | f(x)=3√x | f(x)=√x | f(x)=|x| |
Рішення
Постійна функція не є один-до-одному, і немає області (крім однієї точки), на якій вона могла б бути один-на-один, тому постійна функція не має значущого зворотного.
Функція абсолютного значення може бути обмежена доменом[0,∞), де вона дорівнює функції ідентичності.
Функція зворотного квадрата може бути обмежена доменом(0,∞).
Аналіз
Ми можемо побачити, що ці функції (якщо необмежені) не є один-на-один, дивлячись на їх графіки, показані на малюнку3.8.4. Вони обидва не пройдуть тест на горизонтальну лінію. Однак, якщо функція обмежена певним доменом, щоб вона проходила тест горизонтальної лінії, то в цій обмеженій області вона може мати зворотний.
Рисунок3.8.4: (a) Абсолютне значення (b) Зворотний квадрат
3.8.4: Домен функціїf є(1,∞) і діапазон функціїf є(−∞,−2). Знайти область і діапазон оберненої функції.
Рішення
Домен функціїf−1 є(−∞,−2) і діапазон функціїf−1 є(1,∞).
Пошук та оцінка обернених функцій
Після того, як ми маємо функцію один-на-один, ми можемо оцінити її зворотну на конкретних зворотних входах функції або побудувати повне уявлення зворотної функції у багатьох випадках.
Інвертування табличних функцій
Припустимо, ми хочемо знайти зворотну функцію, представлену в табличній формі. Пам'ятайте, що область функції - це діапазон зворотної, а діапазон функції - область зворотної. Таким чином, нам потрібно обмінюватися доменом і діапазоном.
Кожен рядок (або стовпець) входів стає рядком (або стовпцем) виходів для зворотної функції. Аналогічно, кожен рядок (або стовпець) виходів стає рядком (або стовпцем) входів для зворотної функції.
Приклад3.8.5: Interpreting the Inverse of a Tabular Function
Функціяf(t) наведена в таблиці3.8.3, яка показує відстань у милі, яку автомобіль проїхавt за лічені хвилини. Знайти і інтерпретуватиf−1(70)
t(хвилин) | 30 | 50 | 70 | 90 |
---|---|---|---|---|
f(t)(милі) | 20 | 40 | 60 | 70 |
Зворотна функція приймає вихідf і повертає вхідні дані дляf. Таким чином, уf−1(70) виразі, 70 є вихідним значенням вихідної функції, що представляє 70 миль. Зворотний поверне відповідний вхід вихідної функціїf, 90 хвилин, такf−1(70)=90. Тлумачення цього полягає в тому, що, щоб проїхати 70 миль, знадобилося 90 хвилин.
Як варіант, нагадаємо, що визначення зворотного полягало в тому, що якщоf(a)=b, тоf−1(b)=a. За цим визначенням, якщо нам даноf−1(70)=a, то шукаємо значенняa так, щоf(a)=70. В даному випадку ми шукаємоt такf(t)=70, що, колиt=90.
Вправа3.8.5
Використовуючи таблицю3.8.4, знайдіть та інтерпретуйте (a)f(60) та (b)f−1(60).
t(хвилин) | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
---|---|---|---|---|---|
f(t)(милі) | 20 | 40 | 50 | 60 | 70 |
- Відповідь
-
f(60)=50. За 60 хвилин проїжджають 50 миль.
f−1(60)=70. Щоб проїхати 60 миль, знадобиться 70 хвилин.
Оцінка оберненої функції за заданим графіком початкової функції
У функціях та позначеннях функцій ми побачили, що область функції може бути прочитана, спостерігаючи горизонтальну протяжність її графіка. Домену оберненої функції ми знаходимо шляхом спостереження за вертикальною протяжністю графа початкової функції, оскільки це відповідає горизонтальній протяжності оберненої функції. Аналогічно, ми знаходимо діапазон оберненої функції, спостерігаючи горизонтальну протяжність графіка вихідної функції, оскільки це вертикальна протяжність оберненої функції. Якщо ми хочемо оцінити обернену функцію, ми знаходимо її вхід у межах її області, яка є всією або частиною вертикальної осі графіка вихідної функції.
З огляду на графік функції, оцініть її зворотну в конкретних точках.
- Знайдіть потрібний вхід на осі y заданого графіка.
- Прочитайте вивід оберненої функції з осі x заданого графа.
Приклад3.8.6: Evaluating a Function and Its Inverse from a Graph at Specific Points
Функціяg(x) наведена на рис3.8.5. Знайтиg(3) іg−1(3).
.
Рішення
Для оцінкиg(3) знаходимо 3 на осі x і знаходимо відповідне вихідне значення на осі y. Справа(3,1) говорить нам про цеg(3)=1.
Щоб оцінитиg−1(3), нагадаємо, що під визначеннямg−1(3) означає значенняx для якогоg(x)=3. Шукаючи вихідне значення 3 на вертикальній осі, знаходимо точку(5,3) на графіку, що означаєg(5)=3, тому за визначеннямg−1(3)=5. див3.8.6. Рис.

Вправа3.8.6
Використовуючи графік на малюнку3.8.6, (а) знайтиg−1(1) і (б) оцінитиg−1(4).
- Відповідь на
-
3
- Відповідь б
-
5.6
Пошук обернень функцій, представлених формулами
Іноді нам потрібно знати зворотну функцію для всіх елементів своєї області, а не лише для кількох. Якщо вихідна функція задана у вигляді formula— наприклад,y як функціяx - ми часто можемо знайти обернену функцію, вирішуючи отриматиx як функціюy.
Як: Задано функцію, представлену формулою, знайдіть обернену.
- Переконайтесяf, що це функція один-на-один.
- Вирішити дляx
- Розв'язкаx іy.
Приклад3.8.7: Inverting the Fahrenheit-to-Celsius Function
Знайдіть формулу для оберненої функції, яка дає температуру Фаренгейта як функцію температури Цельсія.
C=59(F−32)
Рішення
C=59(F−32)C⋅95=F−32F=95C+32
Розв'язуючи загалом, ми розкрили обернену функцію. ЯкщоC=h(F)=59(F−32),
потім
F=h−1(C)=95C+32.
У цьому випадку ми ввели функціюh для представлення перетворення, оскільки вхідні та вихідні змінні є описовими, і записC−1 може заплутатися.
Вправа3.8.7
Вирішити для зx точки зоруy заданогоy=13(x−5)
- Відповідь
-
x=3y+5
Приклад3.8.8: Solving to Find an Inverse Function
Знайдіть обернену функціюf(x)=2x−3+4.
Рішення
y=2x−3+4Set up an equation.y−4=2x−3Subtract 4 from both sides.x−3=2y−4Multiply both sides by x−3 and divide by y−4.x=2y−4+3Add 3 to both sides.
Такf−1(y)=2y−4+3 чиf−1(x)=2x−4+3.
Аналіз
Домен і діапазонf виключають значення 3 і 4 відповідно. fіf−1 рівні в двох точках, але не є однаковою функцією, як ми можемо бачити, створивши таблицю3.8.5.
x | 1 | 2 | 5 | f−1(y) |
---|---|---|---|---|
f(x) | 3 | 2 | 5 | y |
Приклад3.8.9: Solving to Find an Inverse with Radicals
Знайдіть обернену функціюf(x)=2+√x−4.
Рішення
y=2+√x−4(y−2)2=x−4x=(y−2)2+4
Отжеf−1(x)=(x−2)2+4.
Доменf is[4,∞). Зверніть увагу, що діапазонf є[2,∞), так що це означає, що областьf−1 зворотної функції також[2,∞)
Аналіз
Формула, яку ми знайшли,f−1(x) виглядає так, що вона була б дійсною для всіх реальнихx. Однакf−1 сам повинен мати зворотну (а самеf), тому ми повинні обмежити доменf−1 до,[2,∞) щоб зробитиf−1 функцію один до одного. Цей доменf−1 є саме діапазономf.
Вправа3.8.8
Що таке зворотна функціяf(x)=2−√x? Створіть області як функції, так і зворотної функції.
- Відповідь
-
f−1(x)=(2−x)2; доменf:[0,∞); доменf−1:(−∞,2]
Пошук обернених функцій та їх графіків
Тепер, коли ми можемо знайти зворотну функцію, ми вивчимо графіки функцій та їх зворотні. Повернемося до квадратичної функції,f(x)=x2 обмеженої областю[0,∞), на якій ця функція є один до одного, і графуємо її, як на рис3.8.7.
Малюнок3.8.7: Квадратична функція з обмеженим доменом[0,∞).
Обмеження домену[0,∞) робить функцію один-на-один (вона, очевидно, пройде тест горизонтальної лінії), тому вона має зворотну для цього обмеженого домену.
Ми вже знаємо, що оберненою квадратичною функцією інструментарію є функція квадратного кореня, тобтоf−1(x)=√x. Що станеться, якщо ми графуємо обидваf іf−1 на одному наборі осей, використовуючи вісь x для входу обохf іf−1?
Ми помічаємо чітке співвідношення: Графікf−1(x) - це графікf(x) відбитих близько діагональної лініїy=x, яку ми будемо називати лінією ідентичності, показаної на малюнку3.8.8.
\ (f (x)\) іf(−1)(x). "src=» https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_07_009.jpg "fileid="1026" />.
Рисунок3.8.8: Функції квадратного та квадратного кореня на невід'ємній області
Цей зв'язок буде спостерігатися для всіх функцій один до одного, оскільки це результат функції та її зворотної заміни входів і виходів. Це еквівалентно зміні ролей вертикальної і горизонтальної осей.
Приклад3.8.10: Finding the Inverse of a Function Using Reflection about the Identity Line
З огляду на графікf(x) на малюнку3.8.9, намалюйте графікf−1(x).
Це функція один-на-один, тому ми зможемо накидати зворотну. Зверніть увагу, що показаний графік має видиму область(0,∞) і діапазон(−∞,∞), тому зворотний буде мати область(−∞,∞) і діапазон(0,∞).
Якщо відобразити цей графік над лінієюy=x, точка(1,0) відображає до,(0,1) а точка(4,2) відображає до(2,4). Ескіз оберненої на тих же осях, що і початковий графік, дає малюнок3.8.10.
Вправа3.8.1
Намалюйте графіки функційf іf−1 з Прикладу3.8.8.
- Відповідь
-
\ (f (x)\) іf(−1)(x).» src=» https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_07_012.jpg "ідентифікатор файлу = «1029" />
Малюнок3.8.11: Графікf(x) іf(−1)(x).
Чи існує якась функція, яка дорівнює власній оберненій?
Так. Якщоf=f−1, тоf(f(x))=x, і можна придумати кілька функцій, які мають цю властивість. Функція ідентичності
робить, і так робить зворотна функція, тому що
11x=x
Будь-яка функціяf(x)=c−x, деc знаходиться константа, також дорівнює власній оберненій.
Ключові концепції
- Якщоg(x) є зворотнимf(x), тоg(f(x))=f(g(x))=x.
- Кожна з функцій інструментарію має зворотну.
- Щоб функція мала зворотну, вона повинна бути один-на-один (пройти тест горизонтальної лінії).
- Функція, яка не є один-на-один по всьому домену, може бути один-на-один на частину свого домену.
- Для табличної функції обмінюйте вхідні та вихідні рядки для отримання зворотного.
- Обернену функцію можна визначити в певних точках на її графіку.
- Щоб знайти зворотну формулу, розв'яжіть рівнянняy=f(x) дляx як функціїy. Потім обмінюємо етикеткиx іy.
- Графік оберненої функції є відображенням графіка вихідної функції по всій прямійy=x.