3.7: Функції абсолютних значень

Цілі навчання

• Графік функції абсолютного значення.
• Розв'яжіть рівняння абсолютного значення.

До 1920-х років так звані спіральні туманності вважалися хмарами пилу і газу в нашій власній галактиці, за кілька десятків тисяч світлових років. Тоді астроном Едвін Хаббл довів, що ці об'єкти є галактиками самі по собі, на відстанях мільйонів світлових років. Сьогодні астрономи можуть виявити галактики, які знаходяться на відстані мільярдів світлових років. Відстані у Всесвіті можна виміряти у всіх напрямках. Таким чином, корисно розглядати відстань як функцію абсолютного значення. У цьому розділі ми будемо досліджувати функції абсолютних значень.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Відстані в глибокому космосі можна виміряти у всіх напрямках. Таким чином, корисно розглядати відстань в терміні абсолютних значень. (Кредит: «s58y» /Flickr)

Розуміння абсолютної цінності

Нагадаємо, що в базовому вигляді$f(x)=|x|$ функція абсолютного значення є однією з функцій нашого інструментарію. Функція абсолютного значення зазвичай вважається забезпеченням відстані числа від нуля на числовому рядку. Алгебраїчно, для будь-якого вхідного значення, виходом є значення без урахування знака.

Функція абсолютного значення

Функція абсолютного значення може бути визначена як кускова функція

$$f(x)=|x|= \begin{cases} x & \text{ if }x{\geq}0 \\ -x & \text{ if } x<0 \end{cases}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Determine a Number within a Prescribed Distance

Опишіть всі значення$x$ в межах або включаючи відстань 4 від числа 5.

Рішення

Ми хочемо, щоб відстань між$x$ і 5 була менше або дорівнює 4. Ми можемо намалювати числову лінію, наприклад, один в, щоб представити умова, яку потрібно задовольнити.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Числова лінія, що описує різницю відстані 4 від 5.

Відстань від$x$ до 5 можна представити, використовуючи абсолютне значення як$|x−5|$. Ми хочемо, щоб значення$x$, які задовольняють умові$| x−5 |\leq4$.

Аналіз

Зверніть увагу, що

$$\begin{align*} -4&{\leq}x-5 & x-5&\leq4 \\[4pt] 1&{\leq}x & x&{\leq}9 \end{align*}$$

Так$|x−5|\leq4$ еквівалентно$1{\leq}x\leq9$.

Однак математики взагалі віддають перевагу абсолютним значенням.

Вправа$\PageIndex{1}$

Опишіть всі значення на$x$ відстані 3 від числа 2.

Відповідь

$|x−2|\leq3$

Приклад$\PageIndex{2}$: Resistance of a Resistor

Електричні деталі, такі як резистори і конденсатори, поставляються із заданими значеннями їх робочих параметрів: опір, ємність тощо Однак через неточність у виробництві фактичні значення цих параметрів дещо різняться від шматка до шматка, навіть коли вони повинні бути однаковими. Найкраще, що можуть зробити виробники, це спробувати гарантувати, що зміни залишатимуться в заданому діапазоні, часто ± 1%, ± 5% або ± 10%.

Припустимо, у нас резистор номінальний на 680 Ом, ± 5%. Використовуйте функцію абсолютного значення для вираження діапазону можливих значень фактичного опору.

Рішення

5% з 680 Ом становить 34 Ом. Абсолютне значення різниці між фактичним і номінальним опором не повинно перевищувати заявлену мінливість, так, при опорі$R$ в Омах,

$$|R−680|\leq34 \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Студенти, які наберуть в межах 20 балів з 80, пройдуть тест. Запишіть це як відстань від 80, використовуючи абсолютні значення.

Відповідь

Використовуючи змінну$p$ для передачі,$| p−80 |\leq20$

Графік функції абсолютного значення

Найбільш значущою особливістю графіка абсолютних значень є кутова точка, в якій графік змінює напрямок. Ця точка показана у початку на малюнку$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік абсолютної функції.

На малюнку$\PageIndex{3}$ показаний графік$y=2|x–3|+4$. Графік$y=|x|$ був зміщений вправо на 3 одиниці, вертикально розтягнутий в 2 рази, і зміщений вгору на 4 одиниці. Це означає, що кутова точка розташована в$(3,4)$ для цієї трансформованої функції.

Рисунок$\PageIndex{4}$: Графік різних типів перетворень для абсолютної функції.

Приклад$\PageIndex{3}$: Writing an Equation for an Absolute Value Function

Напишіть рівняння для функції, зображеної на малюнку$\PageIndex{5}$.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік абсолютної функції.

Рішення

Основна функція абсолютного значення змінює напрямок на початку, тому цей графік був зміщений вправо на 3 одиниці і вниз на 2 одиниці від основної функції інструментарію. Див$\PageIndex{6}$. Малюнок.

Рисунок$\PageIndex{6}$: Графік двох перетворень для абсолютної функції в$(3, -2)$.

Ми також помічаємо, що графік виглядає вертикально розтягнутим, тому що ширина кінцевого графіка на горизонтальній лінії не дорівнює 2 рази відстані по вертикалі від кута до цієї лінії, як це було б для нерозтягнутої функції абсолютного значення. Замість цього ширина дорівнює 1 раз вертикальної відстані, як показано на малюнку$\PageIndex{7}$.

Рисунок$\PageIndex{7}$: Графік двох перетворень для абсолютної функції at$(3, -2)$ та співвідношення між двома різними перетвореннями.

З цієї інформації ми можемо написати рівняння

$$\begin{align*} f(x)&=2|x-3|-2, \;\;\;\;\;\; \text{treating the stretch as a vertial stretch, or} \\ f(x)&=|2(x-3)|-2, \;\;\; \text{treating the stretch as a horizontal compression.} \end{align*}$$

Аналіз

Зауважте, що ці рівняння алгебраїчно еквівалентні - розтягнення для функції абсолютного значення може бути записано взаємозамінно як вертикальне або горизонтальне розтягнення або стиснення.

Q & A

Якби ми не могли спостерігати розтягнення функції з графіків, чи могли б ми алгебраїчно визначити її?

Відповідь

Так. Якщо ми не можемо визначити розтягнення на основі ширини графіка, ми можемо вирішити для коефіцієнта розтягування, поставивши відому пару значень для$x$ і$f(x)$.

$$f(x)=a|x−3|−2 \nonumber$$

Тепер підставляємо в точку$(1, 2)$

$$\begin{align*} 2&=a|1-3|-2 \\ 4&=2a \\ a&=2 \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Запишіть рівняння для функції абсолютного значення, яка горизонтально зміщена вліво на 2 одиниці, вертикально перевертається і вертикально зміщена вгору на 3 одиниці.

Відповідь

$f(x)=−| x+2 |+3$

Q & A

Чи завжди графіки функцій абсолютного значення перетинають вертикальну вісь? Горизонтальна вісь?

Відповідь

Так, вони завжди перетинаються з вертикальною віссю. Графік функції абсолютного значення буде перетинати вертикальну вісь, коли вхід дорівнює нулю.

Ні, вони не завжди перетинаються з горизонтальною віссю. Графік може перетинатися або не перетинати горизонтальну вісь, залежно від того, як графік був зміщений і відображений. Функція абсолютного значення може перетинати горизонтальну вісь в нулі, одній або двох точках (рис.$\PageIndex{8}$).

Малюнок$\PageIndex{8}$: (а) Функція абсолютного значення не перетинає горизонтальну вісь. (b) Функція абсолютного значення перетинає горизонтальну вісь в одній точці. (c) Функція абсолютного значення перетинає горизонтальну вісь у двох точках.

Розв'язування рівняння абсолютного значення

Тепер, коли ми можемо графікувати функцію абсолютного значення, ми навчимося вирішувати рівняння абсолютного значення. Для вирішення такого рівняння$8=|2x−6|$, як, ми помічаємо, що абсолютне значення буде дорівнює 8, якщо величина всередині абсолютного значення дорівнює 8 або -8. Це призводить до двох різних рівнянь, які ми можемо вирішити самостійно.

$$2x-6=8 \quad \text{ or } \quad 2x-6=-8 \nonumber$$

$$\begin{align*} 2x &= 14 & 2x &= -2 \\ x&=7 & x&=-1 \end{align*}$$

Знати, як вирішувати проблеми, пов'язані з функціями абсолютного значення, корисно. Наприклад, нам може знадобитися визначити числа або точки на лінії, які знаходяться на певній відстані від заданої контрольної точки.

Рівняння абсолютного значення - це рівняння, в якому невідома змінна з'являється в брусках абсолютних значень. Наприклад,

$$\begin{align*}|x|&=4, \nonumber \\[4pt] |2x−1| &=3, \\[4pt] |5x+2|−4 &=9. \end{align*}$$

Розв'язки рівнянь абсолютних значень

Для дійсних чисел$A$ і$B$, рівняння виду$|A|=B$, з$B\geq0$, матиме рішення коли$A=B$ або$A=−B$. Якщо$B<0$, рівняння не$|A|=B$ має розв'язку.

Як...

Задано формулу для функції абсолютного значення, знайдіть горизонтальні перехоплення її графіка.

1. Виділяють абсолютне значення члена.
2. $|A|=B$Використовувати для написання$A=B$ або$−A=B$, припускаючи$B>0$.
3. Вирішити для$x$.

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding the Zeros of an Absolute Value Function

Для функції$f(x)=|4x+1|−7$ знайдіть значення$x$ такого, що$f(x)=0$.

Рішення

$$\begin{align*} 0&=|4x+1|-7 & & &\text{Substitute 0 for f(x).} \\ 7&=|4x+1| & & &\text{Isolate the absolute value on one side of the equation.} \\ 7&=4x+1 &\text{or} -7&=4x+1 &\text{Break into two separate equations and solve.} \\ 6&=4x & -8&=4x & \\ x&=\frac{6}{4}=1.5 & x&=\frac{-8}{4}=-2 \end{align*}$$

Функція виводить 0 коли$x=1.5$ або$x=−2$ (рис.$\PageIndex{9}$).

Рисунок$\PageIndex{9}$: Графік абсолютної функції з x-перехопленнями на -2 і 1.5.

Вправа$\PageIndex{4}$

Для функції$f(x)=|2x−1|−3$ знайдіть значення$x$ такого, що$f(x)=0$.

Рішення

$x=−1$або$x=2$

Q & A

Чи варто завжди очікувати двох відповідей при вирішенні$|A|=B$?

Відповідь

Ні. Ми можемо знайти один, два або навіть не відповідей. Наприклад, немає ніякого рішення$2+|3x−5|=1$.

Як...

Задано рівняння абсолютного значення, розв'яжіть його.

1. Виділяють абсолютне значення члена.
2. $|A|=B$Використовувати для написання$A=B$ або$A=−B$.
3. Вирішити для$x$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Solving an Absolute Value Equation

Вирішити$1=4|x−2|+2$.

Рішення

Виділення абсолютного значення на одній стороні рівняння дає наступне.

$$\begin{align*} 1&=4|x-2|+2 \\ -1&=4|x-2| \\ -\frac{1}{4}&=|x-2| \end{align*}$$

Абсолютне значення завжди повертає додатне значення, тому абсолютне значення не може дорівнювати від'ємному значенню. На цьому етапі ми помічаємо, що це рівняння не має розв'язків.

Q & A

У прикладі$\PageIndex{5}$, якби$f(x)=1$ і$g(x)=4|x−2|+2$ були позначені на одному наборі осей, чи перетинаються графіки?

Відповідь

Ні. Графіки$f$ і не$g$ перетинаються, як показано на рис$\PageIndex{10}$. Це підтверджує графічно, що рівняння не$1=4|x−2|+2$ має рішення.

\ (g (x) =4|x-2|+2\) і$f(x)=1$.» src=» https://math.libretexts.org/@api/dek...9794052236.png "ідентифікатор файлу ="1009" />

Малюнок$\PageIndex{10}$: Графік$g(x)=4|x-2|+2$ і$f(x)=1$.

Знайти, де графік функції$f(x)=−| x+2 |+3$ перетинає горизонтальну і вертикальну осі.

$f(0)=1$, Таким чином, графік перетинає вертикальну вісь в$(0,1)$. $f(x)=0$коли$x=−5$ і$x=1$ так графік перетинає горизонтальну вісь в$(−5,0)$ і$(1,0)$.

Розв'язування абсолютної величини нерівності

Рівняння абсолютних значень не завжди можуть включати рівності. Натомість нам може знадобитися вирішити рівняння в діапазоні значень. Для розв'язання такого рівняння ми використали б абсолютну нерівність. Нерівність абсолютного значення - рівняння виду

$$|A|<B,\;|A|{\leq}B,|A|>B, \nonumber$$

або

$$|A|{\geq}B, \nonumber$$

де вираз$A$ (і, можливо, але не зазвичай$B$) залежить від змінної$x$. Вирішення нерівності означає знаходження сукупності всього$x$, що задовольняє нерівності. Зазвичай цей набір буде інтервалом або об'єднанням двох інтервалів.

Існує два основних підходи до розв'язання абсолютних величин нерівностей: графічний та алгебраїчний. Перевага графічного підходу полягає в тому, що ми можемо прочитати рішення шляхом інтерпретації графіків двох функцій. Перевага алгебраїчного підходу полягає в тому, що він дає рішення, які можуть бути важко прочитати з графіка.

Наприклад, ми знаємо, що всі числа в межах 200 одиниць 0 можуть бути виражені як

$$|x|<200 \nonumber$$

або

$$−200<x<200 \nonumber$$

Припустимо, ми хочемо знати всі можливі прибутки від інвестицій, якщо ми могли б заробити певну суму грошей в межах $200 або $600. Ми можемо вирішити алгебраїчно для набору значень,$x$ таких, що відстань між$x$ і 600 менше 200. Уявляємо відстань між$x$ і 600 як$|x−600|$.

$$|x−600|<200$$

або

$$−200<x−600<200$$

$$\begin{align*} −200+600< &x−600+600<200+600 \\[4pt] 400< &x<800 \end{align*}$$

Це означає, що наші прибутки становитимуть від 400 до 800 доларів.

Іноді проблема нерівності абсолютних значень буде представлена нам через зсунуту та/або розтягнуту або стиснуту функцію абсолютного значення, де ми повинні визначити, для яких значень вхідних результатів функції буде від'ємним або позитивним.

Як...

З огляду на абсолютну величину нерівності виду$|x−A|{\leq}B$ для дійсних чисел$a$ і$b$ де$b$ є додатним, розв'яжіть абсолютну величину нерівності алгебраїчно.

1. Знайти граничні точки шляхом розв'язання$|x−A|=B$.
2. Тестові інтервали створюються граничними точками, щоб визначити де$|x−A|{\leq}B$.
3. Запишіть інтервал або об'єднання інтервалів, що задовольняють нерівності в інтервалі, нерівності або множинних позначеннях.

Приклад$\PageIndex{6}$: Solving an Absolute Value Inequality

Вирішити$|x −5|{\leq}4$.

Рішення

При обох підходах нам потрібно буде спочатку знати, де відповідна рівність відповідає дійсності. У цьому випадку ми спочатку знайдемо де$|x−5|=4$. Ми робимо це тому, що абсолютне значення є функцією без перерв, так що єдиний спосіб значення функції можуть перемикатися від бути менше 4 бути більше, ніж 4 є шляхом проходження через де значення рівні 4. Вирішити$|x−5|=4$.

$$\begin{align*} x−5&=4 &\text{ or }\;\;\;\;\;\;\;\; x&=9 \\ x−5&=−4 & x&=1\end{align*}$$

Визначивши, що абсолютне значення дорівнює 4 в$x=1$ і$x=9$, ми знаємо, що графік може змінюватися тільки від менше 4 до більше 4 при цих значеннях. Це ділить числовий рядок вгору на три інтервали:

$$x<1,\; 1<x<9, \text{ and } x>9. \nonumber$$

Щоб визначити, коли функція менше 4, ми могли б вибрати значення в кожному інтервалі і подивитися, чи результат менше або більше 4, як показано в табл$\PageIndex{1}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Інтервальний тест$x$	$f(x)$	$<4$або$>4$
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$x<1$	\ (f (x)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 0	\ (<4\) або$>4$ "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >$|0-5|=5$	Більше, ніж
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$1<x<9$	\ (f (x)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6	\ (<4\) або$>4$ "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >$|6-5|=1$	Менше
\ (x\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$x>9$	\ (f (x)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 11	\ (<4\) або$>4$ "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >$|11-5|=6$	Більше, ніж

Оскільки$1{\leq}x{\leq}9$ це єдиний інтервал, в якому вихід при тестовому значенні менше 4, можна зробити висновок, що рішення до$|x−5|{\leq}4$ є$1{\leq}x{\leq}9$, або$[1,9]$.

Щоб використовувати графік, ми можемо намалювати функцію$f(x)=|x−5|$. Щоб допомогти нам побачити, де виходи 4, лінію також$g(x)=4$ можна намалювати, як на малюнку$\PageIndex{11}$.

Рисунок$\PageIndex{11}$: Графік для пошуку точок, що задовольняють абсолютну величину нерівності.

Ми можемо побачити наступне:

• Вихідні значення абсолютного значення дорівнюють 4 в$x=1$ і$x=9$.
• Графік$f$ знаходиться нижче графіка$g$ на$1<x<9$. Це означає, що вихідні значення$f(x)$ менше вихідних значень$g(x)$.
• Абсолютне значення менше або дорівнює 4 між цими двома точками, коли$1{\leq}x\leq9$. У інтервальних позначеннях це буде інтервал$[1,9]$.

Аналіз

Для нерівностей абсолютних значень,

$$|x−A|<C,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |x−A|>C, \\−C<x−A<C,\;\;\;\; x−A<−C \text{ or } x−A>C. \nonumber$$

$>$Символ$<$ або може бути замінений на$\leq$ або$\geq$.

Отже, для цього прикладу ми могли б використовувати цей альтернативний підхід.

$$\begin{align*} |x−5|&{\leq}4 \\ −4&{\leq}x−5{\leq}4 &\text{Rewrite by removing the absolute value bars.} \\ −4+5&{\leq}x−5+5{\leq}4+5 &\text{Isolate the x.} \\ 1&{\leq}x\leq9 \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити$|x+2| \leq 6$.

Відповідь

$-8 \leq x \leq 4$

Як...

Задано функцію абсолютного значення, вирішіть для множини входів, де вихід є додатним (або негативним).

1. Встановіть функцію рівну нулю, і вирішіть для граничних точок множини розв'язку.
2. Використовуйте контрольні точки або графік, щоб визначити, де результат функції є позитивним або негативним.

Приклад$\PageIndex{7}$: Using a Graphical Approach to Solve Absolute Value Inequalities

Задано функцію$f(x)=−\frac{1}{2}|4x−5|+3$, визначте$x$ -значення, для яких значення функції від'ємні.

Рішення

Ми намагаємося визначити$f(x)<0$, де, що коли$−\frac{1}{2}|4x−5|+3<0$. Починаємо з виділення абсолютної величини.

$$\begin{align*} -\frac{1}{2}|4x−5|&<−3 \;\;\; \text{Multiply both sides by –2, and reverse the inequality.} \\ |4x−5|&>6\end{align*}$$

Далі вирішуємо за рівність$|4x−5|=6$.

$$\begin{align*} 4x-5&=6 & 4x-5&=-6 \\ 4x-6&=6 \end{align*}$$

або

$$\begin{align*} 4x&=-1 \\ x&=\frac{11}{4} & x&=-\frac{1}{4} \end{align*}$$

Тепер ми можемо вивчити графік,$f$ щоб спостерігати, де вихід негативний. Будемо спостерігати, де гілки знаходяться нижче$x$ -осі. Зверніть увагу, що навіть не важливо, як саме виглядає графік, якщо ми знаємо, що він перетинає горизонтальну вісь$x=−\frac{1}{4}$$x=\frac{11}{4}$ і що графік був відображений вертикально. Див$\PageIndex{12}$. Малюнок.

Рисунок$\PageIndex{12}$: Графік абсолютної функції з x-перехопленнями на рівні -0,25 та 2,75.]

Ми спостерігаємо, що графік функції знаходиться нижче$x$ -осі зліва$x=−\frac{1}{4}$ і праворуч від$x=\frac{11}{4}$. Це означає, що значення функції від'ємні зліва від першого горизонтального перехоплення в$x=−\frac{1}{4}$, і негативні праворуч від другого перехоплення в$x=\frac{11}{4}$. Це дає нам рішення нерівності.

$$x<−\frac{1}{4} \text{ or } x>1\frac{1}{4} \nonumber$$

У інтервальних позначеннях це було б$( −\infty,−0.25 )\cup( 2.75,\infty)$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити$−2|k−4|\leq−6$.

Відповідь

$k\leq1$або$k\geq7$; в інтервальних позначеннях це було б$\left(−\infty,1\right]\cup\left[7,\infty\right)$

Ключові концепції

• Функція абсолютного значення зазвичай використовується для вимірювання відстаней між точками.
• Прикладні задачі, такі як діапазони можливих значень, також можуть бути вирішені за допомогою функції абсолютних значень.
• Графік функції абсолютного значення нагадує букву V. Він має кутову точку, в якій графік змінює напрямок.
• У рівнянні абсолютного значення невідома змінна є входом функції абсолютного значення.
• Якщо абсолютне значення виразу встановлено рівним додатному числу, очікуйте два розв'язки для невідомої змінної.
• Рівняння абсолютного значення може мати одне рішення, два розв'язки або не розв'язки.
• Нерівність абсолютних значень подібна до рівняння абсолютного значення, але набуває вигляду | A |B<B, | A |≤B, | A |>, або | A |≥B.Це може бути вирішено шляхом визначення меж множини розв'язку, а потім тестування, які сегменти знаходяться в множині.
• Нерівності абсолютних значень також можуть бути вирішені графічно.

Глосарій

абсолютне значення
рівняння рівняння виду$|A|=B$, з$B\geq0$; він матиме рішення, коли$A=B$ або$A=−B$

абсолютна величина нерівності
відносини у вигляді$|A|<B$,,$|A|{\leq}B$,$|A|>B$, або$|A|{\geq}B$