8.9: Складні раціональні вирази
- Page ID
- 58527
Прості та складні дроби
Простий дріб
У розділі 8.2 ми побачили, що простий дріб - це дріб виду\(\dfrac{P}{Q}\), де\(P\) і\(Q\) є поліномами і\(Q \not = 0\).
Складний дріб
Складний дріб - це дріб, в якому чисельник або знаменник, або обидва, є дрібом. Дроби
\(\dfrac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{3}}\)і\(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\)
є прикладами складних дробів, або, більш загалом, складних раціональних виразів.
Існує два методи спрощення складних раціональних виразів: метод комбінувати-ділення та метод LCD-множення-ділення.
Метод комбінації-ділення
- При необхідності з'єднайте між собою члени чисельника.
- При необхідності з'єднайте між собою терміни знаменника.
- Розділіть чисельник на знаменник.
Набір зразків A
Спростіть кожне складне раціональне вираження
\(\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}}\)
Кроки 1 і 2 необов'язкові, тому приступаємо до кроку 3:
\(\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}} = \dfrac{x^3}{8} \cdot \dfrac{12}{x^5} = \dfrac{\cancel{x^3}}{^\cancel{8}_2} \cdot \dfrac{_\cancel{12}^3}{x^{\cancel{5}2}} = \dfrac{3}{2x^2}\)
\(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\)
Крок 1: Об'єднайте терміни чисельника: РК =\(x\).
\(1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\)
Крок 2: Об'єднайте терміни знаменника: РК =\(x^2\).
\(1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\)
Крок 3: Розділіть чисельник на знаменник.
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {x-1} {x}} {\ frac {x^2-1}} &=\ dfrac {x-1} {x}\ cdot\ dfrac {x^2} {x^2-1}\\ &=\ dfrac {\ скасувати {x-1}} {x ^2}\\
&=\ dfrac {\ скасувати {x-1}}
Callstack:
at (Математика/Алгебра/Елементарна_алгебра_(Ellis_і_Burzynski)/08:_Раціональні_вирази/8.09:_Складні_раціональні_вирази), /content/body/div[3]/div[2]/div/p[7]/span, line 1, column 1
&=\ dfrac {x} {x+1}
\ end {масив}\)
Таким чином,
\(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{x}{x+1}\)
\(\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}}\)
Крок 1: Об'єднайте терміни чисельника: РК =\(m^2\).
\(2-\dfrac{13}{m}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{13 m}{m^{2}}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}-13 m-7}{m^{2}}\)
Крок 2: Об'єднайте терміни знаменника: РК =\(m^2\)
\(2+\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}+\dfrac{3 m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}+3 m+1}{m^{2}}\)
Крок 3: Розділіть чисельник на знаменник:
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {2 м^ {2} -13 м-7} {м^ {2}}} {\ розрив {2} +3 м-1} {м^ {2}}} &=\ dfrac {2} {2} -13 м-7} {m^ {2}} {m^ {2}}\ cdot\ frac {m^ {2}} {2 м^ {2} +3 м+1}\\
&=\ dfrac {\ скасувати {(2 м+1)} (м-7)} {\ скасувати {m^2}}\ cdot\ dfrac {\ cancel {m^2}} {\ скасувати {(2 м+1)} (м+1)}\\
&=\ dfrac {м-7} {м+1}
\ кінець {масив}\)
Таким чином,
\(\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}} = \dfrac{m - 7}{m + 1}\)
Практика Set A
Використовуйте метод combine-divide для спрощення кожного виразу.
\(\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{12}{5x}\)
\(\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\)
\(\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x}{y(x-y)}\)
\(\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{m-2}{m-3}\)
\(\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x}{x-2}\)
Метод багаторазового поділу LCD-дисків
- Знайдіть РК-дисплей усіх термінів.
- Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей.
- Зменшіть при необхідності.
Набір зразків B
Спростити кожен складний дріб.
\(\dfrac{1 - \frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}}\)
Крок 1: РК-дисплей\(=a^2\).
Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на\(a^2\).
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ dfrac {a^2 (1 -\ frac {4} {a^2})} {a^2})} {a^2} {a})} &=\ dfrac {a^2\ cdot 1-a^2\ cdot\ frac {4} {a^2}} {a^2}} {a^2\ cdot 1 +a^2\ cdot\ розрив {2} {a}}\\
&=\ dfrac {a^2-4} {a^2 + 2a}
\ end {масив}\).
Крок 3: Зменшіть:
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ розрив {a^ {2} -4} {a^ {2} +2 a} &=\ гідророзриву {\ скасувати {(a+2)} {a\ cancel {(a+2)}}\\
&=\ frac {a-2} {a}
\ end {масив}\)
Таким чином,
\(\dfrac{1-\frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}} = \dfrac{a-2}{a}\)
\(\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}}\)
Крок 1: РК-дисплей є\(x^2\).
Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на\(x^2\).
\ (\ begin {масив} {flashleft}
\ dfrac {x^ {2} (1-\ розрив {5} {x} -\ розрив {6} {x^ {2}})} {x^ {2} (1+\ frac {6} {x} +\ frac {5} {x^ {2}})} &=\ dfrac {x} {x} 2}\ cdot 1-x^ {\ скасувати {2}}\ cdot\ frac {5} {\ скасувати {x}} -\ скасувати {x^ {2}}\ cdot\ frac {6} {x^ {2}}} {x^ {2}\ cdot 1+x^ {\ скасувати {2}}\ cdot\ frac {6} {\ скасувати {x}} +\ скасувати {x^2}\ cdot\ розрив {5} {\ скасувати {x^2}}}\\
&=\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5}
\ end {масив}\)
Крок 3: Зменшіть:
\ (\ почати {масив} {змивання}
\ dfrac {x^ {2} -5 х-6} {x^ {2} +6 x+5} &=\ dfrac {(х-6) (x+1)} {(x+5) (x+1)}\\
&=\ dfrac {x-6} {x+5}
\ кінець {масив}\)
Таким чином,
\(\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} = \dfrac{x-6}{x+5}\)
Практика Set B
Наступні проблеми є тими ж проблемами, що і проблеми в практичному наборі А. Спростити ці вирази за допомогою методу LCD-множинного поділу. Порівняйте відповіді з відповідями, отриманими в Practice Set A.
\(\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{12}{5x}\)
\(\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\)
\(\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x}{y(x-y)}\)
\(\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{m-2}{m-3}\)
\(\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x}{x-2}\)
Вправи
Для наступних завдань спростіть кожне складне раціональне вираз.
\(\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{5}{3}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{y-1}{y+1}\)
\(\dfrac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}\)
\(\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{a+c}{a-c}\)
\(\dfrac{\frac{5}{m}+\frac{4}{m}}{\frac{5}{m}-\frac{4}{m}}\)
\(\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\frac{3 x+1}{x^{2}}}\)
- Відповідь
-
\(x\)
\(\dfrac{1+\frac{x}{x+y}}{1-\frac{x}{x+y}}\)
\(\dfrac{2+\frac{5}{a+1}}{2-\frac{5}{a+1}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2a + 7}{2a - 3}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{a-1}}{1+\frac{1}{a-1}}\)
\(\dfrac{4-\frac{1}{m^{2}}}{2+\frac{1}{m}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2m - 1}{m}\)
\(\dfrac{9-\frac{1}{x^{2}}}{3-\frac{1}{x}}\)
\(\dfrac{k-\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}\)
- Відповідь
-
\(k-1\)
\(\dfrac{\frac{m}{m+1}-1}{\frac{m+1}{2}}\)
\(\dfrac{\frac{2 x y}{2 x-y}-y}{\frac{2 x-y}{3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3y^2}{(2x - y)^2}\)
\(\dfrac{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}\)
\(\dfrac{\frac{5}{x+3}-\frac{5}{x-3}}{\frac{5}{x+3}+\frac{5}{x-3}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3}{x}\)
\(\dfrac{2+\frac{1}{y+1}}{\frac{1}{y}+\frac{2}{3}}\)
\(\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{y-x}{xy}\)
\(\dfrac{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}\)
\(\dfrac{1+\frac{1}{y}-\frac{2}{y^{2}}}{1+\frac{7}{y}+\frac{10}{y^{2}}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{y-1}{y+5}\)
\(\dfrac{\frac{3 n}{m}-2-\frac{m}{n}}{\frac{3 n}{m}+4+\frac{m}{n}}\)
- Відповідь
-
\(3x−4\)
\(\dfrac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}\)
\(\dfrac{\frac{a}{a-2}-\frac{a}{a+2}}{\frac{2 a}{a-2}+\frac{a^{2}}{a+2}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4}{a^2 + 4}\)
\(3 - \dfrac{2}{1 - \frac{1}{m+1}}\)
\(\dfrac{x-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}\)
В теорії електрики при паралельному з'єднанні двох резисторів опору\(R_1\) і\(R_2\) Ом сумарний опір\(R\) дорівнює:
\(R = \dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\)
Запишіть цей складний дріб як простий дріб.
Згідно з теорією відносності Ейнштейна, дві швидкості\(v_1\) і\(v_2\) додаються не відповідно\(v = v_1 + v_2\), а скоріше по
\(v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}\)
Запишіть цей складний дріб як простий дріб.
Формула Ейнштейна дійсно може бути застосована тільки для швидкостей поблизу швидкості світла (\(c=186,000\)милі в секунду). При дуже значно менших швидкостях, таких як 500 миль на годину, формула\(v=v_1+v_2\) забезпечує надзвичайно хороше наближення.
- Відповідь
-
\(\dfrac{c^2(V_1 + V_2)}{c^2 + V_1V_2}\)
Вправи для огляду
Поставити відсутнє слово. Абсолютна величина говорить на питання про те, як ____, а не «в який бік».
Знайдіть товар. \((3x + 4)^2\)
- Відповідь
-
\(9x^2 + 24x + 16\)
Фактор\(x^4 - y^4\)
Розв'яжіть рівняння\(\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{5}{x+3} = 0\).
- Відповідь
-
\(x=7\)
Один вхідний патрубок може заповнити бак за 10 хвилин. Інша вхідна труба може заповнити цей же бак за 4 хвилини. Скільки часу потрібно обом трубам, що працюють разом, щоб заповнити бак?