8.9: Складні раціональні вирази

Прості та складні дроби

Простий дріб

У розділі 8.2 ми побачили, що простий дріб - це дріб виду$\dfrac{P}{Q}$, де$P$ і$Q$ є поліномами і$Q \not = 0$.

Складний дріб

Складний дріб - це дріб, в якому чисельник або знаменник, або обидва, є дрібом. Дроби

$\dfrac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{3}}$і$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

є прикладами складних дробів, або, більш загалом, складних раціональних виразів.

Існує два методи спрощення складних раціональних виразів: метод комбінувати-ділення та метод LCD-множення-ділення.

Метод комбінації-ділення

Метод об'єднання-поділу

1. При необхідності з'єднайте між собою члени чисельника.
2. При необхідності з'єднайте між собою терміни знаменника.
3. Розділіть чисельник на знаменник.

Набір зразків A

Спростіть кожне складне раціональне вираження

Приклад$\PageIndex{1}$

$\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}}$

Кроки 1 і 2 необов'язкові, тому приступаємо до кроку 3:

$\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}} = \dfrac{x^3}{8} \cdot \dfrac{12}{x^5} = \dfrac{\cancel{x^3}}{^\cancel{8}_2} \cdot \dfrac{_\cancel{12}^3}{x^{\cancel{5}2}} = \dfrac{3}{2x^2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

Крок 1: Об'єднайте терміни чисельника: РК =$x$.

$1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$

Крок 2: Об'єднайте терміни знаменника: РК =$x^2$.

$1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$

Крок 3: Розділіть чисельник на знаменник.

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {x-1} {x}} {\ frac {x^2-1}} &=\ dfrac {x-1} {x}\ cdot\ dfrac {x^2} {x^2-1}\\ &=\ dfrac {\ скасувати {x-1}} {x ^2}\\
&=\ dfrac {\ скасувати {x-1}}

UndefinedNameError: reference to undefined name 'x' (click for details)

Callstack:
    at (Математика/Алгебра/Елементарна_алгебра_(Ellis_і_Burzynski)/08:_Раціональні_вирази/8.09:_Складні_раціональні_вирази), /content/body/div[3]/div[2]/div/p[7]/span, line 1, column 1

\ dfrac {x^ {\ cancel {2}}} {(x+1)\ скасувати {(x+1)}}\\
&=\ dfrac {x} {x+1}
\ end {масив}\)

Таким чином,

$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{x}{x+1}$

Приклад$\PageIndex{3}$

$\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}}$

Крок 1: Об'єднайте терміни чисельника: РК =$m^2$.

$2-\dfrac{13}{m}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{13 m}{m^{2}}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}-13 m-7}{m^{2}}$

Крок 2: Об'єднайте терміни знаменника: РК =$m^2$

$2+\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}+\dfrac{3 m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}+3 m+1}{m^{2}}$

Крок 3: Розділіть чисельник на знаменник:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {2 м^ {2} -13 м-7} {м^ {2}}} {\ розрив {2} +3 м-1} {м^ {2}}} &=\ dfrac {2} {2} -13 м-7} {m^ {2}} {m^ {2}}\ cdot\ frac {m^ {2}} {2 м^ {2} +3 м+1}\\
&=\ dfrac {\ скасувати {(2 м+1)} (м-7)} {\ скасувати {m^2}}\ cdot\ dfrac {\ cancel {m^2}} {\ скасувати {(2 м+1)} (м+1)}\\
&=\ dfrac {м-7} {м+1}
\ кінець {масив}\)

Таким чином,

$\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}} = \dfrac{m - 7}{m + 1}$

Практика Set A

Використовуйте метод combine-divide для спрощення кожного виразу.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}$

Відповідь

$\dfrac{12}{5x}$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$

Відповідь

$\dfrac{3x - 1}{3x + 1}$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

$\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}$

Відповідь

$\dfrac{x}{y(x-y)}$

Завдання практики$\PageIndex{4}$

$\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}$

Відповідь

$\dfrac{m-2}{m-3}$

Завдання практики$\PageIndex{5}$

$\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}$

Відповідь

$\dfrac{x}{x-2}$

Метод багаторазового поділу LCD-дисків

LCD-метод множинного поділу

1. Знайдіть РК-дисплей усіх термінів.
2. Помножте чисельник і знаменник на РК-дисплей.
3. Зменшіть при необхідності.

Набір зразків B

Спростити кожен складний дріб.

Приклад$\PageIndex{4}$

$\dfrac{1 - \frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}}$

Крок 1: РК-дисплей$=a^2$.

Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на$a^2$.

\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ dfrac {a^2 (1 -\ frac {4} {a^2})} {a^2})} {a^2} {a})} &=\ dfrac {a^2\ cdot 1-a^2\ cdot\ frac {4} {a^2}} {a^2}} {a^2\ cdot 1 +a^2\ cdot\ розрив {2} {a}}\\
&=\ dfrac {a^2-4} {a^2 + 2a}
\ end {масив}\).

Крок 3: Зменшіть:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ розрив {a^ {2} -4} {a^ {2} +2 a} &=\ гідророзриву {\ скасувати {(a+2)} {a\ cancel {(a+2)}}\\
&=\ frac {a-2} {a}
\ end {масив}\)

Таким чином,

$\dfrac{1-\frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}} = \dfrac{a-2}{a}$

Приклад$\PageIndex{5}$

$\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}}$

Крок 1: РК-дисплей є$x^2$.

Крок 2: Помножте чисельник і знаменник на$x^2$.

\ (\ begin {масив} {flashleft}
\ dfrac {x^ {2} (1-\ розрив {5} {x} -\ розрив {6} {x^ {2}})} {x^ {2} (1+\ frac {6} {x} +\ frac {5} {x^ {2}})} &=\ dfrac {x} {x} 2}\ cdot 1-x^ {\ скасувати {2}}\ cdot\ frac {5} {\ скасувати {x}} -\ скасувати {x^ {2}}\ cdot\ frac {6} {x^ {2}}} {x^ {2}\ cdot 1+x^ {\ скасувати {2}}\ cdot\ frac {6} {\ скасувати {x}} +\ скасувати {x^2}\ cdot\ розрив {5} {\ скасувати {x^2}}}\\
&=\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5}
\ end {масив}\)

Крок 3: Зменшіть:

\ (\ почати {масив} {змивання}
\ dfrac {x^ {2} -5 х-6} {x^ {2} +6 x+5} &=\ dfrac {(х-6) (x+1)} {(x+5) (x+1)}\\
&=\ dfrac {x-6} {x+5}
\ кінець {масив}\)

Таким чином,

$\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} = \dfrac{x-6}{x+5}$

Практика Set B

Наступні проблеми є тими ж проблемами, що і проблеми в практичному наборі А. Спростити ці вирази за допомогою методу LCD-множинного поділу. Порівняйте відповіді з відповідями, отриманими в Practice Set A.

Завдання практики$\PageIndex{6}$

$\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}$

Відповідь

$\dfrac{12}{5x}$

Завдання практики$\PageIndex{7}$

$\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$

Відповідь

$\dfrac{3x - 1}{3x + 1}$

Завдання практики$\PageIndex{8}$

$\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}$

Відповідь

$\dfrac{x}{y(x-y)}$

Завдання практики$\PageIndex{9}$

$\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}$

Відповідь

$\dfrac{m-2}{m-3}$

Завдання практики$\PageIndex{10}$

$\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}$

Відповідь

$\dfrac{x}{x-2}$

Вправи

Для наступних завдань спростіть кожне складне раціональне вираз.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$

Відповідь

$\dfrac{5}{3}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{1-\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y}}$

Відповідь

$\dfrac{y-1}{y+1}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}}$

Відповідь

$\dfrac{a+c}{a-c}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{\frac{5}{m}+\frac{4}{m}}{\frac{5}{m}-\frac{4}{m}}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\frac{3 x+1}{x^{2}}}$

Відповідь

$x$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{1+\frac{x}{x+y}}{1-\frac{x}{x+y}}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{2+\frac{5}{a+1}}{2-\frac{5}{a+1}}$

Відповідь

$\dfrac{2a + 7}{2a - 3}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{1-\frac{1}{a-1}}{1+\frac{1}{a-1}}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{4-\frac{1}{m^{2}}}{2+\frac{1}{m}}$

Відповідь

$\dfrac{2m - 1}{m}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{9-\frac{1}{x^{2}}}{3-\frac{1}{x}}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{k-\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}$

Відповідь

$k-1$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{\frac{m}{m+1}-1}{\frac{m+1}{2}}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{\frac{2 x y}{2 x-y}-y}{\frac{2 x-y}{3}}$

Відповідь

$\dfrac{3y^2}{(2x - y)^2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{\frac{5}{x+3}-\frac{5}{x-3}}{\frac{5}{x+3}+\frac{5}{x-3}}$

Відповідь

$\dfrac{-3}{x}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2+\frac{1}{y+1}}{\frac{1}{y}+\frac{2}{3}}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

Відповідь

$\dfrac{y-x}{xy}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{1+\frac{1}{y}-\frac{2}{y^{2}}}{1+\frac{7}{y}+\frac{10}{y^{2}}}$

Відповідь

$\dfrac{y-1}{y+5}$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{\frac{3 n}{m}-2-\frac{m}{n}}{\frac{3 n}{m}+4+\frac{m}{n}}$

Відповідь

$3x−4$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{\frac{a}{a-2}-\frac{a}{a+2}}{\frac{2 a}{a-2}+\frac{a^{2}}{a+2}}$

Відповідь

$\dfrac{4}{a^2 + 4}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$3 - \dfrac{2}{1 - \frac{1}{m+1}}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{x-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

Відповідь

$\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$

Вправа$\PageIndex{27}$

В теорії електрики при паралельному з'єднанні двох резисторів опору$R_1$ і$R_2$ Ом сумарний опір$R$ дорівнює:

$R = \dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$

Запишіть цей складний дріб як простий дріб.

Вправа$\PageIndex{28}$

Згідно з теорією відносності Ейнштейна, дві швидкості$v_1$ і$v_2$ додаються не відповідно$v = v_1 + v_2$, а скоріше по

$v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Запишіть цей складний дріб як простий дріб.

Формула Ейнштейна дійсно може бути застосована тільки для швидкостей поблизу швидкості світла ($c=186,000$милі в секунду). При дуже значно менших швидкостях, таких як 500 миль на годину, формула$v=v_1+v_2$ забезпечує надзвичайно хороше наближення.

Відповідь

$\dfrac{c^2(V_1 + V_2)}{c^2 + V_1V_2}$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{30}$

Поставити відсутнє слово. Абсолютна величина говорить на питання про те, як ____, а не «в який бік».

Вправа$\PageIndex{31}$

Знайдіть товар. $(3x + 4)^2$

Відповідь

$9x^2 + 24x + 16$

Вправа$\PageIndex{32}$

Фактор$x^4 - y^4$

Вправа$\PageIndex{33}$

Розв'яжіть рівняння$\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{5}{x+3} = 0$.

Відповідь

$x=7$

Вправа$\PageIndex{34}$

Один вхідний патрубок може заповнити бак за 10 хвилин. Інша вхідна труба може заповнити цей же бак за 4 хвилини. Скільки часу потрібно обом трубам, що працюють разом, щоб заповнити бак?