8.2: Раціональні вирази

Раціональні вирази

В арифметиці відзначається, що дріб - це частка двох цілих чисел. Вираз$\dfrac{a}{b}$, де$a$ і$b$ є будь-якими двома цілими числами і$b≠0$, називається дробом. Верхнє число$a$, називається чисельником, а нижнє число$b$, називається знаменником.

Простий алгебраїчний дріб

Аналогічним чином ми визначаємо простий алгебраїчний дріб. Замість того, щоб обмежувати себе лише числами, ми використовуємо поліноми для чисельника та знаменника. Ще одним терміном для простого алгебраїчного дробу є раціональний вираз. Раціональний вираз - це вираз виду$\dfrac{P}{Q}$, де$P$ і$Q$ є обидва поліноми і$Q$ ніколи не представляє нульовий многочлен.

Раціональне вираження

Раціональний вираз - це алгебраїчний вираз, який можна записати як частку двох многочленів.

Прикладами 1—4 є раціональні вирази:

Приклад$\PageIndex{1}$

$\dfrac{x+9}{x-7}$є раціональним виразом:$P$ є$x + 9$ і$Q$ є$x-7$.

Приклад$\PageIndex{2}$

$\dfrac{x^3 + 5x^2 - 12x + 1}{x^4 - 10}$є раціональним виразом. $P$є$x^3 + 5x^2 - 12x + 1$ і$Q$ є$x^4 - 10$

Приклад$\PageIndex{3}$

$\dfrac{3}{8}$є раціональним виразом:$P$ є$3$ і$Q$ є$8$.

Приклад$\PageIndex{4}$

$4x - 5$є раціональним виразом, оскільки$4x - 5$ може бути записано як$\dfrac{4x-5}{1}$:$P$ є$4x - 5$ і$Q$ є$1$.

Приклад$\PageIndex{5}$

$\dfrac{\sqrt{5x^2-8}}{2x-1}$не є раціональним виразом$\sqrt{5x^2-8}$, оскільки не є поліномом.

У раціональному виразі$\dfrac{P}{Q}$,$P$ називається чисельником і$Q$ називається знаменником.

Домен раціонального вираження

Оскільки ділення на нуль не визначено, ми повинні бути обережними, щоб відзначити значення, для яких діє раціональний вираз. Збірник значень, для яких визначається раціональний вираз, називається доменом раціонального виразу. (Згадаймо наше дослідження області рівняння в розділі 4.8.)

Пошук області раціонального виразу

Щоб знайти область раціонального виразу, ми повинні запитати: «Які значення змінної, якщо такі є, зроблять знаменник нулем?» Щоб знайти ці значення, ставимо знаменник рівний нулю і вирішуємо. Якщо отримані будь-які нульові значення, вони не включаються в домен. Всі інші дійсні числа включені в домен (якщо деякі з них не були виключені з певних ситуаційних причин).

Нерухомість з нульовим фактором

Іноді, щоб знайти область раціонального виразу, необхідно множити знаменник і використовувати властивість нульового фактора дійсних чисел.

Нерухомість з нульовим фактором

Якщо два дійсних числа$a$ і$b$ множаться разом і отриманий добуток є$0$, то хоча б один з факторів повинен дорівнювати нулю, тобто або$a = 0, b = 0$, або обидва$a = 0$ і$b = 0$.

Наступні приклади ілюструють використання властивості нульового фактора.

Приклад$\PageIndex{6}$

Яке значення дасть нуль у виразі$4x$? За властивістю нульового фактора, if$4x=0$, то$x=0$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Яке значення дасть нуль у виразі$8(x-6)$? За властивістю нульового фактора, if$8(x-6) = 0$, то:

\ (\ begin {вирівняний}
x-6&=0\
x&=0
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином,$8(x-6) = 0$ коли$x = 6$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Яке значення (и) дасть нуль у виразі$(x-3)(x+5)$? За властивістю нульового фактора, if$(x-3)(x+5) = 0$, то:

\ (\ begin {вирівняний}
x-3&=0&\ текст {або} &x+5&=0\\
x&=3&&x&=-5
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином,$(x-3)(x+5) = 0$ коли$x = 3$ або$x = -5$.

Приклад$\PageIndex{9}$

Яке значення (и) дасть нуль у виразі$x^2 + 6x + 8$? Ми повинні фактор$x^2 + 6x + 8$, щоб покласти його в форму властивості нульового фактора.

$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$

Тепер,$(x+2)(x+4) = 0$ коли

\ (\ почати {вирівняний}
x+2&=0&\ текст {або} &x+4&= 0\\
x&=-2&&x = -4
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином,$x^2 + 6x + 8 = 0$ коли$x = -2$ або$x = -4$.

Приклад$\PageIndex{10}$

Яке значення (и) дасть нуль у виразі$6x^2 - 19x - 7$? Ми повинні фактор$6x^2 - 19x - 7$, щоб покласти його в форму властивості нульового фактора.

$6x^2 - 19x - 7 = (3x+1)(2x-7)$

Тепер,$(3x+1)(2x-7) = 0$ коли

\ (\ почати {вирівняний}
3x+1&=0&\ текст {або} &2x-7&= 0\\
3x&=-1&&2x&=7
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином,$6x^2 - 19x - 7 = 0$ коли$x = \dfrac{-1}{3}$ або$\dfrac{7}{2}$

Набір зразків A

Знайдіть область наступних виразів.

Приклад$\PageIndex{11}$

$\dfrac{5}{x-1}$

Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім$1$. Один не включається, для якщо$x = 1$, поділ на нуль результатів.

Приклад$\PageIndex{12}$

$\dfrac{3a}{2a-8}$

Якщо ми встановимо$2a-8$ рівним нулю, ми знаходимо, що$a = 4$.

\ (\ почати {вирівняний}
2a - 8 &= 0\\
2a &= 8\\
a &= 4
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином, 4 повинні бути виключені з домену, оскільки він призведе до поділу на нуль. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім 4.

Приклад$\PageIndex{13}$

$\dfrac{5x-1}{(x+2)(x-6)}$.

Поставивши$(x+2)(x−6)=0$, знаходимо, що$x=−2$ і$x=6$. Обидва ці значення виробляють поділ на нуль і повинні бути виключені з домену. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім$–2$ і$6$.

Приклад$\PageIndex{14}$

$\dfrac{9}{(x^2-2x-15}$.

Поставивши$x^2 - 2x - 15 = 0$, отримуємо:

\ (\ почати {вирівняний}
(x+3) (x-5) &=0\
x & =-3, 5
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином,$x=−3$ і$x=5$ виробляють поділ на нуль і повинні бути виключені з домену. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім$–3$ і$5$.

Приклад$\PageIndex{15}$

$\dfrac{2x^2 + x - 7}{x(x-1)(x-3)(x+10)}$

Постановка$x(x−1)(x−3)(x+10)=0$, отримуємо$x=0,1,3,−10$. Ці номери повинні бути виключені з домену. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім$0, 1, 3, –10$.

Приклад$\PageIndex{16}$

$\dfrac{8b+7}{(2b+1)(3b-2)}$.

Постановка$(2b+1)(3b-2) = 0$, отримуємо$b = -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}$. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел, крім$-\dfrac{1}{2}$ і$\dfrac{2}{3}$.

Приклад$\PageIndex{17}$

$\dfrac{4x-5}{x^2+1}$.

Жодне значення не$x$ виключається$x$, оскільки для будь-якого вибору знаменник ніколи не дорівнює нулю. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел.

Приклад$\PageIndex{18}$

$\dfrac{x-9}{6}$

Жодне значення не$x$ виключається$x$, оскільки для будь-якого вибору знаменник ніколи не дорівнює нулю. Домен - це сукупність всіх дійсних чисел.

Практика Set A

Знайдіть область кожного з наступних раціональних виразів.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$\dfrac{2}{x-7}$

Відповідь

$7$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$\dfrac{5x}{x(x+4)}$

Відповідь

$0, −4$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

$\dfrac{2x+1}{(x+2)(1-x)}$

Відповідь

$−2,​ 1$

Завдання практики$\PageIndex{4}$

$\dfrac{5a+2}{a^2+6a+8}$

Відповідь

$−2,​ −4$

Завдання практики$\PageIndex{5}$

$\dfrac{12y}{3y^2-2y-8}$

Відповідь

$(-\dfrac{4}{3}, 2)$

Завдання практики$\PageIndex{6}$

$\dfrac{2m-5}{m^2 + 3}$

Відповідь

Всі дійсні числа складають домен.

Завдання практики$\PageIndex{7}$

$\dfrac{k^2 - 4}{5}$

Відповідь

Всі дійсні числа складають домен.

Властивість рівності дробів

З нашого досвіду роботи з арифметикою можна згадати властивість рівності дробів. $a, b, c, d$Дозволяти дійсні числа такі, що$b≠0$ і$d≠0$.

Властивість рівності дробів

Якщо$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, то$ad = bc$.

Якщо$ad = bc$, то$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Дві фракції рівні, коли їх перехресні продукти рівні.

Ми бачимо цю властивість в наступних прикладах:

Приклад$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$, так як$2 \cdot 12\ = 3 \cdot 8$.

Приклад$\PageIndex{19}$

$\dfrac{5y}{2} = \dfrac{15y^2}{6y}$, так як$5y \cdot 6y = 2 \cdot 15y^2$ і$30y^2 = 30y^2$.

Приклад$\PageIndex{20}$

З тих пір$9a \cdot 4 = 18a \cdot 2$,$\dfrac{9a}{18a} = \dfrac{2}{4}$

Негативна властивість дробів

Корисна властивість дробів - негативна властивість дробів.

Негативна властивість дробів

Негативний знак дробу може бути розміщений:

- перед фракцією$-\dfrac{a}{b}$,

- в чисельнику дробу$\dfrac{-a}{b}$,

- в знаменнику дробу$\dfrac{a}{-b}$,

Всі три дробу матимуть однакове значення, тобто

$-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$

Негативна властивість дробів ілюструється дробами

$-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{-4}$

Щоб переконатися в цьому, розглянемо$-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4}$. Чи правильно це?

За властивістю рівності дробів,$-(3 \cdot 4) = -13$ і$-3 \cdot 4 = -12$. Таким чином,$-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4}$. Переконайте себе, що інші дві фракції також рівні.

Це ж властивість тримає для раціональних виразів і негативних знаків. Ця властивість часто є досить корисним для спрощення раціонального виразу (як нам потрібно буде робити в наступних розділах).

Якщо або чисельнику або знаменнику дробу або самому дробу відразу передує негативний знак, зазвичай найзручніше помістити негативний знак в чисельнику для подальших операцій.

Набір зразків B

Приклад$\PageIndex{21}$

$\dfrac{x}{-4}$найкраще написати як$\dfrac{-x}{4}$

Приклад$\PageIndex{21}$

$-\dfrac{y}{9}$найкраще написати як$\dfrac{-y}{9}$

Приклад$\PageIndex{21}$

$-\dfrac{x-4}{2x-5}$можна було б записати так$\dfrac{-(x-4)}{2x-5}$, що б потім дати$\dfrac{-x+4}{2x-5}$

Приклад$\PageIndex{21}$

$\dfrac{-5}{-10-x}$. Фактор наш$-1$ від знаменника.

$\dfrac{-5}{-(10+x)}$Негативний, розділений на негатив, є позитивним

$\dfrac{5}{10+x}$

Приклад$\PageIndex{21}$

$-\dfrac{3}{7-x}$. Перепишіть це.

$\dfrac{-3}{7-x}$Коефіцієнт$-1$ з знаменника.

$\dfrac{-3}{-(-7+x)}$Негативний, розділений на негатив, є позитивним.

$\dfrac{3}{-7+x}$Перепишіть.

$\dfrac{3}{x-7}$

Цей вислів здається менш громіздким, ніж оригінал (менше знаків мінуса).

Практика Set B

Заповніть відсутній термін.

Завдання практики$\PageIndex{8}$

$-\dfrac{5}{y-2} = \dfrac{?}{y-2}$

Відповідь

$−5$

Завдання практики$\PageIndex{9}$

$-\dfrac{a+2}{-a+3} = \dfrac{?}{a-3}$

Відповідь

$a+2$

Завдання практики$\PageIndex{10}$

$-\dfrac{8}{5-y} = \dfrac{?}{y-5}$

Відповідь

$8$

Вправи

Для наступних задач знайдіть область кожного з раціональних виразів.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{6}{x-4}$

Відповідь

$x \not = 4$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{-3}{x-8}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{-11x}{x+1}$

Відповідь

$x≠−1$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{x+10}{x+4}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{x-1}{x^2-4}$

Відповідь

$x≠−2, 2$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{x+7}{x^2-9}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{-x+4}{x^2-36}$

Відповідь

$x≠−6, 6$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{-a+5}{a(a-5)}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{2b}{b(b+6)}$

Відповідь

$b≠0, −6$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{3b+1}{b(b-4)(b+5)}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{3x+4}{x(x-10)(x+1)}$

Відповідь

$x≠0, 10, −1$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{-2x}{x^2(4-x)}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{6a}{a^3(a-5)(7-a)}$

Відповідь

$x≠0, 5, 7$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{-5}{a^2 + 6a + 8}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{-8}{b^2 - 4b + 3}$

Відповідь

$b≠1, 3$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{x-1}{x^2 - 9x + 2}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{y-9}{y^2-y-20}$

Відповідь

$y≠5, −4$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{y-6}{2y^2 - 3y - 2}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{2x + 7}{6x^3 + x^2 - 2x}$

Відповідь

$x \not = 0, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{-x+4}{x^3 - 8x^2 + 12x}$

Для наступних задач показуємо, що дроби еквівалентні.

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{-3}{5}$і$-\dfrac{3}{5}$

Відповідь

$(−3)5=−15, −(3 ⋅ 5)=−15$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{-2}{7}$і$-\dfrac{2}{7}$

Вправа$\PageIndex{23}$

$-\dfrac{1}{4}$і$\dfrac{-1}{4}$

Відповідь

$−(1 ⋅ 4)=−4, 4(−1)=−4$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{-2}{3}$і$-\dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{-9}{10}$і$\dfrac{9}{-10}$

Відповідь

$(−9)(−10)=90$і$(9)(10)=90$

Для наступних проблем заповніть відсутній термін.

Вправа$\PageIndex{26}$

$-\dfrac{4}{x-1} = \dfrac{?}{x-1}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$-\dfrac{2}{x+7} = \dfrac{?}{x+7}$

Відповідь

$−2$

Вправа$\PageIndex{28}$

$-\dfrac{3x+4}{2x-1} = \dfrac{?}{2x-1}$

Вправа$\PageIndex{29}$

$-\dfrac{2x+7}{5x-1} = \dfrac{?}{5x-1}$

Відповідь

$−2x−7$

Вправа$\PageIndex{30}$

$-\dfrac{x-2}{6x-1} = \dfrac{?}{6x-1}$

Вправа$\PageIndex{31}$

$-\dfrac{x-4}{2x-3} = \dfrac{?}{2x-3}$

Відповідь

$−x+4$

Вправа$\PageIndex{32}$

$-\dfrac{x+5}{-x-3} = \dfrac{?}{x+3}$

Вправа$\PageIndex{33}$

$-\dfrac{a+1}{-a-6} = \dfrac{?}{a+6}$

Відповідь

$a+1$

Вправа$\PageIndex{34}$

$\dfrac{x-7}{-x+2} = \dfrac{?}{x-2}$

Вправа$\PageIndex{35}$

$\dfrac{y+10}{-y-6} = \dfrac{?}{y+6}$

Відповідь

$−y−10$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{36}$

Пишіть$(\dfrac{15x^{-3}y^4}{5x^2y^{-7}})^2$ так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.

Вправа$\PageIndex{37}$

Розв'яжіть складну нерівність$1≤6x−5<13$

Відповідь

$1≤x<3$

Вправа$\PageIndex{38}$

Фактор$8x^2 - 18x - 5$.

Вправа$\PageIndex{39}$

Фактор$x^2 - 12x + 36$

Відповідь

$(x-6)^2$

Вправа$\PageIndex{40}$

Поставити відсутнє слово. Фраза «графічне рівняння» інтерпретується як значення «геометрично розташувати ____ до рівняння».