8.8: Додатки
- Page ID
- 58526
П'ятиступінчастий метод
Зараз ми в змозі вивчити деякі застосування раціональних рівнянь. Деякі з цих проблем матимуть практичне застосування, а інші призначені як розробники логіки.
Ми будемо застосовувати п'ятикроковий метод для вирішення словесних задач.
П'ятиступінчастий метод
- Представляють всі невідомі величини в терміні x або якоїсь іншої літери.
- Переведіть словесні фрази на математичні символи і сформуйте рівняння.
- Розв'яжіть це рівняння.
- Перевірте рішення, підставивши результат в початкову постановку задачі.
- Напишіть висновок.
Пам'ятайте, крок 1 дуже важливий: завжди
Ввести змінну.
Набір зразків A
Коли одне і те ж число додається до нумератора і знаменника дробу\(\dfrac{3}{5}\), то результат якщо\(\dfrac{7}{9}\). Що таке число, яке додається?
Крок 1: Нехай\(x = \) число додається.
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ текст {Крок 2:} &\ dfrac {3+x} {5+x} &=\ dfrac {7} {9}\
\ текст {Крок 3:} &\ dfrac {3+x} {5+x} &=\ dfrac {7} {9} &\ text {Виключене значення} -5\
&&&\ text {Помножити кожен член на} 9 (5+ x)\\
& 9 (5 + х)\ cdot\ dfrac {3 + х} {5 + х} &= 9 (5 + х)\ cdot\ dfrac {7} {9}\\
& 9 (3 + x) &= 7 (5 + x)\\
& 27 + 9x &= 35 + 7x\\
& 2x &= 8\\
& x &= 4 &\ text {Перевірте це потенційне рішення}\
\ text {Крок 4:} &\ dfrac {3 + 4} {5 + 4} &=\ dfrac {7} {9} &\ text {Так, це правильно}\
\ текст {Крок 5: Додано число} 4
\ end {масив}\)
Практика Set A
Це ж число додається до чисельника і знаменника дробу\(\dfrac{4}{9}\). Результат є\(\dfrac{2}{3}\). Що таке число, яке додається?
Крок 1: Нехай\(x =\)
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5: Додано число - __.
- Відповідь
-
Додано число - 6.
Набір зразків B
Дві третини числа додаються до зворотного числа врожайності\(\dfrac{25}{6}\). Що таке число?
Крок 1: Нехай\(x = \) число.
Крок 2: Нагадаємо, що зворотним числом\(x\) є число\(\dfrac{1}{x}\).
\(\dfrac{2}{3} \cdot x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{25}{6}\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ текст {Крок 3:} &\ dfrac {2} {3}\ cdot x +\ dfrac {1} {x} &=\ dfrac {25} {6} &\ текст {РК-дисплей} 6x\ текст {. Помножте кожен член на} 6x\\
& 6x\ ddot\ drac {2} {3} x + 6x\ ddot\ drac {1} {x} &= 6x\ ddot\ drac {25} {6}\
& 4x^2 + 6 &= 25x &\ text {Розв'яжіть це бездробове квадратне рівняння для отримання потенційних розв'язків. (Використовуйте властивість нульового фактора.) \\
& 4x^2 - 25x + 6 &= 0\\
& (4x - 1) (x - 6) &= 0\\
& x &=\ dfrac {1} {4}, 6 &\ text {Перевірте ці потенційні рішення}
\ end {масив}\)
Крок 4: Підставляючи вихідне рівняння, може бути, що обидва рішення перевіряють.
Крок 5: Є два рішення:\(\dfrac{1}{4}\) і\(6\).
Практика Set B
Сім половин числа, доданих до зворотного числа, виходить\(\dfrac{23}{6}\). Що таке число?
Крок 1: Нехай\(x =\)
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5: Число є.
- Відповідь
-
Є два числа:\(\dfrac{3}{7}, \dfrac{2}{3}\)
Набір зразків C
Людина А, працюючи поодинці, може залити бетонну доріжку за 6 годин. Людина Б, працюючи поодинці, може залити ту ж доріжку за 4 години. Скільки часу знадобиться обом людям, щоб залити бетонну доріжку, що працює разом?
Крок 1: Нехай\(x = \) кількість годин, щоб залити бетонну доріжку, що працює разом (оскільки це те, що ми шукаємо).
Крок 2: Якщо людина А може виконати роботу за 6 годин, А може завершити\(\dfrac{1}{6}\) роботу за 1 годину. Якщо людина Б може виконати роботу за 4 години, B може завершити\(\dfrac{1}{4}\) роботу за 1 годину. Якщо A і B, працюючи разом, можуть виконати роботу за\(x\) годинами, вони можуть завершити\(\dfrac{1}{x}\) роботу за 1 годину. Помістивши ці три факти у форму рівняння, ми маємо:
\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{x}\)
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ текст {Крок 3:} &\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {1} {4} &=\ dfrac {1} {x} &\ text {Виключене значення 0}\\
& 12x\ cdot\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {12x}\ cdot\ dfrac {1} {4} &= 12x\ ddot\ dfrac {1} {x}\\
& 2x + 3x &= 12 &\ текст { Розв'яжіть це бездробове рівняння для отримання потенційних розв'язків}\\
& 5x &= 12\\ & x &=\ dfrac {12} {5}\ text {або} x=2\ dfrac {2} {5} &\ text {Перевірте це потенційне рішення.}
\\ text {Крок 4:} &\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {1}} &=\ dfrac {1} {x}\\
&\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {1} {4} =\ dfrac {\ frac {1} {12}} {5}. &\ text {Це правильно? }\\
&\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {1} {4} &=\ dfrac {5} {12} &\ текст {РК-дисплей} 12\ текст {. Чи правильно це? }\\
&\ dfrac {2} {12} +\ dfrac {3} {12} &=\ dfrac {5} {12} &\ text {Це правильно? }\\
&\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {5} {12} &\ text {Так, це правильно}
\ end {масив}\)
Крок 5: Працюючи разом, А і В можуть залити бетонну доріжку за\(2\dfrac{2}{5}\) години.
Практика Set C
Людина А, працюючи поодинці, може залити бетонну доріжку за 9 годин. Людина Б, працюючи поодинці, може залити ту ж доріжку за 6 годин. Скільки часу знадобиться обом людям, щоб залити бетонну доріжку, що працює разом?
Крок 1:
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5: Робота разом, A і B.
- Відповідь
-
Працюючи разом, А і В можуть залити бетонну доріжку в\(3\dfrac{3}{5}\) годину.
Набір зразків D
Впускний патрубок може заповнити резервуар для води за 12 годин. Вихідний патрубок може злити бак за 20 годин. Якщо обидві труби відкриті, скільки часу знадобиться для заповнення бака?
Крок 1: Нехай x = кількість годин, необхідних для заповнення бака.
Крок 2: Якщо вхідна труба може заповнити резервуар за\(12\) години, вона може заповнити\(\dfrac{1}{12}\) резервуар за\(1\) годину.
Якщо вихідний патрубок може злити бак за 20 годин, він може злити\(\dfrac{1}{20}\) з бачка за\(1\) годину.
Якщо обидві труби відкриті, на заповнення бака потрібні\(x\) години. Так\(\dfrac{1}{x}\) бак буде заповнений через\(1\) годину.
Так як вода додається (впускний патрубок) і віднімається (вихідний патрубок) отримуємо
\(\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{x}\)
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ текст {Крок 3:} &\ dfrac {1} {12} -\ dfrac {1} {20} &=\ dfrac {1} {x} &\ text {Виключене значення} 0\ text {. РК-дисплей} 60x\ текст {. Помножте кожен член на} 60x. \\
& 60x\ cdot\ dfrac {1} {12} - 60x\ cdot\ dfrac {1} {20} &= 60x\ cdot\ dfrac {1} {x}\
& 5x - 3x &= 60 &\ text {Розв'яжіть це бездробове рівняння для отримання потенційних розв'язків.}\\
& 2x &= 60\ & x &= 30\
& x &= 30 &\ текст { Перевірте це потенційне рішення}\
\ text {Крок 4:} &\ dfrac {1} {12} -\ dfrac {1} {20} &=\ dfrac {1} {x}\\
&\ dfrac {1} {12} -\ dfrac {1} {20} &=\ dfrac {1} {30} &\ text {LCD} 60 текст {. Чи правильно це? }\\
&\ dfrac {5} {60} -\ dfrac {3} {60} &=\ dfrac {1} {30} &\ text {Це правильно? }\\
&\ dfrac {1} {30} &=\ dfrac {1} {30} &\ text {Так, це правильно}
\ end {масив}\)
Крок 5: При відкритих обох трубах знадобиться кілька\(30\) годин, щоб заповнити резервуар для води.
Практика Set D
Вхідний патрубок може заповнити резервуар для води за 8 годин, а випускна труба може злити бак за 10 годин. Якщо обидві труби відкриті, скільки часу знадобиться для заповнення бака?
Крок 1:
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5:
- Відповідь
-
На заповнення ємності буде потрібно 40 годин.
Набір зразків E
Для виконання певної роботи людина A 3 години довше, ніж людина B. Працюючи разом, обидва можуть завершити роботу за 2 години. Скільки часу потрібно кожній людині, щоб завершити роботу, працюючи поодинці?
Крок 1: Нехай\(x=\) час, необхідний для B, щоб завершити роботу, працюючи самостійно. Потім\((x+3) =\) час, необхідний для А, щоб завершити роботу, працюючи поодинці.
\ (\ почати {масив} {змив}
\ текст {Крок 2:} &\ dfrac {1} {x} +\ dfrac {1} {x+3} &=\ dfrac {1} {2}\\ текст {Крок 3:} &
\ dfrac {1} +\ dfrac {1} +\ dfrac {1} {x+3} &dfrac {1} {2} &\ text {Два виключені значення} 0\ text {і} -3\ text {. РК-дисплей} 2x (x+3)\\
& 2x (x+3)\ точка\ dfrac {1} {x} + 2x (x+3)\ точка\ dfrac {1} {x+3} &= 2x (x+3)\ ddot\ dfrac {1}\\
& 2 (x+3) + 2x &= x (x+3)\
& 2x+ 6 + 2x &= x ^ 2 + 3x &\ text {Це квадратне рівняння, яке можна вирішити за допомогою нуль- властивість фактора}\\
& 4x + 6 &= x ^ 2+ 3x\\
& x^2 - x - 6 &= 0\\
& (x-3) (x+2) &= 0\\
& (x-3) (x+2) &= 0\\
& x &= 3, -2 &\ text {Перевірте ці потенційні рішення}
\ end {масив}\)
Крок 4: Якщо\(x = -2\) рівняння перевіряє, але навіть не має фізичного сенсу.
Якщо\(x = 3\), рівняння перевіряє
\(x = 3\)і\(x + 3 = 6\).
Крок 5: Людина Б може виконувати роботу за\(3\) години, а людина А може виконувати роботу за\(6\) години.
Практика Set E
Для виконання певного завдання людині А потрібно 4 години менше, ніж людина Б. Працюючи разом, обидва можуть виконати завдання за\(\dfrac{8}{3}\) години. Скільки часу потрібно кожній людині, щоб виконати завдання, працюючи самостійно?
Крок 1:
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5:
- Відповідь
-
Особа А, 4 год для виконання завдання; особа Б, 8 год виконати завдання.
Набір зразків F
Ширина прямокутника - це\(\dfrac{1}{3}\) його довжина. Знайдіть розміри (довжину і ширину), якщо периметр дорівнює\(16\) см.
Крок 1: Нехай\(x=\) довжина. Потім\(\dfrac{x}{3}=\) ширина.
Крок 2: Робимо ескіз прямокутника.
Периметр фігури - це загальна довжина навколо фігури.
\ (\ почати {масив} {Flushleft}
& x +\ dfrac {x} {3} + х +\ dfrac {x} {3} &= 16\\
& 2x +\ dfrac {2x} {3} &= 16
\\\ текст {Крок 3:} & 2x +\ dfrac {2x} {3} &= 16\\ текст {РК-дисплей {3} є} 3\\
& 3\ крапка 2х+ 3\ точка\ drac {2x} {3} &= 3\ точка 16\\
& 6x + 2x &= 48\\
& 8x &= 48\\
& x &= 6 &\ text {Перевірте це потенційне рішення.}
\\ text {Крок 4:} & 6 +\ dfrac {6} {3} +\ dfrac {6} {3} &= 16 &\ текст {Це правильно?}
& 6 + 2 + 6 + 2 &= 16 &\ текст {Це правильно?} \\
& 16 &= 16 &\ text {Так, це правильно.}
\ end {масив}\)
Так як\(x = 6, \dfrac{x}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Крок 5: Довжина\(=6\) см і ширина\(=2\) см.
Практика Набір F
Ширина прямокутника - це\(\dfrac{1}{12}\) його довжина. Знайдіть розміри (довжину і ширину), якщо периметр\(78\) футів.
Крок 1:
Крок 2:
Крок 3:
Крок 4:
Крок 5:
- Відповідь
-
довжина = 36 футів, ширина = 3 фути.
Вправи
Для наступних завдань вирішуйте за допомогою п'ятикрокового методу.
Коли одне і те ж число додається як до чисельника, так і до знаменника дробу\(\dfrac{3}{7}\), результат буде\(\dfrac{2}{3}\). Що таке число?
- Відповідь
-
Число додано є\(5\).
Коли одне і те ж число додається як до чисельника, так і до знаменника дробу\(\dfrac{5}{8}\), результат буде\(\dfrac{3}{4}\). Що таке число?
Коли одне і те ж число додається як до чисельника, так і до знаменника дробу\(\dfrac{3}{8}\), результат буде\(\dfrac{1}{6}\). Що таке число?
- Відповідь
-
Число додано є\(−2\).
Коли одне і те ж число додається як до чисельника, так і до знаменника дробу\(\dfrac{7}{9}\), результат буде\(\dfrac{2}{3}\). Що таке число?
Коли одне і те ж число віднімається як до чисельника, так і знаменника дробу\(\dfrac{1}{10}\), результат є\(\dfrac{2}{3}\). Що таке число?
- Відповідь
-
Число віднімається дорівнює\(−17\).
Коли одне і те ж число віднімається як до чисельника, так і знаменника дробу\(\dfrac{3}{4}\), результат є\(\dfrac{5}{6}\). Що таке число?
Третина числа додається до зворотної кількості врожайності\(\dfrac{13}{6}\). Що таке число?
- Відповідь
-
\(x= \dfrac{1}{2}, 6\)
Чотири п'яті числа додаються до зворотної кількості врожайності\(\dfrac{81}{10}\). Що таке число?
Половина числа додається до подвоєного зворотного числа\(2\). Що таке число?
- Відповідь
-
\(2\)
Одна четверта частина числа, що додається до чотирьох разів зворотного числа, дає\(\dfrac{-10}{3}\). Що таке число?
Одна впускна труба може заповнити бак за 8 годин. Ще одна вхідна труба може заповнити бак за 5 годин. Скільки часу потрібно обом трубам, що працюють разом, щоб заповнити бак?
- Відповідь
-
\(3\dfrac{1}{13}\)годин.
Одна труба може злити басейн за 12 годин. Інша труба може злити басейн за 15 годин. Скільки часу потрібно обидві труби, що працюють разом, щоб зливати басейн?
Змішувач може заповнити раковину у ванній за 1 хвилину. Злив може спорожнити раковину за 2 хвилини. Якщо і кран, і злив відкриті, скільки часу знадобиться для заповнення раковини?
- Відповідь
-
дві хвилини
Змішувач може заповнити ванну за\(6\dfrac{1}{2}\) лічені хвилини. Злив може спорожнити ванну за\(8\dfrac{1}{3}\) лічені хвилини. Якщо і кран, і злив відкриті, скільки часу знадобиться для заповнення ванни?
Впускний патрубок може заповнити бак за 5 годин. Випускна труба може спорожнити бак за 4 години. Якщо обидві труби відкриті, чи можна заповнити бак? Поясніть.
- Відповідь
-
Ні. \(x=−20\)годин.
Впускний патрубок може заповнити бак в\(a\) одиниці часу. Випускна труба може спорожнити бак в\(b\) одиниці часу. Якщо обидві труби відкриті, скільки одиниць часу потрібно для заповнення бака? Чи є обмеження на\(a\) і\(b\)?
Кур'єр-хлопець, який працює один, може доставити весь свій товар за 6 годин. Ще один доставник, який працює один, може доставити такий же товар за 5 годин. Скільки часу буде потрібно хлопцям, щоб доставити всі товари, що працюють разом?
- Відповідь
-
\(2\dfrac{8}{11}\)годин.
Космічний човник космонавт може виконати певний експеримент за 2 години. Ще один космонавт космічного човника, який не так знайомий з експериментом, може виконати його за\(2\dfrac{1}{2}\) години. Працюючи разом, скільки часу знадобиться обом космонавтам, щоб виконати експеримент?
Одна людина може виконати завдання на 8 годин раніше, ніж інша людина. Працюючи разом, обидві людини можуть виконати завдання за 3 години. Скільки годин потрібно кожній людині, щоб виконати завдання, працюючи самостійно?
- Відповідь
-
Перша особа: 12 годин; друга особа: 4 години
Знайдіть два послідовних цілих числа, такі, що дві третини меншого числа, доданого до іншого, дають 11.
Знайти два послідовних цілих числа, такі, що три чверті меншого числа, доданого до іншого, дають 29.
- Відповідь
-
16,17
Ширина прямокутника - це\(\dfrac{2}{5}\) його довжина. Знайти розміри, якщо периметр 42 метри.
Ширина прямокутника - це\(\dfrac{3}{7}\) довжина. Знайдіть розміри, якщо периметр дорівнює 60 футам.
- Відповідь
-
ширина = 9 футів; довжина = 21 фут
Дві сторони трикутника мають однакову довжину. Третя сторона в два рази довше, ніж будь-яка з двох інших сторін. Периметр трикутника - 56 дюймів. Яка довжина кожної сторони?
У трикутнику друга сторона на 3 дюйми довша, ніж перша сторона. Третя сторона -\(\dfrac{3}{4}\) довжина другої сторони. Якщо периметр 30 дюймів, як довго кожна сторона?
- Відповідь
-
сторона 1 = 9 дюймів; сторона 2 = 12 дюймів; сторона 3 = 9 дюймів
Тиск за рахунок поверхневого натягу в сферичній краплі рідини\(T\) задається тим\(P=\dfrac{2T}{r}\), де знаходиться поверхневий натяг рідини і\(r\) радіус краплі. Якщо рідина є бульбашкою, вона має дві поверхні, і поверхневий натяг задається
\(P = \dfrac{2T}{r} + \dfrac{2T}{r} = \dfrac{4T}{r}\)
(а) Визначте тиск через поверхневий натяг в межах мильної бульбашки радіусом 2 дюймів і поверхневого натягу 28.
(b) Визначте радіус міхура, якщо тиск через поверхневий натяг становить 52, а поверхневий натяг - 39.
Рівняння\(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}\)\(p\) пов'язує відстань об'єкта від об'єктива і відстань зображення\(q\) від об'єктива до\(f\) фокусної відстані об'єктива.
(a) Визначте фокусну відстань об'єктива, в якому об'єкт на відстані 10 футів створює зображення на відстані 6 футів.
(b) Визначте, наскільки далеко об'єкт знаходиться від об'єктива, якщо фокусна відстань об'єктива становить 6 дюймів, а відстань зображення - 10 дюймів.
(c) Визначте, наскільки далеко буде зображення від об'єктива з фокусною відстанню\(4\dfrac{4}{5}\) см, а об'єкт знаходиться на відстані 12 см від об'єктива.
- Відповідь
-
а)\(f = \dfrac{15}{4}\) футів.
б)\(p = 15\) дюймів.
в)\(q = 8\) см.
Людина А може виконати завдання за 4 години, людина Б може виконати завдання за 6 годин, а людина С може виконати завдання за 3 години. Якщо всі три людини працюють разом, скільки часу знадобиться, щоб виконати завдання?
Три вхідні труби можуть заповнити накопичувальний бак за 4, 6 і 8 годин відповідно. Скільки часу займуть всі три труби, щоб заповнити бак?
- Відповідь
-
\(1\dfrac{11}{13}\)годин
Впускний патрубок може заповнити бак за 10 годин. Бак має дві зливні труби, кожна з яких може спорожнити бак за 30 годин. Якщо всі три труби відкриті, чи можна заповнити бак? Якщо так, то скільки часу це займе?
Впускний патрубок може заповнити бак за 4 години. Бак має три зливні труби. Дві зливні труби можуть спорожнити бак за 12 годин, а третя може спорожнити бак за 20 годин. Якщо всі чотири труби відкриті, чи можна заповнити бак? Якщо так, то скільки часу це займе?
- Відповідь
-
30 годин
Вправи для огляду
Фактор\(12a^2 + 13a - 4\).
Знайти нахил лінії, що проходить через точки\((4, -3)\) і\((1, -6)\).
- Відповідь
-
\(m=1\)
Знайдіть частку:\(\dfrac{2 x^{2}-11 x-6}{x^{2}-2 x-24} \div \dfrac{2 x^{2}-3 x-2}{x^{2}+2 x-8}\)
Знайдіть різницю:\(\dfrac{x+2}{x^{2}+5 x+6}-\dfrac{x+1}{x^{2}+4 x+3}\)
- Відповідь
-
\(0\)
Розв'яжіть рівняння\(\dfrac{9}{2m-5} = -2\)