8.7: Раціональні рівняння

Раціональні рівняння

Раціональні рівняння

Коли один раціональний вираз встановлюється рівним іншому раціональному виразу, виходить раціональне рівняння.

Деякі приклади раціональних рівнянь такі (крім числа 5):

Приклад$\PageIndex{1}$

$\dfrac{3x}{4} = \dfrac{15}{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

$\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{x-7}{x-3}$

Приклад$\PageIndex{3}$

$\dfrac{5a}{2} = 10$

Приклад$\PageIndex{4}$

$\dfrac{3}{x} + \dfrac{x-3}{x+1} = \dfrac{6}{5x}$

Приклад$\PageIndex{5}$

$\dfrac{x-6}{x+1}$є раціональним виразом, а не раціональним рівнянням.

Логіка, що стоїть за процесом

Найбільш розумним здається, що рівняння без будь-яких дробів було б легше вирішити, ніж рівняння з дробами. Наша мета полягає в тому, щоб перетворити будь-яке раціональне рівняння в рівняння, яке не містить дробів. Це легко робиться.

Для розробки цього методу розглянемо раціональне рівняння

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{x}{4} = \dfrac{17}{12}$

РК-дисплей - 12. Ми знаємо, що ми можемо помножити обидві сторони рівняння на ту ж ненульову величину, тому ми помножимо обидві сторони на РК-дисплей, 12.

$12(\dfrac{1}{6} + \dfrac{x}{4}) = 12 \cdot \dfrac{17}{12}$

Тепер розподіліть по 12 до кожного члена з лівого боку, використовуючи розподільну властивість.

$12 \cdot \dfrac{1}{6} + 12 \cdot \dfrac{x}{4} = 12 \cdot \dfrac{17}{12}$

Тепер розділіть, щоб усунути всі знаменники.

\ (\ begin {масив} {змивний лівий}
2\ cdot 1 + 3\ cdot x &= 17\\
2 + 3x &= 17
\ кінець {масив}\)

Тепер більше немає дробів, і ми можемо вирішити це рівняння, використовуючи наші попередні методи, щоб отримати 5 як рішення.

Процес

Ми очистили рівняння дробів, помноживши обидві сторони на РК-дисплей. Цей розвиток породжує наступне правило.

Очищення рівняння дробів

Щоб очистити рівняння дробів, помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей.

При множенні обох сторін рівняння на РК-дисплей ми використовуємо розподільну властивість для розподілу РК-дисплея на кожен член. Це означає, що ми можемо спростити вищевказане правило.

Очищення рівняння дробів

Щоб очистити рівняння дробів, помножте кожен член з обох сторін рівняння на РК-дисплей.

Повний метод розв'язання раціонального рівняння

1. Визначте всі значення, які необхідно виключити з розгляду, знайшовши значення, які будуть давати нуль в знаменнику (і, таким чином, ділення на нуль). Ці виключені значення не знаходяться в області рівняння і називаються недоменними значеннями.

2. Очистити рівняння дробів, множивши кожен член на РК-дисплей.

3. Розв'яжіть це недробове рівняння для змінної. Перевірте, чи є будь-яке з цих потенційних рішень виключені значення.

4. Перевірте розчин шляхом підміни.

сторонні рішення

сторонні рішення

Потенційні рішення, які були виключені через те, що вони роблять вираз undefined (або виробляють помилковий твердження для рівняння), називаються сторонніми розв'язками. Сторонні розчини відкидаються. Якщо інших потенційних розв'язків немає, рівняння не має рішення.

Набір зразків A

Вирішіть наступні раціональні рівняння.

Приклад$\PageIndex{6}$

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {3x} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Оскільки знаменниками є константи, виключені значення не існує.} \\
&&\ text {Жодні значення не повинні бути виключені. РК-дисплей - 4. Помножте кожен член на 4}\\
4\ ddot\ dfrac {3x} {4} &= 4\ cdot\ dfrac {15} {2}
\\ скасувати {4}\ cdot\ dfrac {3x} {\ скасувати {4}} &= _ {\ скасувати {4}} ^ {2}\ cdot\ dfrac {15} {\ скасувати 2}}\\
3х &= 2\ cdot 15\\
3х &= 30\\
х &= 10 & 10\ text {не є виключеною величиною. Перевірте це як рішення}.
\ end {масив}\)

Перевірка:

\ (\ почати {масив} {Flushleft}
\ dfrac {3x} {4} &=\ dfrac {15} {2}\
\ dfrac {3 (10)} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {30} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {15} {2} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Так, це правильно}
\ end {масив}\)

Приклад$\PageIndex{7}$

\ (\ begin {вирівняний}
\ dfrac {4} {x-1} &=\ dfrac {2} {x+6} & 1\ text {і} -6\ text {є недоменними значеннями. Виключити їх з розв'язку}\\
&&\ text {РК-дисплей є} (x-1) (x+6)\ text {Помножте кожен член на РК-дисплей}\\
(x-1) (x-1)}\ cdot\ dfrac {2}\ cdot\ dfrac {2}\\ ccancel {(x-1) (x-1) (x-1} (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) +6)\ ddot\ dfrac {4} {\ скасувати {x-1}} &= (x-1)\ скасувати {(x+6)}\
cdot\ dfrac {2} {\ скасувати {x+6}}\\
4 (x+6) &= 2 (x-1) &\ text {Вирішити це бездробове рівняння}\\
4x + 24 &= 2x - 2\\
2x &= -26\
x &= -13 & -13\ текст {не є виключеною величиною. Перевірте це як рішення}
\ end {aligned}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ dfrac {4} {x-1} &=\ dfrac {2} {x+6}
\\ dfrac {4} {-13-1} &=\ dfrac {2} {-13 + 6} &\ текст {Це правильно?} \\
\ dfrac {4} {-14} &=\ dfrac {2} {-7} &\ text {Це правильно?} \\
\ dfrac {2} {-7} &=\ dfrac {2} {-13 + 6} &\ text {Так, це правильно}\
\ end {масив}\)

$-13$це рішення.

Приклад$\PageIndex{8}$

\ (\ begin {масив} {флешлефт}
\ dfrac {4a} {a-4} &= 2 +\ dfrac {16} {a-4}. & 4\ text {є недоменним значенням. Виключити його з розгляду}\\
&&\ text {РК-дисплей} a-4\ text {. Помножте кожен член на} a-4\\
(a-4)\ cdot\ dfrac {4a} {a-4} &= 2 (a-4) + (a-4)\ cdot\ dfrac {16} {a-4}\
\ скасувати {(a-4)}\ cdot\ dfrac {4a} {\ скасувати {a-4}} &= 2 (a-4) +\ {скасувати (a-4) 4)}\ cdot\ dfrac {16} {\ скасувати {a-4}}\\
4a &= 2 (a-4) + 16 &\ text {Вирішити це недробове рівняння}\\
4a &= 2a - 8 + 16\\
4a &= 2a + 8\\
2a &= 8\\
a &= 4
\ кінець {масив}\)

Ця величина$a = 4$, була виключена з розгляду. Це не слід розглядати як рішення. Вона стороння. Оскільки інших потенційних рішень для розгляду немає, ми робимо висновок, що це рівняння не має рішення.

Практика Набір A

Вирішіть наступні раціональні рівняння.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$\dfrac{2x}{5} = \dfrac{x-14}{6}$

Відповідь

$x=−10$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$\dfrac{3a}{a-1} = \dfrac{3a + 8}$

Відповідь

$a=−2$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

$\dfrac{3}{y-3} + 2 = \dfrac{y}{y-3}$

Відповідь

$y = 3$є стороннім, тому рішення немає.

Набір зразків B

Вирішіть наступні раціональні рівняння.

Приклад$\PageIndex{9}$

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2 + x 5} {x^2 - x} &\ text {Фактор всіх знаменників, щоб знайти будь-які виключені значення РК-дисплея}\\
&&\ text {Значення недомену} 0\ text {і 1}. \ текст {Виключити їх з розгляду.}
\\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2+ x + 5} {x (x-1)} &\ текст {РК-дисплей} x (x-1)\ текст {. Помножте кожен член на} x (x-1)\ text {і спростіть}
\ end {масив}\)
$\cancel{x}(x-1) \cdot \dfrac{3}{\cancel{x}} + x(\cancel{x-1}) \cdot \dfrac{4x}{\cancel{x-1}} = \cancel{x(x-1)} \cdot \dfrac{4x^2 + x + 5}{\cancel{x(x-1)}}$.
\ (\ begin {масив} {Flushleft}
3 (x-1) + 4x\ cdot x &= 4x^2 + x + 5 &\ text {Розв'яжіть це бездробове рівняння для отримання потенційних розв'язків}\\
3x - 3\
3x - 3\\ 2x - 3 &= x + 5\\
2x &= 8\\\
x &= 4 & 4\ text {не є виключеною величиною. Перевірте це як рішення}
\ end {масив}\)

Перевірка:

\ (\ почати {масив} {флешлефт}
\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2 + x + 5} {x^2 - x}\
\ dfrac {3} {4} +\ dfrac {4\ cdot 4} {4-1} &=\ dfrac {4} cdot 4^2 + 4 + 5} {16 - 4} &\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {3} {4} +\ dfrac {16} {3} &=\ dfrac {64 + 4 + 5} {12} &\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {9} {12} +\ dfrac {64} {12} &=\ dfrac {73} {12} &\ text {Це правильно? }\
\ dfrac {73} {12} &=\ dfrac {73} {12} &\ text {Так, це правильно}
\ end {масив}\)

$4$це рішення.

Властивість нульового фактора може бути використана для розв'язання деяких типів раціональних рівнянь. Ми вивчили властивість нульового фактора в розділі 5.1, і ви можете пам'ятати, що вона стверджує, що якщо$a$ і$b$ є дійсними числами і що$a \cdot b=0$, то або або обидва$a=0$, або. Властивість$b=0$ нульового фактора корисна при розв'язанні наступного раціонального рівняння.

Приклад$\PageIndex{10}$

\ (\ begin {масив} {flushleft}
\ dfrac {3} {a^2} -\ dfrac {2} {a} &= 1 &\ text {Нуль є виключеною величиною.}\\
&&\ text {РК-дисплей} a^2\ text {множити кожен член на} a^2\ text {і спростити}
\\ скасувати {a^2}\ cdot\ dfra c {3} {\ cancel {a^2}} -\ cancel {a^2}\ cdot\ dfrac {2} {\ cancel {a}} &= 1\ cdot a^2\
3-2a &= a^2 &\ text {Розв'яжіть це бездробове квадратне рівняння. Встановіть його рівним нулю}\\
0 &= a^2 + 2a - 3\\
0 &= (a+3) (a-1)\
a&= - 3, a = 1 &\ text {Перевірте їх як рішення}
\ end {масив}\)

Перевірка:

\ (\ begin {масив} {Flushleft}
\ текст {Якщо} a = -3: &\ dfrac {3} {(-3) ^2} -\ dfrac {2} {-3} &= 1 &\ text {Це правильно? }\\
&\ dfrac {3} {9} +\ dfrac {2} {3} &= 1 &\ текст {Чи правильно це? }\\
&\ dfrac {1} {3} +\ dfrac {2} {3} &= 1 &\ текст {Чи правильно це? }\\
& 1 &= 1 &\ текст {Так, це правильно}\\
& a &= -3 &\ text {Перевіряє і є рішенням}\
\ text {Якщо} a = 1: &\ dfrac {3} {(1) ^2} -\ dfrac {2} {1} &= 1 &\ text {Це правильно? }\\
&\ dfrac {3} {1} -\ dfrac {2} {1} &= 1 &\ текст {Чи правильно це? }\\
& 1 &= 1 &\ text {Так, це правильно.}\\
& a &= 1 &\ text {Перевіряє і є рішенням}
\ end {масив}\)

$-3$і$1$ є рішеннями.

Практика Set B

Завдання практики$\PageIndex{4}$

Розв'яжіть рівняння$\dfrac{a+3}{a-2} = \dfrac{a+1}{a-1}$

Відповідь

$a = \dfrac{1}{3}$

Завдання практики$\PageIndex{5}$

Вирішити рівняння$\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x}{x^2 - 1}$

Відповідь

Це рівняння не має рішення. $x=1$є стороннім.

Розділ 7.6 Вправи

Для наступних задач вирішуйте раціональні рівняння.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{32}{x} = \dfrac{16}{3}$

Відповідь

$x = 6$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{54}{y} = \dfrac{27}{4}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{8}{y} = \dfrac{2}{3}$

Відповідь

$y=12$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{x}{28} = \dfrac{3}{7}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{x-3}{2}$

Відповідь

$x = 7$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{a + 3}{6} = \dfrac{a - 1}{4}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{y-3}{6} = \dfrac{y + 1}{4}$

Відповідь

$y=−9$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{x-7}{8} = \dfrac{x+5}{6}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{a + 6}{9} - \dfrac{a-1}{6} = 0$

Відповідь

$a=15$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{y + 11}{4} = \dfrac{y + 8}{10}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{b + 1}{2} + 6 = \dfrac{b- 4}{3}$

Відповідь

$b=−47$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{m+3}{2} + 1 = \dfrac{m-4}{5}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{a - 6}{2} + 4 = -1$

Відповідь

$a=−4$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{b + 11}{3} + 8 = 6$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{y - 1}{y + 2} = \dfrac{y + 3}{y - 2}$

Відповідь

$y = -\dfrac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{x + 2}{x - 6} = \dfrac{x - 1}{x + 2}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{3m + 1}{2m} = \dfrac{4}{3}$

Відповідь

$m=−3$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2k + 7}{3k} = \dfrac{5}{4}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{4}{x + 2} = 1$

Відповідь

$x=2$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{-6}{x - 3} = 1$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{a}{3} + \dfrac{10 + a}{4} = 6$

Відповідь

$a=6$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{k + 17}{5} - \dfrac{k}{2} = 2k$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{2b + 1}{3b - 5} = \dfrac{1}{4}$

Відповідь

$b = -\dfrac{9}{5}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{-3a + 4}{2a - 7} = \dfrac{-7}{9}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{x}{x + 3} - \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{10}{x^2 + x - 6}$

Відповідь

$x=−2$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{3y}{y-1} + \dfrac{2y}{y-6} = \dfrac{5y^2 - 15y + 20}{y^2 - 7y + 6}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\dfrac{4a}{a+2} - \dfrac{3a}{a-1} = \dfrac{a^2 - 8a - 4}{a^2 + a - 2}$

Відповідь

$a=2$

Вправа$\PageIndex{28}$

$\dfrac{3a - 7}{a-3} = \dfrac{4a - 10}{a - 3}$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\dfrac{2x - 5}{x - 6} = \dfrac{x+1}{x-6}$

Відповідь

Немає рішення; 6 є виключеною величиною.

Вправа$\PageIndex{30}$

$\dfrac{3}{x + 4} + \dfrac{5}{x + 4} = \dfrac{3}{x - 1}$

Вправа$\PageIndex{31}$

$\dfrac{2}{y + 2} + \dfrac{8}{y + 2} = \dfrac{9}{y + 3}$

Відповідь

$y=−12$

Вправа$\PageIndex{32}$

$\dfrac{4}{a^2 + 2a} = \dfrac{3}{a^2 + a - 2}$

Вправа$\PageIndex{33}$

$\dfrac{2}{b(b+2)} = \dfrac{3}{b^2 + 6b + 8}$

Відповідь

$b=8$

Вправа$\PageIndex{34}$

$\dfrac{x}{x-1} + \dfrac{3x}{x-4} = \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^2 - 5x + 4}$

Вправа$\PageIndex{35}$

$\dfrac{4x}{x+2} - \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2}$

Відповідь

немає рішення

Вправа$\PageIndex{36}$

$\dfrac{2}{a-5} - \dfrac{4a - 2}{a^2 - 6a + 5} = \dfrac{-3}{a-1}$

Вправа$\PageIndex{37}$

$\dfrac{-1}{x+4} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{4x + 19}{x^2 + 5x + 4}$

Відповідь

Немає рішення;$−4$ є виключеною величиною.

Вправа$\PageIndex{38}$

$\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} = 1$

Вправа$\PageIndex{39}$

$\dfrac{6}{y^2} - \dfrac{5}{y} = 1$

Відповідь

$y=−6, 1$

Вправа$\PageIndex{40}$

$\dfrac{12}{a^2} - \dfrac{4}{a} = 1$

Вправа$\PageIndex{41}$

$\dfrac{20}{x^2} - \dfrac{1}{x} = 1$

Відповідь

$x=4, −5$

Вправа$\PageIndex{42}$

$\dfrac{12}{y} + \dfrac{12}{y^2} = -3$

Вправа$\PageIndex{43}$

$\dfrac{16}{b^2} + \dfrac{12}{b} = 4$

Відповідь

$y=4,−1$

Вправа$\PageIndex{44}$

$\dfrac{1}{x^2} = 1$

Вправа$\PageIndex{45}$

$\dfrac{16}{y^2} = 1$

Відповідь

$y=4,−4$

Вправа$\PageIndex{46}$

$\dfrac{25}{a^2} = 1$

Вправа$\PageIndex{47}$

$\dfrac{36}{y^2} = 1$

Відповідь

$y=6,−6$

Вправа$\PageIndex{48}$

$\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{3}{x} = 2$

Вправа$\PageIndex{49}$

$\dfrac{2}{a^2} - \dfrac{5}{a} = 3$

Відповідь

$a = \dfrac{1}{3}, -2$

Вправа$\PageIndex{50}$

$\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{7}{x} = -6$

Вправа$\PageIndex{51}$

$\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{9}{a} = 9$

Відповідь

$a = -\dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{3}$

Вправа$\PageIndex{52}$

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{x+2} + 1$

Вправа$\PageIndex{53}$

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x+4} - \dfrac{3}{2}$

Відповідь

$x = -\dfrac{4}{3}, -2$

Вправа$\PageIndex{54}$

$\dfrac{4}{m} - \dfrac{5}{m-3} = 7$

Вправа$\PageIndex{55}$

$\dfrac{6}{a + 1} - \dfrac{2}{a-2} = 5$

Відповідь

$a = \dfrac{4}{5}, 1$

Для наступних задач вирішуйте кожне буквальне рівняння для позначеної літери.

Вправа$\PageIndex{56}$

$V = \dfrac{GMm}{D}$для$D$

Вправа$\PageIndex{57}$

$PV = nrt$для$n$.

Відповідь

$n = \dfrac{PV}{rt}$

Вправа$\PageIndex{58}$

$E = mc^2$для$m$

Вправа$\PageIndex{59}$

$P = 2(1 + w)$для$w$.

Відповідь

$W = \dfrac{P - 2}{2}$

Вправа$\PageIndex{60}$

$A = \dfrac{1}{2}h(b + B)$для$B$.

Вправа$\PageIndex{61}$

$A = P(1 + rt)$для$r$.

Відповідь

$r = \dfrac{A - P}{Pt}$

Вправа$\PageIndex{62}$

$z = \dfrac{x-\hat{x}}{s}$для$\hat{x}$

Вправа$\PageIndex{63}$

$F=\dfrac{S_{x}^{2}}{S_{y}^{2}} \text { for } S_{y}^{2}$

Відповідь

$S_{y}^{2}=\dfrac{S_{x}^{2}}{F}$

Вправа$\PageIndex{64}$

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{E} + \dfrac{1}{F}$для$F$.

Вправа$\PageIndex{65}$

$K = \dfrac{1}{2}h(s_1 + s_2)$для$s_2$.

Відповідь

$S_{2}=\dfrac{2 K}{h}-S_{1} \text { or } \dfrac{2 K-h S_{1}}{h}$

Вправа$\PageIndex{66}$

$Q = \dfrac{2mn}{s + t}$для$s$.

Вправа$\PageIndex{67}$

$V = \dfrac{1}{6}\pi(3a^2 + h^2)$для$h^2$.

Відповідь

$h_{2}=\dfrac{6 V-3 \pi a^{2}}{\pi}$

Вправа$\PageIndex{68}$

$I = \dfrac{E}{R + r}$для$R$.

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{69}$

Пишіть$(4x^3y^{-4})^{-2}$ так, щоб з'являлися тільки позитивні показники.

Відповідь

$\dfrac{y^8}{16x^6}$

Вправа$\PageIndex{70}$

Фактор$x^4 - 16$

Вправа$\PageIndex{71}$

Поставити відсутнє слово. Нахил лінії - це міра _____ лінії.

Відповідь

крутизна

Вправа$\PageIndex{72}$

Знайти товар$\dfrac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x-12} \cdot \dfrac{x^{2}+6 x+9}{x^{2}+x-2} \cdot \dfrac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}+x-6}$

Вправа$\PageIndex{73}$

Знайти суму. $\dfrac{2x}{x+1} + \dfrac{1}{x-3}$

Відповідь

$\dfrac{2x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-3)}$