8.3: Зменшення раціональних виразів

Логіка, що стоїть за процесом

При роботі з раціональними виразами найчастіше найкраще писати їх в максимально простому вигляді. Наприклад, раціональне вираження

$$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8} \nonumber$$

можна звести до більш простого вираження$\dfrac{x+2}{x-4}$ для всіх,$x$ крім$x = 2, 4$.

З нашого обговорення рівності дробів у розділі 8.2 ми знаємо, що$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ коли$ad=bc$. Цей факт дозволяє зробити висновок, що, якщо$k≠0, \dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a}{b}$, так$akb = abk$ (згадати комутативне властивість множення). Але цей факт означає, що якщо множник (в даному випадку,$k$) є загальним як для чисельника, так і для знаменника дробу, ми можемо видалити його, не змінюючи значення дробу.

$$\dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a \not k}{b \not k} = \dfrac{a}{b} \nonumber$$

Скасування

Процес видалення загальних факторів прийнято називати скасуванням.

Приклад$\PageIndex{1}$

$\dfrac{16}{40}$можна звести до$\dfrac{2}{5}$.

Процес:

$\dfrac{16}{40} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$

Прибрати три фактори$1$;$\dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2}$.

$\dfrac{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 2}{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 5} = \dfrac{2}{5}$

Зверніть увагу$\dfrac{2}{5}$, що в, немає коефіцієнта загального для чисельника та знаменника.

Приклад$\PageIndex{2}$

$\dfrac{111}{148}$можна звести до$\dfrac{3}{4}$. Процес:

$\dfrac{111}{148} = \dfrac{3 \cdot 37}{4 \cdot 37}$

Прибрати фактор$1$;$\dfrac{37}{37}$.

$\dfrac{3 \cdot \cancel{37}}{4 \cdot \cancel{37}}$.

$\dfrac{3}{4}$

Зверніть увагу$\dfrac{3}{4}$, що в, немає іншого фактора, спільного для чисельника і знаменника.

Приклад$\PageIndex{3}$

$\dfrac{3}{9}$можна звести до$\dfrac{1}{3}$. Процес:

$\dfrac{3}{9} = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$.

Прибрати фактор$1$;$\dfrac{3}{3}$.

$\dfrac{\not 3 \cdot 1}{\not 3 \cdot 3} = \dfrac{1}{3}$

Зверніть увагу, що в$\dfrac{1}{3}$ немає загального для чисельника і знаменника коефіцієнта.

Приклад$\PageIndex{4}$

$\dfrac{5}{7}$не можна зменшити, оскільки немає загальних для чисельника та знаменника факторів.

Проблеми 1, 2 та 3, показані вище, можуть бути зменшені. Процес в кожному скороченні включав наступні етапи:

1. Були враховані і чисельник, і знаменник.
2. Фактори, які були загальними як для чисельника, так і для знаменника, були відзначені і видалені шляхом їх поділу.

Ми знаємо, що ми можемо розділити обидві сторони рівняння на одне і те ж ненульове число, але чому ми повинні бути в змозі розділити і чисельник, і знаменник дробу на одне і те ж ненульове число? Причина полягає в тому, що будь-яке ненульове число, розділене саме по собі, дорівнює 1, і що якщо число помножити на 1, воно залишається незмінним.

Розглянемо дріб$\dfrac{6}{24}$. Помножте цей дріб на$1$. Про це написано$\dfrac{6}{24} \cdot 1$. Але$1$ може бути переписаний як$\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}}$.

$\dfrac{6}{24} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{6}}{24 \cdot \dfrac{1}{6}} = \dfrac{1}{4}$.

Відповіддю$\dfrac{1}{4}$, є зменшена форма. Зверніть увагу, що в$\dfrac{1}{4}$ немає коефіцієнта, спільного як для чисельника, так і для знаменника. Це міркування дає обґрунтування наступного правила.

Скасування

Множення або ділення чисельника і знаменника на одне і те ж ненульове число не змінює значення дробу.

Процес

Тепер ми можемо констатувати процес зменшення раціонального вираження.

Зменшення раціонального виразу

1. Коефіцієнт чисельника і знаменника повністю.
2. Розділіть чисельник і знаменник на всі спільні у них фактори, тобто приберіть всі множники 1.

Знижений до найнижчих термінів

Раціональний вираз, як кажуть, зводиться до найнижчих членів, коли чисельник і знаменник не мають спільних факторів.

Набір зразків A

Зменшіть наступні раціональні вирази.

Приклад$\PageIndex{5}$

$\dfrac{15x}{20x}$Фактор.

$\dfrac{15x}{20x} = \dfrac{5 \cdot 3 \cdot x}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x}$. Факторами, які є загальними як для чисельника, так і знаменника, є$5$ і$x$. Розділіть кожну на$5x$.

$\dfrac{\cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{x}}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{x}} = \dfrac{3}{4}, x \not = 0$.

Корисно провести лінію через розділені фактори.

Приклад$\PageIndex{6}$

$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8}$. Фактор.

$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-4)}$. Коефіцієнт, який є загальним як для чисельника, так і для знаменника є$x-2$. Розділіть кожну на$x-2$.

$\dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x-4)} = \dfrac{x+2}{x-4}, x \not = 2, 4$.

Вираз$\dfrac{x-2}{x-4}$ є скороченою формою, оскільки немає загальних факторів як для чисельника, так і для знаменника. Хоча є$x$ в обох, це загальний термін, а не загальний фактор, і тому не може бути розділений.

УВАГА - Це поширена$\dfrac{x-2}{x-4} = \dfrac{\cancel{x}-2}{\cancel{x}-4} = \dfrac{2}{3}$ помилка: неправильно!

Приклад$\PageIndex{7}$

$\dfrac{a+2b}{6a+12b}$. Фактор.

$\dfrac{a+2b}{6(a+2b)} = \dfrac{\cancel{a+2b}}{6 \cancel{(a+2b)}} = \dfrac{1}{6}, a \not = -2b$.

Оскільки$a+2b$ є загальним фактором як для чисельника, так і знаменника, ми ділимо обидва на$a+2b$. Так як$\dfrac{(a+2b)}{(a+2b)} = 1$, ми отримуємо$1$ в чисельнику.

Іноді ми можемо зменшити раціональний вираз, використовуючи правило ділення експонентів.

Приклад$\PageIndex{8}$

$\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2}$. Фактор і скористайтеся правилом$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.

$\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}x^{2-1}y^{5-2}$

$= 2xy^3, x \not = 0, y \not = 0$

Приклад$\PageIndex{9}$

$\dfrac{-10x^3a(x^2-36)}{2x^3-10x^2-12x}$. Фактор.

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {-10x^3a (x^2-36)} {2x^3-10x^2-12x} &=\ dfrac {-5\ cdot 2x^3a (x+6)} {2x (x^2 - 5x - 6)}\\
&=\ dfrac {-5\ cточка 2x^3a (x+6)) (x-6)} {2x (x-6) (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5\ cdot\ скасувати {2} x^ {\ скасувати {3}} a (x+6)} (x-6)} {\ cancel {2}\ скасувати {x}\ скасувати {(x-6) } (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5x^2a (x+6)} {x-1}, x\ not = -1, 6
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад$\PageIndex{10}$

$\dfrac{x^2 - x - 12}{-x^2 + 2x + 8}$. Оскільки найзручніше мати провідні члени полінома позитивного, коефіцієнт$-1$ з знаменника.

$\dfrac{x^2 - x - 12}{-(x^2 - 2x - 8)}$. Перепишіть це.

$-\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 8}$. Фактор

$-\dfrac{\cancel{(x-4)}(x+3)}{\cancel{(x-4)}(x+2)}$

$-\dfrac{x+3}{x+2} = \dfrac{-(x+3)}{x+2} = \dfrac{-x-3}{x+2}, x \not = -2, 4$

Приклад$\PageIndex{11}$

$\dfrac{a-b}{b-a}$. Чисельник і знаменник мають однакові терміни, але зустрічаються вони з протилежними знаками. Коефіцієнт$-1$ від знаменника.

$\dfrac{a-b}{-(-b+a)} = \dfrac{a-b}{-(a-b)} = -\dfrac{\cancel{a-b}}{\cancel{a-b}} = -1, a \not = b$

Практика Set A

Зменшіть кожну з наступних дробів до найнижчих.

Завдання практики$\PageIndex{1}$

$\dfrac{30y}{35y}$

Відповідь

$\dfrac{6}{7}$

Завдання практики$\PageIndex{2}$

$\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$

Відповідь

$\dfrac{x-3}{x+2}$

Завдання практики$\PageIndex{3}$

$\dfrac{x+2b}{4x+8b}$

Відповідь

$\dfrac{1}{4}$

Завдання практики$\PageIndex{4}$

$\dfrac{18a^3b^5c^7}{3ab^3c^5}$

Відповідь

$6a^2b^2c^2$

Завдання практики$\PageIndex{5}$

$\dfrac{-3a^4+75a^2}{2a^3-16a^2+30a}$

Відповідь

$\dfrac{-3a(a+5)}{2(a-3)}$

Завдання практики$\PageIndex{6}$

$\dfrac{x^2-5x+4}{-x^2+12x-32}$

Відповідь

$\dfrac{-x+1}{x-8}$

Завдання практики$\PageIndex{7}$

$\dfrac{2x-y}{y-2x}$

Відповідь

$-1$

Вправи

Для наступних завдань зведіть кожне раціональне вираження до найнижчих термінів.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{6}{3x-12}$

Відповідь

$\dfrac{2}{(x-4)}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{8}{4a-16}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{9}{3y-21}$

Відповідь

$\dfrac{3}{(y-7)}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{10}{5x-5}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{7}{7x-14}$

Відповідь

$\dfrac{1}{(x-2)}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{6}{6x - 18}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{2y^2}{8y}$

Відповідь

$\dfrac{1}{4}y$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{4x^3}{2x}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{16a^2b^3}{2ab^2}$

Відповідь

$8ab$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{20a^4b^4}{4ab^2}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+5)}$

Відповідь

$\dfrac{x-2}{x+5}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{(y-1)(y-7)}{(y-1)(y+6)}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{(a+6)(a-5)}{(a-5)(a+2)}$

Відповідь

$\dfrac{a+6}{a+2}$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{(m-3)(m-1)}{(m-1)(m+4)}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{(y-2)(y-3)}{(y-3)(y-2)}$

Відповідь

$1$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{(x+7)(x+8)}{(x+8)(x+7)}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{-12x^2(x+4)}{4x}$

Відповідь

$−3x(x+4)$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{-3a^4(a-1)(a+5)}{-2a^3(a-1)(a+9)}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{6x^2y^5(x-1)(x+4)}{-2xy(x+4)}$

Відповідь

$-3xy^4(x-1)$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{22a^4b^6c^7(a+2)(a-7)}{4c(a+2)(a-5)}$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{(x+10)^3}{x+10}$

Відповідь

$(x+10)^2$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{(y-6)^7}{y-6}$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{(x-8)^2(x+6)^4}{(x-8)(x+6)}$

Відповідь

$(x-8)(x+6)^3$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{(y-2)^6(y-1)^4}{(y-2)^3(y-1)^2}$

Відповідь

$(y-2)^3(y-1)^2$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{(x+10)^5(x-6)^3}{(x-6)(x+10)^2}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{(a+6)^2(a-7)^6}{(a+6)^5(a-7)^2}$

Відповідь

$\dfrac{(a-7)^4}{(a+6)^3}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\dfrac{(m+7)^4(m-8)^5}{(m+7)^7(m-8)^2}$

Вправа$\PageIndex{28}$

$\dfrac{(a+2)(a-1)^3}{(a+1)(a-1)}$

Відповідь

$\dfrac{(a+2)(a-1)^2}{(a+1)}$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\dfrac{(b+6)(b-2)^4}{(b-1)(b-2)}$

Вправа$\PageIndex{30}$

$\dfrac{8(x+2)^3(x-5)^6}{2(x+2)(x-5)^2}$

Відповідь

$4(x+2)^2(x-5)^4$

Вправа$\PageIndex{31}$

$\dfrac{14(x-4)^3(x-10)^6}{-7(x-4)^2(x-10)^2}$

Вправа$\PageIndex{32}$

$\dfrac{x^2+3x-10}{x^2+2x-15}$

Вправа$\PageIndex{33}$

$\dfrac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 6x - 7}$

Відповідь

$\dfrac{(x-3)}{(x+1)}$

Вправа$\PageIndex{34}$

$\dfrac{x^2 + 10x + 24}{x^2 + 6x}$

Вправа$\PageIndex{35}$

$\dfrac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$

Відповідь

$\dfrac{(x+2)}{x}$

Вправа$\PageIndex{36}$

$\dfrac{6b^2-b}{6b^2+11b-2}$

Вправа$\PageIndex{37}$

$\dfrac{3b^2 + 10b + 3}{3b^2 + 7b + 2}$

Відповідь

$\dfrac{b+3}{b+2}$

Вправа$\PageIndex{38}$

$\dfrac{4b^2-1}{2b^2 + 5b - 3}$

Вправа$\PageIndex{39}$

$\dfrac{16a^2 - 9}{4a^2 - a - 3}$

Відповідь

$\dfrac{(4a-3)}{(a-1)}$

Вправа$\PageIndex{40}$

$\dfrac{20x^2 + 28xy + 9y^2}{4x^2 + 4xy + y^2}$

Для наступних проблем зменшіть кожне раціональне вираження, якщо це можливо. Якщо це неможливо, вкажіть відповідь у найнижчі терміни.

Вправа$\PageIndex{41}$

$\dfrac{x+3}{x+4}$

Відповідь

$\dfrac{(x+3)}{(x+4)}$

Вправа$\PageIndex{42}$

$\dfrac{a+7}{a-1}$

Вправа$\PageIndex{43}$

$\dfrac{3a+6}{3}$

Відповідь

$a+2$

Вправа$\PageIndex{44}$

$\dfrac{4x + 12}{4}$

Вправа$\PageIndex{45}$

$\dfrac{5a-5}{-5}$

Відповідь

$-(a - 1)$або$-a + 1$

Вправа$\PageIndex{46}$

$\dfrac{6b - 6}{-3}$

Вправа$\PageIndex{47}$

$\dfrac{8x - 16}{-4}$

Відповідь

$−2(x−2)$

Вправа$\PageIndex{48}$

$\dfrac{4x - 7}{-7}$

Вправа$\PageIndex{49}$

$\dfrac{-3x + 10}{10}$

Відповідь

$\dfrac{-3x + 10}{10}$

Вправа$\PageIndex{50}$

$\dfrac{x - 2}{2 - x}$

Вправа$\PageIndex{51}$

$\dfrac{a - 3}{3 - a}$

Відповідь

$-1$

Вправа$\PageIndex{52}$

$\dfrac{x^3 - x}{x}$

Вправа$\PageIndex{53}$

$\dfrac{y^4 - y}{y}$

Відповідь

$y^3 - 1$

Вправа$\PageIndex{54}$

$\dfrac{a^5 -a^2}{a}$

Вправа$\PageIndex{55}$

$\dfrac{a^6 - a^4}{a^3}$

Відповідь

$a(a+1)(a−1)$

Вправа$\PageIndex{56}$

$\dfrac{4b^2 + 3b}{b}$

Вправа$\PageIndex{57}$

$\dfrac{2a^3 + 5a}{a}$

Відповідь

$2a^2 + 5$

Вправа$\PageIndex{58}$

$\dfrac{a}{a^3 + a}$

Вправа$\PageIndex{59}$

$\dfrac{x^4}{x^5 - 3x}$

Відповідь

$\dfrac{x^3}{x^4 - 3}$

Вправа$\PageIndex{60}$

$\dfrac{-a}{-a^2-a}$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{61}$

Пишіть$(\dfrac{4^4a^8b^{10}}{4^2a^6b^2})^{-1}$ так, щоб з'являлися тільки позитивні експоненети.

Відповідь

$\dfrac{1}{16a^2b^8}$

Вправа$\PageIndex{62}$

Фактор$y^4 - 16$

Вправа$\PageIndex{63}$

Фактор$10x^2 - 17x + 3$

Відповідь

$(5x−1)(2x−3)$

Вправа$\PageIndex{64}$

Поставити відсутнє слово. Рівняння, виражене у вигляді$ax+by=c$, кажуть, виражається в ____ формі.

Вправа$\PageIndex{65}$

Знайдіть область раціонального виразу:$\dfrac{2}{x^2 - 3x - 18}$

Відповідь

$x≠−3, 6$