8.3: Зменшення раціональних виразів
- Page ID
- 58523
Логіка, що стоїть за процесом
При роботі з раціональними виразами найчастіше найкраще писати їх в максимально простому вигляді. Наприклад, раціональне вираження
\[\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8} \nonumber\]
можна звести до більш простого вираження\(\dfrac{x+2}{x-4}\) для всіх,\(x\) крім\(x = 2, 4\).
З нашого обговорення рівності дробів у розділі 8.2 ми знаємо, що\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) коли\(ad=bc\). Цей факт дозволяє зробити висновок, що, якщо\(k≠0, \dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a}{b}\), так\(akb = abk\) (згадати комутативне властивість множення). Але цей факт означає, що якщо множник (в даному випадку,\(k\)) є загальним як для чисельника, так і для знаменника дробу, ми можемо видалити його, не змінюючи значення дробу.
\[\dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a \not k}{b \not k} = \dfrac{a}{b} \nonumber\]
Скасування
Процес видалення загальних факторів прийнято називати скасуванням.
\(\dfrac{16}{40}\)можна звести до\(\dfrac{2}{5}\).
Процес:
\(\dfrac{16}{40} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}\)
Прибрати три фактори\(1\);\(\dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2}\).
\(\dfrac{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 2}{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 5} = \dfrac{2}{5}\)
Зверніть увагу\(\dfrac{2}{5}\), що в, немає коефіцієнта загального для чисельника та знаменника.
\(\dfrac{111}{148}\)можна звести до\(\dfrac{3}{4}\). Процес:
\(\dfrac{111}{148} = \dfrac{3 \cdot 37}{4 \cdot 37}\)
Прибрати фактор\(1\);\(\dfrac{37}{37}\).
\(\dfrac{3 \cdot \cancel{37}}{4 \cdot \cancel{37}}\).
\(\dfrac{3}{4}\)
Зверніть увагу\(\dfrac{3}{4}\), що в, немає іншого фактора, спільного для чисельника і знаменника.
\(\dfrac{3}{9}\)можна звести до\(\dfrac{1}{3}\). Процес:
\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}\).
Прибрати фактор\(1\);\(\dfrac{3}{3}\).
\(\dfrac{\not 3 \cdot 1}{\not 3 \cdot 3} = \dfrac{1}{3}\)
Зверніть увагу, що в\(\dfrac{1}{3}\) немає загального для чисельника і знаменника коефіцієнта.
\(\dfrac{5}{7}\)не можна зменшити, оскільки немає загальних для чисельника та знаменника факторів.
Проблеми 1, 2 та 3, показані вище, можуть бути зменшені. Процес в кожному скороченні включав наступні етапи:
- Були враховані і чисельник, і знаменник.
- Фактори, які були загальними як для чисельника, так і для знаменника, були відзначені і видалені шляхом їх поділу.
Ми знаємо, що ми можемо розділити обидві сторони рівняння на одне і те ж ненульове число, але чому ми повинні бути в змозі розділити і чисельник, і знаменник дробу на одне і те ж ненульове число? Причина полягає в тому, що будь-яке ненульове число, розділене саме по собі, дорівнює 1, і що якщо число помножити на 1, воно залишається незмінним.
Розглянемо дріб\(\dfrac{6}{24}\). Помножте цей дріб на\(1\). Про це написано\(\dfrac{6}{24} \cdot 1\). Але\(1\) може бути переписаний як\(\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}}\).
\(\dfrac{6}{24} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{6}}{24 \cdot \dfrac{1}{6}} = \dfrac{1}{4}\).
Відповіддю\(\dfrac{1}{4}\), є зменшена форма. Зверніть увагу, що в\(\dfrac{1}{4}\) немає коефіцієнта, спільного як для чисельника, так і для знаменника. Це міркування дає обґрунтування наступного правила.
Множення або ділення чисельника і знаменника на одне і те ж ненульове число не змінює значення дробу.
Процес
Тепер ми можемо констатувати процес зменшення раціонального вираження.
- Коефіцієнт чисельника і знаменника повністю.
- Розділіть чисельник і знаменник на всі спільні у них фактори, тобто приберіть всі множники 1.
Раціональний вираз, як кажуть, зводиться до найнижчих членів, коли чисельник і знаменник не мають спільних факторів.
Набір зразків A
Зменшіть наступні раціональні вирази.
\(\dfrac{15x}{20x}\)Фактор.
\(\dfrac{15x}{20x} = \dfrac{5 \cdot 3 \cdot x}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x}\). Факторами, які є загальними як для чисельника, так і знаменника, є\(5\) і\(x\). Розділіть кожну на\(5x\).
\(\dfrac{\cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{x}}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{x}} = \dfrac{3}{4}, x \not = 0\).
Корисно провести лінію через розділені фактори.
\(\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8}\). Фактор.
\(\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-4)}\). Коефіцієнт, який є загальним як для чисельника, так і для знаменника є\(x-2\). Розділіть кожну на\(x-2\).
\(\dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x-4)} = \dfrac{x+2}{x-4}, x \not = 2, 4\).
Вираз\(\dfrac{x-2}{x-4}\) є скороченою формою, оскільки немає загальних факторів як для чисельника, так і для знаменника. Хоча є\(x\) в обох, це загальний термін, а не загальний фактор, і тому не може бути розділений.
УВАГА - Це поширена\(\dfrac{x-2}{x-4} = \dfrac{\cancel{x}-2}{\cancel{x}-4} = \dfrac{2}{3}\) помилка: неправильно!
\(\dfrac{a+2b}{6a+12b}\). Фактор.
\(\dfrac{a+2b}{6(a+2b)} = \dfrac{\cancel{a+2b}}{6 \cancel{(a+2b)}} = \dfrac{1}{6}, a \not = -2b\).
Оскільки\(a+2b\) є загальним фактором як для чисельника, так і знаменника, ми ділимо обидва на\(a+2b\). Так як\(\dfrac{(a+2b)}{(a+2b)} = 1\), ми отримуємо\(1\) в чисельнику.
Іноді ми можемо зменшити раціональний вираз, використовуючи правило ділення експонентів.
\(\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2}\). Фактор і скористайтеся правилом\(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\).
\(\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}x^{2-1}y^{5-2}\)
\( = 2xy^3, x \not = 0, y \not = 0\)
\(\dfrac{-10x^3a(x^2-36)}{2x^3-10x^2-12x}\). Фактор.
\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {-10x^3a (x^2-36)} {2x^3-10x^2-12x} &=\ dfrac {-5\ cdot 2x^3a (x+6)} {2x (x^2 - 5x - 6)}\\
&=\ dfrac {-5\ cточка 2x^3a (x+6)) (x-6)} {2x (x-6) (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5\ cdot\ скасувати {2} x^ {\ скасувати {3}} a (x+6)} (x-6)} {\ cancel {2}\ скасувати {x}\ скасувати {(x-6) } (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5x^2a (x+6)} {x-1}, x\ not = -1, 6
\ кінець {вирівняний}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{-x^2 + 2x + 8}\). Оскільки найзручніше мати провідні члени полінома позитивного, коефіцієнт\(-1\) з знаменника.
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{-(x^2 - 2x - 8)}\). Перепишіть це.
\(-\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 8}\). Фактор
\(-\dfrac{\cancel{(x-4)}(x+3)}{\cancel{(x-4)}(x+2)}\)
\(-\dfrac{x+3}{x+2} = \dfrac{-(x+3)}{x+2} = \dfrac{-x-3}{x+2}, x \not = -2, 4\)
\(\dfrac{a-b}{b-a}\). Чисельник і знаменник мають однакові терміни, але зустрічаються вони з протилежними знаками. Коефіцієнт\(-1\) від знаменника.
\(\dfrac{a-b}{-(-b+a)} = \dfrac{a-b}{-(a-b)} = -\dfrac{\cancel{a-b}}{\cancel{a-b}} = -1, a \not = b\)
Практика Set A
Зменшіть кожну з наступних дробів до найнижчих.
\(\dfrac{30y}{35y}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{6}{7}\)
\(\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x-3}{x+2}\)
\(\dfrac{x+2b}{4x+8b}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{18a^3b^5c^7}{3ab^3c^5}\)
- Відповідь
-
\(6a^2b^2c^2\)
\(\dfrac{-3a^4+75a^2}{2a^3-16a^2+30a}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3a(a+5)}{2(a-3)}\)
\(\dfrac{x^2-5x+4}{-x^2+12x-32}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-x+1}{x-8}\)
\(\dfrac{2x-y}{y-2x}\)
- Відповідь
-
\(-1\)
Вправи
Для наступних завдань зведіть кожне раціональне вираження до найнижчих термінів.
\(\dfrac{6}{3x-12}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2}{(x-4)}\)
\(\dfrac{8}{4a-16}\)
\(\dfrac{9}{3y-21}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{(y-7)}\)
\(\dfrac{10}{5x-5}\)
\(\dfrac{7}{7x-14}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{(x-2)}\)
\(\dfrac{6}{6x - 18}\)
\(\dfrac{2y^2}{8y}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{4}y\)
\(\dfrac{4x^3}{2x}\)
\(\dfrac{16a^2b^3}{2ab^2}\)
- Відповідь
-
\(8ab\)
\(\dfrac{20a^4b^4}{4ab^2}\)
\(\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+5)}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x-2}{x+5}\)
\(\dfrac{(y-1)(y-7)}{(y-1)(y+6)}\)
\(\dfrac{(a+6)(a-5)}{(a-5)(a+2)}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{a+6}{a+2}\)
\(\dfrac{(m-3)(m-1)}{(m-1)(m+4)}\)
\(\dfrac{(y-2)(y-3)}{(y-3)(y-2)}\)
- Відповідь
-
\(1\)
\(\dfrac{(x+7)(x+8)}{(x+8)(x+7)}\)
\(\dfrac{-12x^2(x+4)}{4x}\)
- Відповідь
-
\(−3x(x+4)\)
\(\dfrac{-3a^4(a-1)(a+5)}{-2a^3(a-1)(a+9)}\)
\(\dfrac{6x^2y^5(x-1)(x+4)}{-2xy(x+4)}\)
- Відповідь
-
\(-3xy^4(x-1)\)
\(\dfrac{22a^4b^6c^7(a+2)(a-7)}{4c(a+2)(a-5)}\)
\(\dfrac{(x+10)^3}{x+10}\)
- Відповідь
-
\((x+10)^2\)
\(\dfrac{(y-6)^7}{y-6}\)
\(\dfrac{(x-8)^2(x+6)^4}{(x-8)(x+6)}\)
- Відповідь
-
\((x-8)(x+6)^3\)
\(\dfrac{(y-2)^6(y-1)^4}{(y-2)^3(y-1)^2}\)
- Відповідь
-
\((y-2)^3(y-1)^2\)
\(\dfrac{(x+10)^5(x-6)^3}{(x-6)(x+10)^2}\)
\(\dfrac{(a+6)^2(a-7)^6}{(a+6)^5(a-7)^2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(a-7)^4}{(a+6)^3}\)
\(\dfrac{(m+7)^4(m-8)^5}{(m+7)^7(m-8)^2}\)
\(\dfrac{(a+2)(a-1)^3}{(a+1)(a-1)}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(a+2)(a-1)^2}{(a+1)}\)
\(\dfrac{(b+6)(b-2)^4}{(b-1)(b-2)}\)
\(\dfrac{8(x+2)^3(x-5)^6}{2(x+2)(x-5)^2}\)
- Відповідь
-
\(4(x+2)^2(x-5)^4\)
\(\dfrac{14(x-4)^3(x-10)^6}{-7(x-4)^2(x-10)^2}\)
\(\dfrac{x^2+3x-10}{x^2+2x-15}\)
\(\dfrac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 6x - 7}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x-3)}{(x+1)}\)
\(\dfrac{x^2 + 10x + 24}{x^2 + 6x}\)
\(\dfrac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+2)}{x}\)
\(\dfrac{6b^2-b}{6b^2+11b-2}\)
\(\dfrac{3b^2 + 10b + 3}{3b^2 + 7b + 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{b+3}{b+2}\)
\(\dfrac{4b^2-1}{2b^2 + 5b - 3}\)
\(\dfrac{16a^2 - 9}{4a^2 - a - 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(4a-3)}{(a-1)}\)
\(\dfrac{20x^2 + 28xy + 9y^2}{4x^2 + 4xy + y^2}\)
Для наступних проблем зменшіть кожне раціональне вираження, якщо це можливо. Якщо це неможливо, вкажіть відповідь у найнижчі терміни.
\(\dfrac{x+3}{x+4}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+3)}{(x+4)}\)
\(\dfrac{a+7}{a-1}\)
\(\dfrac{3a+6}{3}\)
- Відповідь
-
\(a+2\)
\(\dfrac{4x + 12}{4}\)
\(\dfrac{5a-5}{-5}\)
- Відповідь
-
\(-(a - 1)\)або\(-a + 1\)
\(\dfrac{6b - 6}{-3}\)
\(\dfrac{8x - 16}{-4}\)
- Відповідь
-
\(−2(x−2)\)
\(\dfrac{4x - 7}{-7}\)
\(\dfrac{-3x + 10}{10}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3x + 10}{10}\)
\(\dfrac{x - 2}{2 - x}\)
\(\dfrac{a - 3}{3 - a}\)
- Відповідь
-
\(-1\)
\(\dfrac{x^3 - x}{x}\)
\(\dfrac{y^4 - y}{y}\)
- Відповідь
-
\(y^3 - 1\)
\(\dfrac{a^5 -a^2}{a}\)
\(\dfrac{a^6 - a^4}{a^3}\)
- Відповідь
-
\(a(a+1)(a−1)\)
\(\dfrac{4b^2 + 3b}{b}\)
\(\dfrac{2a^3 + 5a}{a}\)
- Відповідь
-
\(2a^2 + 5\)
\(\dfrac{a}{a^3 + a}\)
\(\dfrac{x^4}{x^5 - 3x}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x^3}{x^4 - 3}\)
\(\dfrac{-a}{-a^2-a}\)
Вправи для огляду
Пишіть\((\dfrac{4^4a^8b^{10}}{4^2a^6b^2})^{-1}\) так, щоб з'являлися тільки позитивні експоненети.
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{16a^2b^8}\)
Фактор\(y^4 - 16\)
Фактор\(10x^2 - 17x + 3\)
- Відповідь
-
\((5x−1)(2x−3)\)
Поставити відсутнє слово. Рівняння, виражене у вигляді\(ax+by=c\), кажуть, виражається в ____ формі.
Знайдіть область раціонального виразу:\(\dfrac{2}{x^2 - 3x - 18}\)
- Відповідь
-
\(x≠−3, 6\)