8.4: Множення та ділення раціональних виразів
- Page ID
- 58534
Множення раціональних виразів
Раціональні вирази множаться разом приблизно так само, як арифметичні дроби множаться разом. Щоб помножити раціональні числа, робимо наступне:
- Метод множення раціональних чисел
- Зменшіть кожну дробу до найнижчих показників.
- Помножте чисельники разом.
- Помножте знаменники разом.
Раціональні вирази множаться разом за допомогою точно таких же трьох кроків. Оскільки раціональні вирази, як правило, довші за арифметичні дроби, ми можемо спростити процес множення, додавши ще один крок.
- Метод множення раціональних виразів
- Фактор всіх чисельників і знаменників.
- Знизьте до найнижчих термінів спочатку розділивши всі загальні фактори. (Цілком законно скасувати чисельник одного дробу знаменником іншого.)
- Помножте чисельники разом.
- Множимо знаменники. Часто зручно, але необов'язково залишати знаменники в фактованому вигляді.
Набір зразків A
Виконайте наступні множення.
\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 1 } { 4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}\)
\(\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{_\cancel{8}^{4}}{9} \cdot \dfrac{1}{^\cancel{6}_{3}}=\dfrac{4 \cdot 1}{9 \cdot 3}=\dfrac{4}{27}\)
\(\dfrac{3x}{5y} \cdot \dfrac{7}{12y} = \dfrac{_\cancel{3}^{1}x}{5y} \cdot \dfrac{7}{^\cancel{12}_{4}y} = \dfrac{x \cdot 7}{5y \cdot 4y} = \dfrac{7x}{20y^2}\)
\(\dfrac{x+4}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{x+4}\)Розділіть загальний фактор\(x + 4\).
\(\dfrac{\cancel{x+4}}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{\cancel{x+4}}\)Помножте чисельники і знаменники разом.
\(\dfrac{x+7}{x-2}\)
\(\dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 4x - 12}\). Фактор.
\(\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x-1)} \cdot \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x+6)(x-2)}\). Розділити на загальні фактори\(x-2\) і\(x-3\).
\(\dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-3)}(x-1)} \cdot \dfrac{\cancel{(x-3)}(x+1)}{(x+6)\cancel{(x-2)}}\)Помножити.
\(\dfrac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+6)}\)або\(\dfrac{(x62 + 4x + 3}{(x-1)(x+6)}\) або\(\dfrac{(x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x - 6}\)
Кожна з цих трьох форм є прийнятною формою одного і того ж відповіді.
\(\dfrac{2x+6}{6x-16} \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 12}\). Фактор.
\(\dfrac{2(x+3)}{8(x-2)} \cdot \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-4)(x+3)}\). Розділити на загальні фактори\(2, x+3\) і\(x-2\).
\(\dfrac{\cancel{2}\cancel{(x+3)}}{\cancel{8}\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+3)}(x-4)}\)Помножити.
\(\dfrac{x+2}{4(x-4)}\)або\(\dfrac{x+2}{4x - 16}\)
Обидві ці форми є прийнятними формами однакової відповіді.
\(3x^2 \cdot \dfrac{x+7}{x-5}\). Перепишіть\(3x^2\) як\(\dfrac{3x^2}{1}\).
\(\dfrac{3x^2}{1} \cdot \dfrac{x+7}{x-5}\). Помножити.
\(\dfrac{3x^2(x+7)}{x-5}\)
\((x-3) \cdot \dfrac{4x-9}{x^2 - 6x + 9}\)
\(\dfrac{\cancel{(x-3)}}{1} \cdot \dfrac{4x-9}{\cancel{(x-3)}(x-3)}\)
\(\dfrac{4x-9}{x-3}\)
\(\dfrac{-x^2 - 3x - 2}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2x}\). Коефіцієнт\(-1\) від першого чисельника.
\(\dfrac{-(x^2 + 3x + 2)}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2}\). Фактор.
\(\dfrac{-(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+3)\cancel{(x+5)}} \cdot \dfrac{4 \cancel{(x+5)}}{x \cancel{(x+2)}}\)Помножити.
\(\dfrac{-4(x + 1)}{x(x+3)} = \dfrac{-4x - 1}{x(x+3)}\)або\(\dfrac{-4x - 1}{x^2 + 3x}\)
Практика Set A
Виконайте кожне множення.
\(\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{6}{7}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{10}{7}\)
\(\dfrac{a^3}{b^2c^2} \cdot \dfrac{c^5}{a^5}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{c^3}{a^2b^2}\)
\(\dfrac{y-1}{y^2+1} \cdot \dfrac{y+1}{y^2-1}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{1}{y^2 + 1}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 + 7x + 6} \cdot \dfrac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 9x + 20}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x+3}{x+6}\)
\(\dfrac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 6x + 8} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x - 8}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+2)^2}{(x-2)^2}\)
Розподіл раціональних виразів
Щоб розділити одне раціональне вираз на інше, спочатку інвертуємо дільник, а потім множимо два вирази. Символічно, якщо ми дозволяємо\(P,Q,R,\) і\(S\) представляємо многочлени, ми можемо написати
\[\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R} = \dfrac{P \cdot S}{Q \cdot R}\]
Набір зразків B
Виконайте наступні поділи.
\(\dfrac{6x^2}{5a} \div \dfrac{2x}{10a^3}\)Інвертувати дільник і помножити
\(\dfrac{_\cancel{6}^{3} x^{\not 2}}{\not 5 \not a} \cdot \dfrac{_\cancel{10}^{2} a^{_\cancel{3}^{2}}}{\not 2 \not x} = \dfrac{3x \cdot 2a^2}{1} = 6a^2x\)
\(\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \div \dfrac{x^2 + 9x + 20}{x^2 + 3x - 4}\)Інвертувати і помножити.
\(\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \cdot \dfrac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 9x + 20}\). Фактор
\(\dfrac{\cancel{(x+5)}(x-2)}{2\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+5)}\cancel{(x+4)}}\)
\(\dfrac{x-2}{2}\)
\((4x + 7) \div \dfrac{12x + 21}{x-2}\). Напишіть\(4x + 7\) як\(\dfrac{4x + 7}{1}\).
\(\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{12x + 21}{x-2}\)Інвертувати і перемножити.
\(\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{x-2}{12x + 21}\). Фактор.
\(\dfrac{\cancel{4x + 7}}{1} \cdot \dfrac{x-2}{3 \cancel{(4x+7)}} = \dfrac{x-2}{3}\)
Практика Set B
Виконайте кожен поділ.
\(\dfrac{8m^2n}{3a^5b^2} \div \dfrac{2m}{15a^7b^2}\)
- Відповідь
-
\(20a^2mn\)
\(\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} \div \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 4x + 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x+1}{x - 1}\)
\(\dfrac{6a^2 + 17a + 12}{3a + 2} \div (2a + 3)\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3a + 4}{3a + 2}\)
Вправи
Для наступних завдань виконайте множення і ділення.
\(\dfrac{4a^3}{5b} \cdot \dfrac{3b}{2a}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{6a^2}{5}\)
\(\dfrac{9x^4}{4y^3} \cdot \dfrac{10y}{x^2}\)
\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}\)
- Відповідь
-
\(1\)
\(\dfrac{2x}{5y} \cdot \dfrac{5y}{2x}\)
\(\dfrac{12a^3}{7} \cdot \dfrac{28}{15a}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{16a^2}{5}\)
\(\dfrac{39m^4}{16} \cdot \dfrac{4}{13m^2}\)
\(\dfrac{18x^6}{7} \cdot \dfrac{1}{4x^2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{9x^4}{14}\)
\(\dfrac{34a^6}{21} \cdot \dfrac{42}{17a^5}\)
\(\dfrac{16x^6y^3}{15x^2} \cdot \dfrac{25x}{4y}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{20x^5y^2}{3}\)
\(\dfrac{27a^7b^4}{39b} \cdot \dfrac{13a^4b^2}{16a^5}\)
\(\dfrac{10x^2y^3}{7y^5} \cdot \dfrac{49y}{15x^6}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{14}{3x^4y}\)
\(\dfrac{22m^3n^4}{11m^6n} \cdot \dfrac{33mn}{4mn^3}\)
\(\dfrac{-10p^2q}{7a^3b^2} \cdot \dfrac{21a^5b^3}{2p}\)
- Відповідь
-
\(-15a^2bpq\)
\(\dfrac{-25m^4n^3}{14r^3s^3} \cdot \dfrac{21rs^4}{10mn}\)
\(\dfrac{9}{a} \div \dfrac{3}{a^2}\)
- Відповідь
-
\(3a\)
\(\dfrac{10}{b^2} \div \dfrac{4}{b^3}\)
\(\dfrac{21a^4}{5b^2} \div \dfrac{14a}{15b^3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{9a^3b}{2}\)
\(\dfrac{42x^5}{16y^4} \div \dfrac{21x^4}{8y^3}\)
\(\dfrac{39x^2y^2}{55p^2} \div \dfrac{13x^3y}{15p^6}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{9p^4y}{11x}\)
\(\dfrac{14mn^3}{25n^6} \div \dfrac{6a^2}{15x^2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-6b^3x}{y^4}\)
\(\dfrac{24p^3q}{9mn^3} \div \dfrac{10pq}{-21n^2}\)
\(\dfrac{x+8}{x+1} \cdot \dfrac{x+2}{x+8}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x+2}{x+1}\)
\(\dfrac{x+10}{x-4} \cdot \dfrac{x-4}{x-1}\)
\(\dfrac{2x + 5}{x+8} \cdot \dfrac{x+8}{x-2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2x + 5}{x - 2}\)
\(\dfrac{y + 2}{2y - 1} \cdot \dfrac{2y - 1}{y-2}\)
\(\dfrac{x-5}{x-1} \div \dfrac{x-5}{4}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4}{x-1}\)
\(\dfrac{x}{x-4} \div \dfrac{2x}{5x + 1}\)
\(\dfrac{a + 2b}{a-1} \div \dfrac{4a + 8b}{3a - 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{6m + 2}{m - 1} \div \dfrac{4m - 4}{m - 1}\)
\(x^3 \cdot \dfrac{4ab}{x}\)
- Відповідь
-
\(4abx^2\)
\(y^4 \cdot \dfrac{3x^2}{y^2}\)
\(2a^5 \div \dfrac{6a^2}{4b}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{4a^3b}{3}\)
\(16x^2y^3 \div \dfrac{10xy}{3}\)
\(21m^4n^2 \div \dfrac{3mn^2}{7n}\)
- Відповідь
-
\(49m^3n\)
\((x+8) \cdot \dfrac{x+2}{x+8}\)
\((x-2) \cdot \dfrac{x-1}{x-2}\)
- Відповідь
-
\(x−1\)
\((a-6)^3 \cdot \dfrac{(a+2)^2}{a-6}\)
\((b+1)^4 \cdot \dfrac{(b-7)^3}{b+1}\)
- Відповідь
-
\((b+1)^3(b-7)^3\)
\((b^2 + 2)^3 \cdot \dfrac{b-3}{(b^2 + 2)^2}\)
\((x^3 - 7)^4 \cdot \dfrac{x^2 - 1}{(x^3-7)^2}\)
- Відповідь
-
\((x^3-7)^2(x+1)(x-1)\)
\((x-5) \div \dfrac{x-5}{x-2}\)
\((y-2) \div \dfrac{y-2}{y-1}\)
- Відповідь
-
\((y−1)\)
\((y + 6)^3 \div \dfrac{(y+6)^2}{y-6}\)
\((a-2b)^4 \div \dfrac{(a-2b)^2}{a+b}\)
- Відповідь
-
\((a-2b)^2(a+b)\)
\(\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{2x + 2}\)
\(\dfrac{6x - 42}{x^2 - 2x - 3} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x - 7}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{6(x-1)}{(x-3)}\)
\(\dfrac{3a + 3b}{a^2 - 4a - 5} \div \dfrac{9a + 9b}{a^2 - 3a - 10}\)
\(\dfrac{a^2 - 4a - 12}{a^2 - 9} \div \dfrac{a^2 - 5a - 6}{a^2 + 6a + 9}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(a+2)(a+3)}{(a-3)(a+1)}\)
\(\dfrac{b^2 - 5b + 6}{b^2 - b - 2} \cdot \dfrac{b^2 - 2b - 3}{b^2 - 9b + 20}\)
\(\dfrac{m^2 - 4m + 3}{m^2 + 5m - 6} \cdot \dfrac{m^2 + 4m - 12}{m^2 - 5m + 6}\)
- Відповідь
-
\(1\)
\(\dfrac{r^2 + 7r + 10}{r^2 - 2r - 8} \div \dfrac{r^2 + 6r + 5}{r^2 - 3r - 4}\)
\(\dfrac{2a^2 + 7a + 3}{3a^2 - 5a - 2} \cdot \dfrac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 2a - 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(2a + 1)(a - 6)(a + 1)}{(3a + 1)(a - 1)(a - 2)}\)
\(\dfrac{6x^2 + x - 2}{2x^2 + 7x - 4} \cdot \dfrac{x^2 + 2x - 12}{3x^2 - 4x - 4}\)
\(\dfrac{x^3y - x^2y^2}{x^2y - y^2} \cdot \dfrac{x^2 - y}{x - xy}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x(x-y)}{1-y}\)
\(\dfrac{4a^3b - 4a^2b^2}{15a - 10} \cdot \dfrac{3a - 2}{4ab - 2b^2}\)
\(\dfrac{x+3}{x - 4} \cdot \dfrac{x - 4}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 2}{x + 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{x - 2}{x + 1}\)
\(\dfrac{x - 7}{x + 8} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 7} \cdot \dfrac{x + 8}{x - 2}\)
\(\dfrac{2a - b}{a + b} \cdot \dfrac{a + 3b}{a - 5b} \cdot \dfrac{a - 5b}{2a - b}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{a + 3b}{a + b}\)
\(\dfrac{3a(a + 1)^2}{a - 5} \cdot \dfrac{6(a - 5)^2}{5a + 5} \cdot \dfrac{15a + 30}{4a - 20}\)
\(\dfrac{-3a^2}{4b} \cdot \dfrac{-8b^3}{15a}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{2ab^2}{5}\)
\(\dfrac{-6x^3}{5y^2} \cdot \dfrac{20y}{-2x}\)
\(\dfrac{-8x^2y^3}{-5x} \div \dfrac{4}{-15xy}\)
- Відповідь
-
\(-6x^2y^4\)
\(\dfrac{-4a^3}{3b} \div \dfrac{2a}{6b^2}\)
\(\dfrac{-3a - 3}{2a + 2} \cdot \dfrac{a^2 - 3a + 2}{a^2 - 5a - 6}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-3(a-2)(a-1)}{2(a-6)(a+1)}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 3x - 4} \cdot \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{-4x - 8}\)
\(\dfrac{-5x - 10}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-5(x^2 + 4x + 1)}{(x-3)(x-1)^2}\)
\(\dfrac{-a^2 - 2a + 15}{-6a - 12} \div \dfrac{a^2 - 2a - 8}{-2a - 10}\)
\(\dfrac{-b^2 - 5b + 14}{3b - 6} \div \dfrac{-b^2 - 9b - 14}{-b + 8}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-(b - 8)}{3(b + 2)}\)
\(\dfrac{3a + 6}{4a - 24} \cdot \dfrac{6 - a}{3a + 15}\)
\(\dfrac{4x + 12}{x- 7} \cdot \dfrac{7 - x}{2x - 2}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{-2(x+3)}{(x+1)}\)
\(\dfrac{-2x - 2}{b^2 + b - 6} \cdot \dfrac{-b +2}{b +5}\)
\(\dfrac{3x^2 - 6x - 9}{2x^2 - 6x - 4} \div \dfrac{3x^2 - 5x - 2}{6x^2 - 7x - 3}\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3(x-3)(x+1)(2x-3)}{2(x^2-3x-2)(x-2)}\)
\(\dfrac{-2b^2 - 2b + 4}{8b^2 - 28b - 16} \div \dfrac{b^2 - 2b + 1}{2b^2 - 5b - 3}\)
\(\dfrac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x + 4} \div (x + 3)\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{(x+4)(x-1)}{(x+3)(x^2 - 4x - 3)}\)
\(\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \div (x-3)\)
\(\dfrac{3x^2 - 21x + 18}{x^2 + 5x + 6} \div (x + 2)\)
- Відповідь
-
\(\dfrac{3(x - 6)(x - 1)}{(x+2)^2(x+3)}\)
Вправи для огляду
Якщо\(a < 0\), то\(|a| = \).
Класифікуйте многочлен\(4xy+2y\) як мономіальний, біноміальний або триноміальний. Викладіть її ступінь і запишіть числовий коефіцієнт кожного члена.
- Відповідь
-
біноміальні; 2; 4, 2
Знайдіть товар:\(y^2(2y - 1)(2y + 1)\)
Переведіть речення «чотири менше ніж два рази деяке число на два більше, ніж число» у рівняння.
- Відповідь
-
\(2x−4=x+2\)
Зменшити дріб\(\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)