Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4: Найменш поширене кратне

Огляд

  • Кратні
  • Загальні кратні
  • Найменш поширене кратне (LCM)
  • Пошук найменш спільного кратного

Кратні

Визначення: Кратні

Коли ціле число множиться на інші цілі числа, за винятком Кратних нулю, отримані добутки називаються кратними заданого цілого числа.

Таблиця 1.1.
Кратні 2 Кратні 3 Кратні 8 Кратні 10
2·1=2 3·1=3 8·1=8 10·1=10
2·2=4 3·2=6 8·2=16 10·2=20
2·3=6 3·3=9 8·3=24 10·3=30
2·4=8 3·4=12 8·4=32 10·4=40
2·5=10 3·5=15 8·5=40 10·5=50
... ... ... ...

Загальні кратні

Будуть випадки, коли нам дають два або більше цілих чисел, і нам потрібно буде знати, чи є якісь кратні, загальні для кожного з них. Якщо є, нам потрібно буде знати, що вони собою представляють. Наприклад, деякі множники, які є загальними для 2 і 3, є 6, 12 і 18.

Набір зразків A

Приклад1.4.1

Ми можемо візуалізувати загальні кратні за допомогою числового рядка.

Горизонтальна лінія, пронумерована від нуля до вісімнадцяти. Кратні два і три позначені темними колами, і з'єднуються через дуги. Шість, дванадцять і вісімнадцять позначені як «Перший спільний кратний», «Другий загальний кратний» і «Третій загальний кратний» відповідно.

Зверніть увагу, що загальні кратні можна розділити як на цілі числа.

Найменш поширене кратне (LCM)

Зверніть увагу, що в нашій візуалізації числового рядка загальних кратних (вище) перше спільне кратне також є найменшим або найменш загальним кратним, скорочено LCM.

Визначення: Найменш поширене кратне (LCM)

Найменш загальне кратне, LCM, двох або більше цілих чисел - це найменше ціле число, на яке кожне з заданих чисел буде ділитися без залишку.

Пошук найменш поширеного кратного

Пошук НСМ

Щоб знайти LCM двох і більше чисел,

  1. Напишіть просту факторизацію кожного числа, використовуючи показники на повторювані множники.
  2. Запишіть кожну базу, яка з'являється в кожній з простих факторизацій.
  3. До кожної бази прикріпіть найбільший показник, який з'являється на ній у простих факторизаціях.
  4. LCM є добутком чисел, знайдених на кроці 3.

Набір зразків B

Знайдіть НКМ.

Приклад1.4.2

9 і 12

  1. 9 = 3 · 3 =32
    12 = 2
    6 = 2 · 2 · 3 =22 · 3
  2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2 та 3.
  3. Найбільші показники, що з'являються на 2 і 3 в простих факторизаціях, - це, відповідно, 2 і 2 (або 2 з 12, і 3 2 з 9).
  4. LCM є добутком цих чисел.

    НСМ = 2 · 3 2 = 4 · 9=36

Таким чином, 36 - це найменше число, яке і 9, і 12 ділять на без залишків.

Приклад1.4.3

90 та 630

  1. 90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 ·32 · 5
    630 = 2 · 315 = 2 · 3 · 205 = 2 · 3 · 3 · 35 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 32 · 5 · 7
  2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2, 3, 5 та 7.
  3. Найбільші показники, які з'являються на 2, 3, 5 і 7 - це, відповідно, 1, 2, 1 і 1.

    21від 90 або 630
    32 від 90 або 630 або
    51 з 90 або 630
    71 з 630
  4. LCM є добутком цих чисел.

    LCM = 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 · 9 · 5 · 7 = 630

Таким чином, 630 - це найменше число, на яке і 90, і 630 діляться без залишків.

Приклад1.4.4

33, 110 та 484

  1. 33 = 3 · 11
    110 = 2 · 55 = 2 · 5 · 11
    484 = 2 · 242 = 2 · 121 = 2 · 2 · 2 · 11 · 11 =22 ·112
  2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2, 3, 5 та 11.
  3. Найбільші показники, які з'являються на 2, 3, 5 і 11 - це, відповідно, 2, 1, 1 і 2.

    22від 484
    31 від 33
    51 від 110
    112 від 484
  4. LCM є добутком цих чисел.

    LCM =22 · 3 · 5 ·112
    = 4 · 3 · 5 · 121
    = 7260

Таким чином, 7260 - це найменше число, яке 33, 110 і 484 діляться без залишків.

Вправи:

Для наступних завдань знайдіть найменш поширене кратне заданих чисел.

Вправа1.4.1

8, 12

Answer

23 · 3

Exercise 1.4.2

8, 10

Exercise 1.4.3

6, 12

Answer

22 · 3

Exercise 1.4.4

9, 18

Exercise 1.4.5

5, 6

Answer

2 · 3 · 5

Exercise 1.4.6

7, 9

Exercise 1.4.7

28, 36

Answer

22 · 32 · 7

Exercise 1.4.8

24, 36

Exercise 1.4.9

28, 42

Answer

22 · 3 · 7

Exercise 1.4.10

20, 24

Exercise 1.4.11

25, 30

Answer

2 · 3 · 52

Exercise 1.4.12

24, 54

Exercise 1.4.13

16, 24

Answer

24 · 3

Exercise 1.4.14

36, 48

Exercise 1.4.15

15, 21

Answer

3 · 5 · 7

Exercise 1.4.16

7, 11, 33

Exercise 1.4.17

8, 10, 15

Answer

23 · 3 · 5

Exercise 1.4.18

4, 5, 21

Exercise 1.4.19

45, 63, 98

Answer

2 · 32 · 5 · 72

Exercise 1.4.20

15, 25, 40

Exercise 1.4.21

12, 16, 20

Answer

24 · 3 · 5

Exercise 1.4.22

12, 16, 24

Exercise 1.4.23

12, 16, 24, 36

Answer

24 · 32

Exercise 1.4.24

6, 9, 12, 18