1.4: Найменш поширене кратне

Огляд

• Кратні
• Загальні кратні
• Найменш поширене кратне (LCM)
• Пошук найменш спільного кратного

Кратні

Визначення: Кратні

Коли ціле число множиться на інші цілі числа, за винятком Кратних нулю, отримані добутки називаються кратними заданого цілого числа.

Таблиця 1.1.

Кратні 2	Кратні 3	Кратні 8	Кратні 10
2·1=2	3·1=3	8·1=8	10·1=10
2·2=4	3·2=6	8·2=16	10·2=20
2·3=6	3·3=9	8·3=24	10·3=30
2·4=8	3·4=12	8·4=32	10·4=40
2·5=10	3·5=15	8·5=40	10·5=50
...	...	...	...

Загальні кратні

Будуть випадки, коли нам дають два або більше цілих чисел, і нам потрібно буде знати, чи є якісь кратні, загальні для кожного з них. Якщо є, нам потрібно буде знати, що вони собою представляють. Наприклад, деякі множники, які є загальними для 2 і 3, є 6, 12 і 18.

Набір зразків A

Приклад$\PageIndex{1}$

Ми можемо візуалізувати загальні кратні за допомогою числового рядка.



Зверніть увагу, що загальні кратні можна розділити як на цілі числа.

Найменш поширене кратне (LCM)

Зверніть увагу, що в нашій візуалізації числового рядка загальних кратних (вище) перше спільне кратне також є найменшим або найменш загальним кратним, скорочено LCM.

Визначення: Найменш поширене кратне (LCM)

Найменш загальне кратне, LCM, двох або більше цілих чисел - це найменше ціле число, на яке кожне з заданих чисел буде ділитися без залишку.

Пошук найменш поширеного кратного

Пошук НСМ

Щоб знайти LCM двох і більше чисел,

1. Напишіть просту факторизацію кожного числа, використовуючи показники на повторювані множники.
2. Запишіть кожну базу, яка з'являється в кожній з простих факторизацій.
3. До кожної бази прикріпіть найбільший показник, який з'являється на ній у простих факторизаціях.
4. LCM є добутком чисел, знайдених на кроці 3.

Набір зразків B

Знайдіть НКМ.

Приклад$\PageIndex{2}$

9 і 12

1. 9 = 3 · 3 =$3^2$
   12 = 2 6 = 2 · 2 · 3 =$2^2$ · 3
2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2 та 3.
3. Найбільші показники, що з'являються на 2 і 3 в простих факторизаціях, - це, відповідно, 2 і 2 (або ² з 12, і 3 ² з 9).
4. LCM є добутком цих чисел.
   
   НСМ = ² · 3 ² = 4 · 9=36

Таким чином, 36 - це найменше число, яке і 9, і 12 ділять на без залишків.

Приклад$\PageIndex{3}$

90 та 630

1. 90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 ·$3^2$ · 5
   630 = 2 · 315 = 2 · 3 · 205 = 2 · 3 · 3 · 35 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · $3^2$ · 5 · 7
2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2, 3, 5 та 7.
3. Найбільші показники, які з'являються на 2, 3, 5 і 7 - це, відповідно, 1, 2, 1 і 1.
   
   $2^1$від 90 або 630
   $3^2$ від 90 або 630 або
   $5^1$ з 90 або 630
   $7^1$ з 630
4. LCM є добутком цих чисел.
   
   LCM = 2 · 3 ² · 5 · 7 = 2 · 9 · 5 · 7 = 630

Таким чином, 630 - це найменше число, на яке і 90, і 630 діляться без залишків.

Приклад$\PageIndex{4}$

33, 110 та 484

1. 33 = 3 · 11
   110 = 2 · 55 = 2 · 5 · 11
   484 = 2 · 242 = 2 · 121 = 2 · 2 · 2 · 11 · 11 =$2^2$ ·$11^2$
2. Бази, які з'являються у простих факторизаціях, - це 2, 3, 5 та 11.
3. Найбільші показники, які з'являються на 2, 3, 5 і 11 - це, відповідно, 2, 1, 1 і 2.
   
   $2^2$від 484
   $3^1$ від 33
   $5^1$ від 110
   $11^2$ від 484
4. LCM є добутком цих чисел.
   
   LCM =$2^2$ · 3 · 5 ·$11^2$
   = 4 · 3 · 5 · 121
   = 7260

Таким чином, 7260 - це найменше число, яке 33, 110 і 484 діляться без залишків.

Вправи:

Для наступних завдань знайдіть найменш поширене кратне заданих чисел.

Вправа$\PageIndex{1}$

8, 12

Answer

$2^3$ · $3$

Exercise $\PageIndex{2}$

8, 10

Exercise $\PageIndex{3}$

6, 12

Answer

$2^2$ · $3$

Exercise $\PageIndex{4}$

9, 18

Exercise $\PageIndex{5}$

5, 6

Answer

2 · 3 · 5

Exercise $\PageIndex{6}$

7, 9

Exercise $\PageIndex{7}$

28, 36

Answer

$2^2$ · $3^2$ · 7

Exercise $\PageIndex{8}$

24, 36

Exercise $\PageIndex{9}$

28, 42

Answer

$2^2$ · 3 · 7

Exercise $\PageIndex{10}$

20, 24

Exercise $\PageIndex{11}$

25, 30

Answer

$2$ · $3$ · $5^2$

Exercise $\PageIndex{12}$

24, 54

Exercise $\PageIndex{13}$

16, 24

Answer

$2^4$ · $3$

Exercise $\PageIndex{14}$

36, 48

Exercise $\PageIndex{15}$

15, 21

Answer

$3$ · $5$ · $7$

Exercise $\PageIndex{16}$

7, 11, 33

Exercise $\PageIndex{17}$

8, 10, 15

Answer

$2^3$ · 3 · 5

Exercise $\PageIndex{18}$

4, 5, 21

Exercise $\PageIndex{19}$

45, 63, 98

Answer

$2$ · $3^2$ · $5$ · $7^2$

Exercise $\PageIndex{20}$

15, 25, 40

Exercise $\PageIndex{21}$

12, 16, 20

Answer

$2^4$ · $3$ · $5$

Exercise $\PageIndex{22}$

12, 16, 24

Exercise $\PageIndex{23}$

12, 16, 24, 36

Answer

$2^4$ · $3^2$

Exercise $\PageIndex{24}$

6, 9, 12, 18