2: Поля та кільця
- Page ID
- 63413
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Ви вивчаєте цифри та шаблони, які вони приховують у них з перших шкільних днів. У главі 1 ми нагадали собі про деякі з цих закономірностей (з метою розуміння факторизації) і працювали над тим, щоб виразити їх більш офіційно. Можливо, вам цікаво, чому ми йдемо з нашого шляху, щоб ускладнити ідеї, які ви зрозуміли з початкової школи. Причина абстракції (і причина цього курсу!) щоб ми могли дослідити, наскільки далеко ми можемо просунути ці шаблони. Наскільки наше розуміння факторизації в цілих числах тягнеться до інших типів чисел та інших математичних об'єктів (наприклад, поліномів)? У цьому розділі ми встановимо основу для відповіді на це питання, представивши ідеї, які допоможуть нам упорядкувати наше розслідування факторизації.
- 2.1: Поля
- Тепер починаємо процес абстракції. Ми будемо робити це поетапно, починаючи з поняття поля. По-перше, нам потрібно формально визначити деякі знайомі набори чисел.
- 2.2: Кільця
- У попередньому розділі ми спостерігали, що багато знайомих систем числення є полями, але деякі з них не є. Як ми побачимо, ці неполя часто більш структурно цікаві, принаймні з точки зору факторизації; таким чином, в цьому розділі ми досліджуємо їх більш детально. Перш ніж ми продовжимо цю роботу, ми дамо формальне визначення многочлена, щоб ми могли включити його в свою роботу.
- 2.3: Подільність в інтегральних доменах
- Коли ми ввели поняття інтегральної області, ми сказали, що частина причини визначення полягала в тому, щоб захопити деякі з найбільш істотних властивостей цілих чисел. Це серце абстракції та узагальнення в математиці: переганяти важливі властивості наших об'єктів, що цікавлять, і досліджувати наслідки цих властивостей. Одним з таких важливих властивостей Z є скасування.
- 2.4: Основні ідеали та евклідові домени
- У цьому розділі ми розпочинаємо теоретико-множинне структурне дослідження поняття кільця, розглядаючи особливо важливий клас підрядника, який буде невід'ємною частиною нашого розуміння факторизації.