2.2: Кільця
- Page ID
- 63419
У цьому розділі ми постараємося відповісти на питання:
- Що таке кільця і інтегральні домени, і як вони співвідносяться з полями?
- Що таке підкільця, і як ми можемо визначити, якщо задана підмножина кільця є підрядним?
- Які особливі типи елементів мають кільця?
У попередньому розділі ми спостерігали, що багато знайомих систем числення є полями, але деякі з них не є. Як ми побачимо, ці неполя часто більш структурно цікаві, принаймні з точки зору факторизації; таким чином, в цьому розділі ми досліджуємо їх більш детально. Перш ніж ми продовжимо цю роботу, ми дамо формальне визначення многочлена, щоб ми могли включити його в свою роботу.
\(A\)Дозволяти бути набір з чітко визначеною операцією додавання\(+\) та адитивної ідентичності\(0\text{,}\) та\(x\) змінної. Визначаємо многочлен в \(x\)з коефіцієнтами in, \(A\)щоб бути виразом виду
\ begin {рівняння*} p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\ cdots + a_n x^n\ текст {,}\ кінець {рівняння*}
де\(a_n\ne 0\text{.}\)\(n\in \mathbb{N}_0\) Назвемо ступінь\(p\text{,}\) позначеного\(\deg(p) = n\text{,}\) многочлена і\(a_0,a_1,\ldots, a_n\) коефіцієнти многочлена. Коефіцієнт\(a_n\) відомий як провідний коефіцієнт\(p\text{,}\) і\(a_n x^n\) є провідним терміном\(p\text{.}\) За
\ begin {рівняння*} A [x] :=\ {a_0 + a_1 x + a_2 x +\ cdots + a_n x^n: n\ in\ mathbb {N} _0,\ a_i\ in A\}\ end {рівняння*}
позначимо множини всіх поліномів з коефіцієнтами в\(A\text{.}\) Адитивна ідентичність\(A[x]\)\(0\text{,}\) називається нульовим поліномом, і є поліномом, коефіцієнти якого всі\(0\text{.}\) Ступінь нульового многочлена дорівнює\(-\infty\text{.}\)
Наведіть кілька прикладів поліномів у\(A[x]\) різних варіантах систем числення\(A\text{.}\) Визначте їх коефіцієнти, провідні члени та ступені.
У наступній таблиці заповніть Y, якщо набір має властивість; заповніть N, якщо це не так.
| \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{Z}\) | \(2\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{Q}[x]\) | \(\mathbb{Z}_{8}\) | \(\mathbb{Z}_{2}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{C}\) | \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Закриття під + | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| Закриття під\(\cdot\) | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| \(+\)асоціативний | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| \(\cdot\)асоціативний | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| + є комутативним | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| \(\cdot\)є комутативним | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| \(\cdot\)розподіляє понад + | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| Існує адитивна ідентичність | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| Всі елементи мають адитивні інверси | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| Існує мультиплікативна ідентичність | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
| Усі ненульові елементи мають множ. інверси | \ (\ mathbb {N}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (2\ mathbb {Z}\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Q} [x]\)» клас = «lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {8}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {Z} _ {2}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {R}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathbb {C}\)» клас = "lt-математика-82463"> | \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)» клас = «lt-математика-82463"> |
Яка з польових аксіом у визначенні: Поле утримувати,\(F[x]\text{,}\) де\(F\) поле, а яке взагалі не вміщує?
В результаті відповіді на Exploration Template:index} і заповненої таблиці {{template.index (ID:1)}, ми робимо наступне визначення.
Кільце\(R\) - це непорожня множина, разом з двійковими операціями\(+\) і\(\cdot\text{,}\) позначається\((R,+,\cdot)\text{,}\) і задовольняє наступні аксіоми.
- З огляду на будь-який\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a+b)+c = a+(b+c)\text{.}\) (асоціативність додавання)
- З огляду на будь-який\(a,b\in R\text{,}\)\(a+b= b+a\text{.}\) (Комутативність додавання)
- Існує\(0_R\in R\) такий елемент, що для всіх\(a\in R\text{,}\)\(a+0_R = 0_R + a = a\text{.}\) (Additive identity)
- З огляду на будь-який\(a\in R\) існує\(b\in R\) таке, що\(a+b = b + a =0_R\text{.}\) (Additive inverses)
- Задано any\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\text{.}\) (Асоціативність множення)
- Для всіх\(a,b,c\in R\text{,}\)\(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\text{.}\) (Розподільна власність I)
- Для всіх\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\text{.}\) (Розподільна власність II)
Як і у випадку з полями,\(R\) коли кільце ясно з контексту, ми часто будемо писати\(0\) замість\(0_R\text{.}\)
Порівняння та контрастність Визначення: Поле та визначення: Кільце. У чому подібність? Які відмінності?
Хоча кільця не користуються всіма властивостями полів, вони неймовірно корисні навіть у прикладній математиці (див., наприклад, Довідник [1] для одного недавнього прикладу).
Кільце\(R\) вважається комутативним, якщо для всіх\(a,b\in R\text{,}\)\(ab = ba\text{.}\) Крім того, кажуть,\(R\) що має єдність або мультиплікативну ідентичність, якщо є\(1_R\in R\) такий елемент, що для всіх\(a\in R\text{,}\)\(a \cdot 1_R = 1_R \cdot a= a\text{.}\)
Якщо\(R\) некомутативний, він може мати ліву (відповідно, праву) ідентичність, тобто елемент\(e\in R\) такий, що для всіх\(r\in R\text{,}\)\(er = r\) (відповідно\(re = r\)). У ньому\(R\) є елемент,\(e\) за який\(er = re = r\) для всіх часто\(r\in R\text{,}\)\(e\) називають двостороннім айдентом. Коротше кажучи, некомутативні кільця можуть мати ліву, праву або двосторонню ідентичність (або взагалі жодну).
Розглянемо множини, наведені в таблиці Template:index. Що таке кільця? Які комутативні кільця з ідентичністю?
Які властивості полів у теоремі 2.1.1 мають (комутативні) кільця?
Чи всі кільця поля? Чи всі поля кільцями? Обґрунтуйте.
Більшість знайомих кілець комутативні, хоча і не всі. Більшість звичних (комутативних) кілець мають ідентичності, але не всі. Знайти:
- Кільце, яке не має посвідчення 1.
- Некомутативне кільце, яке має (двосторонній) ідентичність.
Рішення
- 1
-
Іноді називають кільцем. \(\ddot\mathbb{S}mile\)
У 1920-х роках Еммі Нетер була першою, хто чітко описав кільцеві аксіоми, як ми їх знаємо сьогодні, і її визначення (необов'язково комутативного) кільця призвело до великої цікавої роботи з алгебри, теорії чисел та геометрії, включаючи (див. Розділ 3.3 для більш докладної інформації про історичну розробка доказу останньої теореми Ферма). Більшість сучасних визначень кільця погоджуються з нашим Визначенням: Кільце і допускають кільця з некомутативним множенням і без мультиплікативної ідентичності.
Наступна теорема стверджує, що множина поліномів з коефіцієнтами в кільці сама по собі\(R\) є кільцем при звичайних операціях поліноміального додавання подібних членів та множення за допомогою розподілу. Доказ не є складним, але суворе обґрунтування (особливо, наприклад, асоціативності множення поліномів) є виснажливим, і тому опускається.
Якщо\(R\) є (комутативним) кільцем (з ідентичністю\(1_R\)), то\(R[x]\) є (комутативним) кільцем (з ідентичністю\(1_{R[x]} = 1_R\)).
Одним із способів кращого розуміння математичних структур є розуміння їх подібних підструктур (наприклад, з урахуванням векторного простору\(V\subseteq \mathbb{R}^n\) та підпростору, який\(W\subseteq V\text{,}\) ми можемо написати\(V = W + W^\perp\)).
\((R,+,\cdot)\)Дозволяти кільце і нехай\(S\subseteq R\text{.}\) Якщо\(S\) це саме кільце під,\(+\) і\(\cdot\text{,}\) ми говоримо, що\(S\) це підрядник\(R\text{.}\) У цьому випадку часто\(R\) називається overring\(S\text{.}\)
Наступна теорема забезпечує простий у застосуванні тест, щоб перевірити, чи\(R\) є задана\(S\) підмножина кільця насправді підрядком\(R\text{.}\)
\(R\)Дозволяти кільце і\(S\) підмножина\(R\text{.}\) Тоді\(S\) є підрядкою, якщо і тільки якщо:
- \(S\ne \emptyset\text{;}\)
- \(S\)закривається при множенні; і
- \(S\)закривається під віднімання.
Визначте, чи\(S\) є наступні кільця підкільцями заданих кілець\(R\text{.}\)
- \(S = \mathbb{Z}\text{,}\)\(R = \mathbb{Q}\)
- \(S = \mathbb{Z}_{5}\text{,}\)\(R = \mathbb{Z}_{7}\)
- \(S\)це будь-яке кільце,\(R = S[x]\)
- \(S = \mathbb{R}\text{,}\)\(R = \mathbb{C}\)
У нашому вивченні кілець ми в першу чергу зацікавлені в спеціальних типах підкілець, відомих як ідеали, які будуть вивчені більш глибоко в главі 4.
\(R\)Дозволяти кільце і нехай\(u\in R\) бути ненульовим. Якщо є\(v\in R\) таке, що\(uv = vu = 1\text{,}\) ми говоримо,\(u\) є одиницею\(R\text{.}\) Ми позначаємо набір одиниць\(R\) по\(R^\times\text{.}\) Ми говоримо,\(x,y\in R\) є асоціаціями, якщо є\(u\in R^\times\) такі, що\(x = uy\text{.}\)
Явно опишіть множину\(\mathbb{Z}^\times\text{.}\) Що таке асоціації 7 в\(\mathbb{Z}\text{?}\)
Іншими словами, одиниця в кільці - це ненульовий елемент з мультиплікативним оберненим. Існування одиниць є первинною різницею між полями та комутативними кільцями з ідентичністю: у полі всі ненульові елементи є одиницями, тоді як у комутативному кільці з тотожністю жоден ненульовий елемент не повинен бути одиницями, як показує Theorem Template:index.
Комутативне кільце з\(R\) ідентичністю, в якому кожен ненульовий елемент є одиницею, є полем.
Корисним інструментом для аналізу структури кілець з скінченно великою кількістю елементів є таблиці додавання і множення. Як приклад розглянемо таблиці додавання та множення для\(R = \mathbb{Z}_3\) показаних у таблиці Template:index та таблиці Template:index.
| \(+\) | \(\overline{0}\) | \(\overline{1}\) | \(\overline{2}\) |
|---|---|---|---|
| \ (+\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{1}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{2}\) |
| \ (+\) ">\(\overline{1}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{1}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{2}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{0}\) |
| \ (+\) ">\(\overline{2}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{2}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{1}\) |
| \(\cdot\) | \(\overline{0}\) | \(\overline{1}\) | \(\overline{2}\) |
|---|---|---|---|
| \ (\ крапка\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{0}\) |
| \ (\ крапка\) ">\(\overline{1}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{1}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{2}\) |
| \ (\ крапка\) ">\(\overline{2}\) | \ (\ оверлайн {0}\) ">\(\overline{0}\) | \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{2}\) | \ (\ оверлайн {2}\) ">\(\overline{1}\) |
Обчисліть таблиці додавання і множення для наступних кілець.
- \(\displaystyle R = \mathbb{Z}_5\)
- \(\displaystyle R = \mathbb{Z}_6\)
Перерахуйте 2-3 спостереження щодо ваших таблиць.
Одним з цікавих побічних ефектів нашого визначення кільця є те, що воно дозволяє поведінку, яка спочатку може здатися неінтуїтивною або абсолютно дивною.
Нульовий дільник в кільці\(R\) - це ненульовий елемент\(z\in R\) такий, що існує ненульовий\(x\in R\) з\(zx = 0\) або\(xz=0\text{.}\)
Зверніть увагу, що причина ідея нульових дільників спочатку здається дивною, полягає в тому, що вони не є чимось, з чим ми стикаємося при роботі з нашими знайомими множинами чисел, таких як\(\mathbb{Z}\) або\(\mathbb{R}\text{.}\) Насправді, ми спеціально використовуємо той факт, що немає нульових дільників в наших знайомих системах чисел для вирішення рівняння в алгебрі середньої школи (наприклад, якщо\((x-2)(x+5)=0\text{,}\) тоді\(x-2=0\) або\(x+5=0\)). Відсутність нульових дільників - одна з властивостей, яка не зберігається в нашій абстракції від цілих чисел до кілець взагалі.
Знайти, з виправданням, всі дільники нуля в\(\mathbb{Z}_{10}\) і\(\mathbb{Z}_{11}\text{.}\) Make і довести здогаду про існування нульових дільників в\(\mathbb{Z}_m\text{,}\) де\(m > 1\text{.}\)
Чи є інші кільця, в яких ви бачили нульові дільники? Згадайте свої відповіді на розвідку Template:index.
\(R\)Дозволяти кільце і припустити\(a,b\in R\) такі, що\(ab\) є нульовим дільником. Тоді або\(a\) або\(b\) є нульовим дільником.
\(R\)Дозволяти кільце і\(u\in R^\times\text{.}\) тоді не\(u\) є нульовим дільником.
Як ми можемо переосмислити Дослідження 1.4.1 у світлі нашої нової мови одиниць і нульових дільників? Створити теорему, яка використовує цю нову мову.
Хоча існує добре розвинена частина літератури на (некомутативних) кільцях (можливо, без ідентичності), з цього моменту, і якщо не вказано інше, коли ми використовуємо слово кільце, ми маємо на увазі комутативне кільце з ідентичністю.
Більш того, хоча навіть комутативні кільця з ідентичністю і нульовими дільниками цікавлять математиків, ми зосередимо наше дослідження на кільцях без нульових дільників. Оскільки ці кільця мають багато властивостей цілих чисел, вони відомі як у тегральних доменах.
Комутативне кільце з ідентичністю\(R\) - це інтегральна область, або просто домен, якщо не\(R\) має нульових дільників.
Наступні дії та теореми допомагають нам визначити приклади областей, а також розташувати поняття домену на належному місці щодо полів та кілець загалом.
Які з перерахованих нижче кілець є доменами? Обґрунтуйте свої відповіді.
- \(\displaystyle \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_{8}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_{19}\)
- \(\displaystyle \mathbb{R}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Q}[x]\)
Кожне поле є доменом.
\(m > 1\)\(R = \mathbb{Z}_m\text{.}\)Дозволяти і тоді\(R\) це поле, якщо і тільки якщо\(R\) є доменом.
Якщо\(R\) це домен і\(S\) є підрядником\(R\) з ідентифікацією,\(1_S = 1_R\text{,}\) то\(S\) це домен.
Якщо\(R\) це домен, то так\(R[x]\text{.}\)
Чи вірна зворотна теорема Template:index? Якщо так, наведіть короткий доказ. Якщо немає, знайдіть контрприклад.
Задане\(F\text{,}\) поле множина многочленів\(F[x]\) є областю.
При розгляді множин многочленів, як ми це робимо в главі 3 (особливо в розділі 3.1), наступні результати будуть досить корисними.
\(R\)Дозволяти бути домен, і нехай\(p(x),q(x)\in R[x]\) ненульові многочлени. Тоді\(\deg(p(x) q(x)) = \deg(p(x)) + \deg(q(x))\text{.}\)
Чи можна послабити гіпотези теореми Template:index? Якщо так, надайте більш загальні гіпотези та адаптуйте докази. Якщо немає, наведіть наочний приклад.
\(R\)Дозволяти бути доменом. Які одиниці\(R[x]\text{?}\) Доведіть свою відповідь.