2.1: Поля

Цілі навчання

У цьому розділі ми постараємося відповісти на питання:

• Що таке бінарні операції?
• Що таке поле? Які речі можна робити в полі?
• Які приклади полів?

Тепер починаємо процес абстракції. Ми будемо робити це поетапно, починаючи з поняття поля. По-перше, нам потрібно формально визначити деякі знайомі набори чисел.

Визначення: Раціональні числа

Раціональні числа, позначаються\(\mathbb{Q}\text{,}\) множиною

\ begin {рівняння*}\ mathbb {Q} =\ лівий\ {\ dfrac {a} {b}: a, b\ in\ mathbb {Z},\ b\ ne 0\ справа\}\ текст {.} \ end {рівняння*}

Нагадаємо, що в початковій школі ви дізналися, що два дроби\(\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q}\) еквівалентні тоді і тільки тоді, коли\(ad=bc\text{.}\)

Активність Template:index

Довести, що наше початкова школа визначення еквівалентних дробів є співвідношенням еквівалентності. Згадати визначення: Раціональні числа.

Ми, ймовірно, маємо інтуїтивне уявлення про те, що мається\(\mathbb{R}\text{,}\) на увазі під набором дійсних чисел. \(\mathbb{R}\)Суворе визначення насправді досить складно, і займає значну кількість часу в першому курсі реального аналізу. Таким чином, ми скористаємося вашою інтуїцією.

З\(\mathbb{R}\) нас можна побудувати комплексні числа.

Визначення: Комплексні числа

Комплексні числа складаються з усіх виразів виду,\(a+bi\text{,}\) де\(a,b\in \mathbb{R}\) і\(i^2 = -1\text{.}\) дано,\(z = a+bi\text{,}\) ми говоримо,\(a\) є дійсною частиною\(z\) і\(b\) є уявною частиною. Множина комплексних чисел позначається\(\mathbb{C}\text{.}\)

Як було згадано у Вступі, алгебра походить від арабського слова, що означає «возз'єднання розбитих частин». Тому нам потрібен спосіб об'єднання двох елементів множини в один; ми звертаємося до певного типу функції, відомої як бінарна операція, щоб досягти цього.

Визначення: Двійкова операція

\(X\)Дозволяти бути непорожнім набором. Функція\(\star : X \times X \to X\) називається двійковою операцією. Якщо\(\star\) бінарна операція на\(X\text{,}\) ми говоримо,\(X\) що закритий під операцією \(\star\). [Враховуючи, що\(a,b\in X\text{,}\) ми зазвичай\(a\star b\) пишемо замість типового позначення функції,\(\star(a,b)\text{.}\)]

Дослідження Template:index

Які з\(+, -, \cdot, \div\) бінарних операцій:

1. на\(\mathbb{R}\text{?}\)
2. на\(\mathbb{Q}\text{?}\)
3. на\(\mathbb{Z}\text{?}\)
4. на\(\mathbb{N}\text{?}\)
5. on\(\mathbb{C}\text{?}\) (Нагадаємо, що для\(a_1 + b_1 i, a_2 + b_2 i \in \mathbb{C}\text{,}\)\((a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) := (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) і\((a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) := (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i\text{.}\))

Активність Template:index

Виберіть свій улюблений непорожній набір\(X\) і опишіть бінарну операцію, відмінну від дій у дослідженні Template:index.

Відмінною рисою сучасної чистої математики є використання аксіом. Аксіома - це, по суті, недоведене твердження істини. Наше використання аксіом служить кільком цілям.

З логічної точки зору, аксіоми допомагають нам уникнути проблеми нескінченної регресії (наприклад, запитуючи Як ви знаєте? знову і знову). Тобто аксіоми дають нам дуже чіткі відправні точки, з яких можна зробити наші відрахування.

З цією метою наша перша абстрактна алгебраїчна структура фіксує та аксіоматизує звичну поведінку щодо того, як числа можуть бути об'єднані для отримання інших чисел того ж типу.

Визначення: Поле

Поле - це непорожня множина\(F\) з принаймні двома елементами та бінарними операціями,\(\cdot\text{,}\) що позначається\(+\)\((F,+,\cdot)\text{,}\) та задовольняє наступні аксіоми поля:

1. З огляду на будь-який\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a+b)+c = a+(b+c)\text{.}\) (асоціативність додавання)
2. З огляду на будь-який\(a,b\in F\text{,}\)\(a+b= b+a\text{.}\) (Комутативність додавання)
3. Існує\(0_F\in F\) такий елемент, що для всіх\(a\in F\text{,}\)\(a+0_F = 0_F + a = a\text{.}\) (Additive identity)
4. З огляду на будь-який\(a\in F\) існує\(b\in F\) таке, що\(a+b = b + a =0_F\text{.}\) (Аддитивний зворотний)
5. Задано any\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\text{.}\) (Асоціативність множення)
6. Задано any\(a,b\in F\text{,}\)\(a\cdot b = b\cdot a\text{.}\) (Комутативність множення)
7. Існує\(1_F\in F\) такий елемент, що для всіх\(a\in F\text{,}\)\(1_F\cdot a = a\cdot 1_F = a\text{.}\) (мультиплікативна ідентичність)
8. Для всіх\(a\in F\text{,}\)\(a\ne 0_F\text{,}\) існує\(b\in F\) таке, що\(a\cdot b = b\cdot a = 1_F\text{.}\) (Мультиплікативний зворотний)
9. Для всіх\(a,b,c\in F\text{,}\)\(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\text{.}\) (Розподільна власність I)
10. Для всіх\(a,b,c\in F\text{,}\)\((a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\text{.}\) (Розподільна власність II)

Зазвичай ми пишемо\(a\cdot b\) як\(ab\text{.}\) Додатково, ми зазвичай скидаємо індекси,\(0,1\) якщо нам не потрібно розрізняти принципово різні ідентичності в різних полах.

Дослідження Template:index

Які з перерахованих нижче полів під вказаними операціями? Для більшості досить короткого обгрунтування або контрприкладу.

1. \(\mathbb{N}\)при звичайних операціях додавання і множення
2. \(\mathbb{Z}\)при звичайних операціях додавання і множення
3. \(2\mathbb{Z}\text{,}\)множина парних цілих чисел, при звичайних операціях додавання і множення
4. \(\mathbb{Q}\)при звичайних операціях додавання і множення
5. \(\mathbb{Z}_{6}\)при додаванні і множенні по модулю 6
6. \(\mathbb{Z}_{5}\)при додаванні і множенні по модулю 5
7. \(\mathbb{R}\)при звичайних операціях додавання і множення
8. \(\mathbb{C}\)за комплексним додаванням і множенням, визначеним у дослідженні Template:index
9. \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) := \left \{\left(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\mathbb{R}\right \}\)¹, множина\(2\times 2\) матриць з дійсними коефіцієнтами за допомогою звичайного визначення множення матриці ² і додавання матриць.

1

Для студентів, які пройшли курс лінійної алгебри.

2

Нагадаємо, що, якщо\(\left(\begin{matrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix} \right), \left(\begin{matrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{matrix} \right)\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\) тоді\[\left(\begin{matrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix} \right) \cdot \left(\begin{matrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix}a_1 a_2 + b_1 c_2 & a_1 b_2 + b_1 d_2 \\ c_1 a_2 + d_1 c_2 & c_1 b_2 + d_1 d_2 \end{matrix} \right)\text{.} \nonumber\]

У дослідженні Template:index ви визначили, які з множин знайомих математичних об'єктів є, а не є полями. Зверніть увагу, що ви працюєте з полями протягом багатьох років і що наша абстракція мови до поля просто дозволяє нам досліджувати загальні риси одночасно - неефективно довести одне і те ж твердження щодо кожного окремого поля, коли ми можемо довести це раз і назавжди про поля в загальні.

Теорема Template:index: Властивості полів

\(F\)Дозволяти бути полем.

1. Аддитивна\(0\) ідентичність унікальна.
2. Для всіх\(a\in F\text{,}\)\(a \cdot 0 = 0\cdot a = 0\text{.}\)
3. Добавки інверси унікальні.
4. Мультиплікативна\(1\) ідентичність унікальна.
5. Мультиплікативні інверси унікальні.
6. \((-1)\cdot (-1) = 1\)

Підказка

Зауважте, що ми говоримо, що адитивна зворотна мультиплікативна ідентичність разів сама дорівнює мультиплікативної ідентичності. Слід використовувати тільки польові аксіоми і властивості, раніше встановлені в цій теоремі.

«Мінус раз Мінус дорівнює плюс: Причину цього нам не потрібно обговорювати». -В.Ч. Оден

Одним з наслідків теореми Template:index є те, що, враховуючи, що\(a\in F\text{,}\)\(b\in F\setminus \{0\}\text{,}\) ми можемо називати\(-a\) адитивним зворотним\(a\text{,}\) і\(b^{-1}\) як мультиплікативний зворотний\(b\text{.}\) Ми, таким чином, будемо використовувати цю звичну термінологію відтепер.

Дослідження Template:index

Для чого\(n > 1\)\(\mathbb{Z}_n\) це поле? Обчислити деякі приклади, сформувати гіпотезу, і довести свою здогаду.