2.3: Подільність в інтегральних доменах

Цілі навчання

У цьому розділі ми постараємося відповісти на питання:

• Які мультиплікативні властивості можна узагальнити від\(\mathbb{Z}\) до будь-якої інтегральної області?
• Які відмінності між простим і нескорочуваним елементом в комутативному кільці?

Коли ми ввели поняття інтегральної області, ми сказали, що частина причини визначення полягала в тому, щоб захопити деякі з найбільш істотних властивостей цілих чисел. Це серце абстракції та узагальнення в математиці: переганяти важливі властивості наших об'єктів, що цікавлять, і досліджувати наслідки цих властивостей. Одним з таких важливих властивостей\(\mathbb{Z}\) є скасування.

Теорема Template:index

Нехай\(R\) буде кільце. Тоді\(R\) це домен, якщо і тільки якщо для всіх\(a,b,c\in R\) з\(c\ne 0\) і у\(ac = bc\text{,}\) нас є\(a = b\text{.}\)

Ми можемо прочитати теорему Template:index як кажуть, що визначальною властивістю інтегральної області є можливість скасувати загальні ненульові множники. Зауважте, що ми не розділили; ділення не є двійковою операцією, а ненульові елементи кілець не повинні бути одиницями. Однак, як це було у випадку,\(\mathbb{Z}\text{,}\) існують поняття подільності та факторизації в кільцях.

Визначення: Подільність

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю, і нехай\(a,b\in R\text{.}\) Ми говоримо\(a\) ділить\(b\) і писати,\(a\mid b\) якщо є\(c\in R\) таке, що\(ac = b\text{.}\) Ми тоді говоримо, що\(a\) це фактор\(b\text{.}\)

Дослідження Template:index

Знайти всі фактори\(\overline{2}\) в наступних кільцях:

1. \(\displaystyle \mathbb{Z}_5\)
2. \(\displaystyle \mathbb{Z}_6\)
3. \(\displaystyle \mathbb{Z}_{10}\)

Наше визначення prime також добре поширюється на домени. Дійсно, бажання поширити знайоме поняття простого з\(\mathbb{Z}\) будь-якого кільця є причиною нашого менш звичного визначення, наведеного в Definition: Prime.

Визначення: Прем'єр

\(R\)Дозволяти бути доменом. Ми говоримо, ненульовий ненульовий елемент\(a\in R\) є простим, якщо всякий раз, коли\(a\mid bc\) для деяких\(b,c\in R\text{,}\) або\(a|b\) або\(a|c\text{.}\)

Поняття, пов'язане з первинністю, - це нескорочуваність. Насправді, можна обґрунтовано сказати, що нескорочуваність - це природне узагальнення типового визначення простих зустрічей у шкільній математиці.

Визначення: Незведене

\(R\)Дозволяти бути доменом. Ми говоримо ненульовий ненульовий елемент\(a\in R\) є нескорочуваним, якщо всякий раз, коли\(a = bc\) для деяких\(b,c\in R\text{,}\) один з\(b\) або\(c\) є одиницею. (Зверніть увагу, що в деяких областях літератури слово атом вживається як взаємозамінний з нескорочуваним.)

Дослідження Template:index

Знайдіть одиниці, прості числа та незводні в наступних кільцях.

1. \(\displaystyle \mathbb{R}\)
2. \(\displaystyle \mathbb{Z}\)
3. \(\displaystyle \mathbb{Z}_{5}\)
4. \(\displaystyle \mathbb{Z}_6\)

У доменах всі прості числа є нескорочуваними.

Теорема Template:index

\(R\)Дозволяти бути доменом. Якщо\(a\in R\) просте,\(a\) то незведене.

У звичних налаштуваннях поняття простого і незведеного точно збігаються.

Теорема Template:index

Кожен незвідний в\(\mathbb{Z}\) прайм.

Незважаючи на їх перекриття в звичних налаштуваннях, прості та незводні є окремими типами елементів. Як показує наступна розвідка, не всі прайми є незвідними. Більше того, розвідка Template:index покаже, що не всі нескорочувані є простими, навіть у доменах!

Дослідження Template:index

Знайдіть приклад кільця\(R\) і просте\(p\in R\) таке, що не\(p\) є незведеним.

Дослідження Template:index

Розглянемо\(R\) множини всіх многочленів, у\(\mathbb{Z}[x]\) яких коефіцієнт на лінійний член дорівнює нулю. Тобто,

\ begin {рівняння*} R =\ {a_0 + a_2 x^2 +\ cdots + a_ {n-1} x^ {n-1} + a_n x^n: a_i\ in\ mathbb {Z},\ n\ in\ mathbb {N} _0\}\ текст {.} \ end {рівняння*}

(Ви повинні переконати себе, що\(R\) це цілісний домен, але не потрібно це доводити.) Потім знайдіть многочлен форми\(x^n\) в\(R\) тому, що є незведеним, але не простим.

Наше останнє прямолінійне узагальнення з мультиплікативної структури\(\mathbb{Z}\) є поняття найбільшого спільного дільника. Як знову демонструє наше наступне визначення, наша ретельна робота в контексті\(\mathbb{Z}\) узагальнює добре для всіх доменів. Дійсно, ми навмисно не зверталися\(\le\) до визначення найбільшого спільного дільника в Definition: Greatest Common Divisor, оскільки не всі кільця мають відношення природного порядку, як це\(\mathbb{Z}\) робить.

Визначення: Найбільший спільний дільник

\(R\)Дозволяти бути домен, і нехай\(a,b\in R\text{.}\) ненульовий елемент\(d\in R\) є найбільшим спільним дільником\(a\) і\(b\) якщо

1. \(d\mid a\)і\(d\mid b\) і,
2. якщо\(e\in R\) з\(e\mid a\) і\(e\mid b\text{,}\) потім\(e\mid d\text{.}\)

Теорема Template:index

\(R\)Дозволяти бути доменом і\(a,b\in R\) і припустимо\(d\) є найбільшим спільним дільником\(a\) і\(b\text{.}\) Тоді будь-який асоційований також\(d\) є найбільшим спільним дільником\(a\) і\(b\text{.}\) (Відкликати визначення: Одиниця виміру)

Дослідження Template:index

У більшості звичних доменів існують GCD. Однак вони не завжди! Знайдіть приклад елементів у кільці з Exploration Template:index, які не мають НСД. Обґрунтуйте своє твердження.

Дослідження Template:index

Заповніть наступні пробіли в порядку збільшення спільності словами кільце, інтегральна область, поле і комутативне кільце.

__________\(\Rightarrow\) __________\(\Rightarrow\) __________\(\Rightarrow\) __________