2.4: Основні ідеали та евклідові домени
- Page ID
- 63427
У цьому розділі ми постараємося відповісти на питання:
- Що таке принципові ідеали, а які основні ідеальні домени?
- Що таке евклідові домени, і як вони пов'язані з PID?
Одним із способів, за допомогою якого математики вивчають структуру абстрактного об'єкта, є розгляд того, як він взаємодіє з іншими (спорідненими) об'єктами. Особливо це стосується його підоб'єктів. Таким чином, в лінійній алгебрі ми часто ставимося до підпросторів векторного простору як засобу розуміння векторного простору, або навіть підматриць як способу розуміння матриці (див., наприклад, формулу кофакторного розширення для детермінанти). У реальному аналізі та топології важливими підоб'єктами зазвичай є відкриті множини або підпослідовності, а вивчення підграфів графа є важливим підходом до багатьох питань теорії графів.
У цьому розділі ми розпочинаємо теоретико-множинне структурне дослідження поняття кільця, розглядаючи особливо важливий клас підрядника, який буде невід'ємною частиною нашого розуміння факторизації.
Ці підкільця називаються ідеалами. Вони виникли в роботі Куммера і Дедекінда як спосіб спроби відновити деяке поняття унікальної факторизації в кільцях, які не мають властивостей, як фундаментальна теорема арифметики в\(\mathbb{Z}\text{.}\)
Підмножина\(I\) (не обов'язково комутативного) кільця\(R\) називається ідеалом, якщо:
- \(\displaystyle 0\in I\)
- для всіх\(x,y\in I\text{,}\)\(x+y\in I\text{;}\) і,
- для всіх\(x\in I\) і для всіх\(r\in R\text{,}\)\(xr\in I\) і\(rx\in I\text{.}\)
Зверніть увагу, що третя вимога,\(I\) щоб набір був ідеалом, трохи\(R\) спрощується, якщо\(R\) є комутативним (що, нагадаємо, всі наші кільця).
Є багато важливих прикладів і типів ідеалів, але є і деякі тривіальні ідеали, що містяться в кожному кільці.
Нехай\(R\) буде кільце. Тоді\(R\) і\(\{0\}\) є ідеалами\(R\text{.}\)
Всі ідеали - це підрядки.
Наступна теорема дає корисну характеристику того, коли ідеал насправді\(I\) є цілим кільцем.
Дозвольте\(R\) бути кільцем і\(I\) ідеалом\(R\text{.}\) Тоді,\(I = R\) якщо і тільки\(I\) містить одиницю\(R\text{.}\)
Найважливішим типом ідеалів (принаймні для нашої роботи) є ті, які є множинами всіх кратних одного елемента в кільці. Такі ідеали називаються принциповими ідеалами.
\(R\)Дозволяти бути комутативним з ідентичністю і нехай\(a\in R\text{.}\) набір
\ begin {рівняння*}\ лангле a\ rangle=\ {ra: r\ in R\}\ end {рівняння*}
є ідеалом (називається головним ідеалом, породженим\(a\)).
Елемент\(a\) в теоремі відомий як генератор\(\langle a \rangle\text{.}\)
\(R\)Дозволяти бути комутативним з ідентичністю, і нехай\(x,y,z\in R\text{.}\) Дають необхідні і достатні умови для\(z\in \langle x \rangle\) і, окремо,\(\langle x \rangle \subseteq \langle y \rangle\text{.}\)
Тобто заповнити пробіли: «\(z\in \langle x \rangle \Leftrightarrow\)_________» і «\(\langle x \rangle\subseteq \langle y \rangle \Leftrightarrow\)_________».
Обґрунтуйте свої відповіді.
Принципові ідеали можуть мати більше одного генератора.
\(R\)Дозволяти кільце, а\(a\in R\text{.}\) потім\(\langle a \rangle= \langle ua \rangle\text{,}\)\(u\) де будь-яка одиниця\(R\text{.}\)
\(R = \mathbb{Z}\text{,}\)Опишіть основні ідеали, породжені
- 2
- \(\displaystyle -9\)
- 9
- 0
- 27
- 3
Визначте підмножинні відносини між перерахованими вище ідеалами.
Саме в багатьох знайомих умовах всі ідеали є принциповими. Таким доменам дається особлива назва.
Інтегральна область,\(R\) в якій кожен ідеал є основним, відомий як основний ідеальний домен (PID).
\(\mathbb{Z}\)Кільце є основним ідеальним доменом.
- Підказка
-
Використовуйте властивості, характерні для\(\mathbb{Z} \text{,}\) можливо з розділу 1.
Знайти ціле число\(d\) таке, що\(I = \langle d \rangle\subseteq \mathbb{Z}\text{,}\) якщо
- \(\displaystyle I = \{4x+10y: x,y\in\mathbb{Z}\}\)
- \(\displaystyle I = \{6s+7t : s,t\in\mathbb{Z}\}\)
- \(\displaystyle I = \{9w+12z : w,z\in\mathbb{Z}\}\)
- \(\displaystyle I = \{am+bn : m,n\in\mathbb{Z}\}\)
Вам не потрібно доводити, що кожен з наведених вище наборів є ідеалами (хоча ви повинні переконатися, що ви можете це зробити).
\(R\)Дозволяти бути основним ідеальним доменом і не\(x,y\in R\) бути нульовим. Нехай\(I = \{xm+yn: m,n\in R\}\text{.}\) тоді:
- \(I\)є ідеалом, і
- \(I = \langle d \rangle\text{,}\)де\(d\) будь-який найбільший спільний дільник\(x\) і\(y\text{.}\)
Робимо висновок, що існують\(s,t\in R\) такі, що\(d = xs + yt\text{.}\)
До цих пір ми абстрагували та аксіоматизували кілька важливих алгебраїчних властивостей, про\(\mathbb{Z}\) які ми говорили в § 1. Зокрема, у нас є звичайні операції додавання та множення та їх взаємодія; у нас є поняття подільності/факторизації, нескорочуваності та первинності; ми також маємо скасування та найбільші спільні дільники.
Наша остання основна\(\mathbb{Z}\) абстракція з алгоритму поділу. Основною перешкодою для постуляції доменів за допомогою алгоритму поділу є чітке поняття співвідношень порівняння. Тобто, якщо\(R\) є довільним доменом з\(r,s\in R\text{,}\) чи можна чітко і розумно сказати, який з\(r\) або\(s\) є «більшим»? (Нагадаємо, що це була вимога до алгоритму ділення з ненульовими залишком.) Однак, якщо є спосіб пов'язати елементи області\(R\) до\(\mathbb{N}_0\text{,}\) ми можемо розумно визначити алгоритм поділу.
\(R\)Дозволяти бути цілісним доменом. Ми\(R\) називаємо евклідовим доменом, якщо існує\(\delta : R\setminus \{0\} \to \mathbb{N}_0\) така функція, що:
- Якщо\(a,b\in R\setminus \{0\}\text{,}\) тоді\(\delta(a) \le \delta(ab)\text{.}\)
- Якщо\(a,b\in R\text{,}\)\(b\ne 0\text{,}\) тоді існують\(q,r\in R\) такі, що\(a = bq+r\text{,}\) де або\(r = 0\) або\(\delta(r) \lt \delta(b)\text{.}\)
Викликаємо функцію\(\delta\) нормою для\(R\text{.}\)
\(\delta\): Це мала грецька буква дельта.
Таким чином, евклідова область - це інтегральна область з алгоритмом поділу, який поводиться звично. В іншій частині цього розділу ми будемо досліджувати властивості евклідових доменів. Для початку розглянемо деякі приклади.
Поле\(\mathbb{Q}\) є евклідовим доменом при звичайному додаванні і множенні, з\(\delta(x) = 0\) для всіх\(x\in \mathbb{Q}\text{.}\)
Чи\(\mathbb{Z}\) є евклідовим доменом? Якщо так, то що таке функція норми\(\delta\text{,}\) і чому ця функція має необхідні властивості норми?
\(F\)Дозволяти поле і\(S\subseteq F[x]\) множина, що містить ненульовий многочлен. Доведіть, що\(S\) містить многочлен\(f\) такий, що\(\deg(f) \le \deg(g)\) для всіх ненульових\(g\in S\text{.}\)
\(F\)Дозволяти бути поле і\(f(x),g(x)\in F[x]\) з\(g(x)\ne 0\text{.}\)\(\deg f(x) \ge \deg g(x) > 0\text{,}\)\(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m\) If а\(g(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n\text{,}\) потім\(h(x) = f(x) - a_m b_n^{-1} x^{m-n} g(x)\) має ступінь строго менше\(\deg f(x)\text{.}\)
\(F\)Дозволяти поле і\(f(x),g(x)\in F[x]\) з\(g(x)\ne 0\text{.}\) Тоді існують унікальні\(q(x), r(x) \in F[x]\) такі, що
\ begin {рівняння*} f (x) = g (x) q (x) + r (x)\ text {,}\ end {рівняння*}
де\(\deg(r(x)) \lt \deg g(x)\text{.}\)
- Підказка
-
Для існування розглянемо три випадки:\(f(x) = 0\text{;}\)\(f(x) \ne 0\)\(\deg f \lt \deg g\text{;}\)\(f(x) \ne 0\) і\(\deg f \ge \deg g\text{.}\) в останньому випадку використовуйте індукцію на\(m = \deg f(x)\text{.}\) Для єдиності імітуйте доказ єдиності теореми 1.2.4.
\(F\)Дозволяти бути полем. Тоді кільце\(F[x]\) є основним ідеальним доменом.
- Підказка
-
Імітуйте доказ теореми Template:index і використовуйте Lemma Template:index!
Чи\(F[x]\) є евклідовим доменом для всіх полів\(F\text{?}\) Якщо так, то що таке функція norm\(\delta\text{,}\) і чому ця функція має необхідні властивості норми? Якщо ні, то чому б і ні? Доведіть свою відповідь.
Насправді кожен евклідовий домен є PID.
Кожен евклідовий домен є основним ідеальним доменом.
- Підказка
-
Імітуйте доказ теореми Template:index.
Де евклідові домени та PID вписуються в ієрархію абстракції, знайденої в дослідженні 2.3.5?