20.7: Шавлія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64418

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Багато обчислень, в, здавалося б, дуже різних областях математики, можуть бути переведені в питання про лінійних комбінаціях або інших областях лінійної алгебри. Тож Sage має велику та ретельну підтримку таких тем, як векторні простори.

Векторні простори

Найпростіший спосіб створити векторний простір - почати з поля і використовувати показник для позначення кількості записів у векторах простору.

Елементи можуть бути побудовані за допомогою векторного конструктора.

Зверніть увагу, що вектори друкуються з дужками, що допомагає відрізнити їх від списків (хоча вони також виглядають як кортежі). Вектори друкують горизонтально, але в Sage немає такого поняття, як «вектор рядків» або «вектор стовпців», хоча після залучення матриць нам потрібно вирішити цю різницю. Нарешті, зверніть увагу, як елементи скінченного поля були перетворені в альтернативне подання.

Після того, як у нас є векторні простори, повні векторів, ми можемо виконувати обчислення з ними. Зрештою, вся дія у векторному просторі повертається до додавання векторів та скалярного множення, які разом створюють лінійні комбінації.

Підпростори

Sage може створювати підпростори різними способами, наприклад, при створенні рядків або стовпців просторів матриць. Однак найбільш прямий шлях - почати з набору векторів, які будуть використовуватися як охоплюючий набір.

Зверніть увагу, що інформація, надрукована про S, містить «базову матрицю». Рядки цієї матриці є основою для векторного простору. Ми можемо отримати основу, як список векторів (а не рядків матриці), за допомогою методу.basis ().

Зверніть увагу, що Sage перетворив охоплюючий набір з трьох векторів на основу з двома векторами. Частково це пов'язано з тим, що початковий набір з трьох векторів лінійно залежить, але відбулася більш істотна зміна.

Це гарне місце для обговорення деяких математики, що стоїть за тим, що змушує Sage працювати. Векторний простір над нескінченним полем, як раціональні або реали, є нескінченною множиною. Якою б великою не здавалася комп'ютерна пам'ять, вона все одно кінцева. Як Sage вписується нескінченний набір у наші кінцеві машини? Основна ідея полягає в тому, що скінченновимірний векторний простір має скінченну множину генераторів, які ми знаємо як основу. Отже, Sage дійсно потрібні лише елементи основи (два вектори в попередньому прикладі), щоб мати можливість працювати з нескінченно багатьма можливостями для елементів підпростору.

Крім того, для кожної основи, пов'язаної з векторним простором, Sage виконує лінійні комбінації для перетворення заданої основи в іншу «стандартну» основу. Ця нова основа має властивість, що як рядки матриці, матриця знаходиться в зменшеній рядково-ешелонової формі. Ви можете побачити це в базовій матриці вище. Скорочена строково-ешелонова форма матриці унікальна, тому ця стандартна основа дозволяє Sage розпізнавати, коли два векторні простори рівні. Ось приклад.

Як і слід було очікувати, легко визначити розмірність векторного простору.

Лінійна незалежність

У Sage існує безліч способів визначити, чи є набір векторів лінійно незалежним чи ні, і знайти відносини лінійної залежності, якщо вони існують. Техніка, яку ми покажемо тут, - це простий тест, щоб побачити, чи є набір векторів лінійно незалежним чи ні. Просто використовуйте вектори як набір для підпростору та перевірте розмірність підпростору. Розмірність дорівнює кількості векторів у наборі охоплювань тоді і лише тоді, коли множина є лінійно незалежною.

Таким чином, перший набір векторів, [u, v, w], лінійно незалежний, тоді як другий набір, [u, v, a^3*u + a^11*v], не є.

Абстрактні векторні простори

Sage не реалізує багато абстрактних векторних просторів безпосередньо, таких як\(P_n\text{,}\) векторний простір поліномів ступеня\(n\) або менше. Частково це пов'язано з тим, що скінченновимірний векторний простір над полем\(F\) ізоморфний до векторного простору.\(F^n\text{.}\) Тому Sage захоплює всю функціональність скінченновимірних векторних просторів, і користувачеві залишається виконувати перетворення відповідно до ізоморфізму (який є часто банально з вибором очевидної основи).

Однак є випадки, коли кільця поводяться природно як векторні простори, і ми можемо використовувати цю додаткову структуру. Ми побачимо набагато більше цього в розділах про поля та теорії Галуа. Як приклад, скінченні поля мають єдиний генератор, а перші кілька потужностей генератора утворюють основу. Розглянемо створення векторного простору з елементів скінченного поля порядку\(7^6=117\,649\text{.}\) Як елементи поля ми знаємо, що вони можуть бути додані, тому ми визначимо це як додавання в нашому векторному просторі. Для будь-якого елемента цілих чисел мод 7, ми можемо помножити елемент поля на ціле число, тому ми визначаємо це бути наше скалярне множення. Пізніше ми будемо впевнені, що ці два визначення призводять до векторного простору, але прийміть це як належне зараз. Ось деякі операції в нашому новому векторному просторі.

Ви можете визнати, що це виглядає дуже знайомим для того, як ми додаємо многочлени і множимо многочлени на скаляри. Ви б мали рацію. Однак зауважте, що в цій векторній конструкції простору ми повністю ігноруємо можливість множення двох елементів поля разом. Як векторний простір зі скалярами від основи\({\mathbb Z}_7\text{,}\) є перші шість ступенів генератора,\(\{1,\,a,\,a^2,\,a^3,\,a^4,\,a^5\}\text{.}\) (Зверніть увагу, як відлік від нуля є природним тут.) Можливо, ви помітили, як Sage послідовно переписує елементи полів як лінійні комбінації - тепер у вас є гарне пояснення.

Ось що Sage знає про скінченне поле як векторний простір. По-перше, він знає, що скінченне поле - це векторний простір, і що таке поле скалярів. Пригнічується додатковий вихід з ізоморфізмами між структурою скінченного поля та векторною просторовою структурою.

Таким чином, скінченне поле (як векторний простір) є ізоморфним до векторного простору\(({\mathbb Z}_7)^6\text{.}\) Зверніть увагу, що це не кільце або поле ізоморфізм, оскільки він не повністю вирішує множення елементів, хоча це можливо в полі.

По-друге, елементи поля можуть бути легко перетворені в елементи векторного простору.

Зверніть увагу, що Sage спочатку записує елементи поля з високими потужностями генератора, тоді як основа у використанні впорядковується спочатку з низькими потужностями. Наведені нижче обчислення ілюструють ізоморфізм збереження структури між самим скінченним полем і його інтерпретацію як векторного простору,\(({\mathbb Z}_7)^6\text{.}\)

Лінійна алгебра

Sage має широку підтримку лінійної алгебри, що значно перевищує те, що ми описали тут, або те, що нам знадобиться для решти глав. Створюйте векторні простори та вектори (з різними полями скалярів), а потім використовуйте tab-завершення на цих об'єктах для вивчення великих наборів доступних команд.