20.3: Лінійна незалежність

\(S = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\)Дозволяти бути набір векторів у векторному просторі\(V\text{.}\) Якщо існують скаляри\(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \in F\) такі, що не всі з них нуль і\(\alpha_i\)

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \nonumber \]

\(S\)то кажуть, що він лінійно залежний. Якщо набір не\(S\) лінійно залежить, то він, як кажуть, лінійно незалежний. Більш конкретно,\(S\) це лінійно незалежний набір, якщо

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 } \nonumber \]

має на увазі, що

\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0 \nonumber \]

для будь-якого набору скалярів\(\{ \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \}\text{.}\)

Пропозиція\(20.9\)

\(\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}\)Дозволяти набір лінійно незалежних векторів у векторному просторі. Припустимо, що

\[ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \nonumber \]

Тоді\(\alpha_1 = \beta_1, \alpha_2 = \beta_2, \ldots, \alpha_n = \beta_n\text{.}\)

Доказ

Якщо

\[ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{,} \nonumber \]

потім

\[ (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + (\alpha_2 - \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n) v_n = {\mathbf 0}\text{.} \nonumber \]

Так як\(v_1, \ldots, v_n\) лінійно незалежні,\(\alpha_i - \beta_i = 0\) для\(i = 1, \ldots, n\text{.}\)

Визначення лінійної залежності має більше сенсу, якщо розглядати наступну пропозицію.

Пропозиція\(20.10\)

Набір\(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) векторів у векторному просторі\(V\) лінійно залежить тоді і лише тоді, коли один з них є лінійною комбінацією решти.\(v_i\)

Доказ

Припустимо, що\(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) це набір лінійно залежних векторів. Тоді існують скаляри\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) такі, що

\[ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \nonumber \]

принаймні один з них\(\alpha_i\) не дорівнює нулю. Припустимо, що\(\alpha_k \neq 0\text{.}\) тоді

\[ v_k = - \frac{\alpha_1}{\alpha_k} v_1 - \cdots - \frac{\alpha_{k - 1}}{\alpha_k} v_{k-1} - \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} v_{k + 1} - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_k} v_n\text{.} \nonumber \]

І навпаки, припустимо, що

\[ v_k = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \nonumber \]

Тоді

\[ \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} - v_k + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n = {\mathbf 0}\text{.} \nonumber \]

Наступне судження є наслідком того, що будь-яка система однорідних лінійних рівнянь з більшою кількістю невідомих, ніж рівнянь, матиме нетривіальне рішення. Ми залишаємо деталі доказу для вправ в кінці глави.

Пропозиція\(20.11\)

Припустимо, що векторний простір\(V\) охоплюється\(n\) векторами. Якщо\(m \gt n\text{,}\) тоді будь-який набір\(m\) векторів в\(V\) повинен бути лінійно залежним.

Набір\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) векторів у векторному просторі\(V\) називається основою для\(V\) if\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) є лінійно незалежною множиною, яка охоплює\(V\text{.}\)

Приклад\(20.12\)

Вектори\(e_1 = (1, 0, 0)\text{,}\)\(e_2 = (0, 1, 0)\text{,}\) і\(e_3 =(0, 0, 1)\) утворюють основу для\({\mathbb R}^3\text{.}\) множини, безумовно, охоплює,\({\mathbb R}^3\text{,}\) оскільки будь-який довільний вектор\((x_1, x_2, x_3)\) в\({\mathbb R}^3\) може бути записаний як\(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3\text{.}\)

Рішення

Крім того, жоден з векторів не\(e_1, e_2, e_3\) може бути записаний як лінійна комбінація двох інших; отже, вони лінійно незалежні. Вектори не\(e_1, e_2, e_3\) є єдиною основою\({\mathbb R}^3\text{:}\) множини\(\{ (3, 2, 1), (3, 2, 0), (1, 1, 1) \}\), також є основою для\({\mathbb R}^3\text{.}\)

Приклад\(20.13\)

Нехай\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\) набори

Рішення

\(\{1, \sqrt{2}\, \}\)і\(\{1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}\, \}\) є обома основами\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{.}\)

З останніх двох прикладів повинно бути зрозуміло, що даний векторний простір має кілька основ. Насправді існує нескінченна кількість основ для обох цих прикладів. Загалом, немає унікальної основи для векторного простору. Однак кожна основа\({\mathbb R}^3\) складається з рівно трьох векторів, а кожна основа\({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) складається з рівно двох векторів. Це наслідок наступного судження.

Пропозиція\(20.14\)

\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\)\(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\)Дозволяти і бути двома основами для векторного простору\(V\text{.}\) Тоді\(m = n\text{.}\)

Доказ

Оскільки\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\) є основою, то це лінійно незалежний набір. За пропозицією 20.11,\(n \leq m\text{.}\) Аналогічно,\(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\) є лінійно незалежним набором, і остання пропозиція передбачає, що\(m \leq n\text{.}\) Отже,\(m = n\text{.}\)

Якщо\(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) є основою для векторного простору,\(V\text{,}\) то ми говоримо, що розмірність\(V\) є\(n\) і ми\(\dim V =n\text{.}\) пишемо Ми залишимо доказ наступної теореми як вправу.

Теорема\(20.15\)

\(V\)Дозволяти бути векторним простором розмірності\(n\text{.}\)

1. Якщо\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) є множиною лінійно незалежних векторів для,\(V\text{,}\) то\(S\) є основою для\(V\text{.}\)
2. Якщо\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) прольоти,\(V\text{,}\) то\(S\) є основою для\(V\text{.}\)
3. Якщо набір\(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) лінійно незалежних векторів для\(V\) with,\(k \lt n\text{,}\) то існують\(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) такі вектори, що

   \[ \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \nonumber \]

   є основою для\(V\text{.}\)