20.2: Підпростори

Так само, як групи мають підгрупи, а кільця мають підкільця, векторні простори також мають підструктури. \(V\)Дозволяти бути векторний простір над полем\(F\text{,}\) і\(W\) підмножина\(V\text{.}\) Тоді\(W\) є підпростором\(V\) якщо він закритий під векторне додавання і скалярне множення; тобто, якщо\(u, v \in W\) і\(\alpha \in F\text{,}\) це завжди буде так, що \(u + v\)а також\(\alpha v\) знаходяться в\(W\text{.}\)

Приклад\(20.6\)

\(W\)Дозволяти підпростір\({\mathbb R}^3\) визначено\(W = \{ (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) : x_1, x_2 \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Ми стверджуємо, що\(W\) є підпростором\({\mathbb R}^3\text{.}\) Since

Рішення

\ begin {align*}\ альфа (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) & = (\ альфа x_1,\ альфа (2 x_1 + x_2),\ альфа (x_1 - x_2))\\ & = (\ альфа x_1, 2 (\ альфа x_1) +\ альфа x_2,\ альфа x_2,\ альфа x_2 1 -\ альфа x_2)\ текст {,}\ end {align*}

\(W\)закривається під скалярним множенням. Щоб показати, що\(W\) закрито під векторним додаванням, нехай\(u = (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2)\) і\(v = (y_1, 2 y_1 + y_2, y_1 - y_2)\) бути векторами в\(W\text{.}\) Тоді

\[ u + v = (x_1 + y_1, 2( x_1 + y_1) +( x_2 + y_2), (x_1 + y_1) - (x_2+ y_2))\text{.} \nonumber \]

Приклад\(20.7\)

\(W\)Дозволяти підмножина многочленів без непарних\(F[x]\) степеневих термінів. Якщо\(p(x)\) і не\(q(x)\) мають непарних термінів, то

Рішення

\(p(x) + q(x)\text{.}\)також не буде,\(\alpha p(x) \in W\) для\(\alpha \in F\) і\(p(x) \in W\text{.}\)

\(V\)Дозволяти будь векторний простір над полем\(F\) і припустимо, що\(v_1, v_2, \ldots, v_n\) є векторами в\(V\) і\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) є скалярами\(w\) в\(F\text{.}\) Будь-який вектор в\(V\) формі

\[ w = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n \nonumber \]

називається лінійною комбінацією векторів.\(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) Охоплюючий набір векторів\(v_1, v_2, \ldots, v_n\) - це сукупність векторів, отриманих з усіх можливих лінійних комбінацій\(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) If\(W\) є охоплюючою множиною,\(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{,}\) то ми говоримо, що \(W\)охоплюється\(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\)

Пропозиція\(20.8\)

\(S= \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}\)Дозволяти бути вектори у векторному просторі\(V\text{.}\) Тоді проліт\(S\) є підпростором\(V\text{.}\)

Доказ

\(u\)\(v\)Дозволяти і бути в\(S\text{.}\) Ми можемо записати обидва ці вектори як лінійні\(v_i\) комбінації:

\ begin {вирівнювати*} u & =\ альфа_1 v_1 +\ альфа_2 v_2 +\ cdots +\ альфа_n v_n\\ v & =\ бета_1 v_1 +\ beta_2 v_2 +\ cdots +\ beta_n v_n\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Тоді

\[ u + v =( \alpha_1 + \beta_1) v_1 + (\alpha_2+ \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n) v_n \nonumber \]

являє собою лінійну комбінацію\(v_i\) і. для\(\alpha \in F\text{,}\)

\[ \alpha u = (\alpha \alpha_1) v_1 + ( \alpha \alpha_2) v_2 + \cdots + (\alpha \alpha_n ) v_n \nonumber \]

знаходиться в прольоті\(S\text{.}\)