20.1: Визначення та приклади

Векторний простір\(V\) над полем\(F\) - це абелева група зі скалярним добутком\(\alpha \cdot v\) або\(\alpha v\) визначена для всіх\(\alpha \in F\) і всіх\(v \in V\) задовольняє наступні аксіоми.

• \(\alpha(\beta v) =(\alpha \beta)v\text{;}\)
• \((\alpha + \beta)v =\alpha v + \beta v\text{;}\)
• \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\text{;}\)
• \(1v=v\text{;}\)

де\(\alpha, \beta \in F\) і\(u, v \in V\text{.}\)

Елементи\(V\) називаються векторами; елементи\(F\) називаються скалярами. Важливо зауважити, що в більшості випадків два вектори неможливо помножити. Загалом, множити вектор можна тільки скаляром. Щоб розмежувати скалярний нуль і векторний нуль, запишемо їх як 0 і\({\mathbf 0}\text{,}\) відповідно.

Розберемо кілька прикладів векторних просторів. Деякі з них будуть цілком звичними, інші здаватимуться менш такими.

Приклад\(20.1\)

\(n\)-кортежі дійсних чисел, позначені\({\mathbb R}^n\text{,}\) формою векторного простору над\({\mathbb R}\text{.}\) заданими векторами\(u = (u_1, \ldots, u_n)\) і\(v = (v_1, \ldots, v_n)\) в\({\mathbb R}^n\) і\(\alpha\) в\({\mathbb R}\text{,}\) ми можемо визначити

Рішення

векторне додавання по

\[ u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \nonumber \]

і скалярне множення на

\[ \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \nonumber \]

Приклад\(20.2\)

Якщо\(F\) це поле, то\(F[x]\) є векторним простором над\(F\text{.}\) Вектори в\(F[x]\) є просто поліномами, а векторне додавання - це просто поліноміальне додавання. Якщо\(\alpha \in F\) і\(p(x) \in F[x]\text{,}\) тоді скалярне множення визначається

Рішення

\(\alpha p(x)\text{.}\)

Приклад\(20.3\)

Множина всіх неперервних дійсних функцій на замкнутому інтервалі\([a,b]\) є векторним простором над\({\mathbb R}\text{.}\) If\(f(x)\) і\(g(x)\) є неперервними на\([a, b]\text{,}\) потім

Рішення

\((f+g)(x)\)визначається як\(f(x) + g(x)\text{.}\) скалярне множення визначається\((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\)\(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) наприклад, якщо\(f(x) = \sin x\) і\(g(x)= x^2\text{,}\) тоді\((2f + 5g)(x) =2 \sin x + 5 x^2\text{.}\)

Приклад\(20.4\)

\(V = {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q } \}\text{.}\)Дозволяти Тоді\(V\) векторний простір над\({\mathbb Q}\text{.}\) If,\(u = a + b \sqrt{2}\) а\(v = c + d \sqrt{2}\text{,}\) потім

Рішення

\(u + v = (a + c) + (b + d ) \sqrt{2}\)знову в\(V\text{.}\) Також, бо\(\alpha \in {\mathbb Q}\text{,}\)\(\alpha v\) знаходиться в\(V\text{.}\) Ми залишимо це як вправу, щоб перевірити, що всі векторні космічні аксіоми тримають\(V\text{.}\)

Пропозиція\(20.5\)

\(V\)Дозволяти бути векторний простір над\(F\text{.}\) Потім кожен з наступних тверджень є істинним.

1. \(0v ={\mathbf 0}\)для всіх\(v \in V\text{.}\)
2. \(\alpha {\mathbf 0} = {\mathbf 0}\)для всіх\(\alpha \in F\text{.}\)
3. Якщо\(\alpha v = {\mathbf 0}\text{,}\) тоді або\(\alpha = 0\) або\(v = {\mathbf 0}\text{.}\)
4. \((-1) v = -v\)для всіх\(v \in V\text{.}\)
5. \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\)для всіх\(\alpha \in F\) і всіх\(v \in V\text{.}\)

Доказ

Щоб довести (1), зауважте, що

\[ 0 v = (0 + 0)v = 0v + 0v; \nonumber \]

отже,\({\mathbf 0} + 0 v = 0v + 0v\text{.}\) так як\(V\) є абелевою групою,\({\mathbf 0} = 0v\text{.}\)

Доказ (2) майже ідентичний доказу (1). Для (3), ми зробили, якщо\(\alpha = 0\text{.}\) Припустимо, що\(\alpha \neq 0\text{.}\) Множення обох сторін\(\alpha v = {\mathbf 0}\) на\(1/ \alpha\text{,}\) ми маємо\(v = {\mathbf 0}\text{.}\)

Щоб показати (4), спостерігайте, що

\[ v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1-1)v = 0v = {\mathbf 0}\text{,} \nonumber \]

і тому\(-v = (-1)v\text{.}\) Ми залишимо доказ (5) як вправу.