17.6: Додаткові вправи- Розв'язування кубічних і квартичних рівнянь

1

Розв'яжіть загальне квадратне рівняння

\[ ax^2 + bx + c = 0 \nonumber \]

для отримання

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \nonumber \]

Дискримінант квадратного рівняння\(\Delta = b^2 - 4ac\) визначає характер розв'язків рівняння. Якщо\(\Delta \gt 0\text{,}\) рівняння має два різних дійсних розв'язку. Якщо\(\Delta = 0\text{,}\) рівняння має один повторюваний дійсний корінь. Якщо\(\Delta \lt 0\text{,}\) є два чітких уявних рішення.

2

Показати, що будь-яке кубічне рівняння форми

\[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber \]

можна звести до форми,\(y^3 + py + q = 0\) зробивши заміну\(x = y - b/3\text{.}\)

3

Доведіть, що куб коріння 1 задаються

\ begin {align*}\ омега & =\ frac {-1+ я\ sqrt {3}} {2}\\ омега^2 & =\ frac {-1- i\ sqrt {3}} {2}\\ омега^3 & = 1\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

4

Зробіть заміну

\[ y = z - \frac{p}{3 z} \nonumber \]

для\(y\) в рівнянні\(y^3 + py + q = 0\) і отримати два розв'язки\(A\) і\(B\) для\(z^3\text{.}\)

5

Показати, що добуток розчинів, отриманих в (4),\(-p^3/27\text{,}\) виводить, що\(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)

6

Довести, що можливі розв'язки для\(z\) in (4) задаються

\[ \sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \nonumber \]

і використовуйте цей результат, щоб показати, що три можливі рішення для\(y\)

\[ \omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }\text{,} \nonumber \]

де\(i = 0, 1, 2\text{.}\)

7

Дискримінант кубічного рівняння

\[ \Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}\text{.} \nonumber \]

Покажіть, що\(y^3 + py + q=0\)

1. має три реальних кореня, принаймні два з яких рівні, якщо\(\Delta = 0\text{.}\)
2. має один реальний корінь і два сполучених уявних кореня, якщо\(\Delta \gt 0\text{.}\)
3. має три чітких реальних кореня, якщо\(\Delta \lt 0\text{.}\)

8

Розв'яжіть наступні кубічні рівняння.

1. \(\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)
2. \(\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0\)
3. \(\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0\)
4. \(\displaystyle x^3 + x + 3 = 0\)

9

Показати, що загальне квартне рівняння

\[ x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber \]

можна звести до

\[ y^4 + py^2 + qy + r = 0 \nonumber \]

за допомогою підміни\(x = y - a/4\text{.}\)

10

Покажіть, що

\[ \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right)\text{.} \nonumber \]

11

Показати, що права частина вправи\(17.6.10\) може бути поставлена в форму,\((my + k)^2\) якщо і тільки якщо

\[ q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0\text{.} \nonumber \]

12

З вправи\(17.6.11\) отримуємо резольвентне кубічне рівняння

\[ z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0\text{.} \nonumber \]

Вирішуючи резольвентне кубічне рівняння, поставте рівняння, знайдене в вправі 17.6.10, у вигляді

\[ \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \nonumber \]

для отримання розв'язку кварткового рівняння.

13

Використовуйте цей метод для вирішення наступних квартичних рівнянь.

1. \(\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)
2. \(\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)
3. \(\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)
4. \(\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)