3.1.3: Взаємні ідентичності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54833

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Зв'язок між синусом/косинусом/тангенсом і косекансою/секансою/котангенсом.

Ви вже знайомі з тотожностями трига синуса, косинуса та тангенса. Як відомо, будь-який дріб також має зворотну, яка знаходить шляхом зворотного переходу позицій чисельника і знаменника.

Чи можете ви перерахувати, які коефіцієнти були б для трьох тригових функцій (синус, косинус і тангенс) з чисельниками та знаменниками зворотними?

Взаємні ідентичності

Відповідний дробу ab - це дріб ba. Тобто знаходимо зворотну дробу, змінюючи чисельник і знаменник, або перегортаючи дріб. Шість функцій трига можуть бути згруповані попарно як взаємні.

Спочатку розглянемо визначення синусоїдальної функції для кутів повороту:\(\sin \theta =\dfrac{y}{r}\). Тепер розглянемо функцію косеканса:\(\csc \theta=\dfrac{r}{y}\). У одиничному колі ці значення є\(\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y\) і\(\csc \theta=\dfrac{1}{y}\). Ці дві функції, за визначенням, є взаємними. Тому значення синуса кута завжди є зворотним значенням косеканси, і навпаки. Наприклад, якщо\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\), то\(\csc \theta=\dfrac{2}{1}=2\).

Аналогічно функція косинуса і функція секанс є зворотними, а тангенс і котангенс - зворотними:

\ (\ почати {вирівняний}
\ сек\ тета &=\ frac {1} {\ cos\ тета} &\ текст {або} &\ cos\ theta =\ frac {1} {\ сек\ тета}\\ кот
\ тета &=\ фрак {1} {\ тан\ тета} &\ текст {або} &\ tan\ theta =\ frac {1} {\ cot\ theta}}
\ end {вирівняний}\)

Використання взаємних ідентичностей

Знайдіть значення наступних виразів, використовуючи відповідну ідентичність.

1. \(\cos \theta=.3\),\(\sec \theta=?\)

\(\sec \theta=\dfrac{10}{3}\)

Ці функції взаємні, так що якщо\(\cos \theta=.3\), то\(\sec \theta=1.3\). Простіше знайти зворотні, якщо висловити значення у вигляді дробів:\(\cos \theta=.3=\dfrac{3}{10} \Rightarrow \sec \theta=103\).

2. \(\cot \theta=\dfrac{4}{3}\),\(\tan \theta=?\)

Ці функції є зворотними, а зворотні\(\dfrac{4}{3}\) є\(\dfrac{3}{4}\).

Ми також можемо використовувати взаємні відносини для визначення області та діапазону функцій.

3. \(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)

Ці функції є зворотними, а зворотні\(\dfrac{1}{2}\) - 2.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано перерахувати співвідношення для трьох тригонометричних функцій з перевернутими чисельниками та знаменниками.

Рішення

Оскільки три регулярні функції trig визначаються як:

\(\begin{aligned} \sin&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \\ \cos&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \tan&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \end{aligned}\)

то три функції - звані «взаємними функціями» є:

\(\begin{aligned}\csc&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ \sec&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}\\ \cot&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Створити зворотну функцію косеканса.

Рішення

Зворотна функція косеканси - синус.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

\(\sec \theta=\dfrac{2}{\pi}\),\(\cos \theta=?\)

Рішення

Ці функції є зворотними, а зворотні\(\dfrac{2}{\pi}\) є\(\dfrac{\pi}{2}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

\(\csc \theta=4\),\(\cos \theta=?\)

Рішення

Ці функції є зворотними, а зворотні 4 є\(\dfrac{1}{4}\).

Рецензія

Створити зворотну функцію секантної.
Створити зворотну функцію котангенса.
Створити зворотну функцію синуса.

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\),\(\csc \theta=?\)
\(\cos \theta=\dfrac{−\sqrt{3}}{2}\),\(\sec \theta=?\)
\(\tan \theta=1\),\(\cot \theta=?\)
\(\sec \theta=\sqrt{2}\),\(\cos \theta=?\)
\(\csc \theta=2\),\(\sin \theta =?\)
\(\cot \theta=−1\),\(\tan \theta=?\)
\(\sin \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),\(\csc \theta=?\)
\(\cos \theta=0\),\(\sec \theta=?\)
\(\tan \theta=\text{undefined}\),\(\cot \theta=?\)
\(\csc \theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\),\(\sin \theta =?\)
\(\sin \theta =\dfrac{−1}{2}\)і\(\tan \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),\(\cos \theta=?\)
\(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)і\(\tan \theta=1\),\(\sin \theta =?\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.21.

Лексика

Термін	Визначення
домен	Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
Діапазон	Діапазон функції - це набір значень y, для яких визначена функція.
Зворотна функція трига	Реципрокна тригонометрична функція - це функція, яка є зворотною типової тригонометричної функції. Наприклад, так як\(\sin x=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\), зворотна функція\(\csc x=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}\)

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Взаємні, часткові та Піфагорійська ідентичності