3.1.3: Взаємні ідентичності

Зв'язок між синусом/косинусом/тангенсом і косекансою/секансою/котангенсом.

Ви вже знайомі з тотожностями трига синуса, косинуса та тангенса. Як відомо, будь-який дріб також має зворотну, яка знаходить шляхом зворотного переходу позицій чисельника і знаменника.

Чи можете ви перерахувати, які коефіцієнти були б для трьох тригових функцій (синус, косинус і тангенс) з чисельниками та знаменниками зворотними?

Взаємні ідентичності

Відповідний дробу ab - це дріб ba. Тобто знаходимо зворотну дробу, змінюючи чисельник і знаменник, або перегортаючи дріб. Шість функцій трига можуть бути згруповані попарно як взаємні.

Спочатку розглянемо визначення синусоїдальної функції для кутів повороту:$\sin \theta =\dfrac{y}{r}$. Тепер розглянемо функцію косеканса:$\csc \theta=\dfrac{r}{y}$. У одиничному колі ці значення є$\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y$ і$\csc \theta=\dfrac{1}{y}$. Ці дві функції, за визначенням, є взаємними. Тому значення синуса кута завжди є зворотним значенням косеканси, і навпаки. Наприклад, якщо$\sin \theta =\dfrac{1}{2}$, то$\csc \theta=\dfrac{2}{1}=2$.

Аналогічно функція косинуса і функція секанс є зворотними, а тангенс і котангенс - зворотними:

\ (\ почати {вирівняний}
\ сек\ тета &=\ frac {1} {\ cos\ тета} &\ текст {або} &\ cos\ theta =\ frac {1} {\ сек\ тета}\\ кот
\ тета &=\ фрак {1} {\ тан\ тета} &\ текст {або} &\ tan\ theta =\ frac {1} {\ cot\ theta}}
\ end {вирівняний}\)

Використання взаємних ідентичностей

Знайдіть значення наступних виразів, використовуючи відповідну ідентичність.

1. $\cos \theta=.3$,$\sec \theta=?$

$\sec \theta=\dfrac{10}{3}$

Ці функції взаємні, так що якщо$\cos \theta=.3$, то$\sec \theta=1.3$. Простіше знайти зворотні, якщо висловити значення у вигляді дробів:$\cos \theta=.3=\dfrac{3}{10} \Rightarrow \sec \theta=103$.

2. $\cot \theta=\dfrac{4}{3}$,$\tan \theta=?$

Ці функції є зворотними, а зворотні$\dfrac{4}{3}$ є$\dfrac{3}{4}$.

Ми також можемо використовувати взаємні відносини для визначення області та діапазону функцій.

3. $\sin \theta =\dfrac{1}{2}$,$\csc \theta=?$

Ці функції є зворотними, а зворотні$\dfrac{1}{2}$ - 2.

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вам було запропоновано перерахувати співвідношення для трьох тригонометричних функцій з перевернутими чисельниками та знаменниками.

Рішення

Оскільки три регулярні функції trig визначаються як:

$\begin{aligned} \sin&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \\ \cos&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \tan&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \end{aligned}$

то три функції - звані «взаємними функціями» є:

$\begin{aligned}\csc&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ \sec&=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}\\ \cot&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Створити зворотну функцію косеканса.

Рішення

Зворотна функція косеканси - синус.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

$\sec \theta=\dfrac{2}{\pi}$,$\cos \theta=?$

Рішення

Ці функції є зворотними, а зворотні$\dfrac{2}{\pi}$ є$\dfrac{\pi}{2}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

$\csc \theta=4$,$\cos \theta=?$

Рішення

Ці функції є зворотними, а зворотні 4 є$\dfrac{1}{4}$.

Рецензія

1. Створити зворотну функцію секантної.
2. Створити зворотну функцію котангенса.
3. Створити зворотну функцію синуса.

Знайти значення виразу, використовуючи відповідну ідентичність.

4. $\sin \theta =\dfrac{1}{2}$,$\csc \theta=?$
5. $\cos \theta=\dfrac{−\sqrt{3}}{2}$,$\sec \theta=?$
6. $\tan \theta=1$,$\cot \theta=?$
7. $\sec \theta=\sqrt{2}$,$\cos \theta=?$
8. $\csc \theta=2$,$\sin \theta =?$
9. $\cot \theta=−1$,$\tan \theta=?$
10. $\sin \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\csc \theta=?$
11. $\cos \theta=0$,$\sec \theta=?$
12. $\tan \theta=\text{undefined}$,$\cot \theta=?$
13. $\csc \theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$,$\sin \theta =?$
14. $\sin \theta =\dfrac{−1}{2}$і$\tan \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\cos \theta=?$
15. $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$і$\tan \theta=1$,$\sin \theta =?$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.21.

Лексика

Термін	Визначення
домен	Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
Діапазон	Діапазон функції - це набір значень y, для яких визначена функція.
Зворотна функція трига	Реципрокна тригонометрична функція - це функція, яка є зворотною типової тригонометричної функції. Наприклад, так як$\sin x=\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, зворотна функція$\csc x=\dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}$

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Взаємні, часткові та Піфагорійська ідентичності