3.1.6: Співфункціональні ідентичності

Співфункціональна ідентичність - це зв'язок між однією триг-функцією кута та іншою триг-функцією доповнення цього кута.

Співфункціональні ідентичності та рефлексія

Під час гри з трикутним шматочком головоломки, ви починаєте практикувати свої математичні навички, щоб побачити, що ви можете дізнатися про це. Ви розумієте, що один з внутрішніх кутів частини головоломки є$30^{\circ}$, і вирішите обчислити функції трига, пов'язані з цим кутом. Ви відразу хочете обчислити косинус кута, але можете тільки запам'ятати значення ваших синусоїдальних функцій.

Чи є спосіб використовувати ці знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні функції косинуса для$30^{\circ}$?

У прямокутному трикутнику можна застосувати так звані «ідентичності співфункцій». Вони називаються співфункціональними тотожностями, оскільки функції мають загальні значення. Ці ідентичності коротко викладені нижче.

\ (\ почати {масив} {rr}
\ sin\ theta=\ cos\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ справа) &\ cos\ theta =\ sin\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ вправо)\\ тан\ тета\ тета\ тета =
\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ праворуч) &\ cot\ theta =\ tan\ tan\ tan\ tan\ left (90^ {\ circ}\ ліворуч (90^ {\ circ} -\ тета\ праворуч)
\ end {масив}\)

Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з співфункціональними ідентичностями та рефлексією.

1. Знайдіть значення$\cos 120^{\circ}$.

Оскільки цей кут має опорний кут$60^{\circ}$, відповідь є$\cos 120^{\circ} =−12$.

2. Знайдіть значення$\ cos(−120^{\circ} )$.

Оскільки цей кут має опорний кут$60^{\circ}$, відповідь є$\cos(−120^{\circ} )= \cos 240^{\circ} =−\dfrac{1}{2}$.

3. Знайдіть значення$\sin 135^{\circ}$.

Оскільки цей кут має опорний кут$45^{\circ}$, відповідь$\sin 135^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, чи є спосіб використовувати свої знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні функції косинуса.

Рішення

Оскільки тепер ви знаєте співфункціональні відносини, ви можете використовувати свої знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні косинусів:

$\cos 30^{\circ} =\sin\left(90^{\circ} −30^{\circ}\right)=\sin(60^{\circ} )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти значення$\sin 45^{\circ}$ використання ідентичності співфункції.

Рішення

Синус$45^{\circ}$ дорівнює$\cos\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\cos 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти значення$\cos 45^{\circ}$ використання ідентичності співфункції.

Рішення

Косинус$45^{\circ}$ дорівнює$\sin\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\sin 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайти значення$\cos 60^{\circ}$ використання ідентичності співфункції.

Рішення

Косинус$60^{\circ}$ дорівнює$\sin\left(90^{\circ} −60^{\circ} \right)=\sin 30^{\circ} =.5$.

Рецензія

1. Знайдіть значення,$\theta$ для якого$\sin\theta =\cos15^{\circ}$ вірно.
2. Знайдіть значення,$\theta$ для якого$\cos\theta =\sin55^{\circ}$ вірно.
3. Знайдіть значення,$\theta$ для якого$\tan\theta =\cot80^{\circ}$ вірно.
4. Знайдіть значення,$\theta$ для якого$\cot\theta =\tan30^{\circ}$ вірно.
5. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\tan 255^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
6. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\sin 120^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
7. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\cos 310^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
8. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\cot 260^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
9. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\cos 280^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
10. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\tan 60^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
11. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\sin 100^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
12. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\cos 70^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
13. Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз$\cot 240^{\circ}$ як функцію гострого кута вимірювання менше ніж$45^{\circ}$.
14. Використовуйте прямокутний трикутник, щоб довести це$\sin \theta =\cos(90^{\circ} −\theta )$.
15. Використовуйте ідентичності співфункції синуса та косинуса, щоб довести це$\tan(90^{\circ} −\theta )=\cot\theta$.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.24.

Лексика

Термін	Визначення
Ідентичність співфункції	Співфункціональна ідентичність - це зв'язок між однією триг-функцією кута та іншою триг-функцією доповнення цього кута.

Додаткові ресурси

Відео: Кофункції