3.1.6: Співфункціональні ідентичності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54839

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Співфункціональна ідентичність - це зв'язок між однією триг-функцією кута та іншою триг-функцією доповнення цього кута.

Співфункціональні ідентичності та рефлексія

Під час гри з трикутним шматочком головоломки, ви починаєте практикувати свої математичні навички, щоб побачити, що ви можете дізнатися про це. Ви розумієте, що один з внутрішніх кутів частини головоломки є\(30^{\circ}\), і вирішите обчислити функції трига, пов'язані з цим кутом. Ви відразу хочете обчислити косинус кута, але можете тільки запам'ятати значення ваших синусоїдальних функцій.

Чи є спосіб використовувати ці знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні функції косинуса для\(30^{\circ}\)?

У прямокутному трикутнику можна застосувати так звані «ідентичності співфункцій». Вони називаються співфункціональними тотожностями, оскільки функції мають загальні значення. Ці ідентичності коротко викладені нижче.

\ (\ почати {масив} {rr}
\ sin\ theta=\ cos\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ справа) &\ cos\ theta =\ sin\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ вправо)\\ тан\ тета\ тета\ тета =
\ лівий (90^ {\ circ} -\ тета\ праворуч) &\ cot\ theta =\ tan\ tan\ tan\ tan\ left (90^ {\ circ}\ ліворуч (90^ {\ circ} -\ тета\ праворуч)
\ end {масив}\)

Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з співфункціональними ідентичностями та рефлексією.

1. Знайдіть значення\(\cos 120^{\circ}\).

Оскільки цей кут має опорний кут\(60^{\circ}\), відповідь є\(\cos 120^{\circ} =−12\).

2. Знайдіть значення\(\ cos(−120^{\circ} )\).

Оскільки цей кут має опорний кут\(60^{\circ}\), відповідь є\(\cos(−120^{\circ} )= \cos 240^{\circ} =−\dfrac{1}{2}\).

3. Знайдіть значення\(\sin 135^{\circ}\).

Оскільки цей кут має опорний кут\(45^{\circ}\), відповідь\(\sin 135^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, чи є спосіб використовувати свої знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні функції косинуса.

Рішення

Оскільки тепер ви знаєте співфункціональні відносини, ви можете використовувати свої знання синусоїдальних функцій, щоб допомогти вам у обчисленні косинусів:

\(\cos 30^{\circ} =\sin\left(90^{\circ} −30^{\circ}\right)=\sin(60^{\circ} )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти значення\(\sin 45^{\circ}\) використання ідентичності співфункції.

Рішення

Синус\(45^{\circ}\) дорівнює\(\cos\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\cos 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти значення\(\cos 45^{\circ}\) використання ідентичності співфункції.

Рішення

Косинус\(45^{\circ}\) дорівнює\(\sin\left(90^{\circ} −45^{\circ} \right)=\sin 45^{\circ} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайти значення\(\cos 60^{\circ}\) використання ідентичності співфункції.

Рішення

Косинус\(60^{\circ}\) дорівнює\(\sin\left(90^{\circ} −60^{\circ} \right)=\sin 30^{\circ} =.5\).

Рецензія

Знайдіть значення,\(\theta\) для якого\(\sin\theta =\cos15^{\circ}\) вірно.
Знайдіть значення,\(\theta\) для якого\(\cos\theta =\sin55^{\circ}\) вірно.
Знайдіть значення,\(\theta\) для якого\(\tan\theta =\cot80^{\circ}\) вірно.
Знайдіть значення,\(\theta\) для якого\(\cot\theta =\tan30^{\circ}\) вірно.
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\tan 255^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\sin 120^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\cos 310^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\cot 260^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\cos 280^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\tan 60^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\sin 100^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\cos 70^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте ідентичності співфункцій, щоб допомогти вам написати вираз\(\cot 240^{\circ}\) як функцію гострого кута вимірювання менше ніж\(45^{\circ}\).
Використовуйте прямокутний трикутник, щоб довести це\(\sin \theta =\cos(90^{\circ} −\theta )\).
Використовуйте ідентичності співфункції синуса та косинуса, щоб довести це\(\tan(90^{\circ} −\theta )=\cot\theta\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.24.

Лексика

Термін	Визначення
Ідентичність співфункції	Співфункціональна ідентичність - це зв'язок між однією триг-функцією кута та іншою триг-функцією доповнення цього кута.

Додаткові ресурси

Відео: Кофункції