3.1.1: Фундаментальні тригонометричні ідентичності

Доведіть рівняння істинні, використовуючи взаємні, тангенсні та інші тотожності.

Основні тригонометричні ідентичності

Основні тригонометричні ідентичності - це ті, які можна логічно вивести з визначень та графіків шести тригонометричних функцій. Раніше деякі з цих ідентичностей використовувалися випадково, але тепер вони будуть формалізовані та додані до набору інструментів тригонометричних ідентичностей.

Як ви можете використовувати тригонометричні ідентичності для спрощення наступного виразу?

$\left[\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta ) }{\sin(−\theta )}\right]^{−1}$

Тригонометричні тотожності

Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.

Взаємні ідентичності

Відповідні ідентичності стосуються зв'язків між тригонометричними функціями, такими як синус та косеканс. Синус протилежний гіпотенузі, а косеканта - гіпотенуза над протилежною. Ця логіка створює наступні шість ідентичностей.

• $\sin\theta =\dfrac{1}{\csc\theta}$
• $\cos\theta =\dfrac{1}{\sec\theta}$
• $\tan\theta =\dfrac{1}{\cot\theta}$
• $\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta}$
• $\sec\theta =\dfrac{1}{\cos\theta}$
• $\csc\theta =\dfrac{1}{\sin\theta}$

Тотожності коефіцієнтів

Коефіцієнтні тотожності випливають з визначення синуса, косинуса і тангенса.

• $\tan\theta =\sin\theta \cos\theta$
• $\cot\theta =\cos\theta \sin\theta$

Непарні/парні ідентичності

Непарно-парні тотожності випливають з того, що тільки косинус і його взаємний секанс парні, а решта тригонометричних функцій непарні.

• $\sin(−\theta )=−\sin\theta$
• $\cos(−\theta )=\cos\theta$
• $\tan(−\theta )=−\tan\theta$
• $\cot(−\theta )=−\cot\theta$
• $\sec(−\theta )=\sec\theta$
• $\csc(−\theta )=−\csc\theta$

Ідентичності співфункцій

Співфункціональні ідентичності роблять зв'язок між тригонометричними функціями та їх «co» аналогами, такими як синус та косинус. Графічно всі співфункції - це відображення і горизонтальні зсуви один одного.

• $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta$
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cos\theta$
• $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cot\theta$
• $\cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\tan\theta$
• $\sec\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\csc\theta$
• $\csc\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sec\theta$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, як можна спростити тригонометричний вираз:

$\left[ \dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)}{\sin(−\theta )}\right]^{−1}$

Рішення

Його можна спростити, щоб бути еквівалентним негативному тангенсу, як показано нижче:

$\begin{aligned} \left[ \dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )}{\sin(−\theta )} \right]^{−1}&=\dfrac{\sin(−\theta )}{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )} \\&=−\sin\theta \cos\theta \\ &=−\tan\theta\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо$\sin\theta =0.87$, знайдіть$\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Рішення

Хоча можна використовувати калькулятор для пошуку\ theta, використання ідентичностей теж працює дуже добре.

Спочатку слід врахувати негатив з аргументу. Далі слід зазначити, що косинус парний і застосувати непарну ідентичність, щоб відкинути негатив в аргументі. Нарешті, визнайте ідентичність співфункції.

$\cos\left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(−\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta =0.87$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо$\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=0.68$ потім визначте$\csc(−\theta )$.

Рішення

Вам потрібно це показати$\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)$.

$\begin{aligned} 0.68&=\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)\\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) \\&=\sin(\theta ) \end{aligned}$

Потім,$\csc(−\theta )=−\csc \theta$

$\begin{aligned} &=−\dfrac{1}{\sin\theta} \\ &=−(0.68)^{−1} \approx −1.47\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуйте посвідчення, щоб довести наступне:$\cot(−\beta ) \cot \left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta )= \cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Рішення

Роблячи тригонометричні докази, життєво важливо, щоб ви починали з одного боку і працювали лише з цієї сторони, поки не виведете те, що знаходиться на іншій стороні. Іноді може бути корисно працювати з обох сторін і знайти, де зустрічаються обидві сторони, але ця робота не вважається доказом. Вам доведеться переписати свої кроки, щоб вони слідували лише з одного боку. В цьому випадку працюйте з лівою стороною і продовжуйте переписувати її до тих пір, поки у вас немає$\cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)$.

$\begin{aligned} \cot(−\beta ) \cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta ) \\ &=−\cot \beta \tan\beta \cdot −\sin\beta \\&=−1\cdot −sin\beta \\&=sin\beta \\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \\&=\cos\left(−\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \\&=\cos\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Доведіть наступну тригонометричну ідентичність, працюючи тільки з однією стороною.

$\cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x=1$

Рішення

$\begin{aligned} \cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x &=\cos x\sin x\tan x\cdot \dfrac{1}{\tan x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\sin x} &=1\end{aligned}$

Рецензія

1. Доведіть ідентичність частки для котангенса, використовуючи синус і косинус.
2. Поясніть, чому$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta$ використовують графіки та перетворення.
3. Поясніть чому$\sec \theta =\dfrac{1}{\cos\theta}$.
4. Доведіть, що$\tan\theta \cdot cot\theta =1$.
5. Доведіть, що$\sin\theta \cdot \csc\theta =1$.
6. Доведіть, що$\sin\theta \cdot sec\theta =\tan\theta$.
7. Доведіть, що$\cos\theta \cdot \csc\theta =\cot\theta$.
8. Якщо$\sin\theta =0.81$, що таке$\sin(−\theta )$?
9. Якщо$\cos\theta =0.5$, що таке$\cos(−\theta )$?
10. Якщо$\cos\theta =0.25$, що таке$\sec(−\theta )$?
11. Якщо$\csc\theta =0.7$, що таке$\sin(−\theta )$?
12. Як ви можете визначити з графіка, якщо функція парна або непарна?
13. Доведіть$\tan x\cdot \sec x\csc x\cdot \cot x=\tan x$.
14. Доведіть$\sin 2x\cdot \sec x\tan x\cdot \csc x=1$.
15. Доведіть$\cos x\cdot \tan x=\sin x$.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.

Лексика

Термін	Визначення
співфункція	Кофункції - це функції, які ідентичні за винятком відображення і горизонтального зсуву. Приклади включають: синус і косинус, тангенс і котангенс, секанс і косеканс.
навіть	Парна функція - це функція з графом, яка симетрична по відношенню до осі y і має властивість that$f(−x)=f(x)$.
ідентичність	Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
Непарна функція	Непарна функція - це функція з властивістю that$f(−x)=−f(x)$. Непарні функції мають обертальну симетрію щодо походження.
доказ	Доказом є низка правдивих тверджень, що призводять до прийняття істини більш складного твердження.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Тригонометричні тотожності - огляд

Практика: Фундаментальні тригонометричні ідентичності