3.1.1: Фундаментальні тригонометричні ідентичності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54831

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Доведіть рівняння істинні, використовуючи взаємні, тангенсні та інші тотожності.

Основні тригонометричні ідентичності

Основні тригонометричні ідентичності - це ті, які можна логічно вивести з визначень та графіків шести тригонометричних функцій. Раніше деякі з цих ідентичностей використовувалися випадково, але тепер вони будуть формалізовані та додані до набору інструментів тригонометричних ідентичностей.

Як ви можете використовувати тригонометричні ідентичності для спрощення наступного виразу?

\(\left[\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta ) }{\sin(−\theta )}\right]^{−1}\)

Тригонометричні тотожності

Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.

Взаємні ідентичності

Відповідні ідентичності стосуються зв'язків між тригонометричними функціями, такими як синус та косеканс. Синус протилежний гіпотенузі, а косеканта - гіпотенуза над протилежною. Ця логіка створює наступні шість ідентичностей.

\(\sin\theta =\dfrac{1}{\csc\theta}\)
\(\cos\theta =\dfrac{1}{\sec\theta}\)
\(\tan\theta =\dfrac{1}{\cot\theta}\)
\(\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta}\)
\(\sec\theta =\dfrac{1}{\cos\theta}\)
\(\csc\theta =\dfrac{1}{\sin\theta}\)

Тотожності коефіцієнтів

Коефіцієнтні тотожності випливають з визначення синуса, косинуса і тангенса.

\(\tan\theta =\sin\theta \cos\theta\)
\(\cot\theta =\cos\theta \sin\theta\)

Непарні/парні ідентичності

Непарно-парні тотожності випливають з того, що тільки косинус і його взаємний секанс парні, а решта тригонометричних функцій непарні.

\(\sin(−\theta )=−\sin\theta\)
\(\cos(−\theta )=\cos\theta\)
\(\tan(−\theta )=−\tan\theta\)
\(\cot(−\theta )=−\cot\theta\)
\(\sec(−\theta )=\sec\theta\)
\(\csc(−\theta )=−\csc\theta\)

Ідентичності співфункцій

Співфункціональні ідентичності роблять зв'язок між тригонометричними функціями та їх «co» аналогами, такими як синус та косинус. Графічно всі співфункції - це відображення і горизонтальні зсуви один одного.

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta\)
\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cos\theta\)
\(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\cot\theta\)
\(\cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\tan\theta\)
\(\sec\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\csc\theta\)
\(\csc\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sec\theta\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, як можна спростити тригонометричний вираз:

\(\left[ \dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)}{\sin(−\theta )}\right]^{−1}\)

Рішення

Його можна спростити, щоб бути еквівалентним негативному тангенсу, як показано нижче:

\(\begin{aligned} \left[ \dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )}{\sin(−\theta )} \right]^{−1}&=\dfrac{\sin(−\theta )}{\sin(\dfrac{\pi}{2}−\theta )} \\&=−\sin\theta \cos\theta \\ &=−\tan\theta\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Якщо\(\sin\theta =0.87\), знайдіть\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Рішення

Хоча можна використовувати калькулятор для пошуку\ theta, використання ідентичностей теж працює дуже добре.

Спочатку слід врахувати негатив з аргументу. Далі слід зазначити, що косинус парний і застосувати непарну ідентичність, щоб відкинути негатив в аргументі. Нарешті, визнайте ідентичність співфункції.

\(\cos\left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(−\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta =0.87\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=0.68\) потім визначте\(\csc(−\theta )\).

Рішення

Вам потрібно це показати\(\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)\).

\(\begin{aligned} 0.68&=\cos \left(\theta −\dfrac{\pi}{2}\right)\\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right) \\&=\sin(\theta ) \end{aligned}\)

Потім,\(\csc(−\theta )=−\csc \theta\)

\(\begin{aligned} &=−\dfrac{1}{\sin\theta} \\ &=−(0.68)^{−1} \approx −1.47\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте посвідчення, щоб довести наступне:\(\cot(−\beta ) \cot \left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta )= \cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Рішення

Роблячи тригонометричні докази, життєво важливо, щоб ви починали з одного боку і працювали лише з цієї сторони, поки не виведете те, що знаходиться на іншій стороні. Іноді може бути корисно працювати з обох сторін і знайти, де зустрічаються обидві сторони, але ця робота не вважається доказом. Вам доведеться переписати свої кроки, щоб вони слідували лише з одного боку. В цьому випадку працюйте з лівою стороною і продовжуйте переписувати її до тих пір, поки у вас немає\(\cos \left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(\begin{aligned} \cot(−\beta ) \cot\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \sin(−\beta ) \\ &=−\cot \beta \tan\beta \cdot −\sin\beta \\&=−1\cdot −sin\beta \\&=sin\beta \\&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\beta \right) \\&=\cos\left(−\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \\&=\cos\left(\beta −\dfrac{\pi}{2}\right) \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Доведіть наступну тригонометричну ідентичність, працюючи тільки з однією стороною.

\(\cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x=1\)

Рішення

\(\begin{aligned} \cos x\sin x\tan x\cot x\sec x\csc x &=\cos x\sin x\tan x\cdot \dfrac{1}{\tan x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\sin x} &=1\end{aligned}\)

Рецензія

Доведіть ідентичність частки для котангенса, використовуючи синус і косинус.
Поясніть, чому\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−\theta \right)=\sin\theta\) використовують графіки та перетворення.
Поясніть чому\(\sec \theta =\dfrac{1}{\cos\theta}\).
Доведіть, що\(\tan\theta \cdot cot\theta =1\).
Доведіть, що\(\sin\theta \cdot \csc\theta =1\).
Доведіть, що\(\sin\theta \cdot sec\theta =\tan\theta \).
Доведіть, що\(\cos\theta \cdot \csc\theta =\cot\theta \).
Якщо\(\sin\theta =0.81\), що таке\(\sin(−\theta )\)?
Якщо\(\cos\theta =0.5\), що таке\(\cos(−\theta )\)?
Якщо\(\cos\theta =0.25\), що таке\(\sec(−\theta )\)?
Якщо\(\csc\theta =0.7\), що таке\(\sin(−\theta )\)?
Як ви можете визначити з графіка, якщо функція парна або непарна?
Доведіть\(\tan x\cdot \sec x\csc x\cdot \cot x=\tan x\).
Доведіть\(\sin 2x\cdot \sec x\tan x\cdot \csc x=1\).
Доведіть\(\cos x\cdot \tan x=\sin x\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.1.

Лексика

Термін	Визначення
співфункція	Кофункції - це функції, які ідентичні за винятком відображення і горизонтального зсуву. Приклади включають: синус і косинус, тангенс і котангенс, секанс і косеканс.
навіть	Парна функція - це функція з графом, яка симетрична по відношенню до осі y і має властивість that\(f(−x)=f(x)\).
ідентичність	Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
Непарна функція	Непарна функція - це функція з властивістю that\(f(−x)=−f(x)\). Непарні функції мають обертальну симетрію щодо походження.
доказ	Доказом є низка правдивих тверджень, що призводять до прийняття істини більш складного твердження.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Тригонометричні тотожності - огляд

Практика: Фундаментальні тригонометричні ідентичності